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专题28 婆罗摩笈多（定理）模型
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................1
真题演练.....................................................................................................................................2
巩固练习.....................................................................................................................................3
婆罗摩笈多是古代印度的一名数学家，曾提出了一个圆内接四边形相关的定理，即婆罗摩笈多
定理，我们把该定理放在全等的背景下延伸出的一系列几何问题，统称为“婆罗摩笈多模型”。所
以它和我们前面学过的“手拉手”与“夹半角”一样，都是由于特定条件的组合，从而产生特定的
结论。婆罗摩笈多模型特点：①两个等腰三角形（常常是直角或互补）；②在①中的两个三角形共
顶点；③不是旋转手拉手模型。
婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形的对角线互相垂直相交，那么从交点向某一边所引垂线的
反向延长线必经过这条边对边的中点。
如图，ABCD 为圆内接四边形，对角线AC 和BD 垂直相交，交点为E，过点E 作BC 的垂线EF，延
长FE 与AD 交于点G；则点G 是AD 的中点。
如图，所示已知等腰Rt△ABC 和等腰Rt△AED，作BH//AE 交AG 的延长线于点H，
专题目录
模型解读
常见类型讲解
（1）S△ACD=S△ABE；（2）若AF⊥CD，则G 为BE 中点。
如图，已知等腰Rt△ABC 和等腰Rt△AED，在AF 的延长线取点H，使得AF=FH；
（1）S△ACD=S△ABE；（2）若F 为CD 中点，则AG⊥BE。
（2023·重庆·统考一模）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学
家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美
古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点
的直线平分对边”．
任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；
已知：__________________ 求证：_________________ 证明：
（2）如图（2），在
中，弦
于M，连接
分别是
上的点，
于
于H，当M 是
中点时，直接写出四边形
是怎样的特殊四边形：
真题演练
__________．
【阅读】婆罗摩笈多是七世纪印度数学家，他曾提出一个定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，
则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边．
证明：如图1 所示内接于圆的四边形
的对角线
互相垂直，垂足为点
，过点
的直线
垂直于
，垂足为点
，与边
交于点
，由垂直关系得
，
，所以
，由同弧所对的圆周角相等得
，所以
，则
，同理，
，故
；
【思考】命题“若圆内接四边形的对角线相互垂直，则平分对边且过对角线交点的直线垂直于另一
边”为 （填“真命题”，“假命题”）；
【探究】（1）如图2，
和
为共顶点的等腰直角三角形，
，过点
的直线垂直于
，垂足为点
，与边
交于点
．证明：点
是
的中点；
（2）如图3，
和
为共顶点的等腰直角三角形
，点
是
的中点，
连接
交
于点
，若
，求
的长．
巩固练习
