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淘宝：学思创想
专题24 相似模型之（双）A 字型与（双）8 字型模型
相似三角形是几何中重要的证明模型之一，是全等三角形的推广，分析图形间的关系离不开数量的计
算。相似和勾股是产生等式的主要依据（其他依据还有面积法，三角函数等），因此要掌握相似三角形的
基本图形，体会其各种演变和联系。相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综
合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。本专题重点讲解相似三角形的（双）A 字模型和
（双）8（X）字模型．
....................................................................................................................................................1
模型1.“A”字模型............................................................................................................................................1
模型2.“X”字模型（“8”字模型）................................................................................................................6
模型3.“AX”字模型（“A8”字模型）.........................................................................................................10
..................................................................................................................................................16
【知识储备】A 字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的
是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无
论小题还是大题都是屡见不鲜的。
模型1.“A”字模型
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“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相
等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。
①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型
图1 图2 图3 图4
①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。
证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。
②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。
证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。
③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC；
结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔
。
证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC，
同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。
④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC 的内接矩形DEFG 的边EF 在BC 边上，D、G 分别在AB、AC 边
上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔
。
证明:∵DEFG 是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC，
同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴
。
例1．（2024·吉林长春·三模）如图，在
中，点
、
为边
的三等分点，点
、
在边
上，
，
交
于点
．若
，则
的长为 ．
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【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握
平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解题的关键．利用平行线的性质得到
，利
用相似三角形的性质求得
的长度，利用平行线分线段成比例定理求得
，再利用相似三角形的
判定与性质解答即可得出结论．
【详解】
点
，
为边
的三等分点，
，
，
，
，
，
点
，
为边
的三等分点，
，
点
，
为边
的三等分点，
，
，
，
，
．故答案为：
例2．（2023·广东广州·模拟预测）如图，正方形
内接于
，点
，
在
上，点
，
分
别在
和
边上，且
边上的高
，
，则正方形
的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，线段的和与差等知识．解题的关键是根据比
例表示出相应线段列方程．根据三角形相似，找到对应线段成比例列方程求解即可．
【详解】解：设正方形
的边长为
，则
，
∵四边形
是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
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解得：
，正方形
的面积为
故答案为：
例3．（2024·湖南永州·模拟预测）如图：
中，
，
，
，把边长分别为
，
，
，…
的n 个正方形依次放在
中；第一个正方形
的顶点分别放在
的各边上；
第二个正方形
的顶点分别放在
的各边上，其他正方形依次放入，则第2024 个正方形的
边长
为 ．
【答案】
/
【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，图形类的规律型问题．先由正方形的
性质得到
，
，则
，
，即可推出
，即
，从而求出
，同理可证
，
得到
，即
，推出
，即可得到规律可推出第n 个正方形的边长
，由
此即可得到答案．
【详解】解：∵四边形
是正方形，
∴
，
，∴
，
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∴
，即
，∴
，∴
，
同理可证
，
∴
，即
，∴
，同理可求得
，
∴可以推出第n 个正方形的边长为
，∴第2024 个正方形的边长
为
，故答案为：
．
例4．（2024·山东·中考真题）如图，点
为
的对角线
上一点，
，
，连接
并
延长至点
，使得
，连接
，则
为（ ）
A．
B．3
C．
D．4
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助
线是解题关键．
作辅助线如图，由平行正相似先证
，再证
，即可求得结果．
【详解】解：延长
和
，交于
点，
∵四边形
是平行四边形，∴
，
即
，∴
∴
，∵
，
，∴
，∴
，
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又∵
，
，∴
，
∵
，
，∴
，∴
，
∴
∴
，∴
，∴
；∵
，∴
．故选：B．
例5．（23-24 九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，
，垂足为
，
，垂足为
，
与
相交于点
，(1) 判断
与
是相似三角形吗？请说明理由；(2) 连接
，求证：
；
(3)若
，
，
，求
的长．
【答案】(1)
，理由见解析；(2)证明见解析；(3)
．
【分析】（）由垂直的定义得到
，再利用两角对应相等的两个三角形相似即可求解；
（
）根据相似三角形的性质和判定定理即可得到求证；（）利用等腰三角形的“三线合一”定理可得
，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出
长，最后代入
，
解方程即可；本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和相似三角形的判
定和性质的应用，能熟练地运用定理进行推理是解题的关键．
【详解】（1）
，理由如下，
∵
，
，∴
，
∵
，
，∴
；
（2）由（）得
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
；
（3）∵
，
，∴
，∴
，∴
，由（
）得
，
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∵
，∴
，∵
，∴
，∴
．
模型2.“X”字模型（“8”字模型）
“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两
个三角形相似．
①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型
图1 图2 图3 图4
①“8”字模型
条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。
证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。
②反“8”字模型
条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。
证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。
③平行双“8”字模型
条件：如图3，AB∥CD；结论：
。
证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO，
同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴
。
④斜双“8”字模型
条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。
证明:∵∠1 ＝∠2 ，∠AOD=∠BOC （对顶角）， ∴△AOD∽△BOC ，∴AO:BO=DO:CO ，即
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AO:DO=BO:CO；
∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。
例1．（2024·吉林·中考真题）如图，正方形
的对角线
相交于点O，点E 是
的中点，点
F 是
上一点．连接
．若
，则
的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到
，
，再证明
，进而可证明
，由相似三角形的性质可得
，即
．
【详解】解：∵正方形
的对角线
相交于点O，∴
，
，
∵点E 是
的中点，∴
，∵
，∴
，∴
，
∴
，即
，故答案为：
．
例2.（23-24 九年级上·浙江杭州·期中）如图，
与
交于点O，
过点O，交
于点E，交
于点
，
．（1）求证：
．（2）若
，求
．
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【答案】（1）见解析；（2）
【分析】(1)证明△OAB∽△ODC，可得出结论；(2) 证得AB//CD，可得
，则可得结果
.
【详解】证明：（1）
．
，
．
（2）
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟悉并灵活运用以上性质是解
题的关键．
例3．（2024·四川眉山·中考真题）如图，菱形
的边长为6，
，过点
作
，交
的延长线于点
，连结
分别交
，
于点
，
，则
的长为 ．
【答案】
/
【分析】此题考查菱形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识
点．首先根据菱形的性质得到
，
，
，然后勾股定理求出
，
，然后证明出
，得到
，
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求出
，然后证明出
，得到
，求出
，进而求解即可．
【详解】解：
菱形
的边长为6，
，
，
，
，
，
，
，在
中，
，
，
，
，
，
，在
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．故答案为：
．
例4．（23-24 九年级上·安徽蚌埠·期中）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形
的重心．(1)特例感知：如图一，已知边长为3 的等边
的重心为点O，求
与
的面积；
(2)性质探究：如图二，已知
的重心为点O，请判断
、
是否都为定值？如果是，分别求
出这两个定值；如果不是，请说明理由；
(3)性质应用：如图三，在正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，连接BE 交对角线AC 于点M．
若正方形ABCD 的边长为4，求EM 的长度；
若
，求正方形ABCD 的面积
【答案】(1)
(2)是定值；是定值；详见解析(3)①
；②
【分析】（1）连接
，可证
，可推出
，即可求解；（2）由（1）中结论
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即可求解；（3）①证
即可求解；②根据
求出
即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接
由题意可知：
为
的中位线∴
∴
∴
由题意得：
∴
∴
，
；
（2）解：由（1）同理可得
，是定值；∵
∴
故点
到
的距离和点
到
的距离之比也为
的底
相等 故
，是定值；
（3）解：
四边形ABCD 是正方形，
，
，
，
，
为CD 的中点，
，
，
，
，即
；
，且
，
，
，
，
，
，
正方形ABCD 的面积为：
．
【点睛】本题以三角形重心为背景，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．掌握相关结论
是解题关键．
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模型3.“AX”字模型（“A8”字模型）
①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型
图1 图2 图3
①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC；
结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔
。
证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。
∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴
。
∴
。
②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC；
结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔
。
证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴
。
∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴
。
两式相加得到：
，即
，故
。
③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，
。
证明:同②中的证法，易证：
，
，
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∴
，即AF=AG，故
。
例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D 为
边
上任一点，
交
于点E，连接
相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D．
【详解】解：∵
，∴
，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A 不符合题意；
∴
，
，故B 不符合题意，C 符合题意；∴
，故D 不符合题意；故选
C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与
判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．
例2．（2023·安徽·三模）如图，已知
、
，
与
相交于点
，作
于点
，
点
是
的中点，
于点
，交
于点
，若
，
，则
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
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【分析】证明
，
，
，
，求出
，求出
，
，得出
即可得出答案．
【详解】解：
、
，
，∴
，
，
，
∴
，
，∴
，
，∴
，
，∴
，
点
是
的中点，
，
，
，
∴
，
，∴
，∴
，故选：
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的
判定，求出
．
例3．（2024·湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，
，
与
相交于点E，点F 在
上．求证：
；
小雅同学的想法是将结论转化为
来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程．
（2）【类比探究】如图2，
，
，
，
与
相交于点G，点H 在
上，
．求证：
．
（3）【拓展运用】如图3，在
四边形
中，
，连接，
交于点M，过点M 作
，
交
于点E，交
于点F，连接
交于点N，过点N 作
，交
于点G，交
于点
H，若
，
，直接写出
的长．
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【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由
，可证
，则
，同理可得：
，则
，两边同时除以
，可得
．
（2）由
，
，
，
，可得
，
，证明
，则
，同理，
，则
，两
边同时除以
得，
，进而可得
；（3）由（1）可知，
，
，则
，解得，
，则
，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵
，∴
，∴
．同理可得：
，
∴
，两边同时除以
，得
．
（2）证明：∵
，
，
，
，∴
，
，
∵
，∴
，∴
，同理，
，
∴
，∴
，
两边同时除以
得，
，∴
；
（3）解：由（1）可知，
，
，
∴
，解得，
，∴
，解得，
，∴
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等式的性质，平行线的判定．解题的关键在于明确相似三
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角形的判定条件．
例4．（2024·江苏泰州·三模）综合与实践
在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料：
【光学模型】如图1，通过凸透镜光心
的光线
，其传播方向不变，经过焦点
的光线
经凸透镜
折射后平行于主光轴
沿
射出，与光线
交于点
，过点
作主光轴
的垂线段
，垂足为
，即可得出物体
所成的像
．
【模型验证】设焦点
到光心的距离
称为焦距，记为
；物体
到光心的距离
称为物距，记为
；
像
到光心的距离
称为像距，记为．
已知
，
，当
时，求证：
．
证明：∵
，
，∴
又∵
，∴
，
∴
，即
，同理可得
，
∴
，即
①
，∴
②
，
∴
，∴
，即
．
请结合上述材料，解决以下问题：
(1)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含
的代数式表示)；(2)若该凸透镜
的焦距为20
，物
体距凸透镜
的距离为30
，物高为10
，则物体
所成的像
的高度为__________
；
(3)如图2，由物理学知识知“经过点
且平行于主光轴
的光线
经凸透镜
折射后经过点
”，小
明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线
始终经过主光轴
上一定点．若该凸透镜
的焦
距为20
，物高为10
，试说明这一物理现象．
【答案】(1)①
②
(2)20(3)见解析
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【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，理解题意，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
（1）分别证明
，
，由相似三角形的性质可得
，整理可得
，等号两边同时除以
，即可获得答案；
（2）结合（1），首先解得
，结合
，代入数值求解即可；
（3）设
与
交于点
，证明四边形
为矩形，易得
，再证明
，由相似
三角形的性质可得
，结合（1）可得
，等号两边同时加1，整理可得
，结合
可得出
，即可说明这一物理现象．
【详解】（1）证明：∵
，
，∴
又∵
，∴
，∴
，即
，
同理可得
，∴
，即
，∴
，
∴
，∴
，即
．故答案为：①
；②
；
（2）由（1）可知，
，
，
当
，
，
时，可得
，解得
，
∴可有
，解得
，即物体
所成的像
的高度为
．故答案为：20；
（3）如下图，设
与
交于点
，根据题意，
，
淘宝：学思创想
∵
，∴
，
∴四边形
为矩形，∴
，
∵
，
，∴
，
∴
，即
，由（1）可知，
，∴
，
∴
，∴
，即
，∴
，
∵
，∴
，
∴小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距，光线
始终经过主光轴
上一定点，该定点透镜为焦
点．
1．（2024·浙江温州·三模）如图，在
中，
平分
分别交
，
，
延长线于点
，
，
，记
与
的面积分别为
，
，若
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
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【分析】由平行四边形的性质结合角平分线的定义得出
，推出
，设
，
，则
，
，
，证明
，得出
，证
明
，得出
，推出
，
，从而得出
，
，求出
得到
，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形
是平行四边形，∴
，
，∴
，
∵
平分
，∴
，∴
，∴
，
∵
，∴设
，
，则
，
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
，
，
∴
，
，∴
，
∴
，∴
，即
，故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定
与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确表示出三角形之间的面积关系是解此题的关键．
2．（2024·安徽合肥·三模）如图，已知四边形
是平行四边形，点
是AD的中点，连接
，
相
交于点
，过
作AD的平行线交AB于点
，若
，则
的值是（ ）
A．6
B．5
C．8
D．4
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，形似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质即
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可得解，由四边形
是平行四边形，得
，在证明
，
，利用相似三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵
是AD的中点，∴
，
∵四边形
是平行四边形，∴
，
∵
，∴
，∴
，
，
∴
，
，∴
，解得
，故选：
．
3．（2024·四川成都·中考真题）如图，在
中，按以下步骤作图：①以点
为圆心，以适当长为半
径作弧，分别交
，
于点
，
；②分别以
，
为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧在
内交于点
；③作射线
，交
于点
，交
延长线于点
．若
，
，下列结论
错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综
合．先由作图得到
为
的角平分，利用平行线证明
，从而得到
，
再利用平行四边形的性质得到
，再证明
，分别求出
，
，则各选项可以判定．
【详解】解：由作图可知，
为
的角平分，∴
，故A 正确；
∵四边形
为平行四边形，∴
，
∵
∴
，∴
，
∴
，∴
，故B 正确；
∵
，∴
，∵
，∴
，
∴
，∴
，∴
，
，故D 错误；
淘宝：学思创想
∵
，∴
，故C 正确，故选：D．
4．（2024 九年级下·广东·专题练习）如图，在
中，
，高
，正方形
一边在
上，点E，F 分别在
，
上，
交
于点N，则
的长为（ ）
A．15
B．20
C．25
D．30
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，证明相似三角形是解题的关键．设正方形
的边长
,先证明四边形
是矩形，则
，根据正方形的性质得出
，
推出
，根据相似三角形的性质计算即可得解．
【详解】解：设正方形
的边长
，
∵四边形
是正方形，
，
，
，
∵
是
的高，
，∴四边形
是矩形，
，
，
（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
，
，
，解得：
，
．故选：
B．
5．（2024·云南楚雄·模拟预测）如图，在
中，E 线段
上一点，且
，过点C 作
，交
的延长线于点D．若
的面积为
，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．由
淘宝：学思创想
，得
，则
，证明
，则
，即
，计算求解即可．
【详解】解：∵
，∴
，
∵
，∴
，∵
，∴
，
，∴
，
∴
，即
，解得，
，∴
的面积为
，故选：C．
6．（2024·浙江·模拟预测）如图，矩形
中，
是
上的点，连接
交对角线
于点
，若
，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．1．5
【答案】A
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，解直角三角形，先由矩形的性质得到
，
，再解直角三角形得到
，
，证明
，即可
得到
．
【详解】解：设
，
四边形
是矩形，
，
，
，∴
，
，
，
，
，
，∴
，
，故选：
．
淘宝：学思创想
7．（2024·河南·中考真题）如图，在
中，对角线
，
相交于点O，点E 为
的中点，
交
于点F．若
，则
的长为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段
中点定义可得出
，证明
，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解∶∵四边形
是平行四边形，∴
，∵点E 为
的中点，∴
，
∵
，∴
，∴
，即
，∴
，故选：B．
8．（2024·山东威海·中考真题）如图，在
中，对角线
，
交于点
，点
在
上，点
在
上，连接
，
，
，
交
于点
．下列结论错误的是（ ）
A．若
，则
B．若
，
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，垂直平分线的性质，全等三角形的性
质与判定；根据相似三角形的性质与判定即可判断A，根据题意可得四边形
是
的角平分线，进
而判断四边形
是菱形，证明
可得
则
垂直平分
，即可判断B 选项，
证明四边形
是菱形，即可判断C 选项，D 选项给的条件，若加上
，则成立，据此，即可求
解．
淘宝：学思创想
【详解】解：∵四边形
是平行四边形，∴
A. 若
，即
，又
，
∴
∴
∴
，故A 选项正确，
B. 若
，
，
，∴
是
的角平分线，∴
∵
∴
∴
∴
∴四边形
是菱形，∴
在
中，
∴
∴
又∵
∴
∴
，故B 选项正确，
C. ∵
，∴
∵
，∴
∴
∴
∴四边形
是菱形，∴
，
又∵
∴
，∵
，∴
垂直平分
，
∴
∴
，故C 选项正确；
D. 若
，则四边形
是菱形，由
，且
时，可得
垂直平分
，
∵
∴
，故D 选项不正确故选：D．
9．（2024·陕西西安·一模）如图，在
中，D，M 是边
的三等分点，N，E 是边
的三等分点．
连接
并延长与
的延长线相交于点P．若
，则线段
的长为（ ）
A．5
B．7
C．6
D．8
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线．熟练掌握相似三角形
的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线是解题的关键．
证明
，则
，证明
，则
，
是
的中位线，根
据
，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，
，
，
淘宝：学思创想
∵
，
，∴
，
∴
，∴
，∴
，
，
又∵
，∴
，∴
，
∴
是
的中位线，∴
，故选：D．
10．（2024·江苏南京·一模）如图，
，
分别垂直
，垂足分别为
，
，连接
，
交于点
，
作
，垂足为
．设
，
，
，若
，则下列等式：①
；②
；③
，其中一定成立的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】B
【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、等式的性质、乘法公式等知识．由
，
，
，
，则
，
，所以
，
，则
，所以
，则
，
，由
，得
，所以
，
则
，可判断①符合题意；由
得
，因为
不一定等于
，所以
与
不
一定相等，可判断②不符合题意；由
，且
，得
，可判断③符合题意，于是得到
问题的答案．
【详解】解：
，
，
，
，
，
，
∴
，
，
，
，
，
，
，
，
，
淘宝：学思创想
，
，
，
，故①符合题意；
由
得
，
与
不一定相等，
不一定等于
，
与
不一定相等，故②不符合题意；
，且
，
，故③符合题意，故选：B．
11．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形
的顶点G 在正方形
的边
上，
与
交于点
H，若
，
，则
的长为（ ）
A．2
B．3
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明
，利用相似三角形
的性质列式计算即可求解．
【详解】解：∵正方形
，
，∴
，
∵正方形
，
，∴
，∴
，由题意得
，
∴
，∴
，即
，解得
，故选：B．
12．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，
，
，
，
，点D，E 分别在
边上，
，连接
，将
沿
翻折，得到
，连接
，
．若
的
面积是
面积的2 倍，则
．
【答案】
/
淘宝：学思创想
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的
判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解
答的关键．
设
，
，根据折叠性质得
，
，过E 作
于H，设
与
相交于M，证明
得到
，进而得到
，
，证明
是
等腰直角三角形得到
，可得
，证明
得到
，则
，根据三角形的面积公式结合已知可得
，然后解一元二次方程求解x 值即可．
【详解】解：∵
，∴设
，
，
∵
沿
翻折，得到
，∴
，
，
过E 作
于H，设
与
相交于M，
则
，又
，∴
，∴
，
∵
，
，
，∴
，
∴
，
，则
，∴
是等腰直角三角形，
∴
，则
，∴
，
淘宝：学思创想
在
和
中，
，∴
，
∴
，
，
∴
，
，
∵
的面积是
面积的2 倍，∴
，则
，
解得
，
（舍去），即
，故答案为：
．
13．（2024·云南·中考真题）如图，
与
交于点
，且
．若
，则
．
【答案】
/0.5
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明
，根据相似三角形周长之比等于相似比，
即可解题．
【详解】解：
，
，
，故答案为：
．
14．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在平行四边形
中，
，E、F 分别是边
上的动点，且
．当
的值最小时，则
．
淘宝：学思创想
【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质．延长
，截取
，连接
，
，证明
，得出
，说明当
最小时，
最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G 三点共线时，
最小，即
最小，
再证明
，根据相似三角形的性质，求出结果即可．
【详解】解：延长
，截取
，连接
，
，如图所示：
∵四边形
为平行四边形，∴
，
，
，∴
，
∵
，
，∴
，∴
，∴
，
∴当
最小时，
最小，∵两点之间线段最短，
∴当A、E、G 三点共线时，
最小，即
最小，且最小值为
的长，
∵
，∴
，∴
，即
，解得
．故答案为：
．
15．（23-24 九年级上·河南驻马店·期中）如图，
，点
在
上，
与
交于点
，
若
，则
．
【答案】
/0.25
【分析】证明
，据相似三角形的性质用
表示出
，同理用
表示出
，计算即可．
【详解】解：
，
，
，
，
淘宝：学思创想
，
，
，
，
，故答案为：
．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
16．（2023·吉林长春·统考三模）【阅读理解】构造“平行八字型”全等三角形模型是证明线段相等的一
种方法，我们常用这种方法证明线段的中点问题．例如：如图，
是
边
上一点，
是
的中点，
过点
作
，交
的延长线于点
，则易证
是线段
的中点．
【经验运用】请运用上述阅读材料中所积累的经验和方法解决下列问题．
（1）如图1，在正方形
中，点
在
上，点
在
的延长线上，且满足
，连接
交
于点
．求证：①
是
的中点；②CG 与BE 之间的数量关系是：____________________________；
【拓展延伸】（2）如图2，在矩形
中，
，点
在
上，点
在
的延长线上，且满足
，连接
交
于点
．探究
和
之间的数量关系是：____________________________；
【答案】（1）①见解析②
（2）
【分析】（1）①过点
作
交
于点
，证明
，得出
即可；
②由等腰直角三角形的性质得出
，由平行线得出
，证出
，由全等三角形
的性质得出
，即可得出结论；（2）作
交
于点
，由三角函数证出
，得
出
，证
，得出
，
，设
，则
，求出
，则
，得出
，即可得出结果．
【详解】解：证明：①过点
作
交
于点
，如图1 所示：
淘宝：学思创想
四边形
是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
是
的中点；
②在
中，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，即
．
（2）解：
和
之间的数量关系为：
；理由如下：
过点
作
交
于点
，如图2 所示：
四边形
是矩形，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
设
，则
，在
中，
，
淘宝：学思创想
，
，即
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、矩形的性质、勾股定理、三角函数、全等三角
形的判定与性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识；作辅助线构建全等三角形与相似三角
形是解题的关键．
17．（2024·辽宁大连·二模）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：
如图1，在
中，点
是
的中点，点
是
的一个三等分点，且
，连接
，
交于
点
，求证：
．
①如图2，小鹏同学利用“三角形中位线的性质”的解题经验，取
的中点
，连接
，再通过“全等
三角形的性质”解决问题；②如图3，小亮同学利用“三角形相似的性质”的解题经验，过点
作
，交
的延长线于点
，再通过“全等三角形的性质”解决问题．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】（2）李老师发现之前两名同学都运用了数学的转化思想，将证明三角形线段的关系转化为
我们熟悉的角度去理解．为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答：如
图4，在
中，点
是
的中点，点
，
是
的三等分点，
，
与
分别交于点
，
，
求
的值．
【学以致用】（3）如图5，在
中，
，在射线
上取点
，使
，连接
，在
上取点
，射线
，
相交于点
，当
时，求
的值．
淘宝：学思创想
【答案】（1）详见解析（2）
（3）
【分析】（1）选择小鹏同学的解题思路．如图1，取
的中点
，连接
．得出
是
的中位线，
根据中位线性质定理得出
，
，根据平行线性质得出
，
，
再结合
，得出
，证明
，根据全等三角形的性质即可证明
．
选择小亮同学的解题思路．如图2，过点
作
，交
的延长线于点
，根据平行线性质得出
，
，证明
，根据相似三角形的性质得出
．再结合
，证出
，根据
，得出
．证明
，根据全等三角形的
性质即可证明
．（2）如图3，连接
．根据点
，
是
的三等分点，得出
．
由（1）可知
，即可得出
是
的中位线，根据中位线的性质得出
．再证
是
的中位线，根据中位线的性质得出
，
，证明
，根据
相似三角形的性质即可得出
．（3）如图4，过点
作
于点
，过点
作
于点
，过点
作
的延长线于点
．根据等腰三角形的性质得出
，
．设
，得出
，即可得
，证明
，得出
，设
，则
，再证明
，根据相似三角形的性质
得出
，设
，即可得出
，再证明
，即可得出
，
列方程即可得出
，
，
．根据
，即可得出
．
【详解】（1）选择小鹏同学的解题思路．
证明：如图1，取
的中点
，连接
．∵点
是
的中点，∴
是
的中位线，
∴
，
，∴
，
．
∵
，∴
，∴
，∴
，∴
．
选择小亮同学的解题思路．
证明：如图2，过点
作
，交
的延长线于点
，
淘宝：学思创想
∴
，
，∴
，∴
．
∵
，∴
，∴
．∵点
是
的中点，∴
，∴
．
又∵
，∴
，∴
．
（2）解：如图3，连接
．∵点
，
是
的三等分点，∴
．
由（1）可知
，∴
是
的中位线，∴
．
∵点
是
的中点，∴
，∴
是
的中位线，∴
，
，
∴
，
，
，∴
，∴
．
（3）解：如图4，过点
作
于点
，过点
作
于点
，过点
作
的延长线
于点
．∵
，
，∴
，
．
设
，∵
，∴
，∴
．
∵
，
，∴
．
又∵
，∴
，∴
．
设
，则
．∵
，∴
．
又∵
，∴
，∴
．
设
，∴
，∴
．
∵
，
，∴
，
∴
，∴
，∴
，∴
，∴
，∴
，
．
∵
，∴
，∴
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形的中位线的判定与性质，相似
三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，本题是阅读型题目，利用题干中的方法构造“A”型图或“8”字
形图解答是解题的关键．
18．（2023·湖北随州·模拟预测）[初步尝试]（1）如图①，在三角形纸片
中，
，将
折叠，使点B 与点C 重合，折痕为
，则
与
的数量关系为________；
淘宝：学思创想
[思考说理]（2）如图②，在三角形纸片
中，
，将
折叠，使点B 与点C 重
合，折痕为
，求
的值；
[拓展延伸]（3）如图③，在三角形纸片
中，
，将
沿过顶点C 的
直线折叠，使点B 落在边
上的点
处，折痕为
．①求线段
的长；②若点O 是边
的中点，
点P 为线段
上的一个动点，将
沿
折叠得到
点A 的对应点为点
与
交于点
F，求
的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
；（3）①
；②
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（2）利用相似三角形的性质求出
，
即可．（3）①证明
，推出
，由此即可解决问题．②设
．证明
，推出
，因为
，推出
，判断出
的取值范围，即可解决
问题．
【详解】解：（1）如图①中，
折叠，使点
与点
重合，折痕为
，
垂直平分线段
，
，
，
，
，
．故答案为
．
（2）如图②中，
，
，由题意
垂直平分线段
，
，
，
，
，
，
淘宝：学思创想
，
，
，
，
．
（3）①如图③中，由折叠的性质可知，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
②如图③
中，设
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
当
时，
．综上所述，
．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定
和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
19．（2024·江苏泰州·二模）图算法是根据几何原理，将某一已知函数关系式中的各变量，分别编成有刻
度的直线（或曲线），并把它们按一定的规律排列在一起的一种图形，可以用来解函数式中的未知量，这
样的图形叫诺模图．设有两只电阻，
千欧，
千欧，问并联后的总电阻值R 是多少千欧？
我们可以利用公式求得R 的值，也可以设计一种图算法（如图1）直接得出结果：我们先来画出一个
的角，再画一条角平分线，在角的两边及角平分线上用同样的单位长度进行刻度，这样就制好了一张算图．
我们只要把角的两边刻着6 和4 的两点连成一条直线，这条直线与角平分线的交点的刻度值就是并联后的
总电阻值R．
淘宝：学思创想
(1)①
千欧，
千欧，计算
千欧；②如图1，已知
，
是
的角平
分线，
，
，
．用你所学的几何知识说明：
；
(2)如图2，已知
，
是
的角平分线，
，
，
．此时关系式可以
写成
，其中
的常数，求m 的值；
(3)如图3，若
，（2）中其余条件不变，请探索
，
，R 之间的关系．（用含
的代数式表
示）
【答案】(1)①
；②见解析(2)
(3)
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，作出正确的辅
助线是解题的关键．（1）①根据并联电路电阻公式，即可解答；
②过点
作
的平行线，交
于点
，证明
为等边三角形，利用相似三角形的性质，即可解答；
（2）过点
作
的平行线，交
于点
，得到
与
的关系，利用相似三角形的性质，即可解答；
（3）过点
作
的平行线，交
于点
，过点
作
，交
于点
，得到求得
的长，利
用相似三角形的性质，即可解答．
【详解】（1）解：①根据并联电路电阻公式可得
，即
千欧，故答案：
证明：②如图1，过点
作
的平行线，交
于点
，
，
是
的角平分线，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，即
，可得
，
,故
；
淘宝：学思创想
（2）解：如图2，过点
作
的平行线，交
于点
，
同上述原理可得
，
，
，
可得
，即
，整理后可得
，即
，
；
（3）解：过点
作
的平行线，交
于点
，过点
作
，交
于点
，
同上述原理可得
，
，
，
，可得
，即
，
整理后可得
，即
．
20．（2024·湖北武汉·中考真题）问题背景：如图（1），在矩形
中，点
，
分别是
，
的
中点，连接
，
，求证：
．
问题探究：如图（2），在四边形
中，
，
，点
是
的中点，点
在边
上，
，
与
交于点
，求证：
．
问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接
，
，
，直接写出
的值．
淘宝：学思创想
【答案】问题背景：见解析；问题探究：见解析；问题拓展：
【分析】问题背景：根据矩形的性质可得
，根据点
，
分别是
，
的
中点，可得
，即可得证；
问题探究：取
的中点
，连接
，得
是
的中位线，根据已知条件可得
平行且等于
，进而可得
是平行四边形，得
，则
，根据直角三角形中斜边上的中线
等于斜边的一半得出
，进而可得
，等量代换可得
，等角对等边，即
可得证；
问题拓展：过点
作
，则四边形
是矩形，连接
，根据已知以及勾股定理得出
；根据（2）的结论结合已知可得
，证明
垂直平分
，进而得出
，
证明
，进而证明
， 进而根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】问题背景：∵四边形
是矩形，∴
，
∵
，
分别是
，
的中点∴
，即
，∴
；
问题探究：如图所示，取
的中点
，连接
，
∵
是
的中点，
是
的中点，∴
，
又∵
，∴
，∵
，∴
∴四边形
是平行四边形，∴
∴
又∵
，
是
的中点，∴
∴
∴
，∴
；
问题拓展：如图所示，过点
作
，则四边形
是矩形，连接
，
∵
， ∴
，设
，则
，
淘宝：学思创想
在
中，
，∵
，由（2）
∴
，
又∵
是
的中点，∴
垂直平分
∴
，
，
在
中，
∴
设
，则
∴
，
又∵
∴
∴
又∵
∴
∴
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形中斜
边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
