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淘宝：学思创想
专题33 圆中的重要模型之圆幂定理模型
圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理
以及它们推论的统一与归纳。可能是在19 世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷
（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问
题。
模型1.相交弦模型
条件：在圆O 中，弦AB 与弦CD 交于点E，点E 在圆O 内。
结论：
。
例1．（2023·江苏无锡·校联考三模）如图，点
，
，
，
在
上，
，
．若
，
，则
的长是 ．
例2．（2023·山东济宁一模）如图，边长为6 的等边三角形ABC 内接于⊙O，点D 为AC 上的动点（点
A、C 除外），BD 的延长线交⊙O 于点E，连接CE．(1)求证
；(2)当
时，求CE
的长．
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例3．（2023·江西宜春·统考模拟预测）阅读与思考：九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里
突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相
等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知：如图1，
的两弦
相交于点P．求证：
．
证明：如图1，连接
．
∵
，
．∴
，（根据）
∴
@，∴
，
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：____________；@：____________．
(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB 是
的弦，P 是
上一点，
，
，
，
求
的半径．
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模型2.双割线模型
条件：如图，割线CH 与弦CF 交圆O 于点E 和点G。
结论：
例1．（2023·辽宁葫芦岛·一模）已知：如图，
、
是⊙
的割线，
，
，
.则
=
.
例2．（2023·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，
为
的割线，且
，
交
于点
C，若
，则
的半径的长为 ．
例3．（2022·河南洛阳·统考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆
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有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线
定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定
理“证明一”，请补充完整．
已知：如图①，过
外一点
作
的两条割线，一条交
于
、
点，另一条交
于
、
点．
求证：
．
证明一：连接
、
，∵
和
为
所对的圆周角，∴______．
又∵
，∴______，∴______．即
．
研究后发现，如图②，如果连接
、
，即可得到学习过的圆内接四边形
．那么或许割线定理
也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二．
证明二：连接
、
，
模型3.切割线模型
条件：如图，CB 是圆O 的切线，CA 是圆O 的割线。
结论：
例1．（2023·江苏南通·中考模拟）如图，已知
是
的切线，
为切点，
与
相交于
．
两点，
，
，则
的长等于（ )
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A．
B．16cm
C．
D．
例2．（2023·河南郑州·一模）复习巩固，切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们
把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线．
切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．
阅读材料：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平
面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36
2
﹣圆幂
定理（切割线定理）内容如下：
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充
完整，并写出证明过程．
已知：如图，A 是⊙O 外一点，
．求证：
．
例3．（2022·河南驻马店·校考二模）在数学课上，当老师讲到直线与圆的位置关系时，张明同学突发奇想，
特殊线与圆在不同的位置情况下会有怎样的数量关系呢？于是在课下他查阅了老师推荐他的《几何原本》，
这本书是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，
被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36-2 圆幂定理（切割线定理）
内容如下：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长比例
中项．（比例中项的定义：如果
、
、三个量成连比例即
，则
叫做
和的比例中项）
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(1)为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补
充完整，并写出证明过程．已知：如图，
是圆
外一点，
是圆
的切线，直线
为圆
的割线．
求证：
证明：
．
(2)已知
，
，则
的长度是
．
模型4.弦切角模型
条件：如图，CB 是圆O 的切线，AB 是圆O 的直径。
结论：1）
；
2）
；3）
。
例1．（2023·河南三门峡·统考二模）小锐同学是一个数学学习爱好者，他在一本数学课外读物上看到一个
课本上没有的与圆相关的角---弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的
角叫做弦切角），并尝试用所学的知识研究弦切角的有关性质．
（1）如图，直线
与⊙O 相切于
点，
，
为⊙O 上不同于
的两点，连接
，
，
．请你写
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出图中的两个弦切角______；（不添加新的字母和线段）
（2）小锐目测
和
可能相等，并通过测量的方法验证了他的结论，你能帮小锐用几何推理的
方法证明结论的正确性吗？
已知：如图，直线
与⊙O 相切于
点，
，
为圆上不同于
的两点，连接
，
，
．
求证：
．（3）如果我们把上述结论称为弦切角定理，请你用一句话概括弦切角定理
______．
例2．（2023·河南洛阳·统考三模）人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000 多年前，由我国的墨子给
出圆的概念：“圆，一中同长也．”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比古希
腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100 多年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们
把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹
弧所对的圆周角度数．
(1)如图1，
是
的切线．点C，D 在
上．求证：
；(2)如图2，
是
的切线．
连接
交
于点D，
为
的直径．若
，
，
的半径为5，求
的长．
例3．（2023·四川绵阳·九年级统考期中）定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦
切角．如图1，
为
的切线，点
为切点，
为
内一条弦，
即为弦切角．
(1)古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，全书共13 卷，以第1 卷的23 个定义、5
个公设和5 个公理作为基本出发点，给出了119 个定义和465 个命题及证明．第三卷中命题32 一弦切角定
理的内容是：“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度
数．”
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如下给出了弦切角定理不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，
为
的切线，点
为切点，
为
内一条弦，点
在
上，连接
，
，
，
．求证：
．证明：
(2)如图3，
为
的切线，
为切点，点
是
上一动点，过点
作
于点
，
交
于
，连接
，
，
．若
，
，求弦
的长．
模型5.托勒密定理模型
条件：如图，AB、CD 是圆O 的两条弦； 结论：
例1．（2023·山西晋中·九年级统考期末）阅读以下材料，并完成相应任务：托勒密（Ptolemy）（公元90
年～公元168 年），希腊著名的天文学家，他的著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒
密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理．
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．
已知：如图1，四边形
内接于
．求证：
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下面是该结论的证明过程：证明：如图2，作
，交
于点E．
∵
∴
（依据1） ∴
（依据2） ∴
∴
∵
∴
∵
∴
即
∴
∴
∴
∴
任务：（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
依据1：________________________________．依据2：________________________________．
（2）如图3，四边形
内接于
，
为
的直径，
，
，点D 为
的中点，
求
的长．
例2．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）【旧知再现】圆内接四边形的对角 .
如图①，四边形
是
的内接四边形，若
，则
.
【问题创新】圆内接四边形的边会有特殊性质吗？
如图②，某数学兴趣小组进行深入研究发现：
证明：如图③，作
，交
于点
.
∵
，∴
，
∴
即
（请按他们的思路继续完成证明）
【应用迁移】如图④，已知等边
外接圆
，点
为
上一点，且
，
，求
的长.
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课后专项训练
1．（2023 山东九年级课时练习）如图AB 与圆O 相切于A，D 是圆O 内一点，DB 与圆相交于C．已知BC
＝DC＝3，OD＝2，AB＝6，则圆的半径为 ．
2．（2022 秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，两个同心圆，过大圆上一点A 作小圆的割线，交小圆于
B、C 两点，且图中圆环的面积为
，则
．
4．（2023·重庆九年级期末）如图，从圆外一点
引圆的切线
，点
为切点，割线
交
于点
、
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．已知
，
，则
．
4．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，过点
引圆的两条割线
和
，分别交圆于点
和
，
连结
，则在下列各比例式中，①
；②
；③
，成立的有
（把你认为成立的比例式的序号都填上）．
5．（2023·浙江绍兴·模拟预测）四边形
内接于圆，对角线交点为E，
，若
、
都是整数，则
的值为 ．
6．（2023·广东珠海·统考一模）如图，
为正
的外接圆，
为劣弧
上任一点，
的延长线和
的延长线交于点
．(1)求
；(2)求证：
．
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7．（2023·广东汕头·校考一模）如图，
是
的直径，点C，D 在
上，
平分
，过点D 作
的垂线交
的延长线于点E，交
的延长线于点F，连接
．
(1)求证：
是
的切线；(2)求证：
(3)若
，求
的长．
8．（2023·云南昆明·统考一模）如图，P 是以O 为圆心的两个同心圆外一点，过P 点的两条直线分别与大
圆O 交于A、B、C、D 四个点，其中一条直线交小圆O 于F 点，F 为线段
的中点，
，
，垂足为E．(1)求证：
为小圆O 的切线；(2)若
，
，求大圆
的半径．
9．（2023·广东揭阳·统考一模）欧几里德，古希腊著名数学家．被称为“几何之父”．他最著名的著作
《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他
在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．
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如图1，设点
是已知点，圆
是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：
①连接
，作线段
的中点
；②以
为圆心，以
为半径作圆
，与圆
交于两点
和
；
③连接
、
，则
、
是圆
的切线．(1)按照上述作图步骤在图1 中补全图形；
(2)为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“
、
是圆
的切线”的过程；
(3)如图2，连接
并延长交圆
于点
，连接
，已知
，
，求圆
的半径．
10．（2023·山东聊城·九年级统考期中）顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
如图①所示：PA 切⊙O 于点A，AB 是⊙O 的一条弦，∠PAB 就是⊙O 的一个弦切角．经研究发现：弦切角
等于它夹弧所对的圆周角．根据下面的“已知”和“求证”，写出“证明”过程，并回答后面的问题．
（1）如图1，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，AC 为直径，∠PAB 夹弧所对的圆周角为∠C．求证：∠PAB＝
∠C．（2）如图2，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，∠PAB 夹弧所对的圆周角为∠D．求证：∠PAB＝∠D．
（3）如图3，AB 为半⊙O 的直径，O 为圆心，C，D 为半⊙O 上两点，过点C 作半⊙O 的切线CE 交AD 的
延长线于点E，若CE⊥AD，且BC＝1，AB＝3，求DE 的长．
11．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，
为⊙O 的直径，且
，
与
为圆内的一组
平行弦，弦
交
于点H．点A 在
上，点B 在
上，
．
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(1)求证：
．(2)求证：
．(3)在⊙O 中，沿弦
所在的直线作劣弧
的轴对称
图形，使其交直径
于点G．若
，求
的长．
12．（2022·湖南长沙·统考中考真题）如图，四边形
内接于
，对角线
，
相交于点E，点
F 在边
上，连接
．(1)求证：
；
(2)当
时，则
___________；
___________；
___________．（直接将结果填写在相应的横线上）
(3)①记四边形
，
的面积依次为
，若满足
，试判断，
的形状，并说明理由．②当
，
时，试用含m，n，p 的式
子表示
．
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13．（2023 春·北京通州·九年级统考开学考试）在与圆有关的比例线段探究学习中，某兴趣小组发现有三
种不同情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三中的一种情况进行证明．
为
上的点，直线
相交于点
．
证明
情况一点P 在⊙O 内时，连接
（如图
1）：
，
∴
∴
，即
情况二点P 在⊙O 外时
（如图2）：
情况三当点A 和点B 重合时
（如图3）
14．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图1，
内接于
，点D 为圆外
上方一点，连接
，若
．
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(1)求证：
是
的切线；(2)如图2，连接
．若
，
，
，求
的半径．
（注：本题不允许使用弦切角定理）
15．（2023 秋·山西吕梁·九年级校考期末）阅读与思考：阅读下列材料，并完成相应的任务．
米勒定理
米勒（
）是德国的数学家，是欧洲最有影响的数学家之一，米勒发表的《三角全书》，是使得三
角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作．下面是米勒定理（又称切割线定理）的证明过程
已知：如图1，
与
相切于点A，
与
相交于点B，C．
求证：
．
证明：如图2，连接
．
∵
为
的切线，∴
，∴
．
∵
，∴
．
∵
，∴
．
∵
，∴
，∴
，
∴
，∴
，……
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任务：(1)请完成剩余的证明过程(2)应用：如图3，
是
的切线，
经过
的圆心O，且
，割线
交
于点D，E，
，求
的长．
16．（2023·江苏·九年级专题练习）阅读下列材料，完成相应任务：
弗朗索瓦•韦达，法国杰出数学家．第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，
带来了代数学理论研究的重大进步，在欧洲被尊称为“代数学之父”．他还发现从圆外一点引圆的切线和
割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（切割线定理）．
如图1，P 是
外一点，
是
的切线，
是
的一条割线，与
的另一个交点为B，则
．
证明：如图2，连接
、
，过点C 作
的直径
，连接
．
∵
是
的切线，∴
，∴
，即
．……
任务：(1)请按照上面证明思路写出该证明的剩余部分．
(2)如图3，
与
相切于点A，连接
并延长与
交于点B、C，
，
，
，连接
．①
与
的位置关系是 ．②求
的长．
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17．（2022·山西·三模）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务．
人们在研究圆与直线的位置和数量关系时，发现存在这样一个关系：从圆外一点引圆的切线和割线，切线
长是这点到割线与圆交点构成的两条线段长的比例中项．这个几何关系也叫圆的切割线定理．喜欢探究的
小明尝试给出了该定理的如下证明：
已知：如图1，P 为⊙O 外一点，切线PA 与圆相切于点A，割线PBC 与圆相交于点B，C．
求证：
． 证明：如图2，连接AB，AC，BO，AO．
∵PA 切⊙O 于点A，∴
，即
．
∵
，∴
．
∵
，∴
．……
任务：(1)请帮助小明补充完成以上证明过程．(2)如图，割线PDE 与圆交于点D，E，且
，
，连接BE，过点C 向下作
交PE 的延长线于点F，求EF 的长．
18．（2023·河南周口·校考三模）阅读与思考
学习了圆的相关知识后，某数学兴趣小组的同学们进行了如下探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务．
割线定理
如图，A 是
外一点，过点A 作直线
分别交
于点B，C，D，E，则有
．
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证明：如图，连接
．
∵
（依据：①________________），
，
∴
．∴
②_________________．
∴
．
任务：(1)上述阅读材料中①处应填的内容是________，②处应填的内容是_______．
(2)兴趣小组的同学们继续思考，当直线AE 与圆相切时，是否仍有类似的结论．请将下列已知、求证补充
完整，并给出证明．
已知：如图，A 是
外一点，过点A 的直线交
于点B，C，__________．求证：
___________．
19．（2023·广东九年级期中）探究问题：
(1)阅读理解：①如图A，在
所在平面上存在一点P，若它到
三个顶点的距离之和最小，则称点
P 为
的费马点，此时
的值为
的费马距离．
②如图B，若四边形
的四个顶点在同一个圆上，则有
，此为托勒密定理．
知识迁移：①请你利用托勒密定理解决如下问题：如图C，已知点P 为等边
外接圆的
上任意一点．
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求证：
；②根据（2）①的结论，我们有如下探寻
（其中
均小于
）的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图D，在
的外部以
为一边作等边
及其外接圆；
第二步：在
上任取一点
，连接
．易知
________；
第三步：请你根据（1）①中定义，在图D 中找出
的费马点P，则线段______的长度即为
的费
马距离．(2)知识应用：今年以来某市持续干旱，许多村庄出现了人、畜饮水困难的问题，为解决老百姓的
饮水问题，解放军某部来到该市某地打井取水．已知三村庄A、B、C 构成了如图E 所示的
（其中
，均小于
），现选取一点P 打水井，使从水井P 到三村庄A、B、C 所铺设的输水管总
长度最小，求输水管总长度的最小值．
20．（2023·山西临汾·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应任务
托勒密，古希腊天问学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一
个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积．下面是该定理的证明过程（部分）
已知：如图①四边形
是
的内接四边形；求证：
证明：以C 顶点，
为一边作
交
于点E，使得
又∵
∴
∴
∴
，
又
，
∴
∴
∴
，∴
∴
∴
即
任务：(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；(2)当圆内接四边形
是矩形时，托勒密定理就是
我们非常熟知的一个定理：
．(3)如图②若
，试探究线段
之
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间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．
21．（2023·湖南岳阳·统考二模）请阅读下列材料，解答问题：
克罗狄斯·托勒密（约90 年—168 年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还
论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理．
托勒密定理：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．
如图，正五边形ABCDE 内接于
，
，则对角线BD 的长为 ．
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