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专题31 圆中的重要模型之四点共圆模型
四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共
圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点
共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四
点共圆的四种重要模型。
四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
模型1、定点定长共圆模型（圆的定义）
【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于
定长点的集合。
条件：如图，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD，
结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。
例1．（2023春·广东梅州·九年级校考期中）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边 重合（
），其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线 从 处出发沿顺时针方向以每秒3度的速
度旋转， 与量角器的半圆弧交于点E，第20秒时点E在量角器上运动路径长是 ．
例2．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在 中， ，AB=AC=5，点 在 上，且
，点E是AB上的动点，连结 ，点 ，G分别是BC，DE的中点，连接 ， ，当AG=FG
时，线段 长为（ ）
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A． B． C． D．4
例3．（2023·江苏淮安·统考三模）如图，将矩形 的边 绕点A逆时针旋转得到 ，连接 ，过
点D作 的垂线，垂足E在线段 上，连接 ．若 ， ，则 的度数为
．
例4．（2021·湖北随州·统考中考真题）如图，在 中， ， 为 的中点， 平分
交 于点 ， ， 分别与 ， 交于点 ， ，连接 ， ，则 的值为
；若 ，则 的值为 ．
模型2、定边对双直角共圆模型
B
D
C
A C
A D E
E
B
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同侧型 异侧型
1）定边对双直角模型（同侧型）
条件：若平面上A、B、C、D四个点满足 ，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。
2）定边对双直角模型（异侧型）
条件：若平面上A、B、C、D四个点满足 ，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AC为直径。
例1．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）如图，四边形 中， ， ， 于点
．若 ， ，则线段 的长为 ．
例2．（2022春·山东·九年级专题练习）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线
相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．①若∠A＝40°，直接写出∠E的度数是 ；
②求∠E与∠A的数量关系，并说明理由．（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E在
BD的延长线上，连CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，求证：DA＝DE．
例3．（2022·湖北武汉·校考二模）如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，连接AD．
（1）如图1，作BE⊥AD延长线于E，连接CE，求证：∠AEC＝45°；
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（2）如图2，P为AD上一点，且∠BPD＝45°，连接CP．若AP＝2，求△APC的面积；
例4．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形 中， ，
是 的中点， 是 的中点，若 ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
模型3、定边对定角共圆模型
条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足 ，结论：A、B、C、D四点共圆．
条件：如图2，AC、BD交于H， ，结论： 四点共圆.
例1．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在Rt ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将 ABC绕A点
顺时针旋转得到 ADE，使D点落在BC边上．
（1）求∠BAD的度数；（2）求证：A、D、B、E四点共圆．
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例2．（2023·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在
底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落
在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（ ）
A．1 B． C． D．
例3．（2022·江苏无锡·中考真题） ABC是边长为5的等边三角形， DCE是边长为3的等边三角形，直
线BD与直线AE交于点F．如图，若△点D在 ABC内，∠DBC=20°，则△∠BAF＝________°；现将 DCE绕
点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF△长度的最小值是________． △
例4．（2022·贵州遵义·统考中考真题）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得
出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
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提出问题：如图1，在线段 同侧有两点 ， ，连接 ， ， ， ，如果 ，那么 ，
， ， 四点在同一个圆上．
探究展示：如图2，作经过点 ， ， 的 ，在劣弧 上取一点 （不与 ， 重合），连接 ，
则 （依据1）
点 ， ， ， 四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点 ， 在点 ， ， 所确定的 上（依据2）
点 ， ， ， 四点在同一个圆上
(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：__________；依据2：__________．
(2)图3，在四边形 中， ， ，则 的度数为__________．
(3)拓展探究：如图4，已知 是等腰三角形， ，点 在 上（不与 的中点重合），连接
．作点 关于 的对称点 ，连接 并延长交 的延长线于 ，连接 ， ．①求证： ，
， ， 四点共圆；②若 ， 的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请
说明理由．
模型4、对角互补共圆模型
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D
C
O
A B
条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足 ，结论：A、B、C、D四点共圆．
条件：如图2，BA、CD的延长线交于P， ， 结论：A、B、C、D四点共圆.
1．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在四边形 中， ，以 为腰作等腰直角三
角形 ，顶点 恰好落在 边上，若 ，则 的长是（ ）
A． B． C．2 D．1
例2．（2023·河南周口·校考三模）在 中， ，M是 外一动点，满足
，若 ， ， ，则 的长度为 ．
例3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图， ， ，点 、 分别是线段 、射线 上的
动点，以 为斜边向上作等腰 ， ，连接 ，则 的最小值为 ．
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例4．（2023·山东日照·统考中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得
出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1， 中， （ ）．点D是 边上的一动点（点D不与B，C
重合），将线段 绕点A顺时针旋转 到线段 ，连接 ．
(1)求证：A，E，B，D四点共圆；(2)如图2，当 时， 是四边形 的外接圆，求证：
是 的切线；(3)已知 ，点M是边 的中点，此时 是四边形 的外接圆，直接
写出圆心P与点M距离的最小值．
课后专项训练
1．（2023秋·河北张家口·九年级校考期末）如图①，若BC是Rt ABC和Rt DBC的公共斜边，则A、B、
C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三△条高AD、BE、CF相交于点
H，则图②中“四点共圆”的组数为（ ） △
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A．2 B．3 C．4 D．6
2．（2023·安徽合肥·校考一模）如图，O是 的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接 ．
下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D． 平分
3．（2023·江苏宿迁·九年级校考期末）如图，在 中， ， ， ，点P为平
面内一点，且 ，过C作 交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·北京海淀·九年级校考期中）如图，点O为线段 的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连
接 ， ．请写出图中任意一组互补的角为 和 （不添加辅助线，不添加数字角
标和字母）
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5．（2023·广东·二模）如图，点 为线段 的中点，点 到点 的距离相等，若 则
的度数是
6．（2023·浙江金华·统考二模）如图，在 中， ， ， ，P是 上一动
点， 于点E， 于点D，则线段 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．
7．（2023·浙江·模拟预测）如图， 中， ， 中， ，直线
与 交于 ，当 绕点 任意旋转的过程中， 到直线 距离的最大值是 ．
8．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在 中，点D为 上一点， ，点E
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在线段 上， ，若 ， ，则 的最大值为 ．
9．（2023·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，将 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，其中点
与点 对应，点 与点 对应．(1)画出 ．(2)直线 与直线 相交于点 ，证明：A， ， ，
四点共圆．
10.（2023·湖北九年级课时练习）如图1， ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，过点C任作一条直线
CD，将线段BC沿直线CD翻折得线段CE，直线AE交直线CD于点F．直线BE交直线CD于G点．
(1)小智同学通过思考推得当点E在AB上方时，∠AEB的角度是不变的，请按小智的思路帮助小智完成以
下推理过程：
∵AC＝BC＝EC，∴A、B、E三点在以C为圆心以AC为半径的圆上，
∴∠AEB＝ ∠ACB，（填写数量关系）
∴∠AEB＝ °．
(2)如图2，连接BF，求证A、B、F、C四点共圆；
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(3)线段AE最大值为 ，若取BC的中点M，则线段MF的最小值为 ．
11．（2023春·重庆南岸·八年级校考期末）已知：菱形 的对角线 交于点 ，以 为斜边
构造等腰 ，连接 ．
(1)如图1，若 ， ，求 的面积．(2)如图2，延长 交 于点 ，过点 作
于点 ，过点 作 于点 ， 与 交于点 ，且 ．求证： ．
12．（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）问题提出 如图1，点E为等腰 内一点， ，
，将 绕着点A逆时针旋转 得到 ，求证： ．
尝试应用 如图2，点D为等腰 外一点， ， ，过点A的直线分别交 的延长
线和 的延长线于点N，M，求证： ．
问题拓展 如图3， 中， ，点D，E分别在边 ， 上， ， ，
交于点H．若 ， ，直接写出 的长度（用含a，b的式子）．
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13．（2023·江苏·九年级假期作业）综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继
续利用上述结论进行探究．
提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B＝∠D，那么A，B，
C，D四点在同一个圆上．
探究展示：如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，
CE，则∠AEC+∠D＝180°（依据1）
∵∠B＝∠D ∴∠AEC+∠B＝180°
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的⊙O上（依据2）
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上
(1)上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1： ；依据2： ．
(2)如图3，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝45°，则∠4的度数为 ．
拓展探究：(3)如图4，已知 ABC是等腰三角形，AB＝AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接
AD．作点C关于AD的对称△点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．①求证：A，D，
B，E四点共圆；②若AB＝2 ，AD•AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理
由
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14．（2022·江苏扬州·模拟预测）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其
中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．设AB＝1．
（1）求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）分别求△ABC和△ABD的面积；（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求OE︰OF的比值．
15．（2023·重庆九年级课时练习）如图，四边形 内接于 ，对角线 ，垂足为 ，
于点 ，直线 与直线 于点 ．
（1）若点 在 内，如图1，求证： 和 关于直线 对称；
（2）连接 ，若 ，且 与 相切，如图2，求 的度数．
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16．（2023·江苏·九年级假期作业）【问题情境】如图①，在四边形 中， ，求证：A、
B、C、D四点共圆．
小吉同学的作法如下：连结 ，取 的中点 ，连结 、 ，请你帮助小吉补全余下的证明过程；
【问题解决】如图②，在正方形 中， ，点 是边 的中点，点 是边 上的一个动点，
连结 ， ，作 于点P．
（1）如图②，当点P恰好落在正方形 对角线 上时，线段 的长度为 ；
（2）如图③，过点P分别作 于点 ， 于点 ，连结 ，则 的最小值为 ．
17．（2023春·江苏南京·九年级校联考阶段练习）在 和 中， ，
， ，用这两个直角三角形研究图形的变换．
【翻折】(1)如图1，将 沿线段 翻折，连接 ，下列对所得四边形 的说法正确的是___．
① 平分 、 ，② 、 互相平分，③ ，④ 、 、 、 四点共圆．
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【平移】(2)如图2，将 沿线段 向右平移，使 点移到 的中点，连接 、 、 ，请猜想
四边形 的形状，并说明理由．
【旋转】(3)如图3，将 绕点 逆时针方向旋转，使 ，连接 、 ，则旋转角为
______°， ______cm．
18．（2023·河南南阳·校考三模）综合实践课上，刘老师介绍了四点共圆的判定定理：若平面上四点连成
四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆．在实际应用中，如果运用这个定理，往往
可以让复杂的问题简单化，以下是小明同学对一道四边形问题的分析，请帮助他补充完整．
特殊情况分析：(1)如图1，正方形 中，点 为对角线 上一个动点，连接 ，将射线 绕点
顺时针旋转 的度数，交直线 于点 ．
小明的思考如下：连接 ，
∵ ， ，∴ ，（依据1）
∵ ，∴ ，∴点 共圆，
∴ ， ，（依据2）
∴ ，∴ ．（依据3）
填空：①依据1应为___________，②依据2应为___________，③依据3应为___________；
一般结论探究：(2)将图1中的正方形 改为菱形 ，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，
若成立，请仅以图2的形式证明，若不成立，请说明理由；
结论拓展延伸：(3)如图2，若 ， ，当 为直角三角形时，请直接写出线段 的
长．
16
