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专题28 最值模型之阿氏圆模型
最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化
归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆
问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足 PA=k·PB（k≠1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早
由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O 的半径为 r，点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知r=k·OB，
连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？
如图2，在线段OB 上截取OC 使OC=k·r，则可说明△BPO 与△PCO 相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，
其中与A 与C 为定点，P 为动点，故当A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3 所示：
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变
为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在
中，
，
，
，圆C 半径为
2，P 为圆上一动点，连接
最小值__________．
最小值__________．
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例2．（2023 春·江苏·九年级校考阶段练习）如图，正方形
的边长为4，
的半径为2，
为
上
的动点，则
的最大值是 ．
例3．（2023·广东·九年级专题练习）如图，菱形
的边长为2，锐角大小为
，
与
相切于点
E，在
上任取一点P，则
的最小值为___________．
例4．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在边长为6 的正方形
中，M 为
上一点，且
，N 为边
上一动点．连接
，将
沿
翻折得到
，点P 与点B 对应，连接
，则
的最小值为 ．
例5．（2023·浙江·一模）问题提出：
如图1，在等边△ABC 中，AB＝9，⊙C 半径为3，P 为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+
BP 的最小值
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(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将
BP 转化为某
一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)
如图2，连结CP，在CB 上取点D，使CD＝1，则有
又∵∠PCD＝∠
△ ∽△
∴
∴PD＝
BP
∴AP+
BP＝AP+PD
∴当A，P，D 三点共线时，AP+PD 取到最小值
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+
BP 的最小值为 ．
(2)自主探索：如图3，矩形ABCD 中，BC＝6，AB＝8，P 为矩形内部一点，且PB＝4，则
AP+PC 的最小
值为 ．(请在图3 中添加相应的辅助线)
(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD 中，O 为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P 是
上一点，求2PA+PB 的最小值，画出示意图并写出求解过程．
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例6．（2022·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形
的边长为4，圆B 的半径为2，点P
是圆B 上的一个动点，求
的最小值，
的最小值，
的最大值．
（2）如图2，已知正方形
的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，求
的
最小值，
的最大值，
的最小值．
（3）如图3，已知菱形
的边长为4，
，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求
的最小值和
的最大值．
的最小值
例7．（2022·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足
k ( k 为
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定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，
【问题解决】如图，在△ABC 中，CB 4 ， AB 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____．
例8．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线
与
轴交于
两点，与
轴交于点
．抛物线的对称轴
与经过点
的直线
交于点
，与
轴交于点
．
(1)求直线
及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点
，使得
是以
为直角边的直角三
角形?若存在，求出所有点
的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点
为圆心，画半径为2 的圆，点
为
上一个动点，请求出
的最小值．
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课后专项训练
1．（2023 春·浙江九年级课时练习）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C 为圆心、
3 为半径作⊙C，P 为⊙C 上一动点，连接AP、BP，则
AP＋BP 的最小值为（ ）
A．7
B．5
C．
D．
2．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，正方形ABCD 的边长AB=8，E 为平面内一动点，且AE=4，F
为CD 上一点，CF=2，连接EF，ED，则EF
ED 的最小值为( )
A．6
B．4
C．4
D．6
3．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，点P 是⊙B 上的
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一个动点，则PD﹣
PC 的最大值为_____．
4．（2023·浙江·九年级专题练习）如图所示，
，半径为2 的圆
内切于
．
为圆
上
一动点，过点
作
、
分别垂直于
的两边，垂足为
、
，则
的取值范围为
．
5．（2023·湖南·九年级专题练习）如图，边长为4 的正方形，内切圆记为⊙O，P 是⊙O 上一动点，则
PA＋PB 的最小值为 ．
6．（2023 上·四川成都·九年级校考期中）如图，已知
，若点
、
在射线
上，且满足
，
，
是射线
上的动点，同时在
右侧作
，且满足
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，则
的面积为 ．若点
运动轨迹与射线
交于点
，当
的最小值时，此时
的
值为 ．
7．（2023·广西·南宁市一模）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P 是
AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC 的最小值是_____．
8．（2023·江苏苏州·苏州市二模）如图，在
中，点A、点
在
上，
，
，点
在
上，且
，点
是
的中点，点
是劣弧
上的动点，则
的最小值为
．
9．（2023 秋·浙江温州·九年级校考期末）如图，在边长为4 的正方形ABCD 内有一动点P，且BP＝
．
连接CP，将线段PC 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则
DQ+CQ 的最小值为 ．
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10．（2020·广西·中考真题）如图，在Rt
中，AB＝AC＝4，点E，F 分别是AB，AC 的中点，点P 是
扇形AEF 的
上任意一点，连接BP，CP，则
BP+CP 的最小值是 ．
11．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为边AD 上一个动点，点F
在边CD 上，且线段EF＝4，点G 为线段EF 的中点，连接BG、CG，则BG+
CG 的最小值为 _____．
12．（2023·四川成都·九年级专题练习）在
中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A 的半径为6，P 是
上一动点，连接PB，PC，则
的最小值_____________
的最小值_______
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13．（2023·广西·九年级专题练习）如图，已知菱形
的边长为4，
，
的半径为2，P 为
上一动点，则
的最小值 ．
的最小值
14．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：
（1）初步思考：如图1， 在
中，已知
，BC=4，N 为BC 上一点且
，试说明：
（2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求
的最小值．（3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B
60°
﹦
，圆B 的半径为2，点
P 是圆B 上的一个动点，求
的最大值．
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图1 图2 图3
15．（2023·江苏连云港·统考一模）如图1，平面内有一点
到
的三个顶点的距离分别为
、
、
，若有
，则称点
为
关于点
的勾股点．
(1)如图2，在
的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C、D、E 均在小正方形的格点上，则
点
是
关于点______的勾股点；若点
在格点上，且点
是
关于点
的勾股点，请在方格纸
中画出
；(2)如图3，菱形
中，
与
交于点
，点
是平面内一点，且点
是
关于
点
的勾股点．①求证：
；②若
，
，则
的最大值为______（直接写出结果）；
③若
，
，且
是以
为底的等腰三角形，求
的长．
(3)如图4，矩形
中，
，
，
是矩形
内一点，且点
是
关于点
的勾股点，
那么
的最小值为______（直接写出结果）．
16．（2023·广东广州·统考一模）如图，已知
是等边三角形，
，点D 为
的中点，点E，F
分别为边
，
上的动点（点E 不与B，C 重合），且
．
(1)求
的取值范围；(2)若
，求
的长；(3)求
的最小值．
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17．（2023·重庆大渡口·九年级统考阶段练习）如图1，在矩形
中，
，分别以
所在的直线为
轴、
轴，建立如图所示的平面直角坐标系，连接
,反比例函数
的图象经过
线段
的中点
，并与矩形的两边交于点
和点
，直线
经过点
和点
. （1）连接
、
，求
的面积；（2）如图2，将线段
绕点
顺时针旋转—定角度，使得点
的对应点
好落
在
轴的正半轴上，连接
，作
，点
为线段
上的一个动点，求
的最小值.
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17．（2023·深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则
所有满足
（
且
）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称
“阿氏圆”．
【模型建立】如图1 所示，圆O 的半径为r，点A、B 都在圆O 外，P 为圆O 上一动点，已知
，连
接PA、PB，则当“
”的值最小时，P 点的位置如何确定？
第1 步：一般将含有k 的线段PB 两端点分别与圆心O 相连，即连接OB、OP；
第2 步：在OB 上取点C，使得
，即
，构造母子型相似
∽
（图2）；
第3 步：连接AC，与圆O 的交点即为点P（图3）．
【问题解决】如图，
与y 轴、x 轴的正半轴分别相交于点M、点N，
半径为3，点
，点
，点P 在弧MN 上移动，连接PA，PB．(1)
的最小值是多少？(2)请求出（1）条件下，点
P 的坐标．
18．（2023·江苏扬州·校联考二模）请认真阅读下列材料：
如图①，给定一个以点O 为圆心，r 为半径的圆，设点A 是不同于点O 的任意一点，则点A 的反演点定义
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为射线
上一点
，满足
．
显然点A 也是点
的反演点．即点A 与点
互为反演点，点O 为反演中心，r 称为反演半径．这种从点A
到点
的变换或从点
到点A 的变换称为反演变换．
例如：如图②，在平面直角坐标系中，点
，以点O 为圆心，
为半径的圆，交y 轴的正半轴于点
B；C 为线段
的中点，P 是
上任意一点，点D 的坐标为
；若C 关于
的反演点分别为
．
（1）求点
的坐标；（2）连接
、
，求
的最小值．
解：（1）由反演变换的定义知：
，其中
，
．
∴
，故点
的坐标为
；
（2）如图③，连接
、
，由反演变换知
，
即
，而
，∴
．
∴
，即
．
∴
．故
的最小值为13.
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请根据上面的阅读材料，解决下列问题：
如图④，在平面直角坐标系中，点
，以点O 为圆心，
为半径画圆，交y 轴的正半轴于点B，C 为
线段
的中点，P 是
上任意一点，点D 的坐标为
．
（1）点D 关于
的反演点
的坐标为________；（2）连接
、
，求
的最小值；
（3）如图⑤，以
为直径作
，那么
上所有的点（点O 除外）关于
的反演点组成的图形具有
的特征是__________________．
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