文档内容
专题08.特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、过桥模型
将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的
思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型
和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
.........................................................................................................................................1
模型1.将军遛马模型................................................................................................................................1
模型2.将军造桥（过桥）模型.................................................................................................................8
.......................................................................................................................................13
模型1.将军遛马模型
将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，
在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。
点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）；
A
A
B
m
P Q
m
B P Q
图1-1 图1-2
将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。
∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB，
再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB.
A E
A C
B
m
m
P Q P Q
B B'
图1-1 图1-2
将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交
直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。
∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB，
根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’，
再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。
例1．（2023·黑龙江·九年级校考期中）问题背景（1）如图（1），在公路 的一侧有 ， 两个工厂， ，
到公路的垂直距离分别为 和 ， ， 之间的水平距离为 ．现需把 厂的产品先运送到公路
上然后再转送到 厂，则最短路线的长是_____ ．
问题探究（2）如图（2）， 和 是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，
，点 ， 重合，点 ， 重合，将 沿直线 平移，得到 ，连接
， ．试探究在平移过程中， 是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请
说明理由．
问题解决（3）如图（3），A，B分别是河岸m一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是
和 ， ， 的水平距离是 ．游客在景点 游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游
轮沿河航行 到达码头乙，再乘坐大巴到达景点 ．请问码头甲，乙建在何处才能使从 到 的旅游路
线最短，并求出最短路线的长．【答案】（1） （2）存在，最小值为 （3）最短路线长为
【详解】解：（1） 如图 （1）， 点 是公路 上的一点， 假设先把产品运送到点 处， 再转送到
厂， 作点 关于 的 对称点 ， 连接 ， ， 连接 交 于点 ，
则 ， ， 当点 与点 重合时， 取得最小值，为 的长．
连接 ， 交 于点 ， 过点 作 于点 ， 过点 作 ， 垂足为点 ，
则 ， 四边形 是矩形， ， ，
又 ， ， 即最短路线的长是 ．故答案为： ．
（2） 存在．理由如下，如图 （2）， 过点 作直线 ， 作点 关于直线 的对称点 ， 连接
， ， 交直线 于点 ， 过点 作 交直线 于点 ， 连接 ， ， ， 则
．
由平移知 ， ．又 ， 四边形 是平行四边形，
， 由平移知 ，
又 ， 四边形 是平行四边形，
当点 与点 重合时， 最小， 最小值为 的长．过点 作 交 的延长线于点 ， 则 为等腰直角三角形．
， ， ，
的最小值为 ．故答案为：存在，最小值为 ．
（3） 如图 （3），设码头乙为点 ， 码头甲为点 ， 连接 ， ，
过点 作 ， 且 ， 作点 关于 的对称点 ， 连接 交 于点 ．
连接 ， 则 ． 是平行四边形， ，
点 ，N重合时，旅游路线最短．
过点 作直线 ， 过点 作 于点 ，
则 ， ， ， ，
．故答案为：最短路线长为 ．
例2．（2022·统考一模）如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正
方形EFGH，连接AH，CG．若 ， ， ，则 的最小值为______．
【答案】
【详解】解：如图：延长DA到点O，使AO=HE=4，连接OE、EG，， ， ，又 ， 四边形AOEH是平行四边形， ，
当点E、点G在OC上时， 最小，即 最小， ，
， ，
，故 的最小值为 ，故答案为： ．
例3．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形 中， ， 是 的中点，线段 在
边 上左右滑动；若 ，则 的最小值为____________．
【答案】
【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取
EF=1，此时GE+CF的值最小，
∴G'E=GE，AG=AG'，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD=BC=2∴CH∥EF，
∵CH=EF=1， ∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF，∴G'H=EG'+EH=EG+CF，
∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点，∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3，∴ ，即 的最小值为 ．故答案为：
例4．（2023年陕西中考模试）如图，菱形ABCD的边长为6 ，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上
运动，且ED＝OF，连接AE、AF，则 AEF周长的最小值是 ．
△
【答案】
【详解】解：∵菱形ABCD的边长为6 ，∠ABC＝60°，∴AC＝6 ，AC⊥BD，BO＝DO，
∴AO＝ AC＝3 ，∴BD＝ ＝18，∵ED＝OF，∴EF＝OD＝9，
如图作AH∥BD，使得AH＝EF＝9，连接CH交BD于E，则AE+AF的值最小，即△AEF的周长最小．
∵AH＝EF，AH∥EF，∴四边形FEHA是平行四边形，∴FA＝EH，∵EA＝EC，∴AF+AE＝EH+CE＝CH，
∵菱形ABCD的边长为6 ，∠ABC＝60°，∴AC＝AB＝6 ，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AH∥DB，∴AC⊥AH，∴∠CAH＝90°，
在Rt△CAH中，CH＝ ＝3 ，∴AE+AF的最小值3 ，
∴△AEF的周长的最小值＝3 +9，故答案为：3 +9．
例5．（2023·江苏·校考一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，连接对角线AC，将△ADC沿射线CA
的方向平移得到△A'D'C'，分别连接BC'，AD'，BD'，则BC'＋BD'的最小值为 ．【答案】
【详解】如图，连接 ，当等腰 在直线上运动时，点 运动轨迹为直线 ，
，且 ， 四边形 为平行四边形， ，
作点 关于直线DD'对称到点 ， ，
构造 ，根据勾股定理，得 ．故答案为 ．
例6．（2023·天津河东·校考模拟预测）如图，在边长为4的菱形 中， ，将 沿射
线 的方向平移得到 ，分别连接 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：在边长为4的菱形 中， ，∴ ， ，
将 沿射线 的方向平移得到 ，∴ ， ，
∵四边形 是菱形，∴ ， ，∴ ，
∴ ， ，∴四边形 是平行四边形，∴ ，
∴ 的最小值 的最小值，∵点 在过点 且平行于 的定直线上，∴作点 关于定直线的对称点 ，连接 交定直线于 ，
则 的长度即为 的最小值，在 中， ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，
∴ ，∴ ．故答案为： ．
模型2.将军造桥（过桥）模型
将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸
建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。
将军A
将军A
M
M
河 A' 河
N N
B军营 B军营
图2-1 图2-2将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B，
∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N，
∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。
再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。
例1．（2023.山东八年级月考）有一条以互相平行的直线 为岸的河流，其两侧有村庄 和村庄 ，现
在要在河上建一座桥梁 （桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：根据轴对称确定最短路线问题，过村庄 作河岸的垂线并且等于河的宽度，
然后与村庄 连接与河岸 相交于一点 ，过点 作 与 相交于点 ，
连接 ，则 即为最短路径，
如图 所示，故选：D．
例2．（2022上·湖北襄阳·九年级联考自主招生）如图有一条直角弯道河流，河宽为2， 、 两地到河岸
边的距离均为1， ， ， ，现欲在河道上架两座桥 、 ，使
最小，则最小值为A． B． C．14 D．12
【答案】C
【详解】解：延长 到 ，使得 ，延长 到 ，使得 ，连接 交河道于点 ，
，得到两座桥 ， ，此时 的值最小．
∴四边形 是平行四边形，∴ ，同理： = ，
延长 交 的延长线于点 ．∴ ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
，
的最小值为14．故选：C．
例3．（2023·江苏·八年级校联考期末）如图，已知直线a∥b，a，b之间的距离为4，点P到直线a的距离
为4，点Q到直线b的距离为2，PQ=2 ．在直线a上有一动点A，直线b上有一动点B，满足AB⊥b，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ＝ ．
【答案】10
【详解】作QD∥b,PD⊥QD.
如图，当AB∥PC时，AB又等于PC，所以四边形PABC是平行四边形，PA=BC，所以PA+BQ＝BC＋BQ，当
Q、B、C三点一线时，PA+AB+BQ最小.在直角三角形PQD中，根据勾股定理得QD= =8.在直角
三角形QDC中，根据勾股定理得QC=10，所以PA+BQ＝BC＋BQ=BC=10.
例4．（2023.广东省深圳市八年级期中）如图，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线
为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=4，OC=10，∠A=60°，线段EF垂直平分OD，点P为线
段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E'关于x轴对称，连接BP、E'M，则BP+PM+ME'的长度的最
小值为 ．
【答案】
【详解】解:如图：连接OP在Rt△ADO中，∠A=60°，AD=4，∴OD=4 ，∴A（-4，4 ）
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=OC=10，∴DB=10-4=6，∴B（6，4 ）
∵线段EF垂直平分OD∴OE= OD=2 ，∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，
∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=2 ，
∵OE=OE'∴PM=OE'，PM//OE'，∴四边形OPM E'是平行四边形，∴OP=EM，
∵PM=2 是定值，∴PB+ME'=OP+PB的值最小时，BP+PM+M E'的长度最小，
∴当O、P、B共线时，BP+PM+M E'的长度最小
∴BP+PM+M E'的最小值为OB+PM= ．故答案为 ．
例5．（2022·山东滨州·统考中考真题）如图，在矩形 中， ．若点E是边AD上的一
个动点，过点E作 且分别交对角线AC，直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，
的最小值为 ．
【答案】【详解】过点D作 交BC于M，过点A作 ，使 ，连接NE，
四边形ANEF是平行四边形， ， 当N、E、C三点共线时， 最小，
四边形ABCD是矩形， ， ，
， 四边形EFMD是平行四边形， ， ，
， ， ，
， ，
，即 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
， ，
的最小值为 ，故答案为： ．1．（2024下·江苏无锡·八年级统考期末）如图，E为正方形 中 边上的一点，且 ， ，
M、N分别为边 、 上的动点，且始终保持 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B．8 C．8 D．12
【答案】C
【详解】解：过点D作 ，交 于点H，过点E作 ，过点M作 ，直线
交于点G，连接 ，如图，
∵四边形 是正方形，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ， ，∴四边形 是平行四边形，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，在 和 中， ∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴四边形 是平行四边形，
∴ ，∴ ，
∴当点A，点M，点G三点共线时， 的最小值为 ，∴ ．故选：
C．
2．（2024下·安徽滁州·八年级统考期末）如图，在矩形 中，边 的长分别为4和3，点E在
上，点F在 的延长线上，且 ，连接 ，当点E在边 上移动时， 的最小值为
（ ）
A．7 B． C．10 D．
【答案】B
【详解】如图所示，连接 ，∵四边形 是矩形，∴ ，
∵ ∴四边形 是平行四边形∴ ，∴ ，
设点B关于 的对称点为 ，连接 ，交 于点E，
此时 最小，即 最小，即为 的长，∵ ，∴ ，又 ，∴ ，
即 的最小值为 ．故选：B．
3．（2024下·广东广州·八年级统考期末）如图，在边长为10的正方形 对角线上有E，F两个动点，
且 ，点P是 中点，连接 ，则 最小值为（ ）
A． B． C． D．10
【答案】A
【详解】解：取 的中点Q，连接 ， ，如下图所示：
∵正方形 的边长为10，∴ , ，
∵ 是正方形 的对角线，∴ ，
∵ 是 的角平分线，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，即 ，∴四边形 为平行四边形，∴ ，∴ ，
∴当A、E、Q三点共线时， 的值最小，最小值就是 的长，∵点Q时 的中点，∴ ，由勾股定理得， ，故选：A．
4．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点O在原点，顶点A、
B分别在x轴、y轴的正半轴上， ， ，D为 的中点，E、F是边 上的两个动点，且
，当四边形 的周长最小时，点E的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：∵矩形 ， ， ，∴ ， ， ，∴
，
∵ 为 的中点，∴ ， 的长为定值，在 上截取 ，连接 ，则： ， ，
∵ ，∴四边形 为平行四边形，∴ ，
∵四边形 的周长 ，且 的长为定值，
∴当 最小时，四边形 的周长最小，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，则： ，
∵ ∴当 三点共线时， 最小，四边形 的周长最
小，
设直线 的解析式为： ，则： ，解得： ，∴ ，
当 时， ；∴ ；故答案为： ．5．（2024·山东·模拟预测）如图，在矩形 中，点 、 分别为AD、AB上的动点，连接 ，
恒等于 ．点 为 的中点，连接 ． 为线段CD的中点．点 为线段 上的一个动点．连接 、
．若 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ，则 ， ，
∵ ，四边形 是矩形，∴ ， ， ，
∵ 为线段CD的中点．∴ ，∴ ，
∵ 恒等于 ，点 为 的中点， ，∴ ，
∵ ， ， ，∴ ，根据两点之间线段最短得 ，即 ，
∴ ，∴ 的最小值为 ．
6．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在矩形 中， ， ，将矩形沿对角线 剪开，得到
与 ，将 沿 方向平移得到 ，连接 、 ，则 的最小值为
．
【答案】
【详解】解：∵ ，∴ ，如图，连接 ， ，
由平移的性质可知， ， ， ，
∴ 在直线 上运动，四边形 是平行四边形，∴ ，
如图，作 关于直线 的对称点 ，连接 交 于 ，交 于 ，连接 ， ， ，
∴ ， ， ，∴ ，∴ ，
∴当 三点共线时， 最小为 ， ∴ ， ，∴
，∵ ，∴ ，∴ 三点共线，∴ ，
∴ ，由勾股定理得 ，∴ 最小值为 ，故答案为：
．
7．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，在四边形 中， ， ， ， ，点
在 上，且 ，点 和点 为边 上的两个动点，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【详解】解: 过点 作 交 于点 ，则四边形 是平行四边形，
∴ ， ，∵ ，∴ ，
作点 关于 对称点 ，连接 ，则 ， ，
∴ ，∴ ，
当 ， ， 三点共线时， 的值最小，为 ，∴ 的最小值为 ，
在 中， ，∴ 的最小值为 ，故答案为： .
8．（2023下·辽宁鞍山·八年级统考期末）如图，河的两岸有 ， 两个水文观测点，为方便联络，要在河上修一座木桥 （河的两岸互相平行， 垂直于河岸），现测得 ， 两点到河岸的距离分别是5米，
4米，河宽3米，且 ， 两点之间的水平距离为12米，则 的最小值是 米．
【答案】18
【详解】作 垂直于河岸，使 等于河宽，连接 ，与靠近A的河岸相交于M，作 垂直于另一
条河岸， 过点A作 交 的延长线于点C，
则 且 ，于是 为平行四边形，故 ，
当 时， 最小，也就是 最短，
∵ （米）， （米）， （米）
∴在 中， （米），
∴ 的最小值为： （米） 故答案为：18 ．
9．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，在 中， ， ，M、N分别是 、 边上的动
点，且 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【详解】作 交 于点E，在 取 ，连接 ，延长 至点 ，使 ，连接
，作 于点 ，如下图：， ， 为等边三角形， ，
， ， 四边形 为平行四边形，
同理得四边形 与四边形 为平行四边形， ， ， ，
，
中 ， ，
中 ，
， 的最小值是 ．
10．（2024.广东省深圳市九年级期中）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为
x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分
线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．
（1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____；
（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为_____；
【答案】（1）（﹣2，2 ），（4，2 ）；（2）（2， ）；
【详解】解：（1）如图1中，
在Rt△ADO中，∵∠A=60°，∴∠AOD=30°．∵AD=2，∴OD =2 ，∴A（﹣2，2 ），∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2 ）；
（2）如图1中，连接OP．
∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=
．
∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形，∴OP=EM，
∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B共线时，
BP+PM+ME′的长度最小．∵直线OB的解析式为y= x，∴P（2， ）．故答案为（2， ）．
11．（2023上·北京西城·八年级校考期中）如图， 中， ， ，D，E为 边
上的两个动点，且 ，连接 ， ，若 ，则 的最小值为 ．
【答案】16
【详解】解：构造矩形 ，连接 ， ， 交 于点 ，如图所示：则 ， ， ， ， ， 四边形 为平行四边形，
， ， 中， ， ， ，
， ，故答案为：16．
12．（2023上·福建漳州·八年级校考阶段练习）如图，在正方形 中， ，点E是 的中点，
P，Q为 边上的两点，且 ，则四边形 周长的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：∵四边形 是矩形， ，点E为 中点，
∴ 为定长，∴ ，
，∴四边形 周长最小只要 最小即可；
取 中点F，连接 ，在 上取 ，连接 ，
则四边形 是矩形，四边形 为平行四边形， ，
， ， 最小，只要 最小即可；
作点A关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，则 ， ，
，即 最小时，点P位于 处，
由作图可知， ， ，∴ ，∴四边形 周长的最小值为： ，故答案为： ．
13．（2023下·四川绵阳·八年级统考期中）如图，在平行四边形 中， ， ，连
接 ，且 ， 平分 交 与于点 ．点 在 边上， ，若线段 （点 在
点 的左侧）在线段 上运动， ，连接 ， ，则 的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：在 上截取 ，连接 ，过点 作 ，使 ，连接 交
于点 ，连接 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，连接 ，
∵四边形 是平行四边形， ，∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ 平分 ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴
，∵ ， ，∴ ，
，∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴四边形 是平行四边形，∴ ，
在 和 中， ，∴ ，∴ ，
∵线段 （点 在点 的左侧）在线段 上运动，∴ ，
∴当点 在线段 上时， 的最小值为 ，∴ 的最小值为 ，
∵ ， ，∴ 最小值为： ，
即 最小值为 ，故答案为： ．13．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，在矩形 中， ， ．若点E是边 上的一个动点，
过点E作 ，交直线 于点F，则点E移动的过程中， 的最小值为 ．
【答案】5
【分析】过点D作 交 于M，过点A作 ，使 ，连接 ，可得 是平行
四边形，则： ，当N、E、C三点共线时， 的值最小，即为 的长度，
求出 的长度即可得解．
【详解】
过点D作 交 于M，过点A作 ，使 ，连接 ，
四边形 是平行四边形， ，
∴ 当N、E、C三点共线时， 最小，
四边形 是矩形， ， ，
， 四边形 是平行四边形， ， ，
， ， ， ，， ，即 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，即： 的最小值为5；故答案为：5．
【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的
判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．
14．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在边长为2的菱形 中， ，将 沿射线
的方向平移，得到 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据菱形的性质得到 ，根据平移的性质得到 ，推出四
边形 是平行四边形，得到 ，于是得到 的最小值 的最小值，根据平
移的性质得到点 在过点A且平行于 的定直线上，作点D关于定直线的对称点E，连接 交定直线于
，则 的长度即为 的最小值，求得 ，得到 ，于是得到结论．
【详解】解：连接 ，∵在边长为2的菱形 中， ，∴ ，
∵将 沿射线 的方向平移，得到 ，∴ ，
∵四边形 是菱形，∴ ，∴ ，
∴四边形 是平行四边形，∴ ，∴ 的最小值 的最小值，
∵点 在过点A且平行于 的定直线上，
∴作点D关于定直线的对称点E，连接 交定直线于 ，则 的长度即为 的最小值，在 中， ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ∴ ，∴ 故答案为：
．
【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，菱形的性质，解直角三角形，平移的性质，求得 的
最小值 的最小值，是解题的关键．
15．（2023下·安徽芜湖·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为8，点E在AB上，BE＝2，点
M，N为AC上动点，且 ，连接BN，EM，则四边形BEMN周长的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：连接BD、DN，作点E关于BD的对称点F，则BE=BF=2，连接NF、DF，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCD=90°，DB⊥AC，BN=DN，点F在BC上，
∴EF∥AC，EF= =MN，∴四边形MEFN是平行四边形，∴ME=NF，
∴ME+BN=NF+DN≥DF（当D、N、F共线时取等号），
在Rt△DCF中，CD=8，CF=8-2=6，则DF= =10，
∴ME+BN≥10，∴MN+BE+ME+BN≥ +2+10=12+ ，
即则四边形BEMN的周长的最小值为12+ ，故答案为：12+ ．16．（2023.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在 处角转弯，河宽相同，从 处到达 处，
须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使
到 的路程最短，请确定两座桥的位置．
【答案】见解析
【详解】解：如图所示，
，
将点 向下平移至点 ，使 的长等于河宽，将点 向右平移至点 ，使 的长等于河宽；连接 ，
与河岸相交于点 ， ；过点 作 于点D，过点 作 于点 ，则 ， 即为两
桥的位置．
17．（2023·江苏·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分
别在x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点，
求 的周长最小值；(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求
点E、F的坐标.【答案】(1) (2) ，
【解析】（1）解：如图，作点D关于x轴的对称点 ，连接 与x轴交于点E，连接DE，由模型可知
的周长最小，
∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D为OB的中点，∴D（0，2），C（3，4）， ，
设直线 为y=kx＋b，把C（3，4）， 代入，
得 ， ，解得k=2， ，∴直线 为 ，
令y=0，得x=1，∴点E的坐标为（1，0）.∴OE=1，AE=2，
利用勾股定理得 ， ， ，
∴△CDE周长的最小值为： ．
（2）解：如图，将点D向右平移1个单位得到 ，作 关于x轴的对称点 ，连接 交x
轴于点F，将点F向左平移1个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，连接 ，此时四边形CDEF
周长最小，理由如下：∵四边形CDEF的周长为CD＋DE＋EF＋CF，CD与EF是定值，
∴DE＋CF最小时，四边形CDEF周长最小，
∵ ，且 ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ，根据轴对称可知， ，∴ ，设直线 的解析式为y=kx＋b，把C（3，4）， 代入，
得 ，解得 ，∴直线 的解析式为 ，
令y=0，得 ，∴点F坐标为 ，∴点E坐标为 ．
18．（2023下·吉林长春·八年级校考期末）（1）如图①，在边长是1的 网格中，点A、B、C、D都在
格点上，在线段 上找一点P，使得 最短．（2）如图②，在正方形 中， ，E是
中点，P是对角线AC上一动点，求 的最小值．（3）如图③，在正方形 中， ，
E、F是对角线 上的两个动点，且 ，则 的最小值是 ．
【答案】（1）见解析；（2） 的最小值为 ；（3）
【详解】解：（1）如图，点P即为所求；
（2）如图②，连接 交 于P，连接 ， ，∵四边形 是正方形， ，∴点B和点D关于 对称， ，∴ ，
∴根据两点之间线段最短知 的长为 的最小值，∵E是 中点，∴ ，
在 中， ，故 的最小值为 ；
（3）在图3中，过D作 ， ，则四边形 是平行四边形，∴
连接 ， ， ，∵点B和点D关于 对称，∴ ，
∴ ，当B、E、H共线时，取等号，则 的长是 的最小值，
∵ ， ，∴ ，在 中， ，
∴ ，故答案为： ．
