文档文本内容
专题29 图形翻折变换模型
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................2
1、矩形中的翻折模型........................................................................................................2
2、菱形中的翻折模型........................................................................................................2
3、正方形中的翻折模型....................................................................................................3
4、三角形中的翻折模型....................................................................................................4
5、圆中的翻折模型............................................................................................................5
真题演练.....................................................................................................................................6
【“矩形中的翻折模型”专练】...........................................................................................6
【“菱形中的翻折模型”专练】...........................................................................................7
【“正方形中的翻折模型”专练】.......................................................................................8
【“三角形中的翻折模型”专练】.......................................................................................9
【“圆中的翻折模型”专练】.............................................................................................10
巩固练习...................................................................................................................................11
图形的折叠，即轴对称变换，是一种在平面内沿直线进行的变换。当图形沿某条直线折叠后，
直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形被称为轴对称图形，而那条直线则被称为对称轴。这种
变换不仅涉及图形的位置和形状，还与全等三角形、勾股定理等数学知识紧密相关。图形的折叠问
题具有很高的实际意义和开放性，它能够有效地考察学生的动手能力、空间观念以及对几何变换的
理解。这类问题在中考中备受命题者的青睐。
翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边
和角都是相等的。以这个性质为基础，结合三角形、四边形、圆的性质，三角形相似，勾股定理设
方程思想来考查。
专题目录
模型解读
常见类型讲解
1、矩形中的翻折模型
2、菱形中的翻折模型
3、正方形中的翻折模型
4、三角形中的翻折模型
1）沿过点A 的直线翻折使得点B 的对应点B'落在斜边AC 上，折痕为AD
2）沿过点C 的直线翻折使得点B 的对应点B'落在斜边AC 上，折痕为CD
3）沿MN 翻折使得点A 与点C 重合
4）沿斜边中线BE 翻折，使得点A 落在点F 处，连接AF、FC，AF 与BE 交于点O
5）沿斜边中线BE 翻折，使得点C 落在点D 处，连接AD、CD
6）线段AC 上有一点D，沿直线BD 翻折，使点A 落在BC 边上点E 处
7）点M 和点N 分别在AC 与BC 边上，点C 沿MN 翻折，使点C 落在AB 边中点D 处，DC 与MN
相交于点O
5、圆中的翻折模型
如图，以圆O 的一条弦BC 为对称轴将弧BC 折叠后与弦AB 交于点D，则CD=CA
特别的，若将弧BC 折叠后过圆心，则CD=CA，∠CAB=60°
【“矩形中的翻折模型”专练】
（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标中，矩形
的边
，
将矩形
沿直线
折叠到如图所示的位置，线段
恰好经过点
，点
落在
轴的点
位置，
点
的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
（2023·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，四边形
是矩形，
，
．点E 为边
的中点，点F 为边
上一点，将四边形
沿
折叠，点A 的对应点为点
，点B 的对应点为
点
，过点
作
于点H，若
，则
的长是 ．
真题演练
（2023·江苏盐城·统考中考真题）综合与实践
【问题情境】如图1，小华将矩形纸片
先沿对角线
折叠，展开后再折叠，使点
落在对角
线
上，点
的对应点记为
，折痕与边
，
分别交于点
，
.
【活动猜想】（1）如图2，当点
与点
重合时，四边形
是哪种特殊的四边形？答：
_________.
【问题解决】（2）如图3，当
，
，
时，求证：点
，
，
在同一条直线上.
【深入探究】（3）如图4，当
与
满足什么关系时，始终有
与对角线
平行？请说明理
由.
（4）在（3）的情形下，设
与
，
分别交于点
，
，试探究三条线段
，
，
之
间满足的等量关系，并说明理由.
【“菱形中的翻折模型”专练】
（2023·安徽·统考一模）如图，在边长为2 的菱形ABCD 中，∠A=60°，点M 是AD 边的中点，点N
是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A’MN，连结A’C，则A’C 长度的最小
值是（ ）.
A．
B．
C．
D．2
（2023·山东济南·统考中考真题）如图，将菱形纸片
沿过点
的直线折叠，使点
落在射线
上的点
处，折痕
交
于点
．若
，
，则
的长等于 ．
【“正方形中的翻折模型”专练】
（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，已知正方形
的边长为1，点E、F 分别在边
上，将正方形沿着
翻折，点B 恰好落在
边上的点
处，如果四边形
与四边形
的
面积比为3∶5，那么线段
的长为 ．
（2023·湖北·统考中考真题）如图，将边长为3 的正方形
沿直线
折叠，使点
的对应点
落在边
上（点
不与点
重合），点
落在点
处，
与
交于点
，折痕分别与边
，
交于点
，连接
．(1)求证：
；(2)若
，求
的长．
（2023·江苏·统考中考真题）综合与实践 定义：将宽与长的比值为
（
为正整数）的矩
形称为
阶奇妙矩形．（1）概念理解：当
时，这个矩形为1 阶奇妙矩形，如图（1），这就是
我们学习过的黄金矩形，它的宽（
）与长
的比值是_________．
（2）操作验证：用正方形纸片
进行如下操作（如图（2））：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为
，连接
；
第二步：折叠纸片使
落在
上，点
的对应点为点
，展开，折痕为
；
第三步：过点
折叠纸片，使得点
分别落在边
上，展开，折痕为
．
试说明：矩形
是1 阶奇妙矩形．
（3）方法迁移：用正方形纸片
折叠出一个2 阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意
图并作简要标注．（4）探究发现：小明操作发现任一个
阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发
现：如图（4），点
为正方形
边
上（不与端点重合）任意一点，连接
，继续（2）中
操作的第二步、第三步，四边形
的周长与矩形
的周长比值总是定值．请写出这个定值，
并说明理由．
【“三角形中的翻折模型”专练】
（2023·湖北襄阳·统考中考真题）如图，在
中，
，点
是
的中点，将
沿
折叠得到
，连接
.若
于点
，
，则
的长为 ．
（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，
平分等边
的面积，折叠
得到
分别与
相交于
两点．若
，用含
的式子表示
的长是 ．
（2023·宁夏·统考中考真题）综合与实践
问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为
的等腰三角形，对此三角形产生了
极大兴趣并展开探究． 探究发现：如图1，在
中，
，
．
（1）操作发现：将
折叠，使边
落在边
上，点
的对应点是点
，折痕交
于点
，
连接
，
，则
_______ ，设
，
，那么
______（用含
的式子表
示）；
（2）进一步探究发现：
，这个比值被称为黄金比．在（1）的条件下试证明：
；
拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图1 中的
是黄金三角形．如图2，在菱形
中，
，
．求这个菱形较长对角线的
长．
【“圆中的翻折模型”专练】
（2021·湖北武汉·统考中考真题）如图，
是
的直径，
是
的弦，先将
沿
翻折交
于点
．再将
沿
翻折交
于点
．若
，设
，则
所在的范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在扇形
中，点C，D 在
上，将
沿弦
折叠后
恰好与
，
相切于点E，F．已知
，
，则
的度数为 ；折痕
的长
为 ．
（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，
的半径为
，
为
的弦，点
为
上的一
点，将
沿弦
翻折，使点
与圆心
重合，则阴影部分的面积为 ．（结果保留
与根
号）
1、如图，在矩形
中，
，
．点O 为矩形
的对称中心，点E 为边
上的动
点，连接
并延长交
于点F．将四边形
沿着
翻折，得到四边形
，边
交边
于点G，连接
，则
的面积的最小值为（ ）
A．18－3
B．
C．
D．
2、如图，矩形纸片
中，
，
，点E、G 分别在
上，将
、
分别沿
翻折，翻折后点C 与点F 重合，点B 与点P 重合．当A、P、F、E 四点在同一直线
上时，线段
长为（ ）
A．
B．
C．
D．
3、如图，在菱形纸片
中，
，E 是
边的中点，将菱形纸片沿过点A 的直线折叠，
巩固练习
使点B 落在直线
上的点G 处，折痕为
，
与
交于点H，有如下结论：①
；
②
；③
；④
，上述结论中，所有正确结论的序号是
（ ）
A．①②④
B．①②③
C．①③④
D．①②③④
4、对角线长分别为6 和8 的菱形
如图所示，点O 为对角线的交点，过点O 折叠菱形，使B，
两点重合，
是折痕．若
，则
的长为 ．
5、如图，正方形
的边长为4，点F 为
边的中点，点P 是
边上不与端点重合的一动点，
连接
．将
沿
翻折，点A 的对应点为点E，则线段
长的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6、如图，正方形
中，
，点E 在边
上，且
．将
沿
对折至
，
延长
交边
于点G，连接
，则下列结论：①
；②
③
；④AG//CF；其中正确的有 （填序号）．
7、如图所示，有一块直角三角形纸片，
，将斜边
翻折，使点B
落在直角边
的延长线上的点E 处，折痕为
，则
的长是 ___________．
8、在
中，
，点D 在边
上，连接
，将
沿直线
翻折，点A 恰好
落在
边上的点E 处，若
，
，则
的长是 ．
9、如图，
为
的直径，点
为圆上一点，
，将劣弧
沿弦
所在的直线翻折，
交
于点
，则
的度数等于( )．
A．
B．
C．
D．
10、如图，
的半径为4．将
的一部分沿着弦AB 翻折，劣弧恰好经过圆心O．则这条劣弧的
弧长为 ．
11 、如图，
为
的直径，将
沿
翻折，翻折后的弧交
于D ．若
，
，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．
B．
C．8
D．10
12、综合与实践：
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．
在矩形
中，E 为
边上一点，F 为
边上一点，连接
、
，分别将
和
沿
、
翻折，点D、B 的对应点分别为点G、H，且C、H、G 三点共线．
(1)如图1，若F 为
边的中点，
，点G 与点H 重合，则
＝ °，
＝ ；
(2)如图2，若F 为
的中点，
平分
，
，
，求
的度数及
的长；
(3)
，
，若F 为
的三等分点，请直接写出
的长 ．
