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专题25 最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型
将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的
思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型
和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照
长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接
连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥
（造桥）再也不是问题！
模型1.将军遛马模型
【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
【模型解读】已知A、B 是两个定点，P、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直
线m 上要求P、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。(原理用平移知识解)
（1）点A、B 在直线m 两侧： （2）点A、B 在直线m 同侧：
m
A
B
C
Q
P
m
A
B
Q
P
m
A
B
B'
E
Q
P
图1 图2
（1）如图1，过A 点作AC∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，
此时P、Q 即为所求的点。
（2）如图2，过A 点作AE∥m,且AE 长等于PQ 长，作B 关于m 的对称点B’,连接B’E,交直线m 于Q,Q 向左
平移PQ 长，即为P 点，此时P、Q 即为所求的点。
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·黑龙江·九年级校考期中）问题背景（1）如图（1），在公路的一侧有
，
两个工厂，
，
到公路的垂直距离分别为
和
，
，
之间的水平距离为
．现需把
厂的产品先运送到公路
上然后再转送到
厂，则最短路线的长是_____
．
问题探究（2）如图（2），
和
是腰长为2 的两个全等的等腰直角三角形，
，点
，
重合，点
，
重合，将
沿直线
平移，得到
，连接
，
．试探究在平移过程中，
是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请
m
A
B
Q
P
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说明理由．
问题解决（3）如图（3），A，B 分别是河岸m 一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是
和
，
，
的水平距离是
．游客在景点
游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游
轮沿河航行
到达码头乙，再乘坐大巴到达景点
．请问码头甲，乙建在何处才能使从
到
的旅游路
线最短，并求出最短路线的长．
【答案】（1）
（2）存在，最小值为
（3）最短路线长为
【分析】（1）根据最短路径的作法，找出最短路径
，再利用矩形的性质，求出
和
的距离，最
后利用勾股定理即可求出最短路径；
（2）根据平移的性质可知四边形
和
均为平行四边形，再利用最短路径作法得出
即为最短
距离，最后根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出答案；
（3）根据题意画图可知四边形
为平行四边形，最后根据勾股定理即可求出答案．
【详解】解：（1） 如图 （1）， 点
是公路上的一点， 假设先把产品运送到点
处， 再转送到
厂， 作点
关于 的 对称点
， 连接
，
， 连接
交于点
，
则
，
，
当点
与点
重合时，
取得最小值， 为
的长．
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连接
， 交于点
， 过点
作
于点
， 过点
作
， 垂足为点
，
则
，
四边形
是矩形，
，
，
又
，
，
即最短路线的长是
．故答案为：
．
（2） 存在．理由如下，如图 （2）， 过点
作直线
， 作点
关于直线
的对称点
， 连接
，
，
交直线
于点
， 过点
作
交直线
于点
， 连接
，
，
， 则
．
由平移知
，
．又
，
四边形
是平行四边形，
，
由平移知
，
又
，
四边形
是平行四边形，
当点
与点
重合时，
最小， 最小值为
的长．
过点
作
交
的延长线于点
， 则
为等腰直角三角形．
，
，
，
的最小值为
．故答案为：存在，最小值为
．
（3） 如图 （3），设码头乙为点
， 码头甲为点
， 连接
，
，
过点
作
， 且
， 作点
关于
的对称点
， 连接
交
于点
．
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连接
， 则
．
是平行四边形，
，
点
，N 重合时，旅游路线最短．
过点
作直线
， 过点
作
于点
，
则
，
，
，
，
．故答案为：最短路线长为
．
【点睛】本题考查了轴对称在最短路径问题中的应用，涉及到的知识点有矩形的性质、平行四边形的性质、
等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键在于如何利用轴对称找到最短路径．
例2．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，矩形ABCD 中，AB＝6，AD＝4，点E、F 分别是AB、DC 上
的动点，EF BC
∥
，则AF+CE 的最小值是 _____．
【答案】10
【分析】延长BC 到G，使CG＝EF，连接FG，证明四边形EFGC 是平行四边形，得出CE＝FG，得出当
点A、F、G 三点共线时，AF+CE 的值最小，根据勾股定理求出AG 即可．
【详解】解：延长BC 到G，使CG＝EF，连接FG，
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∵
，EF＝CG，∴四边形EFGC 是平行四边形，
∴CE＝FG，∴AF+CE＝AF+FG，∴当点A、F、G 三点共线时，AF+CE 的值最小为AG，
由勾股定理得，AG＝
＝
＝10，∴AF+CE 的最小值为10，故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，平行四边形的判定和性质，根据题意作出辅助线，得出当A、F、G 三
点共线时，AF+CE 的值最小，是解题的关键．
例3．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形
中，
，
是
的中点，线段
在
边
上左右滑动；若
，则
的最小值为____________．
【答案】
【分析】如图，作G 关于AB 的对称点G'，在CD 上截取CH=1，然后连接HG'交AB 于E，在EB 上截取
EF=1，此时GE+CF 的值最小，可得四边形EFCH 是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定
理求出HG'的长，即可求解．
【详解】解：如图，作G 关于AB 的对称点G'，在CD 上截取CH=1，然后连接HG'交AB 于E，在EB 上截取
EF=1，此时GE+CF 的值最小，
∴G'E=GE，AG=AG'，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，
∵CH=EF=1， ∴四边形EFCH 是平行四边形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，
∵AB=4，BC=AD=2，G 为边AD 的中点，∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，
∴
，即
的最小值为
．故答案为：
【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF 最小时
E，F 位置是解题关键．
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例4．（2023 上·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，正方形
内接于⊙O，线段
在对角线
上运动，若⊙O 的周长为
，
，则
周长的最小值是 ．
【答案】
/
【分析】过点
作
，令
；可推出四边形
为平行四边形，有
；根据
可知当
时，
周长有最小值.
【详解】解：过点
作
，令
∵⊙O 的周长为
，∴⊙O 的半径为∴
∵
且
∴四边形
为平行四边形
∴
由正方形的对称性可得：
∴
∴
故：当
时，
周长有最小值
此时：
∴
周长的最小值是
故答案为：
【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定与性质等．推出当
时，
周长有最
小值是解题关键．
例5．（2023 秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为
的正方形
中将
沿射线
平
移，得到
，连接
、
．求
的最小值为______．
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【答案】
【分析】将△ABC 沿射线CA 平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，证出四边形ABGE 和四边形EGCD 均
为平行四边形，根据平行四边形的性质和平移图形的性质，可得C′E=CE，CG=DE，可得EC+GC=C′E+ED，当
点C′、E、D 在同一直线时，C′E+ED 最小，由勾股定理求出C′D 的值即为EC+GC 的最小值．
【详解】如图，将△ABC 沿射线CA 平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，
AB GE DC
∵
∥
∥
且AB=GE=DC，∴四边形ABGE 和四边形EGCD 均为平行四边形，
AE BG
∴
∥
，CG=DE，∴AE CC′
⊥
，由作图易得，点C 与点C′关于AE 对称，C′E=CE，
又∵CG=DE，∴EC+GC=C′E+ED，当点C′、E、D 在同一直线时，C′E+ED 最小，
此时，在Rt
C′D′E
△
中，C′B′=4，B′D=4+4=8， C′D=
，
即EC+GC 的最小值为
，故答案为：
．
【点睛】本题考查正方形的性质、图形的对称性、线段最短和平行四边形的性质与判定，解题的关键是将
两条线段的和转化为同一条线段求解．
例6．（2023·贵州黔东南·统考一模）如图，在菱形
中，对角线
，
的长分别为，
，将
沿射线
的方向平移得到
，分别连接
，
，
，则
的最小值为______．
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【答案】
【分析】连接
与
交于点
，延长
到
，使得
，连接
，证明
，
，
得
，当点
、
、
三点共线时，
的值最小，由勾
股定理求得
便可．
【详解】解：如图所示，连接
与
交于点
，延长
到
，使得
，连接
，
四边形
是菱形，
，
，由平移性质知，
，
，
，
，
，
当点
、
、
三点共线时，
的值最小，
的最小值为：
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平移的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
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模型2.将军过桥（造桥）模型
【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
【模型解读】
【单桥模型】已知，如图1 将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：
桥建在何处能使路程最短？
考虑MN 长度恒定，只要求AM+NB 最小值即可．问题在于AM、NB 彼此分离，所以首先通过平移，使AM
与NB 连在一起，将AM 向下平移使得M、N 重合，此时A 点落在A’位置（图2 ）．
问题化为求A’N+NB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．
河
B 军营
A
将军
N
M
A'
河
B 军营
A
将军
N
M
A'
河
B 军营
A
将军
N
M
图1 图2 图3
【双桥模型】已知，如图4，将军在图中点A 处，现要过两条河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建
造，问：桥建在何处能使路程最短？
图4 图5 图6
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考虑PQ、MN 均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB 最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移
使其连接到一起．AP 平移至A'Q，NB 平移至MB'，化AP+QM+NB 为A'Q+QM+MB'．（如图5）
当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N 位置．（如图6）
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023.浙江八年级期中）同学们已经学过一些平行线的性质，其实平行线的性质还有一些：
（1）如图1，如果
，在a 上任取一点P，作PQ b
⊥于点Q，则线段PQ 的长度叫a，b 之间的距离.
如果在a 上再取一点M，作MN b
⊥于点N，则线段MN 可以看成由线段PQ 平移得到，即MN=PQ，这就得
到平行线的又一条性质：平行线间的距离处处相等．根据平移还有哪些线段相等 .
（2）刚在（1）中提到的平行线性质在河上建桥也有广泛的应用：如图2，直线a，b 表示一条河的两岸，
且
. 现在要在这条河上建一座桥．使村庄A 经桥过河到村庄B．现在由小明、小红两位同学设计：
小明：作AD a
⊥，交a 于点D，交b 于点C． 在CD 处建桥. 路径是A-C-D-B．
小红：作AD a
⊥，交a，b 于点D，点C；把CD 平移至BE，连AE，交b 于G，作GF a
⊥于F. 在FG 处建桥．
路径是A-G-F-B．
问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由.
（3）假设新桥就按小红的设计在FG 处实施建造了，上游还有一座旧桥，凌晨3 点某船从旧桥下到新桥下，
到达后立即返回，来回穿梭于两桥之间，船在静水每小时16 千米，水流每小时4 千米，在当晚23 点时有
人看见船在离旧桥80 千米处行驶求这两桥之间的距离.
【答案】（1）PM=QN；（2）小红设计的路径较短，理由见解析；（3）200 千米或120 千米或100 千米
【分析】(1)易得PQ MN
∥
，所以可得PM=QN；
(2)根据小明的路径=AC+CD+DB，小红的路径=AE+EB，由平移可知CD=EB，DB=CE，在△ACE 中由两边之和
大于第三边，可得出结论;
(3)需要分情况讨论：①船第一次到达新桥后返回距离旧桥80 千米；
②船第一次返回旧桥，再向新桥行驶，距离旧桥80 千米；
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③船第二次到达新桥后返回距离旧桥80 千米；
④船第二次返回旧桥，再向新桥行驶，距离旧桥80 千米，这一次计算距离为60 千米，不符合题意.
【详解】（1）∵PQ b
⊥，MN b
⊥，∴PQ MN
∥
，
则PM 与QN 都为线段PQ 平移的距离, PM=QN
∴
（2）小红设计的路径较短，理由如下：
小明的路径=AC+CD+DB，小红的路径=AE+EB，由平移可知CD=EB，DB=CE，在△ACE 中AC+CE＞AE，所以小
红设计的路径短.
（3）设两桥之间的距离为x 千米(x>80)，旧桥到新桥为顺水，速度为16+4=20 千米/小时，新桥到旧桥为逆
水，速度为16-4=12 千米/小时,行驶总时长为23-3=20 小时.
①船第一次到达新桥后返回距离旧桥80 千米，由题意得
解得
②船第一次返回旧桥，再向新桥行驶，距离旧桥80 千米，由题意得
解得
③船第二次到达新桥后返回距离旧桥80 千米，由题意得，
解得
④船第二次返回旧桥，再向新桥行驶，距离旧桥80 千米，由题意得，
解得
因为船在两桥之间行驶，故此种情况不存在.
综上，两桥间的距离为200 千米或120 千米或100 千米.
【点睛】本题考查最短路径设计问题，设计图可作为“造桥模型”记住，第（3）题考查船顺水于逆水航
行问题，需要掌握顺水和逆水的速度计算，分类讨论是解题的关键.
例2．（2023.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在
处角转弯，河宽相同，从
处到达
处，
须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使
到
的路程最短，请确定两座桥的位置．
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【答案】见解析
【分析】由于含有固定线段“桥”，需要将点
向下平移至点
，点
向右平移至点
，构造平行四边形
进行求解即可．
【详解】解：如图所示，将点
向下平移至点
，使
的长等于河宽，将点
向右平移至点
，使
的长等于河宽；连接
，与河岸相交于点
，
；过点
作
于点D，过点
作
于
点
，则
，
即为两桥的位置．
，
【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，由于有固定的长度的线段，常用的方法通过平移，构造平行
四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答．
例3．（2023·广西·二模）已知，在河的两岸有A，B 两个村庄，河宽为4 千米，A、B 两村庄的直线距离AB
＝10 千米，A、B 两村庄到河岸的距离分别为1 千米、3 千米，计划在河上修建一座桥MN 垂直于两岸，M
点为靠近A 村庄的河岸上一点，则AM+BN 的最小值为( )
A．2
B．1+3
C．3+
D．
【答案】A
【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A 的河岸相交于M，作MN 垂直于另一条
河岸，则MN BB′
∥
且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN；根据“两点之间线段最短”，AB′
最短，即AM+BN 最短，此时AM+BN＝AB′．
【详解】解：如图，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河宽，连接AB′，与靠近A 的河岸相交于M，作MN 垂
直于另一条河岸，则MN BB′
∥
且MN＝BB′，于是MNBB′为平行四边形，故MB′＝BN．
根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AM+BN 最短．
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AB
∵
＝10 千米，BC＝1+3+4＝8 千米，∴在RT△ABC 中，
，
在RT△AB′C 中，B′C＝1+3＝4 千米，∴AB′＝
千米；故选A．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，
需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，
往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．
例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，
中，
，
，
，
，
；垂足分别为点F 和E．点G 和H 分别是
和
上的动点，
，那么
的
最小值为______．
【答案】
【分析】过点E 作
交
于点I，连接
．易求出
，
，
．易证
四边形
为平行四边形，得出
，即说明当
最小时，
最小．由当点I，
H，C 三点共线时，
最小．结合平行四边形的判定和性质和勾股定理求出
，即得出
，即可得出答案．
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【详解】解：如图，过点E 作
交
于点I，连接
．
∵
中，
，
，∴
，∴
，
∴
，
．∵
，
，∴
．
∵
，∴四边形
为平行四边形，∴
．同理可得出
．
∵
，
，∴四边形
为平行四边形，
∴
，∴四边形
为平行四边形，
∴
，∴
，∴当
最小时，
最小．
∵当点I，H，C 三点共线时，
最小，∴此时
最小，如图，
∵
，∴
．∵
∴四边形
为平行四边形，∴
，
，
∵
，
，∴
，∴
，∴
，
∴
的最小值为
． 故答案为：
．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，含30 度角的直角三角形，勾股定理，平行线的判定，两点之
间线段最短等知识．正确作出辅助线，理解当点I，H，C 三点共线时，
最小，即此时
最小是解题关键．
例5．（2023.山东中考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，
3）三点．(1)求抛物线的解析式及顶点M 的坐标；(2)连接AC、BC，N 为抛物线上的点且在第四象限，当
S△NBC=S△ABC时，求N 点的坐标；(3)在（2）问的条件下，过点C 作直线l∥x 轴，动点P（m，3）在直线l 上，
动点Q（m，0）在x 轴上，连接PM、PQ、NQ，当m 为何值时，PM+PQ+QN 最小，并求出PM+PQ+QN 的
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最小值．
【答案】(1)y=-x2+2x+3，顶点M 坐标为（1，4）；(2)点N 坐标为（4，-5）；
(3)当m=
时，PM+PQ+QN 有最小值，最小值为3
+3．
【分析】（1）将点A、B、C 坐标代入解析式，解关于a、b、c 的方程组可得函数解析式，配方成顶点式
即可得点M 坐标；（2）设N（t，-t2+2t+3）（t＞0），根据点N、C 坐标用含t 的代数式表示出直线CN 解
析式，求得CN 与x 轴的交点D 坐标，即可表示BD 的长，根据S△NBC=S△ABC，即S△CDB+S△BDN=
AB•OC 建立关于t 的方程，解之可得；（3）将顶点M（1，4）向下平移3 个单位得到点M′（1，1），连
接M′N 交x 轴于点Q，连接PQ，此时M′、Q、N 三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN 取最小值，由点
M′、N 坐标求得直线M′N 的解析式，即可求得点Q 的坐标，据此知m 的值，过点N 作NE∥x 轴交MM′延长
线于点E，可得M′E=6、NE=3、M′N=3
，即M′Q+QN=3
，据此知m=
时，PM+PQ+QN 的最小值为3
+3．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴
，解得：
，∴y=-x2+2x+3=-（x-1）
2+4，则抛物线的顶点M 坐标为（1，4）；
（2）解：∵N 是抛物线上第四象限的点，∴设N（t，-t2+2t+3）（t＞3），
又点C（0，3），设直线NC 的解析式为y=k1x+b1，
则
，解得：
，∴直线NC 的解析式为y=（-t+2）x+3，
设直线CN 与x 轴交于点D，当y=0 时，x=
，∴D（
，0），BD=3-
，
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∵S△NBC=S△ABC，∴S△CDB+S△BDN=
AB•OC，即
BD•|yC-yN|=
[3-（-1）]×3，
即
×（3-
）[3-（-t2+2t+3）]=6，整理，得：t2-3t-4=0，解得：t1=4，t2=-1（舍去），
当t=4 时，-t2+2t+3=-5，∴点N 坐标为（4，-5）；
（3）解：将顶点M（1，4）向下平移3 个单位得到点M′（1，1），连接M′N 交x 轴于点Q，连接PQ，
则MM′=3，∵P（m，3）、Q（m，0），∴PQ⊥x 轴，且PQ=OC=3，
∴PQ∥MM′，且PQ=MM′，∴四边形MM′QP 是平行四边形，∴PM=QM′，
由作图知当M′、Q、N 三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN 取最小值，
设直线M′N 的解析式为y=k2x+b2（k2≠0），
将点M′（1，1）、N（4，-5）代入，得：
，解得：
，
∴直线M′N 的解析式为y=-2x+3，当y=0 时，x=
，∴Q（
，0），即m=
，
此时过点N 作NE∥x 轴交MM′延长线于点E，在Rt△M′EN 中，∵M′E=1-（-5）=6，NE=4-1=3，
∴M′N=
， ∴M′Q+QN=3
，∴当m=
时，PM+PQ+QN 的最小值为3
+3．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、平行四边
形的判定与性质、勾股定理及根据两点间线段最短得到点P、Q 的位置．
例6．（2023 春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在
中，
，
，M、N 分别是
、
边上的动点，且
，则
的最小值是________．
【答案】
淘宝：学思创想
【分析】由
可知
为定长，在
、
间滑动，故由造桥选址模型进行平移，转化为两点
间距离加上定长，再利用特殊角构造直角三角形，使用勾股定理求出两点间距离．
【详解】作
交
于点E，在
取
，连接
，延长
至点
，使
，连接
，作
于点
，如下图：
，
，
为等边三角形，
，
，
，
四边形
为平行四边形，
同理得四边形
与四边形
为平行四边形，
，
，
，
，
中
，
，
中
，
，
的最小值是
．
【点睛】本题考查平移类最短路径，为造桥选址模型，即沿一个方向平移的定长线段两端到两个定点距离
和最小，解题时需要理清楚是否含有定长平移线段，且利用平移求出最短路径位置．求解长度时若有特殊
角，通常采用构造直角三角形利用勾股定理求解的方法．
课后专项训练
1．（2021·四川南充市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，
，
，把边AB 沿对角线BD 平
移，点
，
分别对应点A，B．给出下列结论：①顺次连接点
，
，C，D 的图形是平行四边形；②
点C 到它关于直线
的对称点的距离为48；③
的最大值为15；④
的最小值为
淘宝：学思创想
．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
【分析】根据平移的性质和平行四边形的判定方法判断①，再利用等积法得出点C 到BD 的距离，从而对
②做出判断，再根据三角形的三边关系判断③，如图，作
关于
的对称点
，
交
于
连
接
，过
作
于
分别交
于
证明
是最小值时的位置，再利用勾
股定理求解
，对④做出判断．
【详解】解：由平移的性质可得AB//
且AB=
∵四边形ABCD 为矩形∴AB//CD，AB=CD=15∴
//CD 且
=CD
∴四边形
CD 为平行四边形，故①正确
在矩形ABCD 中，BD=
=
=25,过A 作AM⊥BD，CN⊥BD，则AM=CN
∴S△ABD=
AB·CD=
BD·AM∴AM=CN=
=12∴点C 到
的距离为24
∴点C 到它关于直线
的对称点的距离为48∴故②正确
∵
∴当
在一条直线时
最大，此时
与D 重合
∴
的最大值=
=15∴故③正确，
淘宝：学思创想
如图，作
关于
的对称点
，
交
于
连接
，过
作
于
分别交
于
则
为
的中位线，
，
由
可得
，
此时最小，由②同理可得：
设
则
由勾股定理可得：
整理得：
解得：
（负根舍去），
∴故④正确故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质以及平移的性质,锐角三角函数的应用等知识点，
熟练掌握相关的知识是解题的关键．
2．（2023 安徽中考学二模）如图，菱形ABCD 的边长为2
，∠ABC＝60°，点E、F 在对角线BD 上运动，
且EF＝2，连接AE、AF，则△AEF 周长的最小值是（ ）
淘宝：学思创想
A．4
B．4+
C．2+2
D．6
【答案】D
【分析】作AH BD
∥
，使得AH＝EF＝2，连接CH 交BD 于F，则AE+AF 的值最小，进而得出△AEF 周长的最
小值即可．
【详解】解：如图作AH BD
∥
，使得AH＝EF＝2，连接CH 交BD 于F，则AE+AF 的值最小，即△AEF 的周长
最小．
AH
∵
＝EF，AH EF
∥
，∴四边形EFHA 是平行四边形，∴EA＝FH，∵FA＝FC，∴AE+AF＝FH+CF＝CH，
∵菱形ABCD 的边长为2
，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝2
，
∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD
⊥
，∵AH DB
∥
，∴AC AH
⊥
，∴∠CAH＝90°，
在Rt
CAH
△
中，CH＝
∴AE+AF 的最小值4，
AEF
∴△
的周长的最小值＝4+2＝6，故选：D．
【点睛】本题考查菱形的性质与动点问题最小值，构造辅助线转化相关的线段是解题关键．
3．（2022·重庆九龙坡·统考一模）如图，在边长为4 的菱形ABCD 中，∠ABC＝60°，将△ABD 沿射线BD
方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．则EC+GC 的最小值为（ ）
淘宝：学思创想
A．2
B．4
C．2
D．4
【答案】B
【分析】连接AE，作点D 关于直线AE 的对称点H，连接DE，DH，EH，AH，CH．由平移和菱形的性质
可证明四边形CDEG 为平行四边形，即得出
，从而可得出
，即CH 的长
为
的最小值．最后根据等边三角形的判定和性质，含30 度角的直角三角形的性质与勾股定理求出
CH 的长即可．
【详解】如图，连接AE，作点D 关于直线AE 的对称点H，连接DE，DH，EH，AH，CH．
由平移的性质可知
，
．∵四边形ABCD 为菱形，
∴
，
，
，
∴
，
，∴四边形CDEG 为平行四边形，∴
．
由轴对称的性质可知
，
，
，∴
，
∴
，即CH 的长为
的最小值．
∵
，
，∴四边形
为平行四边形，∴
，
∴
，∴
，∴
为等边三角形，
∴
，
，∴
，∴
，
即
为顶角是120°，底角为30°的等腰三角形，
结合含30°角的直角三角形和勾股定理即可求
．故选B．
【点睛】本题考查平移的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，轴对
称变换，含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，综合性强，为选择题中的压轴题．正确的作
出辅助线是解题关键．
淘宝：学思创想
4．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考三模）在边长为2 的正方形
中，点E、F 是对角线
上的两
个动点，且始终保持
，连接
、
，则
的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】B
【分析】过点
作
使
，易得四边形
为平行四边形，得到
，进而得到
，得到
三点共线时，
有最小值即为
的长，利用勾股定理进行
求解即可．
【详解】解：过点
作
使
，则：四边形
为平行四边形，
∴
，∴
，∴当
三点共线时，
有最小值即为
的长，
∵四边形
为正方形，∴
，
，
，
∴
，
，∴
，即：
的最小值为3．故选B．
【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是构造平行四边形，
进行线段的转化．
5．（2023·广东·九年级期中）如图，CD 是直线x＝1 上长度固定为1 的一条动线段．已知A（﹣1，0），B
（0，4），则四边形ABCD 周长的最小值为 _________________．
淘宝：学思创想
【答案】
【分析】在y 轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE 为平行四边形，根据勾股定理得到AB，作点A 关
于直线x＝1 的对称点A'，得到A'、E、D 三点共线时，AD+DE 最小值为A'E 的长，根据勾股定理求出A'E，
即可得解；
【详解】解：如图，在y 轴上取点E，使BE＝CD＝1，则四边形BCDE 为平行四边形，
∵B（0，4），A（﹣1，0），∴OB＝4，OA＝1，∴OE＝3，AB＝
，
作点A 关于直线x＝1 的对称点A'，∴A'（3，0），AD＝A'D，
∴AD+DE＝A'D+DE，即A'、E、D 三点共线时，AD+DE 最小值为A'E 的长，
在Rt△A'OE 中，由勾股定理得A'E＝
，
∴C 四边形ABCD 最小值＝AB+CD+BC+AD＝AB+CD+A'E＝
+1+5＝
+6．故答案为：
．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题、勾股定理、位置与坐标，准确分析作图计算是解题的关键．
6．（2022·浙江金华·八年级期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm 的正方形纸片沿着对角线AC 剪开，
如图l 所示．然后固定纸片△ABC，把纸片△ADC 沿AC 的方向平移得到△A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平
移过程中：（1）四边形A′BCD′的形状始终是 __；（2）A′B+D′B 的最小值为 __．
淘宝：学思创想
【答案】 平行四边形 2
【分析】（1）利用平移的性质证明即可．（2）如图2 中，作直线DD′，作点C 关于直线DD′的对称点
C″，连接D′C″，BC″，过点B 作BH⊥CC″于H．求出BC″，证明A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，可得结
论．
【详解】解：（1）如图2 中，∵A′D′=BC，A′D′∥BC，
∴四边形A′BCD′是平行四边形，故答案为：平行四边形．
（2）如图2，作直线DD′，作点C 关于直线DD′的对称点C″，连接D′C″，BC″，过点B 作BH⊥CC″于H．
∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=2，∠ABC=90°，∴AC=
AB=2
，
∵BJ⊥AC，∴AJ=JC，∴BJ=
AC=
，∵∠BJC=∠JCH=∠H=90°，∴四边形BHCJ 是矩形，
∵BJ=CJ，∴四边形BHCJ 是正方形，∴BH=CH=
，在Rt△BHC″中，BH=
，HC″=3
，
∴
，
∵四边形A′BCD′是平行四边形，∴A′B=CD′，∴A′B+BD′=BD′+CD′=BD′+D′C″≥BC″，
∴A′B+BD′≥2
，∴A′B+D′B 的最小值为2
，故答案为：2
．
【点睛】本题考查作图-平移变换，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决
最短问题，属于中考常考题型．
7．（2022 下·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，在矩形 ABCD 中，AD=BC=3，
∠DBC=60°，将△DAB 沿射线 DB 方向平移得到△D’A’B’，连接 CD’和 CB’， 则 CD’+CB’的最小值为
．
淘宝：学思创想
【答案】
【分析】作C 点关于BD 的对称点C' ，连接
过点
作
过点C'作
，两平行
线交于点G，则四边形
是平行四边形，当C，G，
三点共线时，
的值最小，求出CG
的值即可所求．
【详解】解：如图所示：作C 点关于BD 的对称点
，连接
过点
作
过点C'作
，两平行线交于点G，
∴四边形
是平行四边形，
∴当
三点共线时，
的值最小，最小值为CG 的长度，
淘宝：学思创想
在
中，
在
中，
故答案为：
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，通过构造平行四边形边进行转
化，再利用将军饮马问题进行求解是解题的关键．
8．（2023·山东潍坊·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知
，
，
是
轴上的一条
动线段，且
，当
取最小值时，点
坐标为______.
【答案】
【分析】如图把点A 向右平移1 个单位得到E（1，1），作点E 关于x 轴的对称点F（1，-1），连接BF，
BF 与x 轴的交点即为点Q，此时AP+PQ+QB 的值最小，求出直线BF 的解析式，即可解决问题．
【详解】解：如图把点4 向右平移1 个单位得到E（1，1），作点E 关于x 轴的对称点F（1，-1），连接
BF，BF 与x 轴的交点即为点Q，此时4P+PQ+QB 的值最小.
设最小BF 的解析式为y=kx+b，则有
解得
∴直线BF 的解析式为y=x-2，令y=0，得到x=2.
Q
∴（2.0）故答案为（2，0）.
【点睛】本题考查轴对称最短问题、坐标与图形的性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用
对称解决最短问题，学会构建一次函数解决交点问题，属于中考常考题型
淘宝：学思创想
9．（2023·四川成都·模拟预测）如图，菱形
的
边在
轴上，顶点
坐标为
，顶点
坐标
为
，点
在
轴上，线段
轴，且点
坐标为
，若菱形
沿
轴左右运动，连接
、
，则运动过程中，四边形
周长的最小值是________．
【答案】13+
【分析】由题意可知AD、EF 是定值，要使四边形
周长的最小，AE＋DF 的和应是最小的，运用
“将军饮马”模型，根据点E 关于AD 的对称点为O，过点A 作AF1∥DF，当O，A，F1三点共线时，
AE+DF=OA+AF1=OF1，为所求线段和的最小值，再求四边形
周长的最小值．
【详解】∵点
坐标为
，点
坐标为
，∴OC＝4，OD＝3，
∴在Rt△COD 中，CD＝
5，∵四边形
是菱形，∴AD＝CD＝5，
∵
坐标为
，点
在
轴上，线段
轴，∴EF＝8，
连接OA，过点A 作AF1∥DF 交EF 于点F1，
则四边形ADFF1是平行四边形，FF1=AD=5，∴EF1=EF-FF1=3，
∵点E，O 关于AD 对称，∴OA=AE，
淘宝：学思创想
当O，A，F1三点共线时，AE+DF=OA+AF1=OF1，为所求线段和的最小值，
在Rt△OEF1中，OF1＝
，∴四边形
周长的最小值：
AD＋EF＋AE＋DF＝ AD＋EF＋ OF1＝5＋8＋
＝13+
．
【点睛】本题考查菱形，勾股定理，平移，轴对称，解决问题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理解
直角三角形，平移图形全等性，轴对称性质．
10．（2023·重庆·校考三模）如图，在边长为1 的菱形ABCD 中，
，将
沿射线BD 的方
向平移得到
，分别连接
，
，
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】过点C 作直线
，以直线l 为对称轴作点
的对称点E，连接CE，
，AC，证明
，求得
，根据三角形三边关系可知当点
，C，E 共线时，
的最小值
是
．
【详解】解：如图，过点C 作直线
，以直线l 为对称轴作点
的对称点E，连接CE，
，AC，
设AC 与BD 交于点O，
与直线l 交于点F，则
，
，
，
由
，
，易得
，
，
，由平移的性质可知
，
，
淘宝：学思创想
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
在
中，由三角形的三边关系可得
，
当点
，C，E 共线时，
，即
的最小值是
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了轴对称
最短路线问题，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，平移的性质，正确
的理解题意是解答本题的关键．
11．（2023.广东省深圳市九年级期中）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O 为原点，OC 所在的直线为
x 轴，建立直角坐标系，AB 交y 轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF 所在的直线为OD 的垂直平分
线，点P 为线段EF 上的动点，PM⊥x 轴于点M 点，点E 与E′关于x 轴对称，连接BP、E′M．
（1）请直接写出点A 的坐标为_____，点B 的坐标为_____；
（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P 的坐标为_____；
【答案】（1）（﹣2，2
），（4，2
）；（2）（2，
）；
【分析】（1）由30°直角三角形的性质求出OD 的长，再由平行四边形的性质求出BD 的长即可解决问题；
（2）首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，因为PM 是定值，推出PB+ME′=OP+PB 的值最
小时，BP+PM+ME′的长度最小；
【详解】解：（1）如图1 中，
在Rt△ADO 中，∵∠A=60°，∴∠AOD=30°．∵AD=2，∴OD =2
，∴A（﹣2，2
），
∵四边形ABCO 是平行四边形，∴AB=OC=6，∴DB=6
2=4
﹣
，∴B（4，2
）；
淘宝：学思创想
（2）如图1 中，连接OP．
∵EF 垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE 是矩形，∴PM=OE=
．
∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形，∴OP=EM，
∵PM 是定值，∴PB+ME′=OP+PB 的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B 共线时，
BP+PM+ME′的长度最小．∵直线OB 的解析式为y=
x，∴P（2，
）．故答案为（2，
）．
【点睛】本题考查了四边形综合题、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、最短问题等知识，解
题的关键是学会利用两点之间线段最短，解决最短问题．
12．（成都市2022-2023 学年八年级期末）如图，在平面直角坐标系中有
，
两点．将直线：
向上平移
个单位长度得到直线
，点
在直线
上，过点
作直线的垂线，垂足为点
，连接
，
，
，则折线
的长
的最小值为 ．
淘宝：学思创想
【答案】
【分析】先证四边形
是平行四边形，可得
，则
，即当点
，
点
，点
三点共线时，
有最小值为
的长，即
有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，将点
沿
轴向下平移
个单位得到
，以
为斜边，作等腰直角三角形
，
则点
，连接
，
是等腰直角三角形，
，
，
淘宝：学思创想
将直线：
向上平移
个单位长度得到直线
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形
是平行四边形，
，
，
当点
，点
，点
三点共线时，
有最小值为
的长，即
有最小值，
点
，点
，
，
折线
的长
的最小值为
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，一次函
数的应用，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．
13．（广西2021 年中考数学真题）如图，已知点
，
，两点
，
在抛物线
上，
向左或向右平移抛物线后，
，
的对应点分别为
，
，当四边形
的周长最小时，抛物线的解
析式为 ．
【答案】
．
【分析】先通过平移和轴对称得到当B、E、
三点共线时，
的值最小，再通过设直线
的解
析式并将三点坐标代入，当
时，求出a 的值，最后将四边形周长与
时的周长进行比较，确定a
的最终取值，即可得到平移后的抛物线的解析式．
【详解】解：∵
，
，
，
，
∴
，
，由平移的性质可知：
,
淘宝：学思创想
∴四边形
的周长为
；
要使其周长最小，则应使
的值最小；
设抛物线平移了a 个单位，当a>0 时，抛物线向右平移，当a<0 时，抛物线向左平移；
∴
，
，将
向左平移2 个单位得到
，则由平移的性质可知：
，
将
关于x 轴的对称点记为点E，则
，由轴对称性质可知，
,
∴
，当B、E、
三点共线时，
的值最小，
设直线
的解析式为：
，∴
，
当
时，∴
∴
，
将E 点坐标代入解析式可得：
，解得：
，
此时
，
此时四边形
的周长为
；
当
时，
，
，
，
，
此时四边形
的周长为：
；
淘宝：学思创想
∵
，∴当
时，其周长最小，
所以抛物线向右平移了
个单位，所以其解析式为：
；故答案为：
．
【点睛】本题综合考查了平移、轴对称、一次函数的应用、勾股定理、抛物线的解析式等内容，解决本题
的关键是理解并确定什么情况下该四边形的周长最短，本题所需综合性思维较强，对学生的综合分析和计
算能力要求都较高，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等．
14．（2023 上·陕西西安·九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图①，在
中，
，点D，E 分别是
的中点．若点M，N 分别是
和
上的动点，则
的最小值是______．
（2）问题探究：如图②，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何
处，才能使从A 到B 的路径
最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A
作河岸的垂线，使
，
为河宽，连接
，
与河的一岸交于点N，此时在点N 处建桥，可
使从A 到B 的路径
最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由．（3）问题解决：如图
③，在矩形
中，
．E、F 分别在
上，且满足
，
．若边长为
10 的正方形
在线段
上运动，连接
，当
取值最小时，求
的长．
【答案】（1）3；（2）小旭的说法正确，理由见解析；（3）38 或14
【分析】（1）连接
，过点A 作
于点F，根据两点之间线段最短，可得当
时，
最
短，此时点N 与点F 重合，即
的最小值为
的长，再根据直角三角形的性质，即可求解；
（2）根据题意可得四边形
为平行四边形，从而得到
，再根据“两点之间线段最短”，当
淘宝：学思创想
点
，N，B 三点共线时，
最短，即可求解；
（3）过点N 分别作
，分别交
于点H，G，连接
交
于点T，过点G 作
于点X，则
，
，证明四边形
，四边形
都是平行四边形，
可得
，从而得到当点H，T，G 三点共线时，
的
值最小，此时点N 与点T 重合，然后证明
，可得
，可求得
的长；过点Q 分别作
，分别交
于点K，L，连接
交
于点S，当点K，S，L 三点共线时，
的值最小，此时点N 与点S 重合，同理可求出
的长，即可求解．
【详解】解：（1）如图，连接
，过点A 作
于点F，∴
，
当
时，
最短，此时点N 与点F 重合，即
的最小值为
的长，
∵
，∴
，∴
，
∴
的最小值为3；故答案为：3
（2）解：小旭的说法正确，理由如下：根据题意得：
，
，
∴四边形
为平行四边形，∴
，
根据“两点之间线段最短”，当点
，N，B 三点共线时，
最短，
∵
为河宽，∴在点N 处建桥，可使从A 到B 的路径
最短．
（3）如图，过点N 分别作
，分别交
于点H，G，连接
交
于点T，过点
G 作
于点X，则
，
，
淘宝：学思创想
根据题意得：
，
，
∴四边形
，四边形
都是平行四边形，
∴
，∴
，
即当点H，T，G 三点共线时，
的值最小，此时点N 与点T 重合，
∵
，∴
，
，
，
∵
，∴
，∴
，∴
，解得：
，
∴
；
如图，过点Q 分别作
，分别交
于点K，L，连接
交
于点S，当点K，S，
L 三点共线时，
的值最小，此时点N 与点S 重合，同理
；
综上所述，当
取值最小时，
的长为38 或14．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，两点
之间，线段最短，熟练掌握直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，利
用类比思想解答是解题的关键．
15．（2023.广安九年级月考）如图，抛物线
，经过点
，
，
三
点．
求抛物线的解析式及顶点M 的坐标；
连接AC、MB，P 为线段MB 上的一个动点（不与点M、B
重合），过点P 作x 轴的垂线PQ，若OQ=a，四边形ACPQ 的面积为s，求a 为何值时，面积s 最大；
点N 是抛物线上第四象限的一个定点，坐标为
，过点C 作直线
轴，动点
在直线l
上，动点
在x 轴上，连接PM、PQ、NQ，当m 为何值时，
的和最小，并求出
和的最小值．
【答案】（1）
；M（1,4）
淘宝：学思创想
（2）当
，
面积最大，最大为
.
（３）
【分析】（1）抛物线
过
，
，
可求得解析式；
（2）将
用含
的代数式表示，并配方成顶点式求出最大值；
（3）根据选址造桥模型，将顶点
向下平移三个单位得
，当
在同一条直线上时，
取得最小值.
【详解】(1)∵抛物线
经过点
，
，
,
∴
解得
∴
=
,顶点M 的坐标为（1,4）
（2）连接AC、MB，P 为线段MB 上的一个动点（不与点M、B 重合），过点P 作x 轴的垂线PQ.设P 点的
坐标为
，如图所示.
P
∵在直线MB 上，
，
，设直线MB 为
解得
直线MB 的解析式为
，P 点坐标为
∵
，
，
，
∴
，
，
∵
淘宝：学思创想
整理
∴即当
，
面积最大，最大为
.
（3）将顶点
向下平移三个单位得
，连接
交
轴于点
，连接
．如图所示，则
.
∵
，
∴
轴，且
∴
，四边形
为平行四边形
∴
,有图知
三点共线时，
取最小值.
设直线
的解析式为
，将点
，N
求得直线
的解析式为
，当
时，
，即
，即
，
此时过点
作
轴交
延长线与点
，
在
中，
，
，
∴
,∴
,即
,
∴当
时，
的最小值为
.
【点睛】本题考查二次函数的综合问题，求最大值将函数用顶点式表示，其中第三问根据选址造桥模型确
定M 对应点的位置，当
在同一条直线上时，
取得最小值.进而求解.
16．（2023·陕西咸阳·校考一模）【问题提出】（1）如图1，点A、B 在直线l 的同侧，点A 到直线l 的距
离
，点B 到直线l 的距离
，A、B 两点的水平距离
，点P 是直线l 上的一个动点，则
的最小值是________；
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【问题探究】（2）如图2，在矩形
中，
，
，G 是
的中点，线段
在边
上左
右滑动，若
，求
的最小值；
【问题解决】（3）如图3，某公园有一块形状为四边形
的空地，管理人员规划修两条小路
和
（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在
和
上分别选取点M、N，沿
、
和
修建地下水管，为了节约成本，要使得线段
、
与
之和最小．
已测出
，
，
，
，
，管理人员的想法能否实现，
若能，请求出
的最小值，若不能，请说明理由．
【答案】（1）10；（2）
；（3）能实现，最小值为
．
【分析】（1）作点A 关于直线l 的对称点
，连接
交直线l 于P，则
的值最小，且
的
最小值
，根据矩形的性质得到
，
，根据勾股定理即可得到结论；
（2）如图，作G 关于
的对称点
，在
上截取
，连接
，
，
，则
，根据
平行四边形的性质得到
，根据三角形的三边关系得到
，根据勾股定理
即可得到结论；
（3）作点P 关于
、
的对称点E、F，连接
，
分别交
、
于点O、H，则
，
，连接
，与
、
的交点即为点M、N 的位置，连接
，
，此时
，
，
的长就是
的最小值，过点E 作
交
的延长线于点G，根据勾股定
理即可得到结论．
【详解】.解：（1）如图，作点A 关于直线l 的对称点
，连接
交直线l 于P，则
的值最小，
且
的最小值
，过
作
于E，则
，
，
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∴
，∴
即
的最小值是10；
（2）如图，作G 关于
的对称点
，在
上截取
，
连接
，
，
，则
，
，
，
四边形
是平行四边形，
，
，
，
，G 为
的中点，
，
，由勾股定理得
，
，即
的最小值为：
；
（3）管理人员的想法能实现，
作点P 关于
、
的对称点E、F，连接
，
分别交
、
于点O、H，
，
，连接
，与
、
的交点即为点M、N 的位置，连接
，
，此时
，
，
的长就是
的最小值，过点E 作
交
的延长线于点G，
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，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
在
中，
，
的最小值为
.
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了轴对称-最短路线问题及矩形的性质，根据题意作出辅助线，构造
出直角三角形是解答此题的关键．
17．（2023 上·重庆万州·九年级校考期中）如图，直线
的图象与
轴和
轴分别交于点
和点
，
的垂直平分线与
轴交于点
，与
交于点
，连接
．(1)如图1，求
的长；(2)如图2，
若点
是射线
上的动点，点
和点
是
轴上的两个动点，且
，当
的面积为
时，求
的最小值。
【答案】(1)
(2)
的最小值为
(3)存在以
为顶点的四边形是菱形，所有满足条件的点
的坐标为
或
或
【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点的方法，令
，
，即可求解；（2）根据题意可求出
的面积，再根据
的面积为
时，可求出点
的坐标，根据“造桥求最短路径的方法”即可求
解；
【详解】（1）解：∵直线
的图象与
轴和
轴分别交于点
和点
，
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∴令
，则
；令
，则
；∴
，
，∴
，
∵
是
的垂直平分线，∴
，设
，则
，
∴在
中，
，∴
，
解得，
，即
，∴
．
（2）解：已知
，
，
是
的垂直平分线，
∴
，即
，且
，∴
，
∵
，
，设
所在直线的解析式为
，
∴
，解得，
，∴
所在直线的解析式为
，
∵点
在直线
的图象上，∴设
，∴
，
∴
，∴
，整理得，
，
解得，
，
，∴
，
，
∵点
是射线
上的动点，
，∴
舍去，∴点
的坐标为
，
∴当
时，如图所示，作点
关于
轴对称的点
，将线段
向上平移至点
与点
重合，即
，此时点
三点共线，即四边形
是平行四边形，则
，此时
的值最小，
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∴
，∵
，∴
，
如上所示，过点
作
轴于点
，过点
作
轴于点，且
，
∴
，则
，
，
∴在
中，
，则
，
∴
的值最小为
．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握一次函数与坐标轴交点的计算方法，对称最段路
径的计算方法，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．
18．（2023·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】
古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个
军营
．他总是先去
营，再到河边饮马，之后，再巡查
营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天
走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点
关于直线
的对称点
，连结
与直线交于点
，连接
，则
的和最小．请你在下列的阅读、理解、应
用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线上另取任一点
，连结
，
，
，∵直线是点
，
的对称轴，点
，
在上，
（1）∴
__________，
_________，∴
____________．在
中，∵
，∴
，即
最小．
【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点
在直线同侧的问题转化为在直线
的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决
（其中点
为
与的交点，即
，
，
三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧
两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．
【模型应用】（2）如图④，正方形
的边长为4，
为
的中点，
是
上一动点．求
的最小值．
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解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点
与
关于直线
对称，连结
交
于点
，则
的最小值就是线段
的长度，则
的最小值是__________．
（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为
，底面周长为
，在杯内离杯底
的点
处有一滴蜂蜜，此
时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿
与蜂蜜相对的点
处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_____
．
（4）如图⑥，在边长为2 的菱形
中，
，将
沿射线
的方向平移，得到
，
分别连接
，
，
，则
的最小值为____________．
【答案】（1）
，
，
；（2）
；（3）17；（4）
【分析】（1）根据对称性即可求解；
（2）根据正方形的对称性知B 关于AC 的对称点是D，连接ED，则ED 是
的最小值；
（3）先将玻璃杯展开，再根据勾股定理求解即可；
（4）分析知：当
与
垂直时，
值最小，再根据特殊角计算长度即可；
【详解】解：（1）根据对称性知：
，
故答案为：
，
，
；
（2）根据正方形的对称性知B 关于AC 的对称点是D，连接ED ∴ED 是
的最小值
又∵正方形的边长为4，E 是AB 中点∴
∴
的最小值是
；
（3）由图可知：蚂蚁到达蜂的最短路程为
的长度：
∵
∴
∴
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（4）∵在边长为2 的菱形ABCD 中，
，将
沿射线
的方向平移，得到
∴
当
与
垂直时，
值最小
∵
∴四边形
是矩形，
∴
∴
【点睛】本题考查“将军饮马”知识迁移，掌握“将军饮马”所遵循的数学原理，判断出最小是解题关键．
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