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专题31 圆中的重要模型之四点共圆模型
四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共
圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点
共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四
点共圆的四种重要模型。
四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
模型1、定点定长共圆模型（圆的定义）
【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于
定长点的集合。
条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，
结论：A、B、C、D 四点共圆（其中圆心为O）。
例1．（2023 春·广东梅州·九年级校考期中）如图，量角器的直径与直角三角板ABC 的斜边
重合（
），其中量角器0 刻度线的端点N 与点A 重合，射线
从
处出发沿顺时针方向以每秒3 度的速
度旋转，
与量角器的半圆弧交于点E，第20 秒时点E 在量角器上运动路径长是 ．
例2．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在
中，
，AB=AC=5，点
在
上，且
，点E 是AB 上的动点，连结
，点
，G 分别是BC，DE 的中点，连接
，
，当AG=FG
时，线段
长为（ ）
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A．
B．
C．
D．4
例3．（2023·江苏淮安·统考三模）如图，将矩形
的边
绕点A 逆时针旋转得到
，连接
，过
点D 作
的垂线，垂足E 在线段
上，连接
．若
，
，则
的度数为
．
例4．（2021·湖北随州·统考中考真题）如图，在
中，
，
为
的中点，
平分
交
于点
，
，
分别与
，
交于点
，
，连接
，
，则
的值为
；若
，则
的值为 ．
模型2、定边对双直角共圆模型
A
B
C
D
E
E
D
C
B
A
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同侧型 异侧型
1）定边对双直角模型（同侧型）
条件：若平面上A、B、C、D 四个点满足
，
结论：A、B、C、D 四点共圆，其中AD 为直径。
2）定边对双直角模型（异侧型）
条件：若平面上A、B、C、D 四个点满足
，
结论：A、B、C、D 四点共圆，其中AC 为直径。
例1．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，四边形
中，
，
，
于点
．若
，
，则线段
的长为 ．
例2．（2022 春·山东·九年级专题练习）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线
相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E 是△ABC 中∠A 的遥望角．①若∠A＝40°，直接写出∠E 的度数是
；
②求∠E 与∠A 的数量关系，并说明理由．（2）如图2，四边形ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E 在
BD 的延长线上，连CE，若∠BEC 是△ABC 中∠BAC 的遥望角，求证：DA＝DE．
例3．（2022·湖北武汉·校考二模）如图，等腰Rt
ABC
△
中，∠ACB＝90°，D 为BC 边上一点，连接AD．
（1）如图1，作BE AD
⊥
延长线于E，连接CE，求证：∠AEC＝45°；
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（2）如图2，P 为AD 上一点，且∠BPD＝45°，连接CP．若AP＝2，求△APC 的面积；
例4．（2022 秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形
中，
，
是
的中点，
是
的中点，若
，
，
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
模型3、定边对定角共圆模型
条件：如图1，平面上A、B、C、D 四个点满足
，结论：A、B、C、D 四点共圆．
条件：如图2，AC、BD 交于H，
，结论：
四点共圆.
例1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在Rt
ABC 中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将
ABC 绕A 点
顺时针旋转得到
ADE，使D 点落在BC 边上．
（1）求∠BAD 的度数；（2）求证：A、D、B、E 四点共圆．
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例2．（2023·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图1，在等腰三角形ABC 中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在
底边BC 上取一点D，连结AD，使得∠DAC= ACD
∠
．如图3，将△ACD 沿着AD 所在直线折叠，使得点C 落
在点E 处，连结BE，得到四边形ABED．则BE 的长是（ ）
A．1
B．
C．
D．
例3．（2022·江苏无锡·中考真题）△ABC 是边长为5 的等边三角形，△DCE 是边长为3 的等边三角形，直
线BD 与直线AE 交于点F．如图，若点D 在△ABC 内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将△DCE 绕
点C 旋转1 周，在这个旋转过程中，线段AF 长度的最小值是________．
例4．（2022·贵州遵义·统考中考真题）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得
出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
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提出问题：如图1，在线段
同侧有两点
，
，连接
，
，
，
，如果
，那么
，
，
，
四点在同一个圆上．
探究展示：如图2，作经过点
，
，
的
，在劣弧
上取一点
（不与
，
重合），连接
，
则
（依据1）
点
，
，
，
四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点
，
在点
，
，
所确定的
上（依据2）
点
，
，
，
四点在同一个圆上
(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：__________；依据2：__________．
(2)图3，在四边形
中，
，
，则
的度数为__________．
(3)拓展探究：如图4，已知
是等腰三角形，
，点
在
上（不与
的中点重合），连接
．作点
关于
的对称点
，连接
并延长交
的延长线于
，连接
，
．①求证：
，
，
，
四点共圆；②若
，
的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请
说明理由．
模型4、对角互补共圆模型
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O
D
C
B
A
条件：如图1，平面上A、B、C、D 四个点满足
，结论：A、B、C、D 四点共圆．
条件：如图2，BA、CD 的延长线交于P，
， 结论：A、B、C、D 四点共圆.
1．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在四边形
中，
，以
为腰作等腰直角三
角形
，顶点
恰好落在
边上，若
，则
的长是（ ）
A．
B．
C．2
D．1
例2．（2023·河南周口·校考三模）在
中，
，M 是
外一动点，满足
，若
，
，
，则
的长度为 ．
例3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，
，
，点
、
分别是线段
、射线
上的
动点，以
为斜边向上作等腰
，
，连接
，则
的最小值为 ．
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例4．（2023·山东日照·统考中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得
出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1，
中，
（
）．点D 是
边上的一动点（点D 不与B，C
重合），将线段
绕点A 顺时针旋转
到线段
，连接
．
(1)求证：A，E，B，D 四点共圆；(2)如图2，当
时，
是四边形
的外接圆，求证：
是
的切线；(3)已知
，点M 是边
的中点，此时
是四边形
的外接圆，直接
写出圆心P 与点M 距离的最小值．
课后专项训练
1．（2023 秋·河北张家口·九年级校考期末）如图①，若BC 是Rt△ABC 和Rt△DBC 的公共斜边，则A、B、
C、D 在以BC 为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC 的三条高AD、BE、CF 相交于点
H，则图②中“四点共圆”的组数为（ ）
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A．2
B．3
C．4
D．6
2．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，O 是
的中点，点B，C，D 到点O 的距离相等，连接
．
下列结论不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
平分
3．（2023·江苏宿迁·九年级校考期末）如图，在
中，
，
，
，点P 为平
面内一点，且
，过C 作
交PB 的延长线于点Q，则CQ 的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·北京海淀·九年级校考期中）如图，点O 为线段
的中点，点B，C，D 到点O 的距离相等，连
接
，
．请写出图中任意一组互补的角为 和 （不添加辅助线，不添加数字角
标和字母）
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5．（2023·广东·二模）如图，点
为线段
的中点，点
到点
的距离相等，若
则
的度数是
6．（2023·浙江金华·统考二模）如图，在
中，
，
，
，P 是
上一动
点，
于点E，
于点D，则线段
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
7．（2023·浙江·模拟预测）如图，
中，
，
中，
，直线
与
交于
，当
绕点
任意旋转的过程中，
到直线
距离的最大值是 ．
8．（2023 春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在
中，点D 为
上一点，
，点E
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在线段
上，
，若
，
，则
的最大值为 ．
9．（2023·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，将
绕点A 逆时针旋转
，得到
，其中点
与点
对应，点
与点
对应．(1)画出
．(2)直线
与直线
相交于点
，证明：A，
，
，
四点共圆．
10.（2023·湖北九年级课时练习）如图1，
ABC 中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，过点C 任作一条直线
CD，将线段BC 沿直线CD 翻折得线段CE，直线AE 交直线CD 于点F．直线BE 交直线CD 于G 点．
(1)小智同学通过思考推得当点E 在AB 上方时，∠AEB 的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以
下推理过程：
∵AC＝BC＝EC，∴A、B、E 三点在以C 为圆心以AC 为半径的圆上，
∴∠AEB＝
∠ACB，（填写数量关系）
∴∠AEB＝
°．
(2)如图2，连接BF，求证A、B、F、C 四点共圆；
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(3)线段AE 最大值为 ，若取BC 的中点M，则线段MF 的最小值为 ．
11．（2023 春·重庆南岸·八年级校考期末）已知：菱形
的对角线
交于点
，以
为斜边
构造等腰
，连接
．
(1)如图1，若
，
，求
的面积．(2)如图2，延长
交
于点
，过点
作
于点
，过点
作
于点
，
与
交于点
，且
．求证：
．
12．（2023 春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）问题提出 如图1，点E 为等腰
内一点，
，
，将
绕着点A 逆时针旋转
得到
，求证：
．
尝试应用 如图2，点D 为等腰
外一点，
，
，过点A 的直线分别交
的延长
线和
的延长线于点N，M，求证：
．
问题拓展 如图3，
中，
，点D，E 分别在边
，
上，
，
，
交于点H．若
，
，直接写出
的长度（用含a，b 的式子）．
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13．（2023·江苏·九年级假期作业）综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继
续利用上述结论进行探究．
提出问题：如图1，在线段AC 同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，
C，D 四点在同一个圆上．
探究展示：如图2，作经过点A，C，D 的⊙O，在劣弧AC 上取一点E（不与A，C 重合），连接AE，
CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）
∵∠B＝∠D ∴∠AEC+∠B＝180°
∴点A，B，C，E 四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D 在点A，C，E 所确定的⊙O 上（依据2）
∴点A，B，C，D 四点在同一个圆上
(1)上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1： ；依据2： ．
(2)如图3，在四边形ABCD 中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4 的度数为 ．
拓展探究：(3)如图4，已知△ABC 是等腰三角形，AB＝AC，点D 在BC 上（不与BC 的中点重合），连接
AD．作点C 关于AD 的对称点E，连接EB 并延长交AD 的延长线于F，连接AE，DE．①求证：A，D，
B，E 四点共圆；②若AB＝2
，AD•AF 的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理
由
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14．（2022·江苏扬州·模拟预测）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其
中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，点O 为斜边AB 的中点，连接CD 交AB 于点E．设AB＝1．
（1）求证：A、B、C、D 四个点在以点O 为圆心的同一个圆上；
（2）分别求△ABC 和△ABD 的面积；（3）过点D 作DF∥BC 交AB 于点F，求OE︰OF 的比值．
15．（2023·重庆九年级课时练习）如图，四边形
内接于
，对角线
，垂足为
，
于点
，直线
与直线
于点
．
（1）若点
在
内，如图1，求证：
和
关于直线
对称；
（2）连接
，若
，且
与
相切，如图2，求
的度数．
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16．（2023·江苏·九年级假期作业）【问题情境】如图①，在四边形
中，
，求证：A、
B、C、D 四点共圆．
小吉同学的作法如下：连结
，取
的中点
，连结
、
，请你帮助小吉补全余下的证明过程；
【问题解决】如图②，在正方形
中，
，点
是边
的中点，点
是边
上的一个动点，
连结
，
，作
于点P．
（1）如图②，当点P 恰好落在正方形
对角线
上时，线段
的长度为 ；
（2）如图③，过点P 分别作
于点
，
于点
，连结
，则
的最小值为 ．
17．（2023 春·江苏南京·九年级校联考阶段练习）在
和
中，
，
，
，用这两个直角三角形研究图形的变换．
【翻折】(1)如图1，将
沿线段
翻折，连接
，下列对所得四边形
的说法正确的是___．
①
平分
、
，②
、
互相平分，③
，④
、
、
、
四点共圆．
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【平移】(2)如图2，将
沿线段
向右平移，使
点移到
的中点，连接
、
、
，请猜想
四边形
的形状，并说明理由．
【旋转】(3)如图3，将
绕点
逆时针方向旋转，使
，连接
、
，则旋转角为
______°，
______cm．
18．（2023·河南南阳·校考三模）综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成
四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆．在实际应用中，如果运用这个定理，往往
可以让复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整．
特殊情况分析：(1)如图1，正方形
中，点
为对角线
上一个动点，连接
，将射线
绕点
顺时针旋转
的度数，交直线
于点
．
小明的思考如下：连接
，
∵
，
，∴
，（依据1）
∵
，∴
，∴点
共圆，
∴
，
，（依据2）
∴
，∴
．（依据3）
填空：①依据1 应为___________，②依据2 应为___________，③依据3 应为___________；
一般结论探究：(2)将图1 中的正方形
改为菱形
，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，
若成立，请仅以图2 的形式证明，若不成立，请说明理由；
结论拓展延伸：(3)如图2，若
，
，当
为直角三角形时，请直接写出线段
的
长．
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