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专题21 共边共角模型（射影模型等4 种类型）
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................1
1、射影模型（射影定理）................................................................................................1
2、斜射影模型....................................................................................................................2
3、斜射影模型变形............................................................................................................2
4、共边模型........................................................................................................................2
真题演练.....................................................................................................................................2
巩固练习.....................................................................................................................................4
共边共角模型（母子模型）的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小
三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共
角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。
1、射影模型（射影定理）
如图，∠ACB=90o，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
专题目录
模型解读
常见类型讲解
2、斜射影模型
如图，∠C=∠ABD；
结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
3、斜射影模型变形
如图，∠D=∠CAE，AB=AC；
结论：△ABD∽△ECA；
4、共边模型
如图，在四边形
中，对角线
平分
，
；
结论：
；
（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在
与
中，点
、
分别在边
、
上，且
真题演练
，若___________，则
．请从①
；②
；
③
这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
【答案】见解析．
【详解】解：若选①
，
证明：∵
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
又
，
∴
．
选择②
，不能证明
．
若选③
，
证明：∵
，
∴
，∴
，
又∵
，
∴
．
（2023·湖南湘潭·中考真题）在
中，
是斜边
上的高．
(1)证明：
；(2)若
，求
的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵
是斜边
上的高．
∴
，
∴
，
∴
又∵
∴
，
（2）∵
∴
，
又
∴
．
1、如图，已知
，点
，
在边
上，连接
，
，使
，且
．
(1)请判定
的形状，并说明理由；
(2)若
，
，求
的面积．
巩固练习
【答案】(1)
是等边三角形，理由见解析
(2)
【详解】（1）解：
是等边三角形，理由如下，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
是等边三角形，
（2）解：∵
是等边三角形，
设等边三角形的边长为
，
∵
，
∴
，又∵
，
，
∴
，
解得：
（负值舍去），
如图所示，过点
，作
于点
，
∴
，
∴
，
∴
的面积为
2、已知，点D 在
的边
上，连接
．
(1)如图1，若
．求证：
；
(2)如图2，若
，
，
，
．求线段
的长；
(3) 如图3 ，M 、N 分别是
上的两点，连接
交
于点P ，当
，
时，若
，直接写出
的值______．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
(3)
【详解】（1）证明：
，
，
，
，
；
（2）解：如图，延长
至点
，使得
，连接
，
，
，
，
设
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：
，
（舍），
；
（3）解：如图，过点
作
交
于点
，交
于点
，过点
作
交
于点
，过点
作
于点
，
，
，
，
，
设
，
，
，
，
，
，
在
中，
，
在
中，
，
，
，
，
，
是
的外角，
，
，
，
又
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
．
