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专题 25 最值模型之将军遛马模型与将军过桥（造桥）模型
将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的
思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型
和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决将军遛马和将军过桥（造桥），不管是横向还是纵向的线段长度（定长），只要将线段按照
长度方向平移即可，即可以跨越长度转化为标准的将军饮马模型，再依据同侧做对称点变异侧，异侧直接
连线即可。利用数学的转化思想，将复杂模型变成基本模型就简单容易多了，从此将军遛马和将军过桥
（造桥）再也不是问题！
模型1.将军遛马模型
【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
【模型解读】已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直
线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)
（1）点A、B在直线m两侧： （2）点A、B在直线m同侧：
A E
A C
A B
A
B
m m m
P Q P Q P Q
m
B B P Q B'
图1 图2
（1）如图1，过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，
此时P、Q即为所求的点。（2）如图2，过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连
接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023·黑龙江·九年级校考期中）问题背景（1）如图（1），在公路 的一侧有 ， 两个工厂， ，
到公路的垂直距离分别为 和 ， ， 之间的水平距离为 ．现需把 厂的产品先运送到公路
上然后再转送到 厂，则最短路线的长是_____ ．
问题探究（2）如图（2）， 和 是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，
，点 ， 重合，点 ， 重合，将 沿直线 平移，得到 ，连接
， ．试探究在平移过程中， 是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请
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说明理由．
问题解决（3）如图（3），A，B分别是河岸m一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是
和 ， ， 的水平距离是 ．游客在景点 游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游
轮沿河航行 到达码头乙，再乘坐大巴到达景点 ．请问码头甲，乙建在何处才能使从 到 的旅游路
线最短，并求出最短路线的长．
例2．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上
的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 _____．
例3．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形 中， ， 是 的中点，线段 在
边 上左右滑动；若 ，则 的最小值为____________．
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例4．（2023上·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）如图，正方形 内接于⊙O，线段 在对角线
上运动，若⊙O的周长为 ， ，则 周长的最小值是 ．
例5．（2023秋·河南南阳·九年级校联考期末）如图，在边长为 的正方形 中将 沿射线 平
移，得到 ，连接 、 ．求 的最小值为______．
例6．（2023·贵州黔东南·统考一模）如图，在菱形 中，对角线 ， 的长分别为 ， ，将
沿射线 的方向平移得到 ，分别连接 ， ， ，则 的最小值为______．
模型2.将军过桥（造桥）模型
【核心思路】去除定量，组合变量（通过几何变换将若干段原本彼此分类的线段组合到一起）。
【模型解读】
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【单桥模型】已知，如图1将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：
桥建在何处能使路程最短？
考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM
与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置（图2 ）．
问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．
将军 A 将军 A 将军 A
M M M
河 A' 河 A' 河
N N N
B军营 B军营 B军营
图1 图2 图3
【双桥模型】已知，如图4，将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建
造，问：桥建在何处能使路程最短？
图4 图5 图6
考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移
使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'．（如图5）
当A'、Q、M、B'共线时，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次确定P、N位置．（如图6）
【最值原理】两点之间线段最短。
例1．（2023.浙江八年级期中）同学们已经学过一些平行线的性质，其实平行线的性质还有一些：
（1）如图1，如果 ，在a上任取一点P，作PQ⊥b于点Q，则线段PQ的长度叫a，b之间的距离.
如果在a上再取一点M，作MN⊥b于点N，则线段MN可以看成由线段PQ平移得到，即MN=PQ，这就得
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到平行线的又一条性质：平行线间的距离处处相等．根据平移还有哪些线段相等 .
（2）刚在（1）中提到的平行线性质在河上建桥也有广泛的应用：如图2，直线a，b表示一条河的两岸，
且 . 现在要在这条河上建一座桥．使村庄A经桥过河到村庄B．现在由小明、小红两位同学设计：
小明：作AD⊥a，交a于点D，交b于点C． 在CD处建桥. 路径是A-C-D-B．
小红：作AD⊥a，交a，b于点D，点C；把CD平移至BE，连AE，交b于G，作GF⊥a于F. 在FG处建桥．
路径是A-G-F-B．
问：小明、小红谁设计的路径长较短？再用平移等知识说明理由.
（3）假设新桥就按小红的设计在FG处实施建造了，上游还有一座旧桥，凌晨3点某船从旧桥下到新桥下，
到达后立即返回，来回穿梭于两桥之间，船在静水每小时16千米，水流每小时4千米，在当晚23点时有
人看见船在离旧桥80千米处行驶求这两桥之间的距离.
例2．（2023.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在 处角转弯，河宽相同，从 处到达 处，
须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使
到 的路程最短，请确定两座桥的位置．
例3．（2023·广西·二模）已知，在河的两岸有A，B两个村庄，河宽为4千米，A、B两村庄的直线距离AB
＝10千米，A、B两村庄到河岸的距离分别为1千米、3千米，计划在河上修建一座桥MN垂直于两岸，M
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点为靠近A村庄的河岸上一点，则AM+BN的最小值为( )
A．2 B．1+3 C．3+ D．
例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图， 中， ， ， ， ，
；垂足分别为点F和E．点G和H分别是 和 上的动点， ，那么 的
最小值为______．
例5．（2023.山东中考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，
3）三点．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当
S =S 时，求N点的坐标；(3)在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，
NBC ABC
△ △
动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的
最小值．
例6．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，在 中， ， ，M、N分别是 、
边上的动点，且 ，则 的最小值是________．
课后专项训练
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1．（2021·四川南充市·中考真题）如图，在矩形ABCD中， ， ，把边AB沿对角线BD平
移，点 ， 分别对应点A，B．给出下列结论：①顺次连接点 ， ，C，D的图形是平行四边形；②
点C到它关于直线 的对称点的距离为48；③ 的最大值为15；④ 的最小值为
．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023安徽中考学二模）如图，菱形ABCD的边长为2 ，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上运动，
且EF＝2，连接AE、AF，则 AEF周长的最小值是（ ）
△
A．4 B．4+ C．2+2 D．6
3．（2022·重庆九龙坡·统考一模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将 ABD沿射线BD
方向平移，得到 EFG，连接EC、GC．则EC+GC的最小值为（ ） △
△
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A．2 B．4 C．2 D．4
4．（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考三模）在边长为2的正方形 中，点E、F是对角线 上的两
个动点，且始终保持 ，连接 、 ，则 的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
5．（2023·广东·九年级期中）如图，CD是直线x＝1上长度固定为1的一条动线段．已知A（﹣1，0），B
（0，4），则四边形ABCD周长的最小值为 _________________．
6．（2022·浙江金华·八年级期末）在综合实践课上，小明把边长为2cm的正方形纸片沿着对角线AC剪开，
如图l所示．然后固定纸片 ABC，把纸片 ADC沿AC的方向平移得到 A′D′C′，连A′B，D′B，D′C，在平
移过程中：（1）四边形A′B△CD′的形状始终△是 __；（2）A′B+D′B的最小△值为 __．
7．（2022下·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，在矩形 ABCD 中，AD=BC=3，
∠DBC=60°，将△DAB 沿射线 DB方向平移得到△D’A’B’，连接 CD’和 CB’， 则 CD’+CB’的最小值为
．
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8．（2023·山东潍坊·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知 ， ， 是 轴上的一条
动线段，且 ，当 取最小值时，点 坐标为______.
9．（2023·四川成都·模拟预测）如图，菱形 的 边在 轴上，顶点 坐标为 ，顶点 坐标
为 ，点 在 轴上，线段 轴，且点 坐标为 ，若菱形 沿 轴左右运动，连接 、
，则运动过程中，四边形 周长的最小值是________．
10．（2023·重庆·校考三模）如图，在边长为1的菱形ABCD中， ，将 沿射线BD的方
向平移得到 ，分别连接 ， ， ，则 的最小值为 ．
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11．（2023.广东省深圳市九年级期中）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为
x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分
线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．
（1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____；
（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为_____；
12．（成都市2022-2023学年八年级期末）如图，在平面直角坐标系中有 ， 两点．将直线 ：
向上平移 个单位长度得到直线 ，点 在直线 上，过点 作直线 的垂线，垂足为点 ，连接 ，
， ，则折线 的长 的最小值为 ．
13．（广西2021年中考数学真题）如图，已知点 ， ，两点 ， 在抛物线 上，
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向左或向右平移抛物线后， ， 的对应点分别为 ， ，当四边形 的周长最小时，抛物线的解
析式为 ．
14．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）（1）问题提出如图①，在 中，
，点D，E分别是 的中点．若点M，N分别是 和 上的动点，则
的最小值是______．
（2）问题探究：如图②，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥（与河床垂直），桥造在何处，
才能使从A到B的路径 最短．博琳小组针对该问题展开讨论，小旭同学认为：过A作河
岸的垂线，使 ， 为河宽，连接 ， 与河的一岸交于点N，此时在点N处建桥，可使从A
到B的路径 最短．你认为小旭的说法正确吗？请说明理由．（3）问题解决：如图③，在
矩形 中， ．E、F分别在 上，且满足 ， ．若边长为10的正
方形 在线段 上运动，连接 ，当 取值最小时，求 的长．
15．（2023.广安九年级月考）如图，抛物线 ，经过点 ， ， 三
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点． 求抛物线的解析式及顶点M的坐标； 连接AC、MB，P为线段MB上的一个动点（不与点M、B
重合），过点P作x轴的垂线PQ，若OQ=a，四边形ACPQ的面积为s，求a为何值时，面积s最大；
点N是抛物线上第四象限的一个定点，坐标为 ，过点C作直线 轴，动点 在直线l
上，动点 在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时， 的和最小，并求出
和的最小值．
16．（2023·陕西咸阳·校考一模）【问题提出】（1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距
离 ，点B到直线l的距离 ，A、B两点的水平距离 ，点P是直线l上的一个动点，则
的最小值是________；
【问题探究】（2）如图2，在矩形 中， ， ，G是 的中点，线段 在边 上左
右滑动，若 ，求 的最小值；
【问题解决】（3）如图3，某公园有一块形状为四边形 的空地，管理人员规划修两条小路 和
（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在 和 上分别选取点M、N，沿 、 和
修建地下水管，为了节约成本，要使得线段 、 与 之和最小．
已测出 ， ， ， ， ，管理人员的想法能否实现，
若能，请求出 的最小值，若不能，请说明理由．
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17．（2023上·重庆万州·九年级校考期中）如图，直线 的图象与 轴和 轴分别交于点 和点
， 的垂直平分线 与 轴交于点 ，与 交于点 ，连接 ．(1)如图1，求 的长；(2)如图2，
若点 是射线 上的动点，点 和点 是 轴上的两个动点，且 ，当 的面积为 时，求
的最小值。
18．（2023·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】
古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个
军营 ．他总是先去 营，再到河边饮马，之后，再巡查 营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天
走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点 关于直线
的对称点 ，连结 与直线 交于点 ，连接 ，则 的和最小．请你在下列的阅读、理解、应
用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线 上另取任一点 ，连结 ， ， ，∵直线 是点
， 的对称轴，点 ， 在 上，
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（1）∴ __________， _________，∴ ____________．在 中，∵
，∴ ，即 最小．
【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点 在直线同侧的问题转化为在直线
的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决
（其中点 为 与 的交点，即 ， ， 三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧
两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．
【模型应用】（2）如图④，正方形 的边长为4， 为 的中点， 是 上一动点．求
的最小值．
解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点 与 关于直线 对称，连结
交 于点 ，则 的最小值就是线段 的长度，则 的最小值是__________．
（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为 ，底面周长为 ，在杯内离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此
时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_____ ．
（4）如图⑥，在边长为2的菱形 中， ，将 沿射线 的方向平移，得到 ，
分别连接 ， ， ，则 的最小值为____________．
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