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专题25 定角定高（探照灯）模型
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................1
真题演练.....................................................................................................................................2
巩固练习.....................................................................................................................................4
在几何学中，隐圆问题一直备受关注。其中，定角定高有隐圆的情况，又被称为探照灯模型，
是中考压轴题中的常客。这类题目巧妙地隐藏了圆的信息，通过定角定高的条件，将复杂的边角问
题转化为圆内的边角问题，从而简化了解题过程。掌握这一模型，对于解决这类问题至关重要。
如图，直线BC 外一点A，A 到直线BC 距离为定值（定高），∠BAC 为定角，则AD 有最小值，
即△ABC 的面积有最小值。因为形似探照灯，所以也叫探照灯模型。
在△ABC 中，∠BAC=
（定角），AD 是BC 边上的高，且AD=h（定高）。
结论：当△ABC 是等腰三角形（AB=AC）时，BC 的长最小；△ABC 的面积最小；△ABC 的周长最
小。
证明：如图，作△ABC 的外接圆
，连接OA，OB，OC，过点O 作OE⊥BC 于点E，
专题目录
模型解读
常见类型讲解
设
的半径为r，则∠BOE=∠BAC=
；
∴BC= 2BE=2OB sin
=2r sin
∵OA+OE≥AD（当且仅当点A，O，E 三点共线时,等号成立），
∴r+rcosa≥h，当取等号时r 有最小值，此时BC 的长最小:2r sin
；△ABC 的面积最小:AD r sin
；
△ABC 的周长最小:2r sin
+AD r sin
。
（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正方形ABCD 的边长为1，M、N 是边BC、CD 上的动点．若
∠MAN=45°，则MN 的最小值为 .
【答案】
/
【详解】解：∵正方形
的边长为1，
∴
，
，
真题演练
将
顺时针旋转
得到
，则
，
∴
，
，
，
，
∴点P、B、M、C 共线，
∵
，
∴
，
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
设
，
，则
，
，
∴
，
∵
，
∴
，即
，
整理得：
，
∴
，
当且仅当
，即
，也即
时，
取最小值
，
故答案为：
．
1、如图，在四边形ABCD 中，AB＝AD＝CD＝4，AD//BC，∠B＝60°，点E、F 分别为边BC、
CD 上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF 的面积的最小值是 ．
【答案】
【详解】如图，将△ADF 绕点A 顺时针旋转120°到△ABM，
由旋转得：BM＝DF，AM＝AF，∠ABM＝∠D＝120°，∠MAB＝∠FAD，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABM+∠ABC＝180°，
∴M、B、E 共线，
∵∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝60°，
∠EAF＝60°，AE＝AE，
∴△FAE≌△MAE（SAS），
∴∠MEA＝∠FEA，
过A 作AH⊥BC 于H，作AK⊥EF 于K，
∴AH＝AK＝AB•sin60°＝2
，
作△AEF 的外接圆⊙O，连接OA、OE、OF，
过O 作ON⊥EF 于N，
∵∠EAF＝60°，
巩固练习
∴∠EOF＝120°，
∴∠NOF＝60°，
设EF＝2x，则NF＝x，
Rt△ONF 中，ON＝
x，OF＝
x，
∴ON+OA＝OF+ON＝
x，
∵OA+ON≥AK，
∴
x≥2
，
∴x≥2，
∴S△AEF＝
=2
x≥4
，
∴△AEF 面积的最小值是4
．
2、问题探究，(1)如图①，在矩形ABCD 中，AB＝2AD，P 为CD 边上的中点，试比较∠APB 和
∠ADB 的大小关系，并说明理由；(2)如图②，在正方形ABCD 中，P 为CD 上任意一点，试问当P
点位于何处时∠APB 最大？并说明理由；
问题解决(3)某儿童游乐场的平面图如图③所示，场所工作人员想在OD 边上点P 处安装监控装置，
用来监控OC 边上的AB 段，为了让监控效果最佳，必须要求∠APB 最大，已知：∠DOC＝60°，OA
＝400 米，AB＝200
米，问在OD 边上是否存在一点P，使得∠APB 最大，若存在，请求出此时
OP 的长和∠APB 的度数；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) 结论：∠APB＞∠ADB ，理由见解析；(2) 当点P 位于CD 的中点时，∠APB 最大，理
由见解析；(3) 当经过A，B 的⊙T 与OD 相切于P 时，∠APB 的值最大，理由见解析
【详解】解：（1）如图①中，结论：∠APB＞∠ADB．
理由：作PH⊥AB 于H．
∵四边形ABCD 是矩形，PH⊥AB，
∴∠ADP＝∠DAH＝∠AHP＝90°，
∴四边形ADPH 是矩形，
∵AB＝CD＝2AD，DP＝PC，
∴DA＝DP，
∴四边形ADPH 是正方形，
∴∠APH＝45°，同理可证∠BPH＝45°，
∴∠APB＝90°，
∵∠ADB＜90°，
∴∠APB＞∠ADB．
（2）当点P 位于CD 的中点时，∠APB 最大，理由如下：
假设P 为CD 的中点，如图②中，作△APB 的外接圆⊙O，则此时CD 切⊙O 于点P，
在CD 上取任意异于P 点的点E，连接AE，与⊙O 交于点F，连接BE，BF，
∵∠AFB 是△EFB 的外角，
∴∠AFB＞∠AEB，
∵∠AFB＝∠APB，
∴∠APB＞∠AEB，
故点P 位于CD 的中点时，∠APB 最大．
（3）如图③中，当经过A，B 的⊙T 与OD 相切于P 时，∠APB 的值最大，
作TH⊥OC 于H，交OD 于Q，连接TA，TB，OT．设TP＝TA＝TB＝r，
∵TA＝TB，TH⊥AB，
∴AH＝HB＝100
(m)，
∵∠OHQ＝90°，∠O＝60°，OH＝OA+AH＝(400+100
)(m)，
∴QH＝
OH＝(400
+300)(m)，∠OQH＝30°，
∴TQ＝2PT＝2r，
∵TH＝
＝
，
∴2r+
＝400
+300，
整理得：3r2
(1600
﹣
+1200)r+60000+240000
＝0，
∴(r
200
﹣
)(r
1000
﹣
1200)
﹣
＝0，
∴r＝200
或1000
+1200(舍弃)，
∴AT＝200
m，
∴AT＝2AH，
∴∠ATH＝30°，∠ATB＝2∠ATH＝60°，
∴∠APB＝
∠ATB＝30°，
∴
，
∴OP＝OQ﹣PQ＝800+200
600
﹣
＝(200+200
)(m)．
