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专题29 最值模型之瓜豆模型（原理）直线轨迹型
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该
压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型
的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原
理（动点轨迹为直线型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型解读】
瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。
动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，估只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。
主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。
模型1、运动轨迹为直线
1）如图，P 是直线BC 上一动点，连接AP，取AP 中点Q，当点P 在BC 上运动时，Q 点轨迹是？
P
Q
A
B
C
N
C
B
A
Q
P
M
解析：当P 点轨迹是直线时，Q 点轨迹也是一条直线．
理由：分别过A、Q 向BC 作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN
始终为AM 的一半，即Q 点到BC 的距离是定值，故Q 点轨迹是一条直线．
2）如图，在△APQ 中AP=AQ，∠PAQ 为定值，当点P 在直线BC 上运动时，求Q 点轨迹？
解析：当AP 与AQ 夹角固定且AP:AQ 为定值的话，P、Q 轨迹是同一种图形。
理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q 点的位置，连线即可，比如Q 点的起始
位置和终点位置，连接即得Q 点轨迹线段。
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【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。
1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值；
2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。
3）确定动点轨迹的方法（重点）
①当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线；
②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；
③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；
④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑；
⑤若动点轨迹用上述方法不都合适，则可以将所求线段转化（常用中位线、矩形对角线、全等、相似）为
其他已知轨迹的线段求最值。
例1．（2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，在Rt△ABC 中，∠A＝90°，M 为BC 的中点，H 为AB 上一
点，过点C 作CG∥AB，交HM 的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH 周长的最小值是（
）
A．24
B．22
C．20
D．18
例2．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，
是边长为的等边三角形，点
为高
上的动
点．连接
，将
绕点
顺时针旋转
得到
．连接
，
，
，则
周长的最小值是
．
例3．（2023·河南洛阳·统考一模）如图，在平行四边形ABCD 中，
，
，
，点E 在
线段BC 上运动（含B、C 两点）．连接AE，以点A 为中心，将线段AE 逆时针旋转60°得到AF，连接
DF，则线段DF 长度的最小值为______．
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例4．（2022·山东泰安·统考二模）如图，矩形
的边
，E 为
上一点，且
，F
为
边上的一个动点，连接
，若以
为边向右侧作等腰直角三角形
，连接
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．3
D．
例5．（2023·陕西·西安市八年级期末）预备知识：(1)在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变
量t 的变化，动点
在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？
一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？”
小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为
，
将点
代入得：
，整理得
∵t 为任意实数，等式恒成立，∴
，
∴
，
∴这条直线的函数表达式为
请仿照小明的做法，完成问题：随着变量t 的变化，动点
在平面直角坐标系中的运动轨迹是直
线l，求直线l 的函数表达式．
问题探究：(2)如图1，在平面直角坐标系中，已知
，
，且
，
，则点C
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的坐标为_________．
结论应用：(3)如图2，在平面直角坐标系中，已知点
，Q 是直线
上的一个动点，连接
，过点P 作
，且
，连接
，求线段
的最小值．
例6．（2023·河南新乡·统考一模）如图，在菱形
中，
，E、F 分别是边
上的动点，
连接
，G、H 分别为
的中点，连接
．若
的最小值为3，则
的长为__________．
例7．（2023·四川雅安·统考中考真题）如图，在
中，
．P 为边
上一动点，
作
于点D，
于点E，则
的最小值为 ．
例8．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，
中，
，
，点D 是边
上一动
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点，以点A 为旋转中心，将
顺时针旋转
得到线段
，连接
，若
，则
的长的最小值为
（ ）
A．
B．
C．1
D．
课后专项训练
1．（2021·四川广元·中考真题）如图，在
中，
，
，点D 是
边的中点，
点P 是
边上一个动点，连接
，以
为边在
的下方作等边三角形
，连接
．则
的最
小值是（ ）
A．
B．1
C．
D．
2．（2023 上·福建厦门·九年级校考期中）如图，长方形
中，
，
，E 为
上一点．且
，F 为
边上的一个动点．连接
，将
绕着点E 顺时针旋转
到
的位置，其中点
B、点F 的对应点分别为点H、点G，连接
和
，则
的最小值为（ ）．
A．
B．3
C．
D．
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3.（2023 上·江苏扬州·九年级校联考期中）如图，正方形
的边长为4，点
是正方形对角线
所在
直线上的一个动点，连接
，以
为斜边作等腰
（点
，
，
按逆时针排序），则
长的
最小值为（ ）
A．
B．
C．4
D．
4．（2023 上·河北保定·九年级校考期中）如图，在
中，
，且
，点D
是斜边
上的一个动点，过点D 分别作
于点M，
于点N，连接
，点O 为
的
中点，则线段
的最小值为（ ）
A．
B．5
C．
D．
5．（2023 上·山西临汾·九年级统考期中）如图，在
中，
，
，点
，
分别是
，
边上的动点，连结
，
，
分别是
，
的中点，则
的最小值为（ ）
A．12
B．10
C．9.6
D．4.8
6．（2023 上·广东广州·九年级校考期中）如图，正方形
的边长为4，
，点E 是直线
上一个动点，连接
，线段
绕点B 顺时针旋转
得到
，则线段
长度的最小值等于
（ ）
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A．
B．
C．
D．
7．（2022·江苏·徐州市三模）如图，
中，
，
，
为
边上的一动点，以
、
为边作
，则线段
的最小值为______．
8．（2023 上·湖北武汉·九年级校联考期中）如图，已知
，B 为
上一点，
于A，
四边形
为正方形，P 为射线
上一动点，连接
，将
绕点C 顺时针方向旋转
得
，连接
，若
，则
的最小值为 ．
9．（2023 上·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系
中，已知点
，点C 是y 轴
上一动点，设其坐标为
，线段
绕点C 逆时针旋转
至线段
，则点B 的坐标为 ，连
接
，则
的最小值是 ．
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10．（2023 上·内蒙古呼和浩特·九年级统考期中）如图，已知
中，
，
，
，
，
，点
为直线
上一动点，将线段
绕点
顺时针旋转
得到线段
，连接
、
，点
在直线
上且
，则
最小值为 ．
11．（2023 上·福建三明·八年级统考期中）如图，在长方形
中，
，
，
为边
上的
点，且
．
为
边上的动点，以
为边在其右侧作等腰直角三角形
，
．设
中点
为
，则
的最小值为 ．
12．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，在
中，
，点P 为
边上任意
一点，连接
，以
，
为邻边作平行四边形
，连接
，则
长度的最小值为_________．
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13．（2022·广东·东莞二模）如图，已知等腰三角形PAB，∠BAP＝45°，AB＝AP，将三角形放在平面直角
坐标系中，若点A（
，0），点B 在y 轴正半轴上，则OP 的最小值是 _____．
14．（2022·江苏宿迁·三模）如图在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D 是AB 上一动点，以
DC 为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，连接BE，则线段BE 的最小值为__________________．
15．（2023·陕西师大附中三模）如图，正方形
中，
，点E 为边
上一动点，将点A 绕点E
顺时针旋转
得到点F，则
的最小值为__________．
16．（2022·浙江绍兴·二模）如图，在△ABC 中，AB＝5，BC=3，AC＝4，点P 从A 点出发沿AB 运动到B
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点，以CP 为斜边作如图的等腰直角三角形PQC，∠PQC＝90°，则Rt△PQC 的外心运动的路径长为 _____，
BQ 的最小值为 _____．
17．（2023·江苏盐城·三模）如图，A、 B 两点的坐标分别为（-3，0）、（-1，0），点C 为y 轴上一动点，
以AC 为边向下作Rt
，使得
，
，连接线段
，则线段
的最小值为____．
18．（2023·重庆巴南·九年级期末）如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD＝120°，E 是边CD 的中点，F 是边
AD 上的一个动点，将线段EF 绕着点E 顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小
值是________________．
19．（2022·河南南阳·二模）如图所示，
，
，
于点B，点D 是线段BC 上一个动点，
且
于点D，
，连接CE，则CE 长的最小值是______．
20．（2023 江西九江九年级期末）（1）回归教材：北师大七年级下册P44，如图1 所示，点P 是直线m
外一点，
，点O 是垂足，点A、B、C 在直线m 上，比较线段PO，PA，PB，PC 的长短，你发现了
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什么？最短线段是______，于是，小明这样总结：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，______．
（2）小试牛刀：如图2 所示，
中，
，
，
．则点P 为AB 边上一动点，则
CP 的最小值为______．
（3）尝试应用：如图3 所示
是边长为4 的等边三角形，其中点P 为高AD 上的一个动点，连接BP，
将BP 绕点B 顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、CE．
①请直接写出DE 的最小值．②在①的条件下求
的面积．
（4）拓展提高：如图4，
顶点F 在矩形ABCD 的对角线AC 上运动，连接AE．
．
，
，请求出AE 的最小值．
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