文档文本内容
专题14 角平分线模型
模型解读.....................................................................................................................................1
常见类型讲解.............................................................................................................................1
1、角平分线垂两边型........................................................................................................1
2、截取构造对称全等型....................................................................................................2
3、角平分线垂中间型........................................................................................................3
4、角平分线与平行线结合型............................................................................................3
真题演练.....................................................................................................................................3
巩固练习.....................................................................................................................................6
角平分线模型是处理与角平分线相关的几何问题的有力工具。比如，题目中给出一个角AOB，
角平分线OC 将角AOB 平分为两个相等的角。此时，我们可以利用角平分线的性质，如角平分线上的
点到角两边的距离相等，来构造等边三角形、等腰三角形等辅助图形，从而简化问题。
1、角平分线垂两边型
利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、
三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
如图，P 是
平分线上的一点，过点P 作
于点M，过点P 作
于点N.
结论：
.
专题目录
模型解读
常见类型讲解
特殊情况 直角三角形—含直角型
如图，在
中，
，
为
的角平分线，过点D 作
.
结论：
.
2、截取构造对称全等型
利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
如图，点D 是
平分线上的一点，在OA、OB 上分别取点E、F（在角的两边上取相等的线
段），且
，连接DE、DF.
结论：
.
3、角平分线垂中间型
构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得
到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
如图，P 是∠MON 的平分线上一点，AP⊥OP 于P 点，延长AP 于点B。
结论：△OAB 是等腰三角形，OP 是三线合一等。
P
O
N
M
B
A
4、角平分线与平行线结合型
有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供
更多的条件，体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系。
如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PQ//ON，交OM 于点Q。
结论：△POQ 是等腰三角形。
Q
P
O
N
M
（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交
于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（ ）
A．40°
B．45° C．50° D．60°
真题演练
【答案】C
【详解】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，
设∠PCD＝x°，
∵CP 平分∠ACD，
∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN，
∵BP 平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM，
∵∠BPC＝40°，
∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x
40
﹣
）°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°
40°
﹣
）﹣（x°
40°
﹣
）＝80°，
∴∠CAF＝100°，
在Rt△PFA 和Rt△PMA 中，
，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠FAP＝∠PAC＝50°．
故选C．
（2022·江苏扬州·中考真题）如图，在
中，
分别平分
，交
于点
．
(1)求证：
；
(2)过点
作
，垂足为
．若
的周长为56，
，求
的面积．
【答案】(1)见详解
(2)84
【详解】（1）证明：在
中，
∵
，
∴
，
∵
分别平分
，
，
∴
，
在
和
中，
∵
∴
，
∴
，
∴
．
（2）如图，作
，
∵
的周长为56，
∴
，
∵
平分
，
∴
，
∴
．
1、在△ABC 中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD 为∠BAC 的角平分线时，在AB 上截取
AE＝AC，连结DE，易证AB＝AC＋CD．
（1）如图②，当∠C≠90°，AD 为∠BAC 的角平分线时，线段AB，AC，CD 又有怎样的数量关系？
巩固练习
不需要证明，请直接写出你的猜想；
（2）如图③，当AD 为△ABC 的外角平分线时，线段AB，AC，CD 又有怎样的数量关系？请写出
你的猜想，并对你的猜想给予证明．
【答案】(1)猜想：
(2)猜想：
．证明见解析
【详解】（1）猜想：
．
证明：如图②，在
上截取
，连接
，
为
的角平分线时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）猜想：
．
证明：在
的延长线上截取
，连接
．
平分
，
．
在
与
中，
，
，
，
．
，
．
，
又
，
，
，
．
．
．
2、如图，在△ABE 中，D、C 分别在AE、BE 上且CD＝CB，AC 平分∠EAB，CH⊥AB 于点H．
（1）求证：
；
（2）若AD＝3，AB＝8，求AH 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：如图，过点
作
于点
，
∵
平分
，
，
∴
，
在
与
中，
，
∴
，
，
，
．
（2）解：如图，过点
作
于点
，
由（1）已证：
，
，
设
，则
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
解得
，
即
的长为
．
