文档文本内容
淘宝：学思创想
专题28 最值模型之阿氏圆模型
最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化
归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆
问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足 PA=k·PB（k≠1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早
由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O 的半径为 r，点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知r=k·OB，
连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？
如图2，在线段OB 上截取OC 使OC=k·r，则可说明△BPO 与△PCO 相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，
其中与A 与C 为定点，P 为动点，故当A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3 所示：
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变
为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在
中，
，
，
，圆C 半径为
2，P 为圆上一动点，连接
最小值__________．
最小值__________．
淘宝：学思创想
【答案】
；
．
【分析】如图，连接CP，在CB 上取点D，使CD=1，连结AD，可证△PCD∽△BCP．可得PD=
BP，当
点A，P，D 在同一条直线时，AP+
BP 的值最小，在Rt△ACD 中，由CD=1，CA=6，根据勾股定理AD=
=
即可；在AC 上取CE=
，△PCE∽△ACP．可得PE=
AP，当点B，P，E 在同一条直线时，
BP+
AP 的值最小，在Rt△BCE 中，由CE=
，CB=4，根据勾股定理BE=
即可．
【详解】解：如图，连接CP，在CB 上取点D，使CD=1，连结AD，
∵CP=2，BC=4，
∴
，∴
，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．
∴
，∴PD=
BP，∴AP+
BP=AP+PD，
当点A，P，D 在同一条直线时，AP+
BP 的值最小，
在Rt△ACD 中，∵CD=1，CA=6，∴AD=
=
，
∴AP+
BP 的最小值为
．故答案为：
在AC 上取CE=
，连接CP，PE
淘宝：学思创想
∵
∴
又∵∠PCE=∠ACP，∴△PCE∽△ACP．
∴
，∴PE=
AP，∴BP+
AP=BP+PE，
当点B，P，E 在同一条直线时，BP+
AP 的值最小，
在Rt△BCE 中，∵CE=
，CB=4，∴BD=
，
∴BP+
AP 的最小值为
．故答案为：
．
【点睛】本题考查圆的性质，构造相似三角形解决比例问题，勾股定理，掌握圆的性质，相似三角形的判
定与性质，勾股定理，关键是引辅助线准确作出图形是解题关键．
例2．（2023 春·江苏·九年级校考阶段练习）如图，正方形
的边长为4，
的半径为2，
为
上
的动点，则
的最大值是 ．
【答案】2
【分析】解法1，如图：以
为斜边构造等腰直角三角形
，连接
，
，连接
、
，
推得
，因为
，求出
即可求出答案．
解法2：如图：连接
、
、
，在
上做点
，使
，连接
，证明
，
淘宝：学思创想
在
上做点
，使
，连接
，证明
，接着推导出
，最后证
明
，即可求解．
【详解】解法1：如图：以
为斜边构造等腰直角三角形
，连接
，
，
∴
，
，
四边形
正方形
，
又
，
在
与
中
，
故答案为：2．
解法2 如图：连接
、
、
根据题意正方形
的边长为4，
的半径为2
，
在
上做点
，使
，则
，连接
在
与
中
，
，则
淘宝：学思创想
在
上做点
，使
，则
，连接
在
与
中
，
，则
如图所示连接
在
与
中
，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题
关键．
例3．（2023·广东·九年级专题练习）如图，菱形
的边长为2，锐角大小为
，
与
相切于点
E，在
上任取一点P，则
的最小值为___________．
【答案】
．
【分析】在AD 上截取AH=1.5，根据题意可知，AP=
，可得
，证△APH∽△ADP，可知PH=
淘宝：学思创想
，当B、P、H 共线时，
的最小，求BH 即可．
【详解】解：在AD 上截取AH=1.5，连接PH、AE，过点B 作BF⊥DA 延长线，垂足为F，
∵AB=2，∠ABC=60°，∴BE=AF=1，AE=BF=
，
∴
，∵∠PAD =∠PAH，∴△ADP∽△APH，
∴
，∴PH=
，
当B、P、H 共线时，
的最小，最小值为BH 长，
BH=
；故答案为：
．
【点睛】本题考查了阿氏圆，解题关键是构造子母相似，利用两点之间，线段最短解决问题．
例4．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在边长为6 的正方形
中，M 为
上一点，且
，N 为边
上一动点．连接
，将
沿
翻折得到
，点P 与点B 对应，连接
，则
的最小值为 ．
淘宝：学思创想
【答案】
【分析】由折叠的性质可得，点
在以
为圆心，以
为半径的圆上，在线段
上取一点
，使得
，利用相似三角形的性质得到
，从而得到
，当且仅当
三点共线时，取得最小值
，即可求解．
【详解】解：由题意可得：
∴点
在以
为圆心，以
为半径的圆上，
在线段
上取一点
，使得
，则
∵
，
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
如下图所示，当且仅当
三点共线时，取得最小值
，∴
的最小值为：
故答案为：
【点睛】本题考查了最短路径问题，通过转化思想把
转化为
是解决此题的关键．
例5．（2023·浙江·一模）问题提出：
如图1，在等边△ABC 中，AB＝9，⊙C 半径为3，P 为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+
BP 的最小值
(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将
BP 转化为某
一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)
淘宝：学思创想
如图2，连结CP，在CB 上取点D，使CD＝1，则有
又∵∠PCD＝∠
△ ∽△
∴
∴PD＝
BP
∴AP+
BP＝AP+PD
∴当A，P，D 三点共线时，AP+PD 取到最小值
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+
BP 的最小值为 ．
(2)自主探索：如图3，矩形ABCD 中，BC＝6，AB＝8，P 为矩形内部一点，且PB＝4，则
AP+PC 的最小
值为 ．(请在图3 中添加相应的辅助线)
(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD 中，O 为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P 是
上一点，求2PA+PB 的最小值，画出示意图并写出求解过程．
【答案】（1）BCP，PCD，BCP，
；（2）2
；（3）作图与求解过程见解析，2PA+PB 的最小值为
．
【分析】(1)连结AD，过点A 作AF⊥CB 于点F，AP+
BP＝AP+PD，要使AP+
BP 最小，AP+AD 最小，当
点A，P，D 在同一条直线时，AP+AD 最小，即可求解；
(2)在AB 上截取BF＝2，连接PF，PC，AB＝8，PB＝4，BF＝2，证明△ABP∽△PBF，当点F，点P，点C
三点共线时，AP+PC 的值最小，即可求解；
淘宝：学思创想
(3)延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F 作FB⊥OD 于点M，确定
，且∠AOP＝
∠AOP，△AOP∽△POF，当点F，点P，点B 三点共线时，2AP+PB 的值最小，即可求解．
【详解】解：(1)如图1，连结AD，过点A 作AF⊥CB 于点F，
∵AP+
BP＝AP+PD，要使AP+
BP 最小，
∴AP+AD 最小，当点A，P，D 在同一条直线时，AP+AD 最小，即：AP+
BP 最小值为AD，
∵AC＝9，AF⊥BC，∠ACB＝60°∴CF＝3，AF＝
；
∴DF＝CF﹣CD＝3
1
﹣＝2，∴AD＝
，
∴AP+
BP 的最小值为
；故答案为：
；
(2)如图2，在AB 上截取BF＝2，连接PF，PC，∵AB＝8，PB＝4，BF＝2，
∴
，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，
∴
，∴PF＝
AP，∴
AP+PC＝PF+PC，
∴当点F，点P，点C 三点共线时，AP+PC 的值最小，
∴CF＝
，∴
AP+PC 的值最小值为2
，故答案为：2
；
(3)如图3，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F 作FB⊥OD 于点M，
淘宝：学思创想
∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，
∴
，且∠AOP＝∠AOP∴△AOP∽△POF
∴
，∴PF＝2AP 2
∴PA+PB＝PF+PB，
∴当点F，点P，点B 三点共线时，2AP+PB 的值最小，
∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM
∴OM＝4，FM＝4
，∴MB＝OM+OB＝4+3＝7
∴FB＝
，∴2PA+PB 的最小值为
．
【点睛】本题主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是根据材料
中的思路构造出相似三角形..
例6．（2022·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形
的边长为4，圆B 的半径为2，点P
是圆B 上的一个动点，求
的最小值，
的最小值，
的最大值．
（2）如图2，已知正方形
的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，求
的
最小值，
的最大值，
的最小值．
（3）如图3，已知菱形
的边长为4，
，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求
的最小值和
的最大值．
的最小值
【答案】见详解
淘宝：学思创想
【分析】（1）如图1 中，在BC 上取一点G，使得BG=1．由△PBG
CBP
∽△
，推出
，推出PG=
PC，推出PD+
PC=DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P 共线时，PD+
PC 的值最小，最小值为DG=
=5．由PD-
PC=PD-PG≤DG，当点P 在DG 的延长线上时，PD-
PC 的值最大（如图2 中），最大值
为DG=5；可以把
转化为4（
），这样只需求出
的最小值，问题即可
解决。
（2）如图3 中，在BC 上取一点G，使得BG=4．解法类似（1）；
（3）如图4 中，在BC 上取一点G，使得BG=4，作DF BC
⊥
于F．解法类似（1）；
【详解】（1）如图1 中，在BC 上取一点G，使得BG=1．
PBG
CBP
∴△
△
∽
，
DP+PG≥DG
∵
，∴当D、G、P 共线时，
的值最小，最小值为DG=
=5．
当点P 在DG 的延长线上时，
的值最大（如图2 中），最大值为DG=5．
淘宝：学思创想
如图，连接BD，在BD 上取一点F，使得BF=
，作EF BC
⊥
∵
PBF
PBD
∴△
△
∽
，∴PF=
PD，
∴当C、F、P 三点共线时会有FP+CP 的最小值即
PD+PC，
由图可知，△BEF 为等腰直角三角形，∴BF=
，BE=EF=
，
∴最小值为FC=
=
=
∴
的最小值为：
．
（2）如图3 中，在BC 上取一点G，使得BG=4．
PBG
CBP
∴△
△
∽
，
DP+PG≥DG
∵
，∴当D、G、P 共线时，
的值最小，最小值为DG=
=
．
当点P 在DG 的延长线上时，
的值最大，最大值为DG=
．
（3）如图4 中，在BC 上取一点G，使得BG=1，作DF BC
⊥
于F．
淘宝：学思创想
PBG
CBP
∴△
△
∽
，
DP+PG≥DG
∵
，∴当D、G、P 共线时，
的值最小，最小值为DG．
在Rt
CDF
△
中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD•sin60°=
，CF=2，
在Rt
GDF
△
中，DG=
=
PC=PD-PG≤DG，
当点P 在DG 的延长线上时，
的值最大（如图2 中），最大值为DG=
【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短
等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之
间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．
例7．（2022·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足
k ( k 为
定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，
【问题解决】如图，在△ABC 中，CB 4 ， AB 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____．
【答案】
【分析】以A 为顶点，AC 为边，在△ABC 外部作∠CAP= ABC
∠
，AP 与BC 的延长线交于点P，证出
淘宝：学思创想
△APC
BPA
∽△
，列出比例式可得BP=2AP，CP=
AP，从而求出AP、BP 和CP，即可求出点A 的运动轨迹，最
后找出距离BC 最远的A 点的位置即可求出结论．
【详解】解：以A 为顶点，AC 为边，在△ABC 外部作∠CAP= ABC
∠
，AP 与BC 的延长线交于点P，
APC= BPA
∵∠
∠
， AB 2AC
APC
BPA
∴△
△
∽
，
∴
BP=2AP
∴
，CP=
AP
BP
∵
－CP=BC=4 2AP
∴
－
AP=4 解得：AP=
BP=
∴
，CP=
，即点P 为定点
∴点A 的轨迹为以点P 为圆心，
为半径的圆上，如下图所示，过点P 作BC 的垂线，交圆P 于点A1，此时
A1到BC 的距离最大，即△ABC 的面积最大
S△A1BC=
BC·A1P=
×4×
=
即△ABC 面积的最大值为
故答案为：
．
【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质、确定点的运动轨迹和求三角形的面积，掌握相似三角形
的判定及性质、圆的定义和三角形的面积公式是解决此题的关键．
例8．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线
与
轴交于
两点，与
轴交于点
．抛物线的对称轴
与经过点
的直线
交于点
，与
轴交于点
．
(1)求直线
及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点
，使得
是以
为直角边的直角三
角形?若存在，求出所有点
的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点
为圆心，画半径为2 的圆，点
为
上一个动点，请求出
的最小值．
淘宝：学思创想
【答案】(1)直线
的解析式为
；抛物线解析式为
(2)存在，点M 的坐标为
或
或
(3)
【分析】（1）根据对称轴
，
，得到点A 及B 的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；
（2）先求出点D 的坐标，再分两种情况：①当
时，求出直线
的解析式为
，解
方程组
，即可得到点M 的坐标；②当
时，求出直线
的解析式为
，解方程组
，即可得到点M 的坐标；（3）在
上取点
，使
，连接
，证得
，又
，得到
，推出
，进而得到当点C、P、F 三点共线
时，
的值最小，即为线段
的长，利用勾股定理求出
即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴
，
，∴
，
将
代入直线
，得
，解得
，∴直线
的解析式为
；
将
代入
，得
，解得
，
∴抛物线的解析式为
；
淘宝：学思创想
（2）存在点
，∵直线
的解析式为
，抛物线对称轴
与
轴交于点
．
∴当
时，
，∴
，
①当
时，设直线
的解析式为
，将点A 坐标代入，
得
，解得
，∴直线
的解析式为
，
解方程组
，得
或
，∴点M 的坐标为
；
②当
时，设直线
的解析式为
，将
代入，
得
，解得
，∴直线
的解析式为
，
解方程组
，解得
或
，∴点M 的坐标为
或
综上，点M 的坐标为
或
或
；
（3）如图，在
上取点
，使
，连接
，
∵
，∴
，∵
，、∴
，
又∵
，∴
，∴
，即
，
∴
，∴当点C、P、F 三点共线时，
的值最小，即为线段
的长，
∵
，∴
，∴
的最小值为
．
【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，
勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．
淘宝：学思创想
课后专项训练
1．（2023 春·浙江九年级课时练习）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C 为圆心、
3 为半径作⊙C，P 为⊙C 上一动点，连接AP、BP，则
AP＋BP 的最小值为（ ）
A．7
B．5
C．
D．
【答案】B
【详解】思路引领：如图，在CA 上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质
证明MP
PA，可得
AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM 即可解决问题．
答案详解：如图，在CA 上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．
淘宝：学思创想
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM•CA，∴
，
∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴
，∴PM
PA，∴
AP+BP＝PM+PB，
∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM 中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM
5
，∴
AP+BP≥5
，∴
AP+BP 的最小值为5
．故选：B．
2．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，正方形ABCD 的边长AB=8，E 为平面内一动点，且AE=4，F
为CD 上一点，CF=2，连接EF，ED，则EF
ED 的最小值为( )
A．6
B．4
C．4
D．6
【答案】A
【分析】如图（见解析），在AD 边上取点H，使得
，连接EH、FH，先根据正方形的性质得出
，
，再根据相似三角形的判定与性质得出
，从而可得
，
然后利用三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可得
取得最小值时，点E 的位置，最后利
用勾股定理求解即可得．
【详解】如图，在AD 边上取点H，使得
，连接EH、FH
四边形ABCD 是正方形
，
，
，即
又
，即
由三角形的三边关系定理得：
淘宝：学思创想
由题意得：点E 的轨迹是在以点A 为圆心，AE 长为半径的圆上
由两点之间线段最短可知，当点E 位于FH 与圆A 的交点
时，
取得最小值，最小值为
，
在
中，由勾股定理得
即
的最小值为
故选：
A．
【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的三边关系
定理、两点之间线段最短等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
3．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，点P 是⊙B 上的
一个动点，则PD﹣
PC 的最大值为_____．
【答案】5
【详解】分析: 由PD−
PC＝PD−PG≤DG，当点P 在DG 的延长线上时，PD−
PC 的值最大，最大值为DG＝
5．
详解: 在BC 上取一点G，使得BG＝1，如图，
淘宝：学思创想
∵
，
，∴
，
PBG
∵∠
＝∠PBC，∴△PBG
CBP
∽△
，∴
，∴PG＝
PC，
当点P 在DG 的延长线上时，PD−
PC 的值最大，最大值为DG＝
＝5．故答案为5
点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似
三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于
中考压轴题．
4．（2023·浙江·九年级专题练习）如图所示，
，半径为2 的圆
内切于
．
为圆
上
一动点，过点
作
、
分别垂直于
的两边，垂足为
、
，则
的取值范围为
．
【答案】
【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作
于
，作
于
，如
淘宝：学思创想
图所示，通过代换，将
转化为
，得到当
与
相切时，
取
得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范
围．
【详解】解：作
于
，作
于
，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
当
与
相切时，
取得最大和最小，
①连接
，
，
，如图1 所示：
可得：四边形
是正方形，
，
在
中，
，
，
在
中，
，
，即
；
②连接
，
，
，如图2 所示：
可得：四边形
是正方形，
，
由上同理可知：在
中，
，
，
在
中，
，
，即
，
淘宝：学思创想
．故答案为：
．
【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟记相关几何知
识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键．
5．（2023·湖南·九年级专题练习）如图，边长为4 的正方形，内切圆记为⊙O，P 是⊙O 上一动点，则
PA＋PB 的最小值为 ．
【答案】
【分析】
PA＋PB＝
（PA＋
PB），利用相似三角形构造
PB 即可解答．
【详解】解：设⊙O 半径为r，
OP＝r＝
BC＝2，OB＝
r＝2
，取OB 的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝
，
∵
，
，∴
，∠O 是公共角，∴△BOP∽△POI，
∴
，∴PI＝
PB，∴AP＋
PB＝AP＋PI，
淘宝：学思创想
∴当A、P、I 在一条直线上时，AP＋
PB 最小，作IE⊥AB 于E，
∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝
BI＝1，∴AE＝AB−BE＝3，
∴AI＝
，∴AP＋
PB 最小值＝AI＝
，
∵
PA＋PB＝
（PA＋
PB），
∴
PA＋PB 的最小值是
AI＝
．故答案是
．
【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．
6．（2023 上·四川成都·九年级校考期中）如图，已知
，若点
、
在射线
上，且满足
，
，
是射线
上的动点，同时在
右侧作
，且满足
，则
的面积为 ．若点
运动轨迹与射线
交于点
，当
的最小值时，此时
的
值为 ．
【答案】
【分析】过点H 作
，利用勾股定理与逆定理可判断
是等腰三角形，过E 作
于
，在
右侧作
，则可证明
，得出
，进而得
出
，然后利用三角形的面积公式即可解答第一空；过H 作
于K，利用含
的直角三
角形的性质得出
，则
，故当A、H、K 三点共线，且
淘宝：学思创想
时，
取最小值，过H 作
于P，得出
，
，然后利用勾股定
理即可求解．
【详解】解：过点H 作
，
∵
，
，，∴
，
，
设
，则
，∵
，∴
，
，
∴
，∴
，∴
，
过E 作
于
，在
右侧作
，
∴
，∴
，
，
∴
，∴
，
，∴
，
∵
，
，∴
，
，
∴
，
，∴
，∴
，
∴
；如图，过H 作
于K，
∵
，
，∴
，∴
，
淘宝：学思创想
∴当A、H、K 三点共线，且
时，
取最小值，
如图，过H 作
于P， ∴
，
，
，∴
，
又
，∴
，∴
，
即当
取最小值时，
的值为
．故答案为：
，
【点睛】本题考查了含
的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，明确题
意，添加合适辅助线，构造相似三角形求解，判定点H 在平行与
的直线上运动，当A、H、k 三点共
线，且
时，
取最小值，是解题的关键．
7．（2023·广西·南宁市一模）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P 是
AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC 的最小值是_____．
【答案】
【分析】如图，取一点T（1，0），连接OP，PT，TD．首先利用四点共圆证明OP=2，再利用相似三角形
的性质证明PT=
PC，推出2PD+PC=2（PD+
PC）=2（PD+PT），根据PD+PT≥DT，求出DT 即可解决
问题．
【详解】解：如图，取一点T（1，0），连接OP，PT，TD．
淘宝：学思创想
∵A（2，0），B（0，2），C（4，0），∴OA=OB=2，OC=4，
以O 为圆心OA 为半径作⊙O，在优弧AB 上取一点Q，连接QB，QA，
∵∠Q=
∠AOB=45°，∠APB=135°，∴∠Q+∠APB=180°，
∴A，P，B，Q 四点共圆，∴OP=OA=2，∵OP=2，OT=1，OC=4，∴OP2=OC•OT，
∴
，∵∠POT=∠POC，∴△POT∽△COP，
∴
，∴PT=
PC，∴2PD+PC=2（PD+
PC）=2（PD+PT），
∵PD+PT≥DT，DT=
，∴2PD+PC≥
，
2
∴PD+PC 的最小值为
，故答案为：
．
【点睛】本题考查几何问题的最值，相似三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是学会添加
常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
8．（2023·江苏苏州·苏州市二模）如图，在
中，点A、点
在
上，
，
，点
在
上，且
，点
是
的中点，点
是劣弧
上的动点，则
的最小值为
．
【答案】
【分析】延长
到
，使得
，连接
，
，利用相似三角形的性质证明
，求
淘宝：学思创想
的最小值问题转化为求
的最小值．求出
即可判断．
【详解】解：延长
到
，使得
，连接
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又
在
中，
，
，
，
，
，
的最小值为
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造相似三角形解决问题．
9．（2023 秋·浙江温州·九年级校考期末）如图，在边长为4 的正方形ABCD 内有一动点P，且BP＝
．
连接CP，将线段PC 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则
DQ+CQ 的最小值为 ．
【答案】5
【分析】连接AC、AQ，先证明△BCP∽△ACQ 得
即AQ＝2，在AD 上取AE＝1，证明
淘宝：学思创想
△QAE∽△DAQ 得EQ＝
QD，故
DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，求出CE 即可．
【详解】解：如图，连接AC、AQ，
∵四边形ABCD 是正方形，PC 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠ACB＝∠PCQ＝45°，
∴∠BCP＝∠ACQ，cos∠ACB＝
，cos∠PCQ＝
，
∴∠ACB=∠PCO，∴△BCP∽△ACQ，∴
∵BP＝
，∴AQ＝2，∴Q 在以A 为圆心，AQ 为半径的圆上，在AD 上取AE＝1，
∵
，
，∠QAE＝∠DAQ， ∴△QAE∽△DAQ，
∴
即EQ＝
QD，∴
DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，连接CE，
∴
，∴
DQ+CQ 的最小值为5．故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键
在于能够连接AC、AQ，证明两对相似三角形求解.
10．（2020·广西·中考真题）如图，在Rt
中，AB＝AC＝4，点E，F 分别是AB，AC 的中点，点P 是
扇形AEF 的
上任意一点，连接BP，CP，则
BP+CP 的最小值是 ．
淘宝：学思创想
【答案】
．
【分析】在AB 上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明
，推出
＝
＝
，
推出PT＝
PB，推出
PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT 即可解决问题．
【详解】解：在AB 上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．
∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝
AT•AB，∴
＝
，
∵∠PAT＝∠PAB，∴
，∴
＝
＝
，∴PT＝
PB，∴
PB+CP＝CP+PT，
∵PC+PT≥TC，在Rt
中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，
∴CT＝
＝
，∴
PB+PC≥
，∴
PB+PC 的最小值为
．故答案为
．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关
系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．
11．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为边AD 上一个动点，点F
在边CD 上，且线段EF＝4，点G 为线段EF 的中点，连接BG、CG，则BG+
CG 的最小值为 _____．
淘宝：学思创想
【答案】5
【分析】因为DG＝
EF＝2，所以G 在以D 为圆心，2 为半径圆上运动，取DI＝1，可证△GDI∽△CDG，
从而得出GI＝
CG，然后根据三角形三边关系，得出BI 是其最小值
【详解】解：如图，
在Rt△DEF 中，G 是EF 的中点，∴DG＝
，∴点G 在以D 为圆心，2 为半径的圆上运动，
在CD 上截取DI＝1，连接GI，∴
＝
＝
，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，
∴
＝
，∴IG＝
，∴BG+
＝BG+IG≥BI，
∴当B、G、I 共线时，BG+
CG 最小＝BI，在Rt△BCI 中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点
的运动轨迹是解题的关键．
12．（2023·四川成都·九年级专题练习）在
中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A 的半径为6，P 是
上一动点，连接PB，PC，则
的最小值_____________
的最小值_______
淘宝：学思创想
【答案】
【分析】①连接AP，在AB 上取点Q，使AQ=4，连接CQ，利用相似三角形的判定和性质得到
，
推出
，当
三点共线时，
的值最小，最小值为
的长，再利用特殊角的三角函数值以及勾股定理即可求解；
②在AC 上取点G，使AG=
，连接PG，BG，同①得到当
三点共线时，
的值最小，
最小值为
的长，再利用特殊角的三角函数值以及勾股定理即可求解．
【详解】①连接AP，在AB 上取点Q，使AQ=4，连接CQ，
∵⊙A 的半径为6，即AP=6，∴
，又
，且
，
∴
，∴
，∴
，
∴
，
淘宝：学思创想
当
三点共线时，
的值最小，最小值为
的长，过C 作CI⊥AB 于I，
∴
，在Rt△CIB 中，∵
，BC=8，
，∴
，∴
，
，在Rt△CIQ 中，
，
∴
的最小值为
；故答案为：
；
②连接AP，由①得：在Rt△CIA 中，
，
在AC 上取点G，使AG=
，连接PG，BG，
∴
，∵
，∴
，
且
，∴
，∴
，∴
，
∴
，
当
三点共线时，
的值最小，最小值为
的长，过G 作GH⊥AB 于H，
∴
，在Rt△CIA 中，
，
在Rt△GAH 中，
，∴
，∴
，
，在Rt△GHB 中，
，
∴
的最小值为
．故答案为：
．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三
角形，解本题的关键是构造出相似三角形，也是解本题的难点．
13．（2023·广西·九年级专题练习）如图，已知菱形
的边长为4，
，
的半径为2，P 为
淘宝：学思创想
上一动点，则
的最小值 ．
的最小值
【答案】
【分析】①在BC 上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC 于F．利用相似三角形的判定和性质推出
，得到
，由
，推出当D、P、G 共线时，PD+
PC 的值最
小，最小值为DG，再利用特殊角的三角函数值以及勾股定理求解即可；
②连接BD，在BD 上取一点M，使得BM=
，同一的方法利用相似三角形的判定和性质推出
，当M、P、C 共线时，
的值最小，最小值为CM，再利用含30 度角的直角三角
形的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】①如图，在BC 上取一点G，使得BG=1，连接PB、PG、GD，
作DF⊥BC 交BC 延长线于F．
∵
，
，∴
，
∵
，∴
，∴
，
∴
，∴
，
淘宝：学思创想
∵
，∴当D、P、G 共线时，PD+
PC 的值最小，最小值为DG，
在Rt△CDF 中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD•sin60°=2
，CF=2，
在Rt△GDF 中，DG
，故答案为：
；
②如图，连接BD，在BD 上取一点M，使得BM=
，连接PB、PM、MC，过M 作MN⊥BC 于N．
∵四边形ABCD 是菱形，且
，∴AC⊥BD，∠AOB=90 ，∠ABO=∠CBO=
∠ABC=30 ，
∴AO=
AB=2，BO=
，∴BD=2 BO=
，
∴
，
，∴
，
且∠MBP=∠PBD，∴△MBP
△PBD，∴
，
∴
，∴
，
∴当M、P、C 共线时，
的值最小，最小值为CM，
在Rt△BMN 中，∠CBO =30 ，BM=
，
∴MN=
BM=
，BN=
，∴CN=4-
，
淘宝：学思创想
∴MC=
，∴
的最小值为
．
【点睛】本题考查了圆综合题、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题
的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解
决，题目比较难，属于中考压轴题．
14．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：
图1 图2 图3
（1）初步思考：
如图1， 在
中，已知
，BC=4，N 为BC 上一点且
，试说明：
（2）问题提出：
如图2，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求
的最小值．
（3）推广运用：
如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B
60°
﹦
，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求
的最大值．
【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）最大值
【分析】（1）利用两边成比例，夹角相等，证明
∽
，得到
，即可得到结论成立；
（2）在BC 上取一点G，使得BG=1，由△PBG
CBP
∽△
，得到
，当D、P、G 共线时，
的
值最小，即可得到答案；
淘宝：学思创想
（3）在BC 上取一点G，使得BG=1，作DF BC
⊥
于F，与（2）同理得到
，当点P 在DG 的延长线
上时，
，即可得到答案.
【详解】（1）证明：∵
，
∴
，∴
，∴
，
∵
，∴
，∴
，∴
；
（2）解：如图，在BC 上取一点G，使得BG=1，
∵
，∴
，
∴
，∴
，∴
，∴
；
∵
，∴当D、P、G 共线时，
的值最小，∴最小值为：
；
（3）如图，在BC 上取一点G，使得BG=1，作DF BC
⊥
于F，
与（2）同理，可证
，在Rt
CDF
△
中，∠DCF=60°，CD=4，
DF=CD•sin60°=
∴
，CF=2，在Rt
GDF
△
中，DG=
，
∴
，当点P 在DG 的延长线上时，
，
∴最大值为：
.
【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短
等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之
间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．
淘宝：学思创想
15．（2023·江苏连云港·统考一模）如图1，平面内有一点
到
的三个顶点的距离分别为
、
、
，若有
，则称点
为
关于点
的勾股点．
(1)如图2，在
的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C、D、E 均在小正方形的格点上，则
点
是
关于点______的勾股点；若点
在格点上，且点
是
关于点
的勾股点，请在方格纸
中画出
；(2)如图3，菱形
中，
与
交于点
，点
是平面内一点，且点
是
关于
点
的勾股点．①求证：
；②若
，
，则
的最大值为______（直接写出结果）；
③若
，
，且
是以
为底的等腰三角形，求
的长．
(3)如图4，矩形
中，
，
，
是矩形
内一点，且点
是
关于点
的勾股点，
那么
的最小值为______（直接写出结果）．
【答案】(1)C；见解析(2)①见解析；②
；③
或
(3)
【分析】（1）根据勾股定理得到
，则点
是
关于点
的勾股点；根据勾股定理结
合定义得到
，据此画图即可；
（2）①根据定义可得
，利用菱形的性质和勾股定理可得
，即可证明
；②利用勾股定理求出
，则点E 在以O 为圆心，半径为
的圆上运动，即可当
（点O 在
）三点共线时，
最大，据此求解即可；如图3，由②可知点
在以
为圆心，
为半径的圆上运动．当点
在
左侧时，连接
．先证明
，过点
作
，求出
淘宝：学思创想
，
，过点
作
，则四边形
为正方形，则
，
，即可得到
；当点
在
右侧时，同理求解即可．
（3）如图4，在
上取点
，使
，则
，先求出
，进而证明
，得到
，则
，故当A、E、F 共线时，
值最小，据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
，
，
∴
，∴点
是
关于点
的勾股点；
∵点
是
关于点
的勾股点，∴
∵
，∴
，如图所示，
即为所求；
（2）解：①∵点
是
关于点
的勾股点，∴
，
∵菱形
中，
，∴在
中，
，∴
；
②∵
，
，∴在
中，
，∴
，
∴点E 在以O 为圆心，半径为
的圆上运动，
∴当
（点O 在
）三点共线时，
最大，最大值为
；
③如图3，由②可知点
在以
为圆心，
为半径的圆上运动．
当点
在
左侧时，连接
．当
时，∵
，∴
，
过点
作
，∴点
为
中点，即
，
淘宝：学思创想
∴
，
，
过点
作
，则四边形
为正方形，
∴
，∴
，∴
．
当点在
右侧时，可得点
与点
关于
对称，∴
∴
或
（3）解：如图4，在
上取点
，使
，则
，
∵
是
关于点
的勾股点，∴
，
在
中，
，∴
，∴
，∴
，
又∵
，∴
，∴
，∴
，
∴
，∴当A、E、F 共线时，
值最小，
在
中，由勾股定理得
，
∴
的最小值为
，故答案为：
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，圆外一点到圆上一点距离的最值问题，菱形的性质，
勾股定理，矩形的性质，正方形的性质与判定等等，灵活运用数形结合的思想是解题的关键．
16．（2023·广东广州·统考一模）如图，已知
是等边三角形，
，点D 为
的中点，点E，F
分别为边
，
上的动点（点E 不与B，C 重合），且
．
淘宝：学思创想
(1)求
的取值范围；(2)若
，求
的长；(3)求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
取得最小值是
，见解析
【分析】（1）根据题中条件求解即可；（2）过点D 作
，过点F 作
，证明
即可求解；（3）连接
，过点F 作
，过点C 作
且
，证明
，再结合题中条件即可求得答案．
【详解】（1）解：∵
是等边三角形，
，∴
，∴
；
（2）解：过点D 作
，过点F 作
，如图所示，
∴
，∴
，∵
，∴
，∴
，
∴
，设
，∵
，∴
，∵点D 为
的中点，
，∴
，
∵
是等边三角形，∴
，∴
，
，∴
，
∵
，∴
∵
∴
，
，
，
∵
，∴
，即
，解得：
，即
；
淘宝：学思创想
（3）解：连接
，过点F 作
，过点C 作
且
，
在
和
中，∵
是等边三角形，点D 为
的中点，∴
∵
，
，∴
，∴
，
设
，由（2）知，
，∵
，∴
，
∵
，∴
，∵
，∴
，
∴
，即
，∴
，
当且仅当B、F、K 三点共线时取等号，即
取得最小值，
过点 K 作
交
的延长线于点M，
∵
，
，∴
，
，∴
，
在
中，
，
∴
，即
取得最小值是
．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题关
键．
17．（2023·重庆大渡口·九年级统考阶段练习）如图1，在矩形
中，
，分别以
所在的直线为
轴、
轴，建立如图所示的平面直角坐标系，连接
,反比例函数
的图象经过
淘宝：学思创想
线段
的中点
，并与矩形的两边交于点
和点
，直线
经过点
和点
. （1）连接
、
，求
的面积；（2）如图2，将线段
绕点
顺时针旋转—定角度，使得点
的对应点
好落
在
轴的正半轴上，连接
，作
，点
为线段
上的一个动点，求
的最小值.
【答案】（1）
；（2）4.
【分析】(1)连接
、
，过点D 作DP OC
⊥
，易得：B(3，4)，从而得D(1.5，2)，进而得
，即：
，E(
，4)，F(3，1)，根据割补法，即可求出答案；
(2)过点N 作NQ OB
⊥
于点Q，HG OB
⊥
于点G，易得OH=OB=5，BH=
，HG=BC=4，易证∆OQN~∆OMB，
得NQ=
，得到
，进而得到答案.
【详解】（1）连接
、
，过点D 作DP OC
⊥
，如图1，
∵在矩形
中，
，∴B(3，4)，
∵点D 是OB 的中点，∴DP=
BC=
OA=2，OP=
OC=1.5，即：D(1.5，2)，
∵反比例函数
的图象经过线段
的中点
，
淘宝：学思创想
k=xy=1.5
∴
×2=3，即：
，∴
，E(
，4)，F(3，1)，
BE=3-
∴
=
，BF=4-1=3，∴
，
∴
=
；
（2）过点N 作NQ OB
⊥
于点Q，HG OB
⊥
于点G，如图2，
∵线段
绕点
顺时针旋转—定角度，点
的对应点
好落在
轴的正半轴上，
OH=OB=
∴
，∴CH= OH-OC=5-3=2，
BH=
∴
，∵
，∴HG=BC=4，
∵
，∴BM=
BH=
，∵∠NOQ= BOM
∠
，∠OQN= OMB=90°
∠
，∴∆OQN~∆OMB，
∴
，即：
，∴NQ=
，∴
，
∵
，∴
，∴
的最小值是：4.
【点睛】本题主要考查反比例函数比例系数的几何意义以及相似三角形的判定和性质定理的综合，添加辅
助线，构造相似三角形是解题的关键.
17．（2023·深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则
所有满足
（
且
）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称
淘宝：学思创想
“阿氏圆”．
【模型建立】如图1 所示，圆O 的半径为r，点A、B 都在圆O 外，P 为圆O 上一动点，已知
，连
接PA、PB，则当“
”的值最小时，P 点的位置如何确定？
第1 步：一般将含有k 的线段PB 两端点分别与圆心O 相连，即连接OB、OP；
第2 步：在OB 上取点C，使得
，即
，构造母子型相似
∽
（图2）；
第3 步：连接AC，与圆O 的交点即为点P（图3）．
【问题解决】如图，
与y 轴、x 轴的正半轴分别相交于点M、点N，
半径为3，点
，点
，点P 在弧MN 上移动，连接PA，PB．(1)
的最小值是多少？(2)请求出（1）条件下，点
P 的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在x 轴上取点
，连接
，根据相似三角形的判定和性质得出
，结合
图形得出当点P 在
上时，
取得最小值，再由勾股定理求解即可；（2）设直
线
的解析式为
，利用待定系数法确定函数解析式，设
，然后利用勾股定理求解
即可．
【详解】（1）解：如图，在x 轴上取点
，连接
，
淘宝：学思创想
∵点
，点
，∴
，
∵
，
，∴
，
∴
，∴
，∴
，
当点P 在
上时，
取得最小值，
∴
，故最小值为
；
（2）∵
，
，∴设直线
的解析式为
，将点代入得：
，解得
，∴
，设
，
∵
半径为3，∴
，解得：
（负值舍去），
∴
，∴
．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，最短路径问题及一次函数解析式的确定，理解题意，作
出相应辅助线是解题关键．
18．（2023·江苏扬州·校联考二模）请认真阅读下列材料：
如图①，给定一个以点O 为圆心，r 为半径的圆，设点A 是不同于点O 的任意一点，则点A 的反演点定义
为射线
上一点
，满足
．
显然点A 也是点
的反演点．即点A 与点
互为反演点，点O 为反演中心，r 称为反演半径．这种从点A
到点
的变换或从点
到点A 的变换称为反演变换．
淘宝：学思创想
例如：如图②，在平面直角坐标系中，点
，以点O 为圆心，
为半径的圆，交y 轴的正半轴于点
B；C 为线段
的中点，P 是
上任意一点，点D 的坐标为
；若C 关于
的反演点分别为
．
（1）求点
的坐标；（2）连接
、
，求
的最小值．
解：（1）由反演变换的定义知：
，其中
，
．
∴
，故点
的坐标为
；
（2）如图③，连接
、
，由反演变换知
，
即
，而
，∴
．
∴
，即
．
∴
．故
的最小值为13.
请根据上面的阅读材料，解决下列问题：
如图④，在平面直角坐标系中，点
，以点O 为圆心，
为半径画圆，交y 轴的正半轴于点B，C 为
淘宝：学思创想
线段
的中点，P 是
上任意一点，点D 的坐标为
．
（1）点D 关于
的反演点
的坐标为________；（2）连接
、
，求
的最小值；
（3）如图⑤，以
为直径作
，那么
上所有的点（点O 除外）关于
的反演点组成的图形具有
的特征是__________________．
【答案】（1）
；（2）13；（3）过点A 且与x 轴垂直的一条直线
【分析】（1）根据反演变换的定义即可求出结论；
（2）连接
，根据相似三角形的判定定理证出
，列出比例式即可求出
，然
后代入所求关系式并根据两点之间线段最短即可求出结论；
（3）在
上任取一点P，连接OP 并延长至点P 关于
的反演点
，连接AP 和
，根据相似三角形
的判定定理证出
，根据相似三角形的性质可得
，然后根据直径所对的圆周
角是直角即可求出
=90°，从而得出结论．
【详解】解：（1）由反演变换的定义知：
，其中
，
．
∴
，∴点D 关于
的反演点
的坐标为
故答案为：
；
（2）连接
，
淘宝：学思创想
由反演变换知
，即
，而
，
∴
．∴
，即
．
∴
．故
的最小值13．
（3）在
上任取一点P，连接OP 并延长至点P 关于
的反演点
，连接AP 和
由反演变换知
，即
，而
，
∴
，∴
OA
∵
为
的直径∴
90°∴
=90°∴
x
⊥轴
∴
上所有的点（点O 除外）关于
的反演点组成的图形具有的特征是过点A 且与x 轴垂直的一条直
线
故答案为：过点A 且与x 轴垂直的一条直线．
【点睛】此题考查的是圆的综合题型和相似三角形的判定及性质，掌握直径所对的圆周角是直角、相似三
角形的判定及性质和反演变换的定义是解题关键．
淘宝：学思创想
