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专题27 阿基米德折弦（定理）模型
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................1
真题演练.....................................................................................................................................2
巩固练习.....................................................................................................................................3
阿基米德折弦定理，也称为阿基米德定理，是数学中的一个重要定理，与圆和三角函数有关。
该定理最早记载于公元前250 年的古希腊数学家阿基米德的著作《圆的测量》中。阿基米德折弦定
理陈述如下：对于任意一条弧，该弧两端的弦的长度之积等于从弦中点引垂线得到的两条线段的长
度之积。即，在一个圆的内部任取一条弧，该弧的两个端点连成一条弦，然后在这条弦的中点处竖
直一条线段，将弦分成两条线段，两条线段的长度之积等于从中点引垂线得到的两条线段的长度之
积。具体公式为：AB×CD=BC×DE。其中，AB 表示弦的长度，BC 为弦的中点到圆的距离，CD 和
DE 分别为弦的两边到圆的距离。该定理可以用来推导出三角函数之间的关系，因此在三角函数的求
解中也有着广泛的应用。
折弦：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。
一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中
点。
如图所示，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即ABC 是圆的一条折弦)，BC>AB，M 是
的中点，则从
M 向BC 所作垂线之垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD=AB+BD。
专题目录
模型解读
常见类型讲解
M
B
C
A
D
常见证明的方法：
1）补短法：如图，如图，延长DB 至F，使BF=BA；
M
B
C
A
D
F
2）截长法：如图，在CD 上截取DG=DB；
M
B
C
A
D
G
3）垂线法：如图，作MH⊥射线AB，垂足为H。
H
M
B
C
A
D
G
（2022·贵州安顺·中考真题）如图，在△ABC 中，AC＝2❑√2，∠ACB＝120°，D 是边AB 的中点，
真题演练
E 是边BC 上一点，若DE 平分△ABC 的周长，则DE 的长为（ ）
A．
❑√5
2 B．
❑√2+1
2
C．❑√2 D．❑√3
【答案】C
【详解】解：如图，延长
至
，使得
，连接
，
，
,
又
，
是等边三角形，
，
是边
的中点，
是边
上一点，
平分
的周长，
，
，
，
，
，
即
，
是
的中位线，
．
故选C．
问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，
和
是
的两条弦（即折线
是圆的一条折弦），
巩固练习
，M 是
的中点，则从M 向
所作垂线的垂足D 是折弦
的中点，即
．下面是运用“截长法”证明
的部分证明过程．
（1）证明：如图2，在
上截取
，连接
和
．
∵M 是
的中点，∴
……
请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
实践应用：（2）如图3，已知
内接于
，
，D 是
的中点，依据阿基米
德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为 ．
（3）如图4，已知等腰
内接于
，
，D 为
上一点，连接
，
，
于点E，
的周长为
，
，请求出
的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
；（3）4
【详解】（1）证明：如图2，在
上截取
，连接
和
．
∵M 是
的中点，
∴
．
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
；
（2）根据阿基米德折弦定理得，
，
答案为：
；
（3）根据阿基米德折弦定理得，
，
∵
的周长为
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
在
中，
，
∴
．
