文档文本内容
淘宝：学思创想
专题25 相似模型之母子型（共边共角）模型
相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，
是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入
理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。
....................................................................................................................................................1
模型1.“母子型”模型（共边共角模型）.....................................................................................................1
....................................................................................................................................................6
【知识储备】母子型相似证明题一般思路方法:
①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；
②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；
③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；
④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“母子型”模型（共边共角模型）
“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，
恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定
淘宝：学思创想
这两个三角形相似。
图1 图2 图3 图4
1）“母子”模型（斜射影模型）
条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴
，∴AB2＝AD·AC.
2）双垂直模型（射影模型）
条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD，
∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴
，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
3）“母子”模型（变形）
条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA；
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA
4）共边模型
条件：如图1，在四边形
中，对角线
平分
，
，结论：
；
证明：∵对角线
平分
，∴∠ABD=∠CBC，
∵
，∴△ADB∽△DCB，∴
，∴
例1．（2024·河北石家庄·二模）如图，在平行四边形
中，
为对角线，
，
，
，则
长为（ ）
淘宝：学思创想
A．
B．3
C．9
D．
例2．（2023·湖北孝感·模拟预测）阅读：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点
是线段
上一点
，若满足
，则称点
是
的黄金分割点．黄金分割在我们的数学
学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为
的等腰三角形称为“黄金三角形”．
(1)应用：如图1，若点
是线段
的黄金分割点
，若
，则
的长为 ______．
(2)运用：如图2，已知等腰三角形
为“黄金三角形”，
，
，
为
的平分线．
求证：点
是
的黄金分割点．(3)如图3 中，
，
，
平分
交
于F，取
的中点E，连接
并延长交
的延长线于M．
，请你直接写出
的长为__________．
例3．（22-23 八年级下·湖南衡阳·期中）如图，在矩形
中，对角线
交于点 O，
于点 E，已知
，
，则矩形
的周长为
淘宝：学思创想
例4．（2024·广西南宁·三模）阅读与思考，完成后面的问题．
射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．如图，在
中，
，
是斜边
上的高，则有如下结论：
①
；②
；③
．下面是该定理的证明过程（部分）：
∵
是斜边
上的高，∴
．∵
，
，
∴
．∴
（依据）．∴
．即
．
(1)材料中的“依据”是指 ；(2)选择②或③其中一个结论加以证明；
(3)应用：
中，
，
，
，点A 在y 轴上，求顶点A 的坐标．
例5．（2023·山东淄博·九年级统考期末）如图，已知
，点
，
在边
上，连接
，
，使
，且
．(1)请判定
的形状，并说明理由；(2)若
，
，求
的面积．
淘宝：学思创想
例6．（2024·浙江温州·三模）如图，在锐角三角形
中，
．以点
为圆心
长为半径画弧，
交边
于点
，连接
．点
是
延长线上的一点，连接
，若
平分
．
(1)求证：
．(2)当
时，求
的值．
例7．（2024·河南·二模）三角形的布洛卡点（Brocardpoint）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．
LCrelle1780-1855）于1816 年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875 年，布洛卡点被一个
数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard1845-1922）重新发现，并用他的名字命名．如图1，若
内一点
P 满足
，则点P 是
的布洛卡点，
是布洛卡角．
（1）如图2，点P 为等边三角形ABC 的布洛卡点，则布洛卡角的度数是______；PA、PB、PC 的数量关系
是______；（2）如图3，点P 为等腰直角三角形ABC（其中
）的布洛卡点，且
．
①请找出图中的一对相似三角形，并给出证明；②若
的面积为
，求
的面积．
例8．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，
更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一
基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．
在
中，点
为边
上一点，连接
．(1)初步探究：如图2，若
，求证：
淘宝：学思创想
；
(2)尝试应用：如图3，在（1）的条件下，若点
为
中点，
，求
的长；(3)创新提升：如图
4，点
为
中点，连接
，若
，
，
，求
的长．
1．（2022·浙江衢州·统考中考真题）如图，在
中，
．分别以点
为圆心，大
于
的长为半径画弧，两弧相交于点
，作直线
分别交
，
于点
．以
为圆心，
长为半径画弧，交
于点
，连结
．则下列说法错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·河北张家口·一模）如图，点D 在
的边
上，添加一个条件，使得
．以下
是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（ ）
淘宝：学思创想
天冀的做法：添加条件
．
证明：∵
，
． ∴
（两组角对应相等的两个三角形相似）
往琛的做法：添加条件
．
证明：∵
,
．∴
（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相
似）
A．天翼的做法证明过程没有问题
B．往琛的做法证明过程没有问题
C．天翼的做法添加的条件没有问题
D．往琛的做法添加的条件有问题
3．（2024·浙江·模拟预测）如图，在矩形
中，
，
，点
在线段
上(不与点
，点
重合)，
，则
的长为( )
A．
B．
C．
D．
4．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正五边形
的边长为4，则这个正五边形的对角线
的长是
．
5．（2024·四川成都·中考真题）如图，在
中，
，
是
的一条角平分线，
为
中点，连接
．若
，
，则
．
淘宝：学思创想
6．（23-24 九年级下·辽宁本溪·阶段练习）如图，在
中，
．以点A 为圆心，以
的长为半
径作弧交边
于点D．分别以点D，C 为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线
交
于点E，则
的值为 ．
7．（23-24 九年级上·陕西汉中·期中）如图，点
、
在线段
上，且
是等腰直角
的底边．当
时（
与
、
与
分别为对应顶点），
．
8．（2024·河北邢台·校考二模）如图1，在
中，
，
，
，点
为
边上
一点，则点
与点
的最短距离为______．如图2，连接
，作
，使得
，
交
于
，则当
时，
的长为______．
9．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在
中，以点
为圆心，任意长为半径作弧，分别交
，
淘宝：学思创想
于点
，
；分别以点
，
为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧交于点
；作射线
交
于点
，若
，
，
的面积为，则
的面积为 ．
10．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，
是正五边形
的对角线，
与
相交于点
．下列结论：①
平分
； ②
； ③四边形
是菱形； ④
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
11．（2024·湖北黄石·三模）已知菱形
中，点E、G 分别为边
、
上一点，连接
、
．若
，
，
，则
的长
12．（2024·广东九年级课时练习）如图，点C、D 在线段AB 上，且△PCD 是等边三角形．∠APB＝
120°．
（1）求证：△ACP∽△PDB；（2）当AC＝4，BD＝9 时，试求CD 的值．
13．（2022·江西·统考中考真题）如图，四边形
为菱形，点E 在
的延长线上，
．
淘宝：学思创想
(1)求证：
；(2)当
时，求
的长．
14．（2024·上海·中考真题）如图所示，在矩形
中，
为边
上一点，且
．
(1)求证：
；(2)
为线段
延长线上一点，且满足
，求证：
．
15．（2024·四川南充·二模）在矩形
中，
，在
边上截取
，使
，点
为
的
中点．如图1，连接
并延长交
于点
，连接
交
于点
．
(1)求证：
；(2)若
，证明
．
(3)如图2，若
，连接
，当
取最小值时，求
的最小值及矩形
的面积．
淘宝：学思创想
16．（2023·山西临汾·统考二模）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
规定：在一个三角形中，若一个内角是另一个内角度数的n 倍，则称三角形为“n 倍角三角形”．当
时，称为“1 倍角三角形”，显然等腰三角形是“1 倍角三角形”；当
时，称为“2 倍角三角形”，
小康通过探索后发现：“2 倍角三角形”的三边有如下关系．
如图，在
中，
所对的边分别为
，若
，则
．
下面是小康对“2 倍角三角形”的结论的两种探索证明过程：
证法1：如图1，作
的平分线
，∴
．
设
，则
．
证法2：如图2，延长
到点
，使得
，连接
，……
任务：(1)上述材料中的证法1 是通过作辅助线，构造出__________三角形来加以证明的（填“全等”或
“相似”）．
(2)请补全证法2 剩余的部分．
淘宝：学思创想
17．（23-24 九年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在
中，
，点
为
内
的一个动点，已知
，
．(1)求证：
；(2)求
的值．
18．（2023·广东深圳·一模）【探究发现】（1）如图①所示，在等腰直角
中，点D，O 分别为边
，
上一点，且
，延长
交射线
于点E，则有下列命题：①
；②
；③
；请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程；
【类比迁移】（2）如图②所示，在等腰
中，
，
，点D，O 分别为边
，
上
一点，且
，延长
交射线
于点E，若
，求
的值；
【拓展应用】（3）在等腰
中，
，
，
，点D，O 分别为射线
，
上一点，且
，延长
交射线
于点E，当
为等腰三角形时，请直接写出
的长（用
a，b 表示）．
淘宝：学思创想
19．（2024·辽宁大连·三模）【课堂背景】大连市某中学的王老师以“几何题目开放探索”为主题，开展
了一节“综合与实践”的数学课．课堂上，王老师给出了这样一个图形，供同学们发挥几何思维．
【设置情景】王老师给出了如下几何图形：
“如图1，已知
中，点D 为
边上一点，点E 为
外一点，连接
．此时我们假设这个
几何图形满足
的数量关系．”
【提出问题】擅长几何的小胖同学经过思索后，为题目增加如下条件，请你帮他作答．
（1）“若
，
，再给出
和
的长度，可以求出
的长度．”为了
简化计算，王老师提出令
，
，
，求
的长（结果无需化简）；
（2）在小胖的启发下，同学们纷纷开始积极地进行讨论．后来，小明与他的小组更改了题目的部分信息，
令点E 在
上运动，将条件“
”改为了“
”，其他条件不
变，想要探究边的关系．王老师根据他们关于题目的修改，提出问题，请你解答．
【拓展探索】“如图2，已知
中，点D 为
边上一点，点E 为
上一点，
，
若
，探究
、
、
的数量关系，并证明．
淘宝：学思创想
20．（2023·宁夏·统考中考真题）综合与实践
问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为
的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴
趣并展开探究．
探究发现：如图1，在
中，
，
．
（1）操作发现：将
折叠，使边
落在边
上，点
的对应点是点
，折痕交
于点
，连接
，
，则
_______ ，设
，
，那么
______（用含
的式子表示）；
（2）进一步探究发现：
，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：
；
拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1 中的
是黄金三角形．如图2，在菱形
中，
，
．求这个菱形较长对角线的长．
