文档内容
专题 08 最值模型之将军饮马（遛马、过桥）模型
将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的
思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型
和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照
长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接
连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥
（造桥）再也不是问题！
模型1.将军遛马模型
【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
【模型解读】已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直
线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线m同侧：
A E
A C
A B
A
B
m m m
P Q P Q P Q
m
B B P Q B'
如图1 如图2
（1）如图1，过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，
此时P、Q即为所求的点。
（2）如图2，过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左
平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·西安·统考一模）问题提出：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点E、F分别为边AD、BC上
的点，且AE＝1；BF＝2．（1）如图①，P为边AB上一动点，连接EP、PF，则EP+PF的最小值为 ；
（2）如图②，P、M是AB边上两动点，且PM＝2，现要求计算出EP、PM、MF和的最小值．九年级一班
某兴趣小组通过讨论得出一个解决方法：在DA的延长线上取一点E'，使AE'＝AE，再过点E'作AB的平行
线E'C，在E'C上E”的下方取点M，使E'M'＝2，连接M'F，则与AB边的交点即为M，再在边AB上点M
的上方取P点，且PM＝2，此时EP+PM+MF的值最小．但他们不确定此方法是否可行，便去请教数学田老师，田老师高兴地说：“你们的做法是有道理的”．现在请你根据叙述作出草图并计算出EP+PM+MF
的最小值；
问题解决：（3）聪聪的爸爸是供电公司的线路设计师，公司准备架设一条经过农田区的输电线路，为
M、N两个村同时输电．如图所示，农田区两侧AB与CD平行，且农田区宽为0.5千米，M村到AB的距离
为2千米，N村到CD的距离为1千米，M、N所在的直线与AB所夹锐角恰好为45°，根据架线要求，在农
田区内的线路要与AB垂直．请你帮助聪聪的爸爸设计出最短的线路图，并计算出最短线路的长度．（要
求：写出计算过程，结果保留根号）
【答案】（1） ；（2）EP+PM+MF的最小值是7；（3） km
【分析】（1）利用轴对称方法求最短路线，作点 关于直线 的对称点 或作点 关于直线 的对称
点 ，连接 交 于 ，则 即为最小值；
（2）由于PM是定值，可以通过平移点的方式将问题转化为问题一，再通过对称求最短路线；
（3）由于农田的宽度一定，故可将M点延AB的垂直方向移动农田的宽度到 ，将问题转化为两点之间
线段最短问题即可，作 ，并在 上截取 （农田的宽度），连接 交 于 ，作
于 ，连接 ， ，则 即为最短路线．
【详解】解：（1）如图①，延长 至 ，使 ，连接 ，过 作 于 ，矩形 ， ， ，
当 ， ， 三点共线时， 最小，即 最小；
由勾股定理得： ，故答案为 ；
（2）如图②，延长 至 ，使 ，在 下方作 ，在 上截取 ，连接 交
于 ，在 上截取 ，连接 ， ，
矩形 ，即 ，
， 四边形 是平行四边形，
， ， 三点共线， 为最小值，即 为最小值．
（3）如图③，过 作 于 ，过 作 于 ，作 交 于 ， 交 于 ，
在 上截取 ，连接 交 于 ，作 交 于 ，连接 ，
， ，
四边形 是平行四边形，
由题意知， ， ， ， ， ，
在 △ 中， ，
最短线路长度为 ．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形和矩形的性质，轴对称性质，利用轴对称求最短路线等，
解题关键是通过平移和轴对称的方法求最短路线，要学会将实际问题转化为数学问题．
例2．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，在矩形 中， ，点P、点Q分别在
边 上，且 ，连接 和 ，则 的最小值是_______．
【答案】13【分析】证明四边形 是平行四边形，得到 ，作点A关于 的对称点E，当B、Q、E在同
一直线上时， 取得最小值，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形 是矩形，∴ ，
∵ ，∴四边形 是平行四边形，∴ ，作点A关于 的对称点E，
则 ， ，当B、Q、E在同一直线上时， 取得最小值，
此时， ，∴ 的最小值是13，故答案为：13．
【点睛】本题考查的是最短线路问题及矩形的性质，勾股定理，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题
的关键．
例3．（2023春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，矩形 中， ，矩形 的对角线
相交于点O，点E，F为 边上两个动点，且 ，则 的最小值为_________．
【答案】
【分析】过点O作 于点H，把点O向右平移2个单位至点 ，作点 关于 的对称点 ，交
于点K，连接 交 于点E，作 ，交 的延长线于点G．由轴对称的性质可知
，即 的最小值是线段 的长，根据勾股定理求出 的长
即可．
【详解】过点O作 于点H，把点O向右平移2个单位至点 ，作点 关于 的对称点 ，交
于点K，连接 交 于点E，作 ，交 的延长线于点G．则四边形 和四边形都是矩形，∴ ， ， ， ．
∵ ，∴四边形 是平行四边形，∴ ，
∴ ，
∴由两点之间线段最短可知，此时 的值最小，最小值是线段 的长．
∵四边形 是矩形，∴ ， ， ，
∴ ， ．∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 的最小值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，
以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
例4．（2023·重庆·九年级专题练习）如图，正方形 的边长为4， 、 为对角线 上的动点，且
，连接 、 ，求 周长的最小值．
【答案】 周长的最小值为 ．
【分析】要使 周长的最小，只需EC+CF最小，过点 作 ，使得 ，连接 交
于点 ，构造出平行四边形 ，根据平行四边形的性质和正方形的对称性知，当 、 、 三点
共线时,EC+CF=FH+AF=AH= ，且最小，从而得到 周长的最小值．
【详解】如解图，过点 作 ，使得 ，连接 交 于点 ，连接 ．， ， 四边形 是平行四边形， ．
四边形 是正方形， 点 ， 关于 对称． ．
此时 的周长为 ．
当 、 、 三点共线时， 的周长最小，最小值为 ．
四边形 是正方形，且边长为4 ．
， ． ．
在 中， ．
周长的最小值为 ．
【点睛】本题考查轴对称-最短问题，正方形的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，凡是涉
及最短距离的问题，一般要结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
例5．（2023秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为 的正方形 中将 沿射线 平
移，得到 ，连接 、 ．求 的最小值为______．
【答案】
【分析】将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，证出四边形ABGE和四边形EGCD均
为平行四边形，根据平行四边形的性质和平移图形的性质，可得C′E=CE，CG=DE，可得EC+GC=C′E+ED，当
点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，由勾股定理求出C′D的值即为EC+GC的最小值．
【详解】如图，将△ABC沿射线CA平移到△AB′C′的位置，连接C′E、AE、DE，∵AB∥GE∥DC且AB=GE=DC，∴四边形ABGE和四边形EGCD均为平行四边形，
∴AE∥BG，CG=DE，∴AE⊥CC′，由作图易得，点C与点C′关于AE对称，C′E=CE，
又∵CG=DE，∴EC+GC=C′E+ED，当点C′、E、D在同一直线时，C′E+ED最小，
此时，在Rt△C′D′E中，C′B′=4，B′D=4+4=8， C′D= ，
即EC+GC的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查正方形的性质、图形的对称性、线段最短和平行四边形的性质与判定，解题的关键是将
两条线段的和转化为同一条线段求解．
例6．（2023·贵州黔东南·统考一模）如图，在菱形 中，对角线 ， 的长分别为 ， ，将
沿射线 的方向平移得到 ，分别连接 ， ， ，则 的最小值为______．
【答案】
【分析】连接 与 交于点 ，延长 到 ，使得 ，连接 ，证明 ， ，
得 ，当点 、 、 三点共线时， 的值最小，由勾
股定理求得 便可．
【详解】解：如图所示，连接 与 交于点 ，延长 到 ，使得 ，连接 ，四边形 是菱形， ，
，由平移性质知， ， ， ，
， ，
当点 、 、 三点共线时， 的值最小，
的最小值为： ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平移的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
模型2.将军过桥（造桥）模型
【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
【模型解读】
【单桥模型】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：
桥建在何处能使路程最短？
考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM
与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（图2 ）．
问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．
将军 A 将军 A 将军 A
M M M
河 A' 河 A' 河
N N N
B军营 B军营 B军营
图1 图2 图3【双桥模型】已知，如图4，将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建
造，问：桥建在何处能使路程最短？
图4 图5 图6
考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移
使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'．（如图5）
当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置．（如图6）
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023.北京西城八年级期中）作图题（不写作法）
（ ）如图 ，一个牧童从 点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路
程最短？请在图中画出最短路线．
（ ）如图 ，直线 是一条河， ， 是两个村庄，欲在 上的某处修建一个水泵站 ，向 ， 两地供
水，要使所需管道 的长度最短，在图中标出 点．（保留作图过程）
（ ）如图 ，在一条河的两岸有 ， 两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，
桥在图中用一条线段 表示．试问：桥 建在何处，才能使 到 的路程最短呢？请在图中画出桥
的位置．（保留作图过程）
【答案】作图见解析
【分析】（1）把河岸看做一条直线，利用点到直线的所有连接线段中，垂直线段最短的性质即可解决问题．（2）根据两点之间线段最短解答．（3）先确定AA′=CD，且AA′∥CD，连接BA′，与河岸的交点就是点
C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．
【详解】（ ）如图，点到直线垂线段最短．
（ ）如图．
（ ）如图。
例2．（2022上·湖北襄阳·九年级联考自主招生）如图有一条直角弯道河流，河宽为2， 、 两地到河岸
边的距离均为1， ， ， ，现欲在河道上架两座桥 、 ，使
最小，则最小值为
A． B． C．14 D．12
【答案】C
【分析】延长 到 ，使得 ，延长 到 ，使得 ，连接 交河道于点 ， ，
得到两座桥 ， ，此时 的值最小．
【详解】解：延长 到 ，使得 ，延长 到 ，使得 ，连接 交河道于点 ，
，得到两座桥 ， ，此时 的值最小．∴四边形 是平行四边形，∴ ，同理： = ，
延长 交 的延长线于点 ．∴ ， ，
∴ ， ，
在 中， ，
，
的最小值为14．故选：C．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
例3．（2023·内江·中考模拟）如图，已知直线 ， 、 之间的距离为8，点P到直线 的距离为6，
点Q到直线 的距离为4，PQ= ，在直线l 上有一动点A，直线 上有一动点B，满足AB⊥ ，且
1
PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ= ．
【答案】16
【分析】作PE⊥ 于E交 于F，在PF上截取PC=8，连接QC交 于B，作BA⊥ 于A，此时PA+AB+BQ
最短．作QD⊥PF于D．在Rt△PQD中，由勾股定理可求得DQ的长；易证四边形ABCP是平行四边形，
由平行四边形的性质及勾股定理可求得结果．【详解】作PE⊥ 于E交 于F，在PF上截取PC=8，连接QC交 于B，作BA⊥ 于A，此时PA+AB+BQ
最短．作QD⊥PF于D．
在Rt△PQD中，∵∠D= ，PQ= ，PD=18，∴DQ= = ，
∵AB=PC=8，AB PC，∴四边形ABCP是平行四边形，∴PA=BC，
又CD=10，∴PA+BQ=CB+BQ=QC= = =16．故答案为：16．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识．
例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图， 中， ， ， ， ，
；垂足分别为点F和E．点G和H分别是 和 上的动点， ，那么 的
最小值为______．
【答案】
【分析】过点E作 交 于点I，连接 ．易求出 ， ， ．易证
四边形 为平行四边形，得出 ，即说明当 最小时， 最小．由当点I，
H，C三点共线时， 最小．结合平行四边形的判定和性质和勾股定理求出 ，即得出
，即可得出答案．【详解】解：如图，过点E作 交 于点I，连接 ．
∵ 中， ， ，∴ ，∴ ，
∴ ， ．∵ ， ，∴ ．
∵ ，∴四边形 为平行四边形，∴ ．同理可得出 ．
∵ ， ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ，∴ ，∴当 最小时， 最小．
∵当点I，H，C三点共线时， 最小，∴此时 最小，如图，
∵ ，∴ ．∵ ∴四边形 为平行四边形，∴ ，
，
∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ 的最小值为 ． 故答案为： ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，含30度角的直角三角形，勾股定理，平行线的判定，两点之
间线段最短等知识．正确作出辅助线，理解当点I，H，C三点共线时， 最小，即此时
最小是解题关键．
例6．（2023·山东济南·统考二模）如图，在矩形 中， ， ，若点E是边 上的一个
动点，过点E作 且分别交对角线 、直线 于点O、F，则在点E移动的过程中，
的最小值为 ．【答案】6
【分析】过点D作 交 于M，过点A作 ，使 ，连接 ，当N、E、C三点
共线时， ，分别求出 、 的长度即可．
【详解】解：过点D作 交X 于M，过点A作 ，使 ，连接 ，
四边形 是平行四边形， ， 当N、E、C三点共线时， 最小，
四边形 是矩形， ， ， ，
， 四边形 是平行四边形， ， ，
， ， ，
， ，
，即 ，∴ ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
， ， 的最小值为6，故答案为：6．
【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023上·安徽宣城·九年级校考阶段练习）如图，矩形 中， ， ， 是 的中点，
线段 在 上左右滑动，若 ，则 的最小值是（ ）
A．5 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】作 关于 的对称点 ，在 上截取 ，然后连接 交 于 ，在 上截取 ，
此时 的值最小，结合平行四边形的判定和性质和勾股定理的运用解答即可．
【详解】如图，作 关于 的对称点 ，在 上截取 ，然后连接 交 于 ，在 上截取
，此时 的值最小，
， ， 四边形 是平行四边形， ， ，
， ， 为边 的中点， ， ，
由勾股定理得： 即 的最小值为 ．故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定和性质和勾股定理的运用，解决本题的关键是正确的
做出辅助线．
2．（2023下·江苏无锡·八年级校考期中）如图，E为正方形ABCD中BC边上的一点，且AB＝3BE＝3，
M、N分别为边CD、AB上的动点，且始终保持MN⊥AE，则AM+NE的最小值为（ ）A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】由勾股定理可求AE的长，由“ASA”可证 ，可得 ，通过证明四
边形NEGM是平行四边形，可得 ，由 ，可
得当点A，点M，点G三点共线时， 的最小值为AG，由勾股定理即可求解．
【详解】解：过点D作DH∥MN，交AB于点H，过点E作EG∥MN，过点M作MG∥NE，两直线交于点
G，连接AG，如图，
∵四边形ABCD是正方形，∴ ，
∵AB＝3BE＝3，∴BE＝1，∴ ，
∵DH∥MN，AB∥CD，∴四边形DHNM是平行四边形，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，在 和 中， ∴ ，
∴ ，∴ ，
∵EG∥MN， MG∥NE，∴四边形NEGM是平行四边形，
∴ ，∴ ，
∴当点A，点M，点G三点共线时， 的最小值为AG，
∴ ．故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判
定和性质等知识，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．
3．（2023·安徽·统考一模）如图，在矩形 中， ， ，点 在 上，点 在 上，且
，连接 ， ，则 的最小值为（ ）
A．25 B．24 C． D．13
【答案】A
【分析】连接 ，作 关于 的对称点 ，连接 ，可得四边形 是平行四边形，从而问
题转化为 ，然后根据轴对称求最值即可
【详解】如图，连接 ，作 关于 的对称点 ，连接 ，四边形 是矩形 ，
四边形 是平行四边形，
作 关于 的对称点 ，
当 三点共线时，取得最小值， 故选A
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，轴对称求线段和最值问题，转化
是解题的关键．
4．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与y轴交于
点A（0，6），与x轴的负半轴交于点B，且∠BAO＝30°， M、N是该直线上的两个动点，且MN＝2，连
接OM、ON，则△MON周长的最小值为 （ ）
A．2＋3 B．2＋2 C．2＋2 D．5＋
【答案】B
【详解】解：如图作点O关于直线AB的对称点O’，作 且 ，连接O’C交AB于点
D，连接ON，MO，四边形MNOC为平行四边形， ， ， ，
∴在 中， ∴，即 ， ∴
当点M到点D的位置时，即当O’、M、C三点共线， 取得最小值，
， ，设 ，则 ， ，解得： ，
∵
即： ， ， ，解得： ， ，
∴
， ， ， ， ，
∵ ∴ ∵ ∴ ∴
在 中， ，即： ， ，
∴
故选：B．
【点睛】题目主要考查轴对称及平行线、平行四边形的性质，勾股定理解三角形， 角的直角三角形性
质，理解题意，作出相应图形是解题关键．
5．（2023上·江苏南通·八年级统考期中）如图， 中， ， ， ，若D，E是
边 上的两个动点，F是边 上的一个动点， ，则 的最小值为（ ）A．3 B． C． D．3
【答案】A
【分析】首先 是含有 角的直角三角形，因此可以得知各边的长分别为 ， ．因为
点 ，点 是边 上的两个动点， 是边 上的一个动点，求 的最小值，就是需要转换成同
一直线上求解，即求 关于 的对称点 ，作 ．构建平行四边形 ，作 于点
，交 于点 ．利用平行四边形和对称图形的性质，找出线段之间的关系,求出 的长度即为所求最
小值．
【详解】解：如图，过点C作关于 的对称点 ，连接 ，交 于点N；过 作 ，且
，过 作 于点F，交AB于点E，
∵ ， ， ∴四边形 是平行四边形，∴ ，
又∵ 关于 对称，∴ ，∴ ，即 的最小值为 ，
∵ ， ，∴ ，∴ ， ，
过 作 ，则 ，又∵ ，∴四边形 是矩形，
∴ ， ，∵ ， ，∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ’故选：A．
【点睛】本题主要考查动点构成的线段中最小值问题，转换成三点共线，并在垂直的时候最小，找到对称
点，构建最短路径是解题的关键．
6．（2023下·辽宁鞍山·八年级统考期末）如图，河的两岸有 ， 两个水文观测点，为方便联络，要在河
上修一座木桥 （河的两岸互相平行， 垂直于河岸），现测得 ， 两点到河岸的距离分别是5米，
4米，河宽3米，且 ， 两点之间的水平距离为12米，则 的最小值是 米．
【答案】18
【分析】作 垂直于河岸，使 等于河宽，连接 ，与靠近A的河岸相交于M，作 垂直于另一
条河岸，则 且 ，于是 为平行四边形，故 ；根据“两点之间线段最
短”， 最短，即 最短，也就是 最短，据此求解即可．
【详解】作 垂直于河岸，使 等于河宽，连接 ，与靠近A的河岸相交于M，作 垂直于另一
条河岸， 过点A作 交 的延长线于点C，
则 且 ，于是 为平行四边形，故 ，当 时， 最小，也就是 最短，
∵ （米）， （米）， （米）
∴在 中， （米），
∴ 的最小值为： （米） 故答案为：18 ．
【点睛】本题考查了轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、平行四边形的判定与性质，要利用“两点之
间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，
从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化．
7．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，在 中， ， ，M、N分别是 、 边上的动
点，且 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】由 可知 为定长，在 、 间滑动，故由造桥选址模型进行平移，转化为两点
间距离加上定长，再利用特殊角构造直角三角形，使用勾股定理求出两点间距离．
【详解】作 交 于点E，在 取 ，连接 ，延长 至点 ，使 ，连接
，作 于点 ，如下图：
， ， 为等边三角形， ，
， ， 四边形 为平行四边形，
同理得四边形 与四边形 为平行四边形，
， ， ，
，中 ， ，
中 ，
， 的最小值是 ．
【点睛】本题考查平移类最短路径，为造桥选址模型，即沿一个方向平移的定长线段两端到两个定点距离
和最小，解题时需要理清楚是否含有定长平移线段，且利用平移求出最短路径位置．求解长度时若有特殊
角，通常采用构造直角三角形利用勾股定理求解的方法．
8．（2023.广东省深圳市九年级期中）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x
轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，
点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．
（1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____；
（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为_____；
【答案】（1）（﹣2，2 ），（4，2 ）；（2）（2， ）；
【分析】（1）由30°直角三角形的性质求出OD的长，再由平行四边形的性质求出BD的长即可解决问题；
（2）首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，因为PM是定值，推出PB+ME′=OP+PB的值最
小时，BP+PM+ME′的长度最小；
【详解】解：（1）如图1中，
在Rt△ADO中，∵∠A=60°，∴∠AOD=30°．∵AD=2，∴OD =2 ，∴A（﹣2，2 ），
∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2 ）；（2）如图1中，连接OP．
∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=
．
∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形，∴OP=EM，
∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B共线时，
BP+PM+ME′的长度最小．∵直线OB的解析式为y= x，∴P（2， ）．故答案为（2， ）．
【点睛】本题考查了四边形综合题、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、最短问题等知识，解
题的关键是学会利用两点之间线段最短，解决最短问题．
9．（成都市2022-2023学年八年级期末）如图，在平面直角坐标系中有 ， 两点．将直线 ：
向上平移 个单位长度得到直线 ，点 在直线 上，过点 作直线 的垂线，垂足为点 ，连接 ，
， ，则折线 的长 的最小值为 ．【答案】
【分析】先证四边形 是平行四边形，可得 ，则 ，即当点 ，
点 ，点 三点共线时， 有最小值为 的长，即 有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，将点 沿 轴向下平移 个单位得到 ，以 为斜边，作等腰直角三角形 ，
则点 ，连接 ， 是等腰直角三角形， ， ，
将直线 ： 向上平移 个单位长度得到直线 ， ， ，
， ， ，
， ， ， 四边形 是平行四边形，
， ，
当点 ，点 ，点 三点共线时， 有最小值为 的长，即 有最小值，
点 ，点 ， ，
折线 的长 的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了轴对称 最短路线问题，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，一次函
数的应用，添加恰当辅助线构造平行四边形是解题的关键．
10．（2023·广西·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，E，
F是AD边上的动点，且EF=2，则四边形BEFC周长的最小值为 ．
【答案】14+2
【详解】如图，将点B沿BC向右平移2个单位长度得到点B'，作点B'关于AD的对称点B″，连接CB″，
交AD于点F，在AD上截取EF=2，连接BE，B'F，∴BE=B'F，B″F=B'F，此时四边形BEFC的周长为BE+EF+FC+BC=B″F+EF+FC+BC=B″C+EF+BC．
当点C，F，B″三点共线时，四边形BEFC的周长最小．
∵AB=4，BB'=2，∠ABC=60°，∴B'B″经过点A，∴AB'=2 ，∴B'B″=4 ．
∵BC=12，∴B'C=10，∴B″C=2 ，∴B″C+EF+BC=14+2 ，∴四边形BEFC周长的最小值为14+2
．
11．（2023下·江苏·八年级统考期末）如图，已知菱形 的对角线 ， 相交于点 ，点 ， 在
对角线 上，且 ，过点 作 的垂线，与边 交于点 ，连接 ．若 ， ，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接 ， ， ，可证四边形 是平行四边形，从而可得 ，求 的最小
值，求 最小值即可，当 、 、 三点在一条直线上时， 最小值，即可求解．
【详解】解：连接 ， ， ，
四边形 是菱形， ， ，， ， ，
四边形 是平行四边形， ， 求 的最小值，求 最小值即可，
如图，当 、 、 三点在一条直线上时， 最小值，
， ， ，
解得： ； ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了动点最值问题，菱形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理，找出取得最小值
的满足的条件，再根据相关的判定方法及性质进行求解是解题的关键．
12．（2023下·四川宜宾·八年级校考阶段练习）如图，在正方形 中， ，点E为 的中点，
点M、N为 边上两个动点，且 ，则 的最小值是 ．
【答案】13
【分析】如图所示，作点E关于 的对称点F，过点F作 ，连接 ，过
点G作 于H，由轴对称的性质可得 ，证明四边形 是平行四边形，
得到 ，进而推出当A、M、G三点共线时 最小，即 最小，最小值为
的长，再证明四边形 是矩形，求出 ， ，则 ，即 的
最小值为13．
【详解】解：如图所示，作点E关于 的对称点F，过点F作 ，连接 ，
过点G作 于H，∵四边形 是正方形，∴ ，
∵点E为 的中点，由轴对称的性质可得 ，∵ ，∴四边形 是平行四边形，
∴ ，∴ ，
∴当A、M、G三点共线时 最小，即 最小，最小值为 的长，
∵ ，∴ ，又∵ ，∴四边形 是矩形，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ 的最小值为13，故答案为：13．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，轴对
称的性质等等，正确作出辅助线确定 最小时的情形是解题的关键．
13．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）如图，在菱形 中， ， ，在 边上有一
线段 由 向 运动，点 到达点 后停止运动， 在 的左侧， ，连接 ， ，则 周
长的最小值为 ．
【答案】
【分析】过点 作 交 于点 ，再作点 关于 的对称点 ，连接 ，连接 与 交
于点 ，当 运动到 点时， ， ， 三点共线，此时 取最小值，即 取最小值，则
此时 的周长最小．
【详解】解：如图，过点 作 交 于点 ，则四边形 为平行四边形，
， ，再作点 关于 的对称点 ，连接 ，则 ，连接 与
交于点 ，当 运动到 点时， ， ， 三点共线，此时 取最小值，即 取最小值，则此时 的周长最小．过点 作 ，过点 作 交 于点 ，
，
， ，连接 ， ， ， 四边形 为矩形，
， ， ，
周长的最小值 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查了关于移动线段中三角形周长最小值问题，添加合适的辅助线转化为两点间距离问题是
解题关键．
14．（2023上·陕西宝鸡·九年级统考期末）如图，在菱形 中， ， ，点 ， 在
上，且 ，连接 ， ，则 的最小值为
【答案】
【分析】解连接 ，过 作 ，且 ，连接 ．所以四边形 是平行四边形，
因此 ，则 ，即 的最小值为 ，据此解答即可．
【详解】解：连接 ，交 于点 ，过 作 ，且 ，连接 ．四边形 是平行四边形， ， ，即 的最小值为 ，
四边形 是菱形， ， ，
又 ， 在 中， ， ， ，
在 中， ， ，
即 的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】此题主要考查菱形的性质和轴对称，勾股定理及平行四边形的判定等知识的综合应用．关键是掌
握菱形是轴对称图形，菱形对角线互相垂直且平分．
15．（2022下·江苏·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ， ，将 沿射线
平移，得到 ，再将 沿射线 翻折，得到 ，连接 、 ，则 的最小值
为
【答案】45
【分析】连接 ，作点D关于直线 的对成点T，连接 、 、 ．首先证明B、A、T共线，求
出 ，证明四边形EGCD是平行四边形，推出 ，进而得到 ，根据
，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接 、 ，作点D关于直线 的对成点T，连接 、 、 ．∵ ， ，将 沿射线 平移，得到 ，再将 沿射线 翻折，得到
，
∴ ， ， ，∵ ，∴ ，
∵D、T关于 对称，∴ ， ，∴ ，
∵ ，∴B、A、T共线，∴ ，
∵ ， ，∴四边形EGCD是平行四边形，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，则 的最小值为45．故答案为：45．
【点睛】本题考查轴对称，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的
关键是学会运用转化的思想思考问题．
16．（2023·福建·校联考一模）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，E、F为矩形内部的两动点，
且满足EF∥BC，EF＝4，S BEFC＝26，则BE+EF+FC的最小值等于 ．
四边形
【答案】4+ ．
【分析】作EG⊥BC于G，作FH∥BE交BC于H，证出四边形BEFH是平行四边形，得出FH=BE，BH=EF=4，得
出CH=BC-BH=5，由梯形面积求出EG=4，若BE+EF+FC最小，则BE+FC=FH+FC最小，作点C关于直线EF的对
称点C'，连接HC'交直线EF于F'，则FH+FC的最小值为F'H+F'C=HC'，在Rt HCC'中，CC'=8，由勾股定理求
出HC'，即可得出结果． △【详解】作EG⊥BC于G，作FH∥BE交BC于H，如图所示：
∵EF∥BC，FH∥BE，∴四边形BEFH是平行四边形，
∴FH＝BE，BH＝EF＝4，∴CH＝BC﹣BH＝5，BE+FC＝FH+FC，
∵EF∥BC，EF＝4，S BEFC＝26，∴ （4+9）×EG＝26，解得：EG＝4，
四边形
若BE+EF+FC最小，则BE+FC＝FH+FC最小，
作点C关于直线EF的对称点C'，连接HC'交直线EF于F'，连接F'C，
则FH+FC的最小值为F'H+F'C＝HC'，在Rt HCC'中，CC'＝4+4＝8，
△
由勾股定理得：HC'＝ ，∴BE+EF+FC的最小值＝4+ ；故答案为4+ ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、轴对称-最短路线问题、矩形的性质、勾股定理、梯形面积
等知识；通过作轴对称得出FH+FC的最小值为F'H+F'C=HC'是解题的关键．
17．（2023.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在 处角转弯，河宽相同，从 处到达 处，
须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使
到 的路程最短，请确定两座桥的位置．
【答案】见解析
【分析】由于含有固定线段“桥”，需要将点 向下平移至点 ，点 向右平移至点 ，构造平行四边形
进行求解即可．
【详解】解：如图所示，将点 向下平移至点 ，使 的长等于河宽，将点 向右平移至点 ，使
的长等于河宽；连接 ，与河岸相交于点 ， ；过点 作 于点D，过点 作 于
点 ，则 ， 即为两桥的位置．，
【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，由于有固定的长度的线段，常用的方法通过平移，构造平行
四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答．
18．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图①，在 中，
，点D，E分别是 的中点．若点M，N分别是 和 上的动点，则
的最小值是______．
（2）问题探究：如图②，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，
才能使从A到B的路径 最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河
岸的垂线，使 ， 为河宽，连接 ， 与河的一岸交于点N，此时在点N处建桥，可使从A
到B的路径 最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由．（3）问题解决：如图③，在
矩形 中， ．E、F分别在 上，且满足 ， ．若边长为10的正
方形 在线段 上运动，连接 ，当 取值最小时，求 的长．
【答案】（1）3；（2）小旭的说法正确，理由见解析；（3）38或14
【分析】（1）连接 ，过点A作 于点F，根据两点之间线段最短，可得当 时， 最
短，此时点N与点F重合，即 的最小值为 的长，再根据直角三角形的性质，即可求解；
（2）根据题意可得四边形 为平行四边形，从而得到 ，再根据“两点之间线段最短”，当
点 ，N，B三点共线时， 最短，即可求解；
【详解】解：（1）如图，连接 ，过点A作 于点F，∴ ，当 时， 最短，此时点N与点F重合，即 的最小值为 的长，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ 的最小值为3；答案：3
（2）解：小旭的说法正确，理由如下：根据题意得： ， ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ，
根据“两点之间线段最短”，当点 ，N，B三点共线时， 最短，
∵ 为河宽，∴在点N处建桥，可使从A到B的路径 最短．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，两点之间，线段最短，熟练掌握
直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键．
19．（2023上·重庆万州·九年级校考期中）如图，直线 的图象与 轴和 轴分别交于点 和点
， 的垂直平分线 与 轴交于点 ，与 交于点 ，连接 ．(1)如图1，求 的长；(2)如图2，
若点 是射线 上的动点，点 和点 是 轴上的两个动点，且 ，当 的面积为 时，求
的最小值。
【答案】(1) (2) 的最小值为
(3)存在以 为顶点的四边形是菱形，所有满足条件的点 的坐标为 或 或
【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点的方法，令 ， ，即可求解；（2）根据题意可求出
的面积，再根据 的面积为 时，可求出点 的坐标，根据“造桥求最短路径的方法”即可求
解；【详解】（1）解：∵直线 的图象与 轴和 轴分别交于点 和点 ，
∴令 ，则 ；令 ，则 ；∴ ， ，∴ ，
∵ 是 的垂直平分线，∴ ，设 ，则 ，
∴在 中， ，∴ ，
解得， ，即 ，∴ ．
（2）解：已知 ， ， 是 的垂直平分线，
∴ ，即 ，且 ，∴ ，
∵ ， ，设 所在直线的解析式为 ，
∴ ，解得， ，∴ 所在直线的解析式为 ，
∵点 在直线 的图象上，∴设 ，∴ ，
∴ ，∴ ，整理得， ，
解得， ， ，∴ ， ，
∵点 是射线 上的动点， ，∴ 舍去，∴点 的坐标为 ，
∴当 时，如图所示，作点 关于 轴对称的点 ，将线段 向上平移至点 与点 重合，即
，此时点 三点共线，即四边形 是平行四边形，则
，此时 的值最小，∴ ，∵ ，∴ ，
如上所示，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，且 ，
∴ ，则 ， ，
∴在 中， ，则 ，
∴ 的值最小为 ．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握一次函数与坐标轴交点的计算方法，对称最段路
径的计算方法，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．
20．（2023下·黑龙江牡丹江·八年级校考期中）问题背景
（1）如图（1），在公路 的一侧有 ， 两个工厂， ， 到公路的垂直距离分别为 和 ， ，
之间的水平距离为 ．现需把 厂的产品先运送到公路上然后再转送到 厂，则最短路线的长是_____
．
问题探究（2）如图（2）， 和 是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，
，点 ， 重合，点 ， 重合，将 沿直线 平移，得到 ，连接
， ．试探究在平移过程中， 是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请
说明理由．
问题解决（3）如图（3），A，B分别是河岸m一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是
和 ， ， 的水平距离是 ．游客在景点 游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游
轮沿河航行 到达码头乙，再乘坐大巴到达景点 ．请问码头甲，乙建在何处才能使从 到 的旅游路
线最短，并求出最短路线的长．【答案】（1） （2）存在，最小值为 （3）最短路线长为
【分析】（1）根据最短路径的作法，找出最短路径 ，再利用矩形的性质，求出 和 的距离，最
后利用勾股定理即可求出最短路径；（2）根据平移的性质可知四边形 和 均为平行四边形，再
利用最短路径作法得出 即为最短距离，最后根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求出答案；
（3）根据题意画图可知四边形 为平行四边形，最后根据勾股定理即可求出答案．
【详解】解：（1） 如图 （1）， 点 是公路 上的一点， 假设先把产品运送到点 处， 再转送到
厂， 作点 关于 的 对称点 ， 连接 ， ， 连接 交 于点 ，
则 ， ，
当点 与点 重合时， 取得最小值， 为 的长．
连接 ， 交 于点 ， 过点 作 于点 ， 过点 作 ， 垂足为点 ，
则 ， 四边形 是矩形， ， ，
又 ， ，
即最短路线的长是 ．故答案为： ．
（2） 存在．理由如下，如图 （2）， 过点 作直线 ， 作点 关于直线 的对称点 ， 连接， ， 交直线 于点 ， 过点 作 交直线 于点 ， 连接 ， ， ， 则
．
由平移知 ， ．
又 ， 四边形 是平行四边形， ，
由平移知 ， 又 ， 四边形 是平行四边形，
当点 与点 重合时， 最小， 最小值为 的长．
过点 作 交 的延长线于点 ， 则 为等腰直角三角形．
， ， ，
的最小值为 ．故答案为：存在，最小值为 ．
（3） 如图 （3），设码头乙为点 ， 码头甲为点 ， 连接 ， ，
过点 作 ， 且 ， 作点 关于 的对称点 ， 连接 交 于点 ．
连接 ， 则 ． 是平行四边形， ，
点 ，N重合时，旅游路线最短．过点 作直线 ， 过点 作 于点 ，
则 ， ， ，
， ．故答案为：最短路线长为 ．
【点睛】本题考查了轴对称在最短路径问题中的应用，涉及到的知识点有矩形的性质、平行四边形的性质、
等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键在于如何利用轴对称找到最短路径．
