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专题30 解直角三角形模型之12345 模型
初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、
特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。今天我们要重点介绍的
“12345”模型就是中考（选填题）解题神器，需要我们反复断钻研、领悟。现在带领大家领略一下，
“12345”模型的独特魅力。
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模型1.“12345”模型及衍生模型................................................................................................................... 1
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模型1.“12345”模型及衍生模型
（19 年北京市中考）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ °（点A，B，P 是网格交点）。
该类问题解法很多，这里我们就根据现有的方格纸来构造一个等腰直角三角形。
如图，即：∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°。
上面的∠PAB 和∠PBA 便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45°之外，用三角函数的观点来看：
tan∠PAB=
，tan∠PBA=
，对于这里的数据，为了便于记忆，总结为“12345”模型。
12345 基础模型 模型还可变式为
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； 变式1：
；变式2：
。
证明：（基础模型）如图，作矩形ABCD，且AB=CD=3，AD=BC=4，在BC 上取一点E 使得BE=1，在
DC 上取一点F 使得DF=2 ，根据矩形性质得：EC=3 ，CF=1 ，故tan∠DAF=
，tan∠BAE=
，
tan∠FEC=
，
易证：△ABE≌△ECF，∴∠BAE=∠CEF，AE=EF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，∴∠EAF=45°
图1
证明：（模型变式1）如图，作矩形ABCD，且AB=CD=a，AD=BC=a+b，在BC 上取一点E 使得BE=a，
在DC 上取一点F 使得DF=b-a，根据矩形性质得：EC=b，CF=a，
故tan∠DAF=
，tan∠BAE=
，tan∠FEC=
，
易证：△ABE≌△ECF，∴∠BAE=∠CEF，AE=EF，
∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠CEF+∠AEB=90°，∴∠AEF=90°，∴∠EAF=45°
模型变式2 可借鉴变式1 证明方法，自行证明即可。
注意：下面模型中
，
，2，3，
，
均为对应角的正切值。
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（1）∠α+∠β＝45°；（2）∠α+45°＝∠GAF；（3）∠DAF+45°＝∠EAH；（4）∠α+∠β＝135°；
（5）∠α+∠β＝90°； （6）∠ADB+∠DBA＝∠BAC； （6）∠ADB+∠DBA＝∠BAC；
上面的这些补充的模型，证明并不算困难，有兴趣的同学可借助网格图或构造图形自行进行证明。
切记：做题不光要知道题目告诉我什么，还要根据已知的信息，思考这里需要什么，而“12345”模型用来
解决相关的选填题非常方便。下面所列举的某些题，利用“12345”解题也许未必是最简，最巧妙的，
但至少可以成为一种通性通法，可在短时间内快速破题。毕竟在考试的时候时间是非常宝贵的。
例1．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在
中，
，
，点D 是AC 上一点，连接
BD．若
，
，则CD 的长为（ ）
A．
B．3
C．
D．2
例2．（2024·吉林长春·校考二模）如图，正方形ABCD 中，AB=8，G 是BC 的中点．将△ABG 沿AG 对折
至△AFG，延长GF 交DC 于点E，则DE 的长是（ ）
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A．
B．2
C．
D．3
例3．（23-24 八年级下·江苏南京·期中）如图，在四边形
中，
，
，
，E 是
上一点，且
，则
的长度是（ ）
A．3.2
B．3.4
C．3.6
D．4
例4．（2023·山西晋城·模拟预测）如图，在正方形
中，点
，
分别为
，
的中点，连接
，点
是线段
上一点，连接
，延长
交
于点
，若
，
，则
的长为
．
例5.（2023.成都市九年级期中）如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，点E、F 分别在BC、CD 上，若
AE=√5 ，∠EAF=45°，则AF 的长为 .
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例6．（23-24 九年级上·福建泉州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线
分别交
轴，
轴于
两点，已知点
，点
为线段
的中点，连结
，若
，则
的值为 ．
例7.（2023·龙华区九年级上期末）如图，已知正方形ABCD 的边长为 6，E 为BC 的中点，将△ABE 沿直
线AE 折叠后，点B 落在点F 处，AF 交对角线BD 于点G，则FG 的长是________．
G
F
E
B
C
A
D
8．（2024 九年级上·浙江·专题练习）如图，将已知矩形纸片
的边
斜着向
边对折，使点
落
在
上，记为
，折痕为
；再将
边斜向下对折，使点
落在
边上，记为
，折痕为
，
，
．则矩形纸片
的面积为 ．
B′
D′
F
E
C
B
D
A
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例9.（2023·湖北黄冈·统考中考真题）如图，矩形
中，
，以点B 为圆心，适当长为半
径画弧，分别交
，
于点E，F，再分别以点E，F 为圆心，大于
长为半径画弧交于点P，作射
线
，过点C 作
的垂线分别交
于点M，N，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．4
例10.（2023.呼和浩特中考真题）如图，正方形
的边长为
，点
是
的中点，
与
交于
点
，
是
上一点，连接
分别交
，
于点
，
，且
，连接
，则
，
．
1．（23-24 广东汕头·模拟预测）如图，正方形
中，
，
是
的中点．将
沿
对折
至
，延长
交
于点
，则
的长是（ ）
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A．5
B．4
C．3
D．2
2．（2024·山东淄博·校考一模）如图，正方形ABCD 的边长为9，点E，F 分别在边AB，AD 上，若E 是
AB 中点，且∠ECF=45°，则CF 的长为（ ）
A．12
B．3
C．3
D．3
3．（23-24 九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在四边形
中，
，
，
，
是边
上一点，且
，则
的长度是（ ）
A．8
B．7.4
C．7
D．6.8
4．（23-24 九年级上·贵州铜仁·期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝﹣x＋m（m≠0）分别交x
轴，y 轴于A，B 两点，已知点C（3，0）．点P 为线段OB 的中点，连接PA，PC，若∠CPA＝45°，则m
的值是 ．
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5．（2024·辽宁葫芦岛·二模）如图3，在矩形
中，点E，F 分别在边
，
上，将矩形
沿
，
折叠，点B 落在点M 处，点D 落在点G 处，点A，M，G 恰好在同一直线上，若
，
，
，则线段
的长为 ．
6．（2024·广东·模拟预测）在正方形ABCD 中，边长为6，BE=2AE，连接DE，在AD、BC 上分别存在点
G、F，连接GF 交DE 于H 点，且∠GHD=45°，求线段FG=_________．
7.（2023·山东·中考模拟）如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝6，点E，F 分别在边BC，CD 上，
∠EAF＝45°，BE＝2，则DF 的长为_________．
7.（23-24 九年级·江苏无锡·期末）如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 的中点，把△PAB 沿着PA 翻折得到
△PAE，过C 作CF⊥DE 于F，若CF=2，则DF= ．
F
E
C
B
D
A
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8.（2017 无锡中考真题）在如图的正方形方格纸上，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D 都
在格点处，AB 与CD 相交于O，则tan∠BOD 的值等于__________．
9.（2016 甘肃天水中考真题）如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA、OC 分别落在x 轴、
y 轴上，连接OB，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在点A’位置，OB=
，tan∠BOC=
，则点A’的
坐标为____________．
10.（2023.广东九年级期中）如图，折叠边长为4cm 的正方形纸片ABCD，折痕是DM，点C 落在点E 处，
分别延长ME，DE 交AB 于点F，G，若点M 是BC 边的中点，则FG＝_________cm．
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11．（23-24 九年级上·重庆·阶段练习）如图，已知正方形ABCD 的边长为
，对角线AC、BD 交于点
O，点E 在BC 上，且CE=2BE，过B 点作BF⊥AE 于点F，连接OF，则线段OF 的长度为 .
12．（2024·宁夏银川·三模）如图，在矩形
中，
，
，将矩形
沿
折叠，点A
落在
处，若
的延长线恰好过点C，则
的值为 ．
13．（23-24 九年级·天津河西·期末）正方形ABCD 的边长AB＝2，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，AF
分别与DE，BD 相交于点M，N，则MN 的长为 ．
14．（23-24 八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋4 的图像与x 轴、
y 轴分别交于点A、B，将直线AB 绕点B 顺时针旋转45°，交x 轴于点C，则直线BC 的函数表达式为
．
G
E
M
F
B
A
C
D
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15．（23·24·深圳·模拟预测）如图，已知点A 的横坐标与纵坐标相等，点B（0，2），点A 在反比例函数
y
的图象上．作射线AB，再将射线AB 绕点A 按逆时针方向旋转
，交y 轴于C 点，则△ABC 面积为
．
16．（2023 年四川省凉山州数学中考真题）阅读理解题：
阅读材料：如图1，四边形
是矩形，
是等腰直角三角形，记
为
、
为
，若
，则
．
证明：设
，∵
，∴
，
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易证
∴
，∴
∴
，
若
时，当
，则
．
同理：若
时，当
，则
．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线
与反比例函数
的图象交于点
，与
轴交于点
．将直线
绕点
顺
时针旋转
后的直线与
轴交于点
，过点
作
轴于点
，过点
作
轴于点
，已知
．
(1)求反比例函数的解析式；(2)直接写出
的值；(3)求直线
的解析式．
