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淘宝：学思创想
专题30 最值模型之瓜豆模型（原理）圆弧轨迹型
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该
压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型
的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原
理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型解读】
模型1、运动轨迹为圆弧
模型1-1. 如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP，Q 为AP 中点．Q 点轨迹是？
如图，连接AO，取AO 中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。
模型1-2. 如图，△APQ 是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=k AQ，当P 在圆O 运动时，Q 点轨迹是？
如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q 是以M 为圆心，MQ 为半径的圆。
模型1-3. 定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折
中）
如图，若P 为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P 三点共圆，
则动点P 是以A 圆心，AB 半径的圆或圆弧。
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模型1-4. 定边对定角（或直角）模型
1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
如图，若P 为动点，AB 为定值，∠APB=90°，则动点P 是以AB 为直径的圆或圆弧。
2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P 为动点，AB 为定值，∠APB 为定值，则动点P 的轨迹为圆弧。
P
P
A
B
O
P
P
P
A
B
P
【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半
径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
例1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，
的一条直角边
在x 轴
上，点A 的坐标为
；
中，
，连接
，点M 是
中
点，连接
．将
以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段
的最小值是
（ ）
A．3
B．
C．
D．2
【答案】A
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【分析】如图所示，延长
到E，使得
，连接
，根据点A 的坐标为
得到
，再
证明
是
的中位线，得到
；解
得到
，进一步求出点C 在以O 为圆心，
半径为4 的圆上运动，则当点M 在线段
上时，
有最小值，即此时
有最小值，据此求出
的最
小值，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长
到E，使得
，连接
，
∵
的一条直角边
在x 轴上，点A 的坐标为
，
∴
，∴
，∴
，
∵点M 为
中点，点A 为
中点，∴
是
的中位线，∴
；
在
中，
，∴
，
∵将
以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转，∴点C 在以O 为圆心，半径为4 的圆上运动，
∴当点M 在线段
上时，
有最小值，即此时
有最小值，
∵
，∴
的最小值为
，∴
的最小值为3，故选A．
另解：取BO 的中点为Q（-3,0），根据中位线可确定
，
故点M 为以Q 为圆心，MQ 为半径的圆上运动，故AM 的最小值为AQ-MQ=3
【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30
度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
例2．（2023·四川广元·统考一模）如图，线段
为
的直径，点
在
的延长线上，
，
，点
是
上一动点，连接
，以
为斜边在
的上方作Rt
，且使
，连接
，则
长的最大值为 ．
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【答案】
/
【分析】作
，使得
，
，则
，
，
，由
，推出
，即
（定长），由点
是定点，
是定长，点
在半径
为1 的
上，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，作
，使得
，
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
，即
（定长），
点
是定点，
是定长，
点
在半径为1 的
上，
，
的最大值为
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常
用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
例3．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，
是正方形
边
的中点，
是正方形内一点，连接
，线段
以
为中心逆时针旋转
得到线段
，连接
．若
，
，则
的最小值
为 ．
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【答案】
【分析】连接
，将
以
中心，逆时针旋转
，
点的对应点为
，由
的运动轨迹是以
为圆
心，为半径的半圆，可得：
的运动轨迹是以
为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任
一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当
、
、
三点共
线时，
的值最小，可求
，从而可求解．
【详解】解，如图，连接
，将
以
中心，逆时针旋转
，
点的对应点为
，
的运动轨迹是以
为圆心，为半径的半圆，
的运动轨迹是以
为圆心，为半径的半圆，
如图，当
、
、
三点共线时，
的值最小，
四边形
是正方形，
，
，
是
的中点，
，
，
由旋转得：
，
，
，
的值最小为
．故答案：
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性
质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键．
例4．（2023·湖南·统考中考真题）如图，在矩形
中，
，动点
在矩形的边上沿
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运动．当点
不与点
重合时，将
沿
对折，得到
，连接
，则在点
的运动过程中，线段
的最小值为 ．
【答案】
/
【分析】根据折叠的性质得出
在
为圆心，
为半径的弧上运动，进而分类讨论当点
在
上时，当
点
在
上时，当
在
上时，即可求解．
【详解】解：∵在矩形
中，
，
∴
，
，
如图所示，当点
在
上时，∵
∴
在
为圆心，
为半径的弧上运动，
当
三点共线时，
最短，此时
，
当点
在
上时，如图所示，此时
当
在
上时，如图所示，此时
综上所述，
的最小值为
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的
关键．
例5．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形
中，
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，点E 在线段
上运动，点F 在线段
上，
，则线段
的最小值为 ．
【答案】
/
【分析】设
的中点为O，以
为直径画圆，连接
，设
与
的交点为点
，证明
，可知点F 在以
为直径的半圆上运动，当点F 运动到
与
的交点
时，线段
有最小值，据此
求解即可．
【详解】解：设
的中点为O，以
为直径画圆，连接
，设
与
的交点为点
，
∵
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴点F 在以
为直径的半圆上运动，
∴当点F 运动到
与
的交点
时，线段
有最小值，
∵
，∴
，，∴
，
的最小值为
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F 的运动
轨迹是解题的关键．
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例6．（2023·浙江金华·九年级校考期中）如图，点A，C，N 的坐标分别为
，以点C 为圆
心、2 为半径画
，点P 在
上运动，连接
，交
于点Q，点M 为线段
的中点，连接
，
则线段
的最小值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了垂径定理，
的圆周角所对的弦为直径，勾股定理．熟练掌握弦中点，连接圆心与
中点，明确点
的运动轨迹是解题的关键．
如图，连接
，由垂径定理可得，
，则
在以
为直径的
上运动，如图，连接
交
于
，当
三点共线时，线段
的值最小，由勾股定理得，
，根据线段
的最小
值为
，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接
，
∵点M 为线段
的中点，∴由垂径定理可得，
，
∴
在以
为直径的
上运动，如图，连接
交
于
，
∴当
三点共线时，线段
的值最小，∴
的半径为
，
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由勾股定理得，
，
∴线段
的最小值为
，故答案为：3．
例7．（2023 上·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知矩形
为矩形
内一
点，且
，若点
绕点
逆时针旋转
到点
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】在矩形
外，以边
为斜边作等腰直角三角形
，
，再以点O 为圆心，
为半径作
，点P 为矩形
内一点，且
，所以点P 在
的劣弧
上运动，根据
点
绕点
逆时针旋转
到点
，所以
，
，则
，所以当
最小时，
最小，然后连接
，交
于P，此时，
最小，则
也最小，最后过点O 作
于
E，
交
延长线于F，利用勾股定理求出
，
的长，从而求得
，即可求解．
【详解】解：在矩形
外，以边
为斜边作等腰直角三角形
，
，再以点O 为圆
心，
为半径作
，如图，
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∵点P 为矩形
内一点，且
，∴点P 在
的劣弧
上运动，
∵点
绕点
逆时针旋转
到点
，∴
，
，
∴
∴当
最小时，
，连接
，交
于P，此时，
最小，则
也最小，
在
中，∵
，
，∴
，∴
，
过点O 作
于E，
交
延长线于F，∴
，
∵
，
，∴
∵矩形
∴
∴
∴四边形
正方形，
∴
，∴
，
在
中，由勾股定理，得
，
∴
∴
，故答案为：
．
【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，圆满的性质，勾股定理，作出辅助圆，得出
取最小值的点P 位置是解题的关键．
例8．（2023 下·陕西西安·九年级校考阶段练习）问题提出：
（1）如图①，在
中，
，
，
，则
的长为__________；
问题探究：（2）如图②，已知矩形
，
，
，点P 是矩形
内一点，且满足
，连接
，求线段
的最小值；
问题解决：（3）如图③所示，我市城市绿化工程计划打造一片四边形绿地
，其中
，
，
，点E 为
边上一点，且
，
，为了美化环境，要求四边
形
的面积尽可能大，求绿化区域
面积的最大值．
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【答案】（1）4；（2）
；（3）
【分析】（1）作
于点H，利用等腰三角形的性质可得
，
，然后利用锐角三角
函数的知识可求得
的长；（2）由题意可知，点P 在以
为直径，以
的中点O 为圆心的圆上运
动，当O，P，C 共线时，线段
的值最小，利用勾股定理求出
的长即可求解；（3）延长
、
，相交于点F．由
，求出
，作
交
于点G，作
于点N，交
于点M，可得
，设
，求出
，所以当
的面积最大
时，绿化区域
的面积最大，求出
的面积即可求解．
【详解】（1）如图1，作
于点H．
∵
，
，
，∴
，
．
∵
，∴
．故答案为：4；
（2）如图2，∵
，∴点P 在以
为直径，以
的中点O 为圆心的圆上运动，当O，P，C 共
线时，线段
的值最小．∵
，∴
，∴
，
∴段
的值最小值
；
（3）如图3，延长
、
，相交于点F．
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∵
，∴
，∴
，
∵
，
，∴
，∴
．
作
交
于点G，作
于点N，交
于点M，
∵
，∴
，∵
，∴
，设
，
则
，
，∴
，
∴当
的面积最大时，绿化区域
的面积最大．
当E 在
的中点时，
的面积最大．
连接
，
交
于点H，则
．
∵
，∴
，∴
．
∵
，∴
，
∴
，∴
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性
质，勾股定理等知识，难度较大，属中考压轴题．
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课后专项训练
1．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，在
中，
，
，以
为边作等腰直角
，
连
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】如图所示，以
为斜边，在
右侧作等腰直角
，过点O 作
交
延长线于E，
连接
，则
，
，先证明点B 在以O 为圆心，
为半径的圆周
上运动（
右侧），故当点O 在线段
上时，
最大，再求出
的长，进而利用勾股定理求出
的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，以
为斜边，在
右侧作等腰直角
，过点O 作
交
延长线于
E，连接
，∴
，
，
∵
，∴点B 在以O 为圆心，
为半径的圆周上运动（
右侧），
∴当点O 在线段
上时，
最大，∵
是以
为边的等腰直角三角形，
∴
，
，∴
，∴
是等腰直角三角形，
∴
，∴
，在
中，由勾股定理得
，
∴
的最大值
，故选D．
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【点睛】不能退主要考查了圆外一点到圆上一点距离的最大值问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质与
判定，正确作出辅助线确定点B 的轨迹是解题的关键．
2．（2023 春·广东·九年级专题练习）已知：如图，在
中，
，
，
面积的最
大值是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】作
的外接圆
，连接
，当
的
边上的高经过点O 时，
面积的最大，
此时
是等边三角形，进而即可求解．
【详解】解：作
的外接圆
，连接
，当
的
边上的高经过点O 时，
面积的
最大，如图，过点O 作
，并延长
交
于点
，连接
，
∵
，∴
，∵
，∴
是等边三角形，
∴
，∴
，∴
，故选A．
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【点睛】本题主要考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，找出
面积的最大时点A
的位置时关键.
3．（2022 秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，A 是
上任意一点，点C 在
外，已知
是等边三角形，则
的面积的最大值为（ ）
A．
B．4
C．
D．6
【答案】A
【分析】以
为边向上作等边三角形
，连接
，证明
得到
，分析
出点D 的运动轨迹是以点M 为圆心，
长为半径的圆，在求出点D 到线段
的最大距离，即可求出面
积的最大值．
【详解】解：如图，以
为边向上作等边三角形
，连接
，
∵
，∴
，即
，
在
和
中，
，∴
，∴
，
∴点D 的运动轨迹是以点M 为圆心，
长为半径的圆，要使
的面积最大，则求出点D 到线段
的最大距离，∵
是边长为4 的等边三角形，∴点M 到
的距离为
，
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∴点D 到
的最大距离为
，∴
的面积最大值是
，故选A．
【点睛】本题考查了动点轨迹是圆的问题，解决本题的关键是利用构造全等三角形找到动点D 的轨迹圆，
再求出圆上一点到定线段距离的最大值．
4．（2023·山东济南·一模）正方形ABCD 中，AB=4，点E、F 分别是CD、BC 边上的动点，且始终满足
DE=CF，DF、AE 相交于点G.以AG 为斜边在AG 下方作等腰直角△AHG 使得∠AHG=90°，连接BH．则
BH 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先证明
，从而
，再根据
，可求
，可知点
H 的运动轨迹为以点M 为圆心，MH 为半径的圆，从而可求BH 最小值．
【详解】解：如图，取AD 中点O，连接OG，以AO 为斜边作等腰直角三角形AOM，
则
，在
和
中，
，∴
（SAS），∴
，
∵
，∴
，∴
，
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是直角三角形，∴
，∵
为等腰直角三角形，
∴
，∴
，
又∵
， ∴
，∴
，∴
，
∴点H 的运动轨迹为以点M 为圆心，MH 为半径的圆，
如图，连接BM，交圆M 于
，过点M 作
于点P，
∵
，
，
∴
，∴
为等腰直角三角形，
∵
，∴AP=MP=
=1，∴BP=4-1=3，
在
中，
，∴
．
BH
∴
的最小值为
．故选：C．
【点睛】本题考查最短路径问题，解题的关键是准确构造辅助线，利用三角形相似以及点和圆的知识解决．
5．（2023 上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在矩形
中，已知
，
，点
是
边
上一动点点
不与点
，
重合，连接
，作点
关于直线
的对称点
，连接
，则
的最小
值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查圆外一点到圆上一点的最值，轴对称的性质，矩形的性质．连接
，得到
，进而得到点
在以点
为圆心，为半径的圆上，当
，
，
三点共线时，线段
的
长度最小，求出此时
的长度即可．解题的关键是确定点
的运动轨迹．
【详解】解：连接
，
点
和
关于
对称，
，
在以
圆心，为半径的圆上，
当
，
，
三点共线时，
最短，
，
，
，故答案为：
．
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6．（2023 春·广东深圳·九年级专题练习）如图，点G 是
内的一点，且
，
是等
边三角形，若
，则
的最大值为 ．
【答案】
【分析】如图，作
的外接圆
，连接
，
，
，过点
作
于点
．说明
，
，
，
四点共圆，求出
，利用三角形三边关系可得结论．
【详解】解：如图，作
的外接圆
，连接
，
，
，过点
作
于点
．
∵
是等边三角形，∴
，
，
∵
，∴点
在
的外接圆上，∴
，
∵
，∴
，∵
，
∴
，∴
，
淘宝：学思创想
∵
，∴
的最大值为
．故答案为：
．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，圆的有关知识等知识，解题的关键是学会添加常用
辅助线，构造辅助圆解决问题，属于中考常考题型．
7．（2023·江苏泰州·九年级专题练习）如图，在矩形
中，
，
，P 为
的中点，连
接
．在矩形
外部找一点E，使得
，则线段
的最大值为 ．
【答案】
/
【分析】以
的中点O 为圆心，
为半径画圆，可得所画圆是
的外接圆，弦
右侧圆弧上任
意一点E 与
构成的
，使得四边形
是圆内接四边形，，可得
，连接
并延长与圆的交点即为
的最长距离，作
于点H，
是
的中位线，，根据勾股定
理求出
和
的值，进而可得
的最大值．
【详解】解：如图，以
的中点O 为圆心，
为半径画圆，
在矩形
中，
，
，，
∵
，∴所画圆是
的外接圆，
弦
右侧圆弧上任意一点E 与
构成的
，使得四边形
是圆内接四边形，
∴
，连接
并延长与圆的交点即为
的最长距离，
作
于点H，∴H 是
的中点，
是
的中位线，
为
的中点，
，
，
，
，
，
，
．故答案为：
淘宝：学思创想
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，圆周角定理，最短路线问题，解决本题
的关键是综合利用以上知识找到点E．
8．（2023·陕西渭南·三模）如图，在矩形ABCD 中，
，
，点E 在BC 上，且
，点M
为矩形内一动点，使得
，连接AM，则线段AM 的最小值为______．
【答案】
##
【分析】作
的外接圆
，得到点M 的轨迹是矩形内以O 为圆心，OE 为半径的
，连接OA、
OE、OC，OA 交
于
，分析得到当M 与
重合时，AM 取得最小值．分别过点O 作
于点
H，过点O 作
于点G，根据圆的性质和矩形的性质即可求解．
【详解】∵
，
∴
，
如图，作
的外接圆
，点M 的轨迹是矩形内以O 为圆心，OE 为半径的
，连接OA、OE、
OC，OA 交
于
，
当M 与
重合时，AM 取得最小值．过点O 作
于点H，
∵
∴
，∴
，
，
过点O 作
于点G，∴
，
，AG=6-2=4，
∴
，则
．故答案为：
．
【点睛】本题考查动点问题．涉及圆的性质、矩形的性质和勾股定理．解题的关键是找到点M 的轨迹．
9．（2023 江苏扬州·三模）如图，在等边△ABC 和等边△CDE 中，AB＝6，CD＝4，以AB、AD 为邻边作
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平行四边形ABFD，连接AF．若将△CDE 绕点C 旋转一周，则线段AF 的最小值是______．
【答案】
【分析】过点F 作GF∥CD，过点C 作GC∥DF，二线交于点G，根据平行四边形的性质，得到点F 在以G
为圆心，以CD 长为半径的圆上，利用圆的性质，确定最小值即可．
【详解】如图，过点F 作GF∥CD，过点C 作GC∥DF，二线交于点G，
∴ 四边形DFGC 是平行四边形，∴GF=CD=4,
∴点F 在以G 为圆心，以CD 长为半径的圆上，∴当A、F、G 三点共线时，AF 最小，
∵四边形DFGC 是平行四边形，四边形ABFD 是平行四边形，
∴AB∥DF∥CG，AB=DF=CG，∴四边形ABGC 是平行四边形，
∵AB=AC，∴四边形ABGC 是菱形，∴AG，BC 互相垂直平分，设交点为H，
∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴AH=ABsin60°=
，
∴AG=2AH=
，∴AF=AG-FG=
故答案为：
．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，圆的最值性，特
殊角的三角函数值，熟练菱形的判定和性质，圆的性质是解题的关键．
10．（2023 秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，
为等腰直角三角形，
，
淘宝：学思创想
，点
为
所在平面内一点，
，以
、
为边作平行四边形
，
则
的最小值为 ．
【答案】
/
【分析】延长
交
于点
，根据平行四边形的性质可得
，可得
，可以
证明
，可得
，点
的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点
所在圆的圆心为
，
连接
，
，
，
与
交于点
，根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得，
即为
的最小值，利用勾股定理可得
的值，进而可得
的最小值．
【详解】如图，延长
交
于点
，连接
，
∵四边形
是平行四边形，∴
，
，
，
∵
，
，
，
∴
，
，
，
，
∴
，
，
，
在
和
中，
，∴
，
∴
，∴
，∴
，
∴点
的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点
所在圆的圆心为
，连接
，
，
，
与
交
淘宝：学思创想
于点
，则根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得：
即为
的最小值，如图，
∴
，∵
，
，
∴
，
，∴
，
在
中，有勾股定理得：
，
∴
，即
的最小值为：
，故答案为：
．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、最短
路径问题、等腰直角三角形的性质，解题的关键是综合运用以上知识．
11．（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，点
是正方形
的内部一个动点（含边界），且
，点
在
上，
，则以下结论：①
的最小值为；②
的最小值为
；③
；④
的最小值为
；正确的是 ．
【答案】①②④
【分析】由题意可得点
在以
为圆心，为半径的圆上运动，点
在以
为圆心，
为半径的圆上运动，
则当点
在
上时，
有最小值为，当点
在
上时，
有最小值为
，故①②正确；由“
”可证
≌
，可得
，则当
，
，
三点共线时，
取得最小值，最小
淘宝：学思创想
值为
的长，由勾股定理可求
的长，可判断④正确；即可求解．
【详解】解：在
上截取
，连接
，
，
，如图所示：
四边形
是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
点
在以
为圆心，为半径的圆上运动，点
在以
为圆心，
为半径的圆上运动，
当点
在
上时，
有最小值为，当点
在
上时，
有最小值为
，故①②正确；
在
和
中，
，
≌
，
，
当
，
，
三点共线时，
取得最小值，最小值为
的长，
，
故DE
的最小值为
，故④正确；
当点
在
上时，
有最小值为，此时
，
与
不一定相等，故③不一定正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，点与圆上点
距离最值问题等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
12．（2021·广东·中考真题）在
中，
．点D 为平面上一个动点，
，则线段
长度的最小值为_____．
【答案】
【分析】由已知
，
，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角
的一半可知，点
在以
为圆心
为半径的圆上，线段
长度的最小值为
．
【详解】如图： 以
为半径作圆，过圆心
作
，
淘宝：学思创想
以
为圆心
为半径作圆，则点
在圆
上，
,
线段
长度的最小值为:
．故答案为：
．
【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图
形是解题的关键．
13．（2023·广东·深圳市二模）如图，在矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝4，E 为边BC 上一动点，F 为AE 中
点，G 为DE 上一点，BF＝FG，则CG 的最小值为______．
【答案】
【分析】如图1，连接AG，先证明AF=FG=EF，则∠AGE=∠AGD=90°；再根据圆周角定理可可得点G 在
以AD 为直径的圆上运动，取AD 的中点O，当O、G、C 三点共线时，CG 的值最小；连接OG，由圆的性
质可得OD=OG=2,再用勾股定理求得OC 的长，即可求得CG 的长．
【详解】解：如图1，连接AG，
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∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，DC=AB=3，
∵F 是AE 的中点，∴BF=
AE=AF=EF，∵BF=FG，∴AF=FG=EF，∴∠AGE=∠AGD=90°，
∴点G 在以AD 为直径的圆上运动，取AD 的中点O，
如图2：当O，G，C 三点共线时，CG 的值最小，连接OG，
∴OD=OG=2，∴OC=
，∴CG 的最小值为
，故答案为：
．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、矩形的性质、圆周角定理、线段的性质等知识点，正确添加常用辅助
线、构造动点G 的轨迹成为解答本题的关键．
14．（2023 秋·广东汕头·九年级校考期中）如下图，在正方形
中，
，点
是以
为直径的
圆上的点，连接
，将线段
绕点
逆时针旋转
，得到线段
，连接
，则线段
的最大值与
最小值的和 ．
【答案】
【分析】连接
、
，将
绕点
逆时针旋转
，得到线段
，连接
，根据旋转的性质得
出
，进而可得点
在以
为圆心，为半径的圆上运动，则线段
的最大值与最小值的和
为
，进而勾股定理求得
的长，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接
、
，将
绕点
逆时针旋转
，得到线段
，连接
，
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∵线段
绕点
逆时针旋转
，
绕点
逆时针旋转
，
∴
，
，∴
，
∴
， ∴
∴
则点
在以
为圆心，为半径的圆上运动，
∴线段
的最大值与最小值的和为
在
中，
∴
，
如图所示，过点
作
交
的延长线于点
，过点
作
于点
，
则四边形
是矩形，∴
，
在
与
中，
，∴
∴
，
，在
中，
，
∴线段
的最大值与最小值的和为
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，求一点到圆上的距离的最值，熟练掌握旋转
的性质是解题的关键．
15．（2023·陕西渭南·统考一模）如图，在矩形
中，
，Q 是矩形
左侧一点，
连接
、
，且
，连接
，E 为
的中点，连接
，则
的最大值为 ．
【答案】3
【分析】延长
至F，使
，连接
，点O 为
的中点，以点O 为圆心，
为直径作圆，连
淘宝：学思创想
接
，
延长线交
于点
，交
于点G，连接
；由
且点Q 在矩形的左侧知，点
Q 是在
上运动，由题意及辅助线作法知，
为
的中位线，则
，当F、O、Q 三
点共线时，
最长，最大值为
的长度；利用相似三角形的性质可求得
的长，从而求得
，最后求出
的长，从而可求得
的最大值．
【详解】如图，延长
至F，使
，连接
，点O 为
的中点，以点O 为圆心，
为直径作
圆，连接
，
延长线交
于点
，交
于点G，连接
，
∵
，∴点Q 是在以点O 为圆心，
为直径的圆上运动，
∵Q 是矩形
左侧一点，∴点Q 是在
上运动，
∵
，∴点C 为
的中点，
∵点E 为
的中点，∴
为
的中位线，∴
，
∵
，∴当F、O、Q 三点共线时，
最长，此时
的最大值为
的长度，
∵
，∴
，∵四边形
为矩形，
，
，
∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
∴
，设
，则
，∴
，解得：
，∴
，
，
在
中，由勾股定理得
，
淘宝：学思创想
∴
，∴
，∴
．故答案为：3．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆的基本知
识，确定出点Q 的运动路径、求
的最大值转化为求
的最大值是解题的关键与难点．
16．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）等腰直角
中，
，
，点
是平面内一点，
，连接
，将
绕
点逆时针旋转
得到
，连接
，当
填度数度时，
可以取最大值，最大值等于 ．
【答案】
【分析】连接
、
．先证明
，则
，
，点
在以点
为圆心，
长为半径的圆周上运动，当
、
、
在同一直线上上
最长，据此解答即可．
【详解】解：如图一，连接
、
．
是等腰直角三角形，
，
，
将
绕
点逆时针旋转
得到
，
，
，
，
，
，
．
，
如图二，
淘宝：学思创想
点
在以点
为圆心，
长为半径的圆周上运动，
当
、
、
在同一直线上
最长，
，故答案为：
；
【点睛】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，点到圆上距离的
最值问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
17．（2023·河北廊坊·统考二模）已知如图，
是腰长为4 的等腰直角三角形，
，以A 为
圆心，2 为半径作半圆A，交
所在直线于点M，N．点E 是半圆A 上仟意一点．连接
，把
绕点B
顺时针旋转90°到
的位置，连接
，
．
(1)求证：
；(2)当
与半圆A 相切时，求弧
的长；(3)直接写出
面积的最大值．
【答案】(1)见解析(2)
(3)4
【分析】（1）根据旋转性质，结合已知，证明
，得到
，证
明即可．（2）根据切线的性质，三角函数，求得
，代入弧长公式计算即可．
（3）根据题意，得点D 在以点C 为圆心，以2 为半径的半圆上运动，当
时，
的高取得最大值，
此时
也取得最大值．
【详解】（1）∵
是等腰直角三角形，
，∴
．
淘宝：学思创想
由旋转可得
，∴
，∴
，
∵
，∴
．
（2）∵
与半圆A 相切，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
．
（3）根据题意，得点D 在以点C 为圆心，以2 为半径的半圆上运动，
过点D 作
于点Q，∴
，
当
时，
的高
取得最大值，此时
也取得最大值．∴
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数，弧长公式，圆的最值，熟练掌握特殊
角的三角函数，弧长公式，圆的最值是解题的关键．
18．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系
中，已知点
对于点
给出如下定义：将点
向右
或向左
平移
个单位长度，再向上
或向下
平移
个单位长度，得到点
，
点
关于点
的对称点为
，称点
为点
的“对应点”．
(1)如图，点
点
在线段
的延长线上，若点
点
为点
的“对应点”．
淘宝：学思创想
①在图中画出点
；②连接
交线段
于点
求证：
(2)
的半径为1，
是
上一点，点
在线段
上，且
，若
为
外一点，点
为点
的“对应点”，连接
当点
在
上运动时直接写出
长的最大值与最小值的差（用含的式
子表示）
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）①先根据定义和
求出点
的坐标，再根据点
关于点
的对称点为
求出点Q 的坐
标；②延长ON 至点
，连接AQ，利用AAS 证明
，得到
，再计算出
OA，OM，ON，即可求出
；（2）连接PO 并延长至S，使
，延长SQ
至T，使
，结合对称的性质得出NM 为
的中位线，推出
，得出
，则
．
(1)解：①点Q 如下图所示．
∵点
，∴点
向右平移1 个单位长度，再向上平移1 个单位长度，得到点
，∴
，
∵点
关于点
的对称点为
，
，∴点
的横坐标为：
，纵坐标为：
，
∴点
，在坐标系内找出该点即可；
淘宝：学思创想
②证明：如图延长ON 至点
，连接AQ，
∵
，∴
，在
与
中，
，∴
，∴
，
∵
，
，
，∴
，
，
，
∴
，∴
，∴
；
(2)解：如图所示，连接PO 并延长至S，使
，延长SQ 至T，使
，
∵
，点
向右
或向左
平移
个单位长度，再向上
或向下
平移
个单位长
度，得到点
，∴
，
∵点
关于点
的对称点为
，∴
，又∵
，∴OM∥ST，
∴NM 为
的中位线，∴
，
，
∵
，∴
，∴
，
在
中，
，结合题意，
，
，
∴
，即
长的最大值与最小值的差为
．
【点睛】本题考查点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值
问题，第2 问难度较大，根据题意，画出点Q 和点
的轨迹是解题的关键．
19．（2023 下·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，
为等边三角形，点P 是线段
上一动点（点
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P 不与A，C 重合），连接
，过点A 作直线
的垂线段，垂足为点D，将线段
绕点A 逆时针旋转
得到线段
，连接
，
．(1)求证：
；(2)连接
，延长
交
于点F，若
的
边长为2；
①求
的最小值；②求
的最大值．
【答案】(1)见解析(2)①
，②2
【分析】（1）根据旋转的性质可得
，
，根据等边三角形的性质可得
，
，进而得出
，即可求证
，即可求证；（2）①根据题意可
得
，则点D 在以
为直径的圆上运动，连接
，与
相交于点D，此时
最小，求解即
可；
②过点C 作
，交
的延长线于点G，通过证明
得出点F 是
中点，再根
据
，得出点A，点F，点C，点E 四点在以
为直径的圆上，即可求解，当
为直
径时，取得最大值，即可求解．
【详解】（1）证明：∵线段
绕点A 逆时针旋转
得到线段
，∴
，
，
∵
为等边三角形，∴
，
，
∴
，即
，
在
和
中，
，∴
，∴
．
（2）解：①∵
，∴
，∴点D 在以
为直径的圆上运动，
连接
，与
相交于点D，此时
最小，
∵
为等边三角形，
为
直径，∴
，
根据勾股定理可得：
，∴
．
淘宝：学思创想
②如图，过点C 作
，交
的延长线于点G，
∵
，
，∴
，
∵
，∴
，由（1）可得
，
∴
，
∴
，
∴
，∴
，∴
，且
，
∴
，∴
，即点F 是
中点，
连接
∵
是等边三角形，∴
，∴
，
∴
，∴点A，点F，点C，点E 四点在以
为直径的圆上
∴
最大为直径，即最大值为2．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，直
径所对的圆周角为直角，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
20．（2023·江苏常州·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
的图像与x 轴交
于点A 和点
，与y 轴交于点C．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P 是抛物线上一点，满足
，求点P 的坐标；(3)若点Q 在第四象限内，且
，点M 在y 轴正半轴，
，线段
是否存在最大值，如果存在，直接写出最大值；如果不存在，请说明理由．
淘宝：学思创想
【答案】(1)
；(2)
或
；(3)存在，18．
【分析】(1)将点
代入解析式计算即可．(2)分点P 在x 轴的上方和下方两种情况计算即可．(3) 作线
段
的垂直平分线
交x 轴于点R，过点C 作
轴，交
于点G，从而得到点Q 在以
垂直平
分线上G 点为圆心，且半径为5 的圆上的第四象限部分的弧上运动，当M，G，Q 三点一线时，
取得
最大值．
【详解】（1）解：将点
代入
，
∴
，∴
，∴
．
（2）令
，则
，∴
，令
，则
，∴
或
，∴
，
∵
，∴
，
如图1，当P 点在x 轴上方时，设
与x 轴的交点为点G，∵
，
，
，
∴
，
，∴
，∴
，∴
，
∵
，∴
，在
中，
，
∴
，∴
，∴
，设直线
的解析式为
，
，∴
，∴
，联立方程组
，
淘宝：学思创想
∴
（舍）或
，∴
；
如图2，当P 点在x 轴下方时，∵
，
，∴
，
，
∴
，解得
（舍去），∴
；
综上所述：P 点坐标为
或
．
（3）线段
存在最大值，且为18．理由如下：
作线段
的垂直平分线
交x 轴于点R，过点C 作
轴，交
于点G，
则四边形
是矩形，∴
，
∵
， ∴
，连接
，则
，
以G 点为圆心，半径为5 的作
，点
，
当点Q 位于
上时，作直径
，连接
，
，
，则
，
∵
，
，∴
，∴
，
淘宝：学思创想
∴点G 位于
的第四象限部分的弧上运动，故当M，G，Q 三点一线时，
取得最大值．
∵
，∴
，∴
，
，
∴
，
，∴
．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式确定，正切函数，余弦函数，勾股定理，圆的性质，熟练掌握待定
系数法，三角函数，圆的性质是解题的关键．
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