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专题22 四点共圆模型
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................1
1、定点定长共圆模型........................................................................................................1
2、定边对双直角共圆模型................................................................................................2
3、定边对定角共圆模型....................................................................................................2
4、对角互补共圆模型........................................................................................................3
真题演练.....................................................................................................................................4
巩固练习...................................................................................................................................11
四点共圆模型是几何学中的一个经典问题，它广泛应用于解与圆有关的问题．与圆有关的问题
变化多,解法灵活,综合性强,因而历来是考试和竞赛的热点。在解题中,如果图形中蕴含着某四点在
同一个圆上，或根据需要作出辅助圆使四点共圆，利用圆的有关性质定理，则会使复杂问题变得简
单，从而使问题得到解决。因此,掌握四点共圆的方法很重要.
1、定点定长共圆模型
如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，
结论：A、B、C、D 四点共圆（其中圆心为O）。
专题目录
模型解读
常见类型讲解
2、定边对双直角共圆模型
定边对双直角模型（同侧型）：若平面上A、B、C、D 四个点满足
，
结论：A、B、C、D 四点共圆，其中AD 为直径。
定边对双直角模型（异侧型）：若平面上A、B、C、D 四个点满足
，
结论：A、B、C、D 四点共圆，其中AC 为直径。
3、定边对定角共圆模型
如图，平面上A、B、C、D 四个点满足
，
结论：A、B、C、D 四点共圆．
如图，AC、BD 交于H，
，
结论：
四点共圆.
4、对角互补共圆模型
如图，平面上A、B、C、D 四个点满足
，
结论：A、B、C、D 四点共圆．
如图，BA、CD 的延长线交于P，
，
结论：A、B、C、D 四点共圆.
（2021·湖北随州·统考中考真题）如图，在
中，
，
为
的中点，
平分
交
于点
，
，
分别与
，
交于点
，
，连接
，
，则
的
值为 ；若
，则
的值为 ．
【答案】
【详解】解：（1）∵
，
为
的中点
∴
又∵
平分
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
真题演练
在
与
中
,
∴
（2∵
∴
四点共圆，如下图：
∵
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
即
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：
（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，四边形
中，
，
，
于点
．若
，
，则线段
的长为 ．
【答案】
【详解】如图，设
交于点F，过C 作
，
在以
为直径的圆上
，
，
在
和
中
=
，
（2022·江苏无锡·中考真题）△ABC 是边长为5 的等边三角形，△DCE 是边长为3 的等边三角形，
直线BD 与直线AE 交于点F．如图，若点D 在△ABC 内，∠DBC=20°，则∠BAF＝________°；现将
△DCE 绕点C 旋转1 周，在这个旋转过程中，线段AF 长度的最小值是________．
【答案】 80
/
【详解】解：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形，
∴AC=BC，DC=EC，∠BAC=∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠DCB+∠ACD=∠ECA+∠ACD=60°，
即∠DCB =∠ECA，
在△BCD 和△ACE 中，
，
∴△ACE≌△BCD（ SAS），
∴∠EAC=∠DBC，
∵∠DBC=20°，
∴∠EAC=20°，
∴∠BAF=∠BAC+∠EAC=80°；
设BF 与AC 相交于点H，如图：
∵△ACE≌△BCD
∴AE=BD，∠EAC=∠DBC，且∠AHF=∠BHC，
∴∠AFB=∠ACB=60°，
∴A、B、C、F 四个点在同一个圆上，
∵点D 在以C 为圆心，3 为半径的圆上，当BF 是圆C 的切线时，即当CD⊥BF 时，∠FBC 最大，则
∠FBA 最小，
∴此时线段AF 长度有最小值，
在Rt△BCD 中，BC=5，CD=3，
∴BD=
4，即AE=4，
∴∠FDE=180°-90°-60°=30°，
∵∠AFB=60°，
∴∠FDE=∠FED=30°，
∴FD=FE，
过点F 作FG⊥DE 于点G，
∴DG=GE=
，
∴FE=DF=
=
，
∴AF=AE-FE=4-
，
故答案为：80；4-
．
（2023·山东日照·统考中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究
得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1，
中，
（
）．点D 是
边上的一动点（点D 不与
B，C 重合），将线段
绕点A 顺时针旋转
到线段
，连接
．
(1)求证：A，E，B，D 四点共圆；
(2)如图2，当
时，
是四边形
的外接圆，求证：
是
的切线；
(3)已知
，点M 是边
的中点，此时
是四边形
的外接圆，直接写出圆心
P 与点M 距离的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）证明：由旋转的性质可得
，
∴
，
∴
，即
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴A、B、D、E 四点共圆；
（2）证明：如图所示，连接
，
∵
，
∴
，
∵
是四边形
的外接圆，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，即
，
∴
，
又∵
是
的半径，
∴
是
的切线；
（3）解：如图所示，作线段
的垂直平分线，分别交
于G、F，连接
，
∵
，
∴
，
∵点M 是边
的中点，
∴
，
，
∴
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
∵
是四边形
的外接圆，
∴点P 一定在
的垂直平分线上，
∴点P 在直线
上，
∴当
时，
有最小值，
∵
，
∴在
中，
，
∴圆心P 与点M 距离的最小值为
．
1、如图，点
为线段
的中点，点
到点
的距离相等，若
则
的度数
是
【答案】130
【详解】解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，
∴四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝50°，
巩固练习
∴∠ADC＝130°，
故答案为：130．
2、如图，
中，
，
中，
，直线
与
交于
，
当
绕点
任意旋转的过程中，
到直线
距离的最大值是 ．
【答案】
/
【详解】解：如图旋转，连接
以
为直径作
，以
为半径作
过点
作
的切线交
于点
在
和
中
∴点
共圆，点
共圆，
点
在
上运动
，
的半径为
∴
又∵
，
∴当点
运动到点
时，到直线
距离的最大，
过点
作
，过点
作
，
，
∴四边形
是矩形，
是圆心，
设
解得：
（舍去）
∴
故答案为：
．
3、探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四
个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：如图1，在线段
同侧有两点
，
，连接
，
，
，
，如果
，那
么
，
，
，
四点在同一个圆上．
探究展示：如图2，作经过点
，
，
的
，在劣弧
上取一点
（不与
，
重合），连接
，
则
（依据1）
点
，
，
，
四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点
，
在点
，
，
所确定的
上（依据2）
点
，
，
，
四点在同一个圆上
(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：__________；依据2：__________．
(2)图3，在四边形
中，
，
，则
的度数为__________．
(3)拓展探究：如图4，已知
是等腰三角形，
，点
在
上（不与
的中点重合），
连接
．作点
关于
的对称点
，连接
并延长交
的延长线于
，连接
，
．①求
证：
，
，
，
四点共圆；②若
，
的值是否会发生变化，若不变化，求出其
值；若变化，请说明理由．
【答案】(1)圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等
(2)45°
(3)①见解析；②不发生变化，值为8
【详解】（1）如图2，作经过点
，
，
的
，在劣弧
上取一点
（不与
，
重合），
连接
，
则
（圆内接四边形对角互补）
点
，
，
，
四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点
，
在点
，
，
所确定的
上（同圆中，同弧所对的圆周角相等）
点
，
，
，
四点在同一个圆上
故答案为：圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等
（2）
在线段
同侧有两点
，
，
四点共圆，
故答案为：
（3）①∵
，
，
点与
点关于
对称，
，
，
四点共圆；
②
，理由如下，
如图，
四点共圆，
，
关于
对称，
，
，
，
，
，
，
，
又
，
，
，
，
，
．
