文档文本内容
专题24 圆幂定理模型
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................1
1、相交弦模型....................................................................................................................1
2、双割线模型....................................................................................................................2
3、切割线模型....................................................................................................................2
4、弦切角模型....................................................................................................................3
5、托勒密定理模型............................................................................................................3
真题演练.....................................................................................................................................3
巩固练习.....................................................................................................................................5
圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒
密定理以及它们推论的统一与归纳。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、
角度、面积等问题。
1、相交弦模型
在圆O 中，弦AB 与弦CD 交于点E，点E 在圆O 内。
结论：
。
专题目录
模型解读
常见类型讲解
2、双割线模型
如图，割线CH 与弦CF 交圆O 于点E 和点G。
结论：
3、切割线模型
如图，CB 是圆O 的切线，CA 是圆O 的割线。
结论：
4、弦切角模型
如图，CB 是圆O 的切线，AB 是圆O 的直径。
结论：1）
；
2
）
；
3
）
。
5、托勒密定理模型
如图，AB、CD 是圆O 的两条弦；
结论：
（2022·湖南长沙·中考真题）如图，四边形
内接于
，对角线
，
相交于点E，点F
在边
上，连接
．
真题演练
(1)求证：
；
(2)当
时，则
___________；
___________；
___________．（直接将结果填写在相应的横线上）
(3)①记四边形
，
的面积依次为
，若满足
，试判断，
的形状，并说明理由．②当
，
时，试用含m，n，p
的式子表示
．
（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，
为⊙O 的直径，且
，
与
为圆内的一组平
行弦，弦
交
于点H．点A 在
上，点B 在
上，
．
(1)求证：
．
(2)求证：
．
(3)在⊙O 中，沿弦
所在的直线作劣弧
的轴对称图形，使其交直径
于点G．若
，求
的长．
1、如图，
为
的割线，且
，
交
于点C，若
，则
的半径的长为
．
2、如图，从圆外一点
引圆的切线
，点
为切点，割线
交
于点
、
．已知
，
，则
．
3、如图，边长为6 的等边三角形ABC 内接于⊙O，点D 为AC 上的动点（点A、C 除外），BD 的延
长线交⊙O 于点E，连接CE．
(1)求证
；
(2)当
时，求CE 的长．
巩固练习
4、【旧知再现】圆内接四边形的对角 .
如图①，四边形
是
的内接四边形，若
，则
.
【问题创新】圆内接四边形的边会有特殊性质吗？
如图②，某数学兴趣小组进行深入研究发现：
证明：如图③，作
，交
于点
.
∵
，∴
，
∴
即
（请按他们的思路继续完成证明）
【应用迁移】如图④，已知等边
外接圆
，点
为
上一点，且
，
，求
的长.
