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专题24 圆幂定理模型
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................1
1、相交弦模型....................................................................................................................1
2、双割线模型....................................................................................................................2
3、切割线模型....................................................................................................................2
4、弦切角模型....................................................................................................................3
5、托勒密定理模型............................................................................................................3
真题演练.....................................................................................................................................3
巩固练习.....................................................................................................................................9
圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒
密定理以及它们推论的统一与归纳。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、
角度、面积等问题。
1、相交弦模型
在圆O 中，弦AB 与弦CD 交于点E，点E 在圆O 内。
结论：
。
专题目录
模型解读
常见类型讲解
2、双割线模型
如图，割线CH 与弦CF 交圆O 于点E 和点G。
结论：
3、切割线模型
如图，CB 是圆O 的切线，CA 是圆O 的割线。
结论：
4、弦切角模型
如图，CB 是圆O 的切线，AB 是圆O 的直径。
结论：1）
；
2
）
；
3
）
。
5、托勒密定理模型
如图，AB、CD 是圆O 的两条弦；
结论：
（2022·湖南长沙·中考真题）如图，四边形
内接于
，对角线
，
相交于点E，点F
在边
上，连接
．
真题演练
(1)求证：
；
(2)当
时，则
___________；
___________；
___________．（直接将结果填写在相应的横线上）
(3)①记四边形
，
的面积依次为
，若满足
，试判断，
的形状，并说明理由．②当
，
时，试用含m，n，p
的式子表示
．
【答案】(1)见解析
(2)0，1，0
(3)①等腰三角形，理由见解析，②
【详解】（1）证明：
，
，
即
，
又
，
；
（2）
，
，
，
，
∵
∴
，
∴
，
∵
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：0，1，0
（3）①记
的面积为
，
则
，
，
①
，
即
，
②
由①②可得
，
即
，
，
，
即
，
∴点D 和点C 到
的距离相等，
，
，
，
，
都为等腰三角形；
②
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又
，
，
，
，
，
则
，
，
．
（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，
为⊙O 的直径，且
，
与
为圆内的一组平
行弦，弦
交
于点H．点A 在
上，点B 在
上，
．
(1)求证：
．
(2)求证：
．
(3)在⊙O 中，沿弦
所在的直线作劣弧
的轴对称图形，使其交直径
于点G．若
，求
的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【详解】（1）
和
是
所对的圆周角，
，
，
∴
，
∴
，
∴
．
（2）连接
，交
于点
，
与
为一组平行弦，即：
，
，
，
，
，
，
，
，
是
的垂直平分线，
．
（3）连接
、
，过点
作
，垂足为
，设点
的对称点
，连接
、
，
，
，
∴
，
，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
为直径，
，
，
，
，
，
，
在
中，
，
，
，
，
在
中，
，
，
故答案为：
．
1、如图，
为
的割线，且
，
交
于点C，若
，则
的半径的长为
．
巩固练习
来源微信公众号：明悉数学
【答案】
【详解】如图，延长
交圆于点D，连接
、
，
四边形
为圆内接四边形，
∴
．
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
∴半径为
，
故答案为：
．
2、如图，从圆外一点
引圆的切线
，点
为切点，割线
交
于点
、
．已知
，
，则
．
【答案】
【详解】由切割线定理可得PA2=PD×PB，
∵PA=12，PD=8
∴PB=18．
由弦切角和公共角易知△ABP∽△DAP．
∴S△ABP：S△DAP=PB2：PA2=9：4．
故答案为9：4
3、如图，边长为6 的等边三角形ABC 内接于⊙O，点D 为AC 上的动点（点A、C 除外），BD 的延
长线交⊙O 于点E，连接CE．
(1)求证
；
(2)当
时，求CE 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）∵
所对的圆周角是
，
∴
，
又
，
∴
；
（2）∵△
是等边三角形，
∴
∵
，
∴
∴
∵
∴
，
∴
∴
连接
如图，
∵
∴
∴∠
又∠
，
∴△
∴
，
∴
∴
，
∴
（负值舍去）
∴
，
解得，
4、【旧知再现】圆内接四边形的对角 .
如图①，四边形
是
的内接四边形，若
，则
.
【问题创新】圆内接四边形的边会有特殊性质吗？
如图②，某数学兴趣小组进行深入研究发现：
证明：如图③，作
，交
于点
.
∵
，∴
，
∴
即
（请按他们的思路继续完成证明）
【应用迁移】如图④，已知等边
外接圆
，点
为
上一点，且
，
，求
的长.
【答案】【旧知再现】互补， 110；【问题创新】见解析；【应用迁移】
【详解】（1）如图示：
连接OA，OC，根据圆周角定理，
则有：
，
∴
∴圆内接四边形的对角互补；
∵
，
∴在等腰三角形ABD 中，
∴
（2）证明：如图，
∵
∴
，即
，
又∵
，
∴
∴
，即
∴
，
∴
，
（3）
由（2）可知
∵
是等边三角形，
∴
，
∴
，
∴
即
.
来源微信公众号：明悉数学
