文档文本内容
专题23 隐圆模型
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................1
1、动点定长模型................................................................................................................1
2、定边对直角模型............................................................................................................2
3、定边对定角模型............................................................................................................2
4、四点共圆模型................................................................................................................3
真题演练.....................................................................................................................................3
巩固练习.....................................................................................................................................7
在中考数学的考场上，有一类题目常常出现，它们并未直接描绘“圆”的形状，却在解题过程
中离不开“圆”的知识。这类题目，我们称之为“隐圆模型”。它们通常以动态问题为背景，涉及
点的运动、线的变化，或是图形的翻折与旋转。对于大多数学生而言，这类题目往往让人束手无策，
难以找到解题的突破口。然而，只要我们能够洞察出其中的“隐藏圆”，就能找到解题的关键。隐
圆模型常见于动点定长、定边定角以及对角互补等问题，这些动态问题的轨迹实质上构成了一个圆。
因此，解决这类问题的关键在于如何识别和利用这个“隐藏圆”。
1、动点定长模型
若P 为动点，且AB=AC=AP，则B、C、P 三点共圆，A 圆心，AB 半径，
寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．
专题目录
模型解读
常见类型讲解
2、定边对直角模型
固定线段AB 所对动角∠C 恒为90°，则A、B、C 三点共圆，AB 为直径，
寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
3、定边对定角模型
固定线段AB 所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P 四点共圆，
根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．
寻找隐圆技巧：AB 为定值，∠P 为定角，则P 点轨迹是一个圆．
4、四点共圆模型
四点共圆模型我们在上一模型专题中已经详细讲解了，在该部分就不在赘述了。在此就针对几类考
查频率高的模型作相应练习即可。
（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，
的一条直角边
在x 轴上，
点A 的坐标为
；
中，
，连接
，点M 是
中
点，连接
．将
以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段
的最小
值是（ ）
A．3
B．
C．
D．2
【答案】D
【详解】解：取
中点
，连接
，
．
真题演练
在
中，
，
，
，
、
分别是
、
的中点，
，
在
中，
，
，
，
在
中，
；当
运动到
上时，
，
，
线段
的最小值是
，
故选：D．
（2022·内蒙古·中考真题）如图，
是
的外接圆，
为直径，若
，
，点
从
点出发，在
内运动且始终保持
，当
，
两点距离最小时，动点
的运动
路径长为______．
【答案】
【详解】解：
为
的直径，
∴
∴点P 在以AB 为直径的圆上运动，且在△ABC 的内部，
如图，记以AB 为直径的圆的圆心为
，连接
交
于点
，连接
∴当点
三点共线时，即点P 在点
处时，CP 有最小值，
∵
∴
在
中，
∴∠
∴
∴
两点距离最小时，点P 的运动路径长为
（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，分别经过原点
和点
的动直线
，
夹角
，点
是
中点，连接
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：如图所示，以
为边向上作等边
，过点
作
轴于点
，则
，
则
的横坐标为，纵坐标为
，
∴
，
取点
，则
是
的中位线，
∴
，
∵
，
∴点
在半径为的
上运动，
∵
是
的中位线，
∴
，
∴
，当
与
相切时，
最大，则正弦值最大，
在
中，
，
过点
作
轴，过点
作
于点
，过点
作
于点
， 则
∵
与
相切，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
设
，
,
则
∴
∴
∴
解得：
∴
∴
的最大值为
，
故选：A．
1、如图，点
在线段
上，
，以
为圆心，
为半径作
，点
在
上运动，
连接
，以
为一边作等边
，连接
，则
长度的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：如图，以
为边，在
的上面作等边
，使
，
，
连接
，
，
，
巩固练习
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
点
的运动轨迹为以点
为圆心，2 为半径的圆，
连接
并延长，交
于点
，则
的最小值为
，过
作
于
，
，
，
，
，
，
长度的最小值为
，
故选：B．
2、如图，在
中，
，
．分别以
、
为斜边，向三角形外作等腰直角
三角形
和等腰直角三角形
，则
和
面积之和为 ；连接
，则
线段
的最大值为 ．
【答案】 1
【详解】（1）
、
均是等腰直角三角形，
设
，
，
，
，
即
，
=1．
故答案为：1．
（2）如图1，取AB 中点F，连接DF，CF，
则AF=CF=BF=1，又AD=CD，
DF 垂直平分AC，
，
设
的外接圆为
，
A、F 为圆上两定点，点D 为动点，又
为定值，
为一位置与大小确定的定圆，
当点C 运动到
上时（如图2），
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
四边形AFCD 为正方形，
的圆心O 在此时正方形AFCD 的中心处，
取AF 中点G，连接OG，则OG=GF=
，
的半径r=OF=
，
，
当BD 过点O 时（如图3），BD 最大，
此时BD 的最大值为BO+r=
+
=
．
故答案为：
．
3、如图1，点
是
直径
上一点，
，
，过点
作弦
，点
在
上运
动，连接
．
(1)求
的长．
(2)如图
，连接
，作
的角平分线交
于点
，在点
运动的过程中，
的长度是否会
发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发生变化，请求出其值．
(3)如图，过点
作
于
，连接
，求
的最小值．
【答案】(1)8
(2)
的长度不发生变化；
(3)
【详解】（1）如图，连接
，
∵
，
，
∴
，
∴圆的半径为5，
∵
，
∴
，
∴
．
（2）
的长度不发生变化；
．理由如下：
如图，连接
，
∵
直径
，
，
，弦
，
，
∴
，
∴
，
∵
的角平分线交
于点
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
故
的长度不发生变化；
．
（3）如图，连接
，
∵
，
∴点H 的运动轨迹是以
为直径的
上的
，
当D、H、N 三点共线时，
取得最小值，
连接
，交
于点M，
故当H 与M 重合时，
取得最小值，
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
过点N 作
于点F，
则
，
∴
，
∵
，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
故
最小值为
．
