文档文本内容
专题30 中点模型（6 大类型）
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................1
1、垂直平分线....................................................................................................................1
2、等腰三角形的“三线合一”.............................................................................................2
3、“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型............................................................2
4、直角三角形斜边中线模型............................................................................................3
5、中位线模型....................................................................................................................3
6、中点四边形模型............................................................................................................3
真题演练.....................................................................................................................................4
巩固练习.....................................................................................................................................9
中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角
形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不
妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对
初中几何的学习有着十分重要的意义。常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线
合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中
点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。
1、垂直平分线
定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
如图，在三角形ABC 中，DE⊥BC，且D 为BC 中点，则BE=EC。
专题目录
模型解读
常见类型讲解
模型运用条件：当遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质。
2、等腰三角形的“三线合一”
定理：等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”。
如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，D 为BC 边上的中点，则∠BAD =∠CAD ，AD⊥BC ，
BD=CD。
模型运用条件：等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线。
3、“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型
我们把这种情况叫做平行线间夹中点 .处理这种情况的一般方法是：延长过中点的线段和平行线
相交，即“延长中线交平行”
如图，AB//CD，点E 是BC 的中点，可延长DE 交AB 于点F。
模型运用条件：构造8 字型全等（平行线夹中点）。
4、直角三角形斜边中线模型
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图1，若AD 为
斜边上的中线，则：
（1 ）
；（2 ）
，
为等腰三角形；（3 ）
，
．
拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M 为中点，则（1）
；（2）
．
模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时）
5、中位线模型
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
如图，在三角形ABC 的AB，AC 边的中点分别为D、E，则DE//BC 且
，△ADE∽△ABC。
中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角
形面积的四分之一。
模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）。
6、中点四边形模型
中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形。
中点四边形是中点模型中比较经典的应用。中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且
还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块。
结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形．
如图1，已知点M、N、P、Q 是任意四边形ABCD 各边中点，则四边形MNPQ 为平行四边形。
结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形）
如图2，已知点M、N、P、Q 是四边形ABCD 各边中点，AC⊥DB，则四边形MNPQ 为矩形。
结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形）
如图3，已知点M、N、P、Q 是四边形ABCD 各边中点，AC=DB，则四边形MNPQ 为菱形。
结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形．
如图4，已知点M、N、P、Q 是四边形ABCD 各边中点，AC=DB，AC⊥DB，则四边形MNPQ 为正方
形。
推广与应用
1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。
2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的
。
（2023·天津·中考真题）如图，
的顶点C 在等边
的边
上，点E 在
的延长线上，
G 为
的中点，连接
．若
，
，则
的长为 ．
真题演练
（2023·江苏常州·中考真题）如图，
是
的弦，点C 是优弧
上的动点（C 不与A、B 重合），
，垂足为H，点M 是
的中点．若
的半径是3，则
长的最大值是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，在Rt
中，
为斜边
上的中线，若
，则
．
（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，在
中，
，点D 是
的中点，过点D
作
，垂足为点E，连接
，若
，
，则
．
（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，
的对角线
，
相交于点
，
的平分线
与边
相交于点
，
是
中点，若
，
，则
的长为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
（2022·湖北荆州·统考中考真题）如图，已知矩形ABCD 的边长分别为a，b，进行如下操作：第一
次，顺次连接矩形ABCD 各边的中点，得到四边形
A1B1C1D1；第二次，顺次连接四边形
A1B1C1D1各
边的中点，得到四边形
；…如此反复操作下去，则第n 次操作后，得到四边形
的
面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，在
中，
，
，
，
分别为
，
，
的中点．若
的长为10，则
的长为 ．
（2023·广西·统考中考真题）如图，在边长为2 的正方形
中，E，F 分别是
上的动点
M，N 分别是
的中点，则
的最大值为 ．
（2023·河南驻马店·校考三模）如图，在
中，分别以点A，C 为圆心，以大于
的长为半
径作弧，两弧相交于点M，N，作直线
交
于点D，交
于点E，连接
．则下列结论不一
定正确的是( )
A．
B．
C．
D．
（2023·山东济宁·统考二模）如图，
中，
，
平分
，点E 是
的中点．若
，
，则
的长是（ ）
A．
B．
C．
D．7
（2023·山东济南·校联考一模）如图，在菱形ABCD 中，E、F 分别是AB、BC 边的中点，EP⊥CD
于点P，∠BAD=110°，则∠FPC 的度数是（ ）
A．35°
B．45°
C．50°
D．55°
（2022·四川德阳·统考中考真题）如图，在四边形
中，点
，
，
，
分别是
，
，
，
边上的中点，则下列结论一定正确的是（ ）
A．四边形
是矩形
B．四边形
的内角和小于四边形
的内角和
C．四边形
的周长等于四边形
的对角线长度之和
D．四边形
的面积等于四边形
面积的
（2023·江苏镇江·统考中考真题）【发现】如图1，有一张三角形纸片
，小宏做如下操作：
（1）取
，
的中点D，E，在边
上作
；（2）连接
，分别过点D，N 作
，
，垂足为G，H；（3）将四边形
剪下，绕点D 旋转
至四边形
的位置，将四边形
剪下，绕点E 旋转
至四边形
的位置；
（4）延长
，
交于点F．小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：①点Q，A，T 在一条直线
上；②四边形
是矩形；③
；④四边形
与
的面积相等．
【任务1】请你对结论①进行证明．
【任务2】如图2，在四边形
中，
，P，Q 分别是
，
的中点，连接
．求证：
．
【任务3】如图3，有一张四边形纸
，
，
，
，
，
，
小丽分别取
，
的中点P，Q，在边
上作
，连接
，她仿照小宏的操作，将四
边形
分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求
的长．
（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与实践：数学是以数量关系和空间形式为主要研究对
象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，
让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
如图①，在矩形ABCD 中，点E、F、G 分别为边BC、AB、AD 的中点，连接EF、DF，H 为DF 的
中点，连接GH．将△BEF 绕点B 旋转，线段DF、GH 和CE 的位置和长度也随之变化．当△BEF 绕
点B 顺时针旋转90°时，请解决下列问题：
(1)图②中，AB=BC，此时点E 落在AB 的延长线上，点F 落在线段BC 上，连接AF，猜想GH 与CE
之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2)图③中，AB=2，BC=3，则
；
(3)当AB=m , BC=n 时．
．
(4)在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC 剪开，得△ABC（如图④)．点
M、N 分别在AC、BC 上，连接MN，将△CMN 沿 MN 翻折，使点C 的对应点P 落在AB 的延长线上，
若PM 平分∠APN，则CM 长为 ．
1、如图，
是半圆O 的直径，C 为半圆上一点，
，过O 作
交
于点
E，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
2、如图，正方形
的边长为12，点E 为
边上一点，
，点F 为
边上一动点，连接
交于点G，连接
，当
时，则
的长为（ ）
巩固练习
A．
B．
C．
D．5
3、如图，在平行四边形ABCD 中，AD＝2AB，F 是BC 的中点，作AE⊥CD 于点E，连接EF、AF，
下列结论：①2∠BAF＝∠BAD；②EF＝AF；③S△ABF＝S△AEF；④∠BFE＝3∠CEF．其中一定成立
的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
4、在
中，
，
，将
沿
翻折到
，
的垂直平分线与
相
交于点E．若
，则
的长为 ．
5、如图，
是等边三角形，
，
是
边上的高，点
是射线
上的动点，连接
，
交直线
于点
，当
是等腰三角形时，
的长为 ．
6、如图，在平行四边形
中，对角线
、
相交于点
，点
是
的延长线上一动点，连
接
交
于点
，若
，
，
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
7、如图，在边长为 的正方形
中，
，连接
，
，
，
分别是
，
的中点，连接
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
8、如图，在矩形
中，
，
，
为边
上一动点，
为
中点，
为
上一
点，
，则
的最小值为 ．
9、在四边形
中，对角线
平分
，
、
、
分别为
、
、
中点，连接
交
于
，交
于
，若
，
，且
，则
= ．
10、如图，
是四边形
的对角线，
，点
在边
上，连接
交
于
，取
的中点
若
，
，
，则
的最小值为 ．
