文档文本内容
【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题31 “12345”模型
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................1
【模型引入】......................................................................................................................1
【常见模型】......................................................................................................................2
真题演练.....................................................................................................................................2
巩固练习...................................................................................................................................12
在众多几何模型中，“12345”模型就像夜空中的木星一样明亮而璀璨，是中考解题的顶级神器，
需要我们不断钻研、锤炼。初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无
论是一次函数、平行四边形、特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角
三角形。
【模型引入】
2019 年北京市中考
如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝（ ）°（点A，B，P 是网格交点）．
该类问题解法很多，这里我们就根据现有的方格纸来构造一个等腰直角三角形。
如图，即：∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°。
专题目录
模型解读
常见类型讲解
上面的∠PAB 和∠PBA 便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45°之外，用三角函数的观点来
看：tan∠PAB=
，tan∠PBA=
，对于这里的数据，为了便于记忆，总结为“12345”模型。
【常见模型】
下面模型中
，
，2，3，
，
均为对应角的正切值。
∠α+∠β＝45°； ∠α+45°＝∠GAF； ∠DAF+45°＝∠EAH； ∠α+∠β＝135°；
∠α+∠β＝90°； ∠ADB+∠DBA＝∠BAC； ∠ADB+∠DBA＝∠BAC；
（2023.湖北黄冈.中考真题）如图，矩形
中，
，以点B 为圆心，适当长为半径
画弧，分别交
，
于点E，F，再分别以点E，F 为圆心，大于
长为半径画弧交于点P，作
射线
，过点C 作
的垂线分别交
于点M，N，则
的长为（ ）
真题演练
A．
B．
C．
D．4
【答案】A
【详解】解：如图，设
与
交于点O，与
交于点R，作
于点Q，
矩形
中，
，
，
．
由作图过程可知，
平分
，
四边形
是矩形，
，
又
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
设
，则
，
在
中，由勾股定理得
，
即
，
解得
，
．
．
，
．
，
，
，
，即
，
解得
．
故选A．
（2022.四川泸州中考真题）如图，在边长为3 的正方形
中，点
是边
上的点，且
，过点
作
的垂线交正方形外角
的平分线于点
，交边
于点
，连接
交边
于点
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【详解】解：如图所示：在AD 上截取
连接GE，延长BA 至H，使
连接EN，
为正方形外角
的平分线，
在
和
中，
在
和
中，
在
和
中，
设
则
在
中，
故选：B．
（2022·四川乐山·中考真题）如图，在
中，
，
，点D 是AC 上一点，连接
BD．若
，
，则CD 的长为（ ）
A．
B．3
C．
D．2
【答案】C
【详解】解：在
中，
，
，
∴
∴
由勾股定理得,
过点D 作
于点E，如图，
∵
，
，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
,
在
中,
∴
∵
∴
故选：C
（2023.四川广元 中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点
，点
，点
在
轴
上，且点
在点
右方，连接
，
，若
，则点
的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：∵点
，点
，
∴
，
，
∵
，
∴
，
过点
作
于点
，
∵
，
是
的角平分线，
∴
∵
∴
设
，则
，
∴
解得：
或
（舍去）
∴
故答案为：
．
（2022.贵州中考真题）如图，折叠边长为4cm 的正方形纸片
，折痕是
，点
落在点
处，
分别延长
、
交
于点
、
，若点
是
边的中点，则
cm．
【答案】
/
【详解】解：连接
如图，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴
∵点M 为BC 的中点，
∴
由折叠得，
∠
∴∠
，
设
则有
∴
又在
中，
，
∵
∴
∴
在
中，
∴
解得，
（舍去）
∴
∴
∴
∵∠
∴∠
∴∠
又∠
∴△
∴
即
∴
故答案为：
（2023.内蒙古.中考真题）如图，在
中，
，将
绕点A 逆时
针方向旋转
，得到
．连接
，交
于点D，则
的值为 ．
【答案】5
【详解】解：过点D 作
于点F，
∵
，
，
，
∴
，
∵将
绕点A 逆时针方向旋转
得到
，
∴
，
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
又∵
，
∴
，
∴
是等腰直角三角形，
∴
，
∵
，即
，
∵
，
，
∴
，
∴
，即
，
又∵
，
∴
，
∴
，
，
∴
，
故答案为：5．
（2023.呼和浩特中考真题）如图，正方形
的边长为
，点
是
的中点，
与
交于
点
，
是
上一点，连接
分别交
，
于点
，
，且
，连接
，则
，
．
【答案】 2
【详解】解：∵正方形
的边长为
，点
是
的中点，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
；
∵
，
∴
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
故点
作
，则：
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
故答案为：2，
．
1、如图，正方形ABCD 中，AB=6，G 是BC 的中点，将△ABG 沿AG 对折至△AFG，延长GF 交DC
于点E，则DE 长是( )
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
巩固练习
【答案】C
【详解】
连接AE，
∵AB=AD=AF,∠D=∠AFE=90°，
由折叠的性质得：Rt△ABG≌Rt△AFG，
在△AFE 和△ADE 中，
∵AE=AE，AD=AF，∠D=∠AFE，
∴Rt△AFE≌Rt△ADE，
∴EF=DE，
设DE=FE=x，则CG=3，EC=6−x.
在直角△ECG 中，根据勾股定理，得：
(6−x)2+9=(x+3)2，
解得x=2.
则DE=2.
2、如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 是AB 边延长线上一点，BE＝2，F 是AB 边上一点，将
△CEF 沿CF 翻折，使点E 的对应点G 落在AD 边上，连接EG 交折痕CF 于点H，则FH 的长是（
）
A．
B．
C．1
D．
【答案】B
【详解】解：∵四边形
是边长为
的正方形，
∴
，
，
∴
，
由翻折得
，
，
垂直平分
，
在
和
中，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∵
，且
，
∴
，
解得
，
∵
，
∴
，
解得
，
故选：
．
3、如图，A，B，C，D 是边长为1 的小正方形组成的6×5 网格中的格点，连接
交
于点E，连
接
．给出4 个结论：①
；②
；③
；④
．其中正
确的是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
【答案】B
【详解】解：连接
，
，
为格点，如图，
由题意得：
，
，
，
．
在
和
中，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
．
①的结论正确；
，
，
．
，
，
．
②的结论正确；
，
，
，
在
中，
，
，
③的结论不正确；
，
，
，
，
，
④的结论正确．
综上，正确的结论有：①②④．
故选：B．
4、如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，点E、F 分别在BC、CD 上，若AE=√5 ，∠EAF=45°，
则AF 的长为 .
【答案】
【详解】解：取AB 的中点M，连接ME，在AD 上截取ND=DF，设DF=DN=x，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，
∴NF=
x，AN=4﹣x，
∵AB=2，
∴AM=BM=1，
∵AE=
，AB=2，
∴BE=1，
∴ME=
，
∵∠EAF=45°，
∴∠MAE+∠NAF=45°，
∵∠MAE+∠AEM=45°，
∴∠MEA=∠NAF，
∴△AME∽△FNA，
∴
，
∴
，
解得：x=
∴AF=
故答案为
．
5、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1 的图像分别交x、y 轴于点A、B，将直线AB 绕点
B 顺时针旋转45°，交x 轴于点C，则直线BC 的函数表达式是_______________．
【答案】
【详解】因为一次函数
的图像分别交
、
轴于点
、
，则
，
，则
．过
作
于点
，因为
，所以由勾股定理得
，设
，
则
，根据等面积可得：
，即
，解得
．则
，即
，所以直线
的函数表达式是
．
6、如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连接
OB，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在点A’位置，OB=
，tan∠BOC=
，则点A’的坐标为
____________．
【答案】
【详解】解：∵四边形OABC 是矩形，
∴OA=BC，AB=OC，tan∠BOC=
=
，
∴AB=2OA，
∵
，OB=
，
∴OA=1，AB=2．∵OA′由OA 翻折得到，
∴OA′= OA=1．
如图，过点A′作A′D⊥x 轴与点D；
设A′D=a，OD=b；
∵四边形ABCO 为矩形，
∴∠OAB=∠OCB=90°；四边形ABA′D 为梯形；
设AB=OC=a，BC=AO=b；
∵OB=
，tan∠BOC=
，
∴
，
解得：
；
由题意得：A′O=AO=1；△ABO≌△A′BO；
由勾股定理得：x2+y2=1①，
由面积公式得：
xy+2×
×2×1＝
(x+2)×(y+1)②；
联立①②并解得：x=
，y=
．
故答案为（−
，
）
7、如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=-x+m 分别交x 轴、y 轴于A、B 两点，已知点C（2，
0），点P 为线段OB 的中点，连接PA、PC，若∠CPA=∠ABO，则m 的值是__________．
【答案】
【详解】解：作
，连接
．则
，
,如图，
由
可得
．
∴
，
∴
．
当
时，
，
所以，此时
，故不合题意．
∴
．
∵
，
∴
，即
，
∴
，
∵点
为线段
的中点，
∴
，
∴
，即
解得
．
故答案是：
．
8、如图，已知点A 的横坐标与纵坐标相等，点B（0，2），点A 在反比例函数y
的图象上．作
射线AB，再将射线AB 绕点A 按逆时针方向旋转
，交y 轴于C 点，则△ABC 面积为 ．
【答案】20
【详解】解：∵点A 在反比例函数y
的图象上，且点A 的横坐标与纵坐标相等，
∴A（4，4），
过B 作BF⊥AC 于F，过F 作FD⊥y 轴于D，过A 作AE⊥DF 延长线于E，
∵
，则△ABF 为等腰直角三角形，
∴
在△AEF 与△FDB 中
∴△AEF≌△FDB（AAS），
设BD＝a，则EF＝a，
∵点A（4，4）和点B（0，2），
∴DF＝4﹣a＝AE，OD＝OB﹣BD＝2﹣a，
∵AE+OD＝4，
∴4﹣a+2﹣a＝4，
解得a＝1，
∴F（3，1），
设直线AC 的解析式为y＝kx+b，则
，解得
，
∴y＝3x﹣8，
令x＝0，则y＝﹣8，
∴C（0，﹣8），
∴BC＝10，
∴
20，
故答案为：20．
