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专题08.特殊的平行四边形中的最值模型之将军饮马、遛马、过桥模型
将军遛马模型和将军过桥（造桥）模型是将军饮马的姊妹篇，它是在将军饮马的基础上加入了平移的
思想，主要还是考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，本专题就将军遛马模型
和将军过桥（造桥）模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
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模型1.将军遛马模型................................................................................................................................1
模型2.将军造桥（过桥）模型.................................................................................................................8
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模型1.将军遛马模型
将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，
在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。
点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）；
A
A
B
m
P Q
m
B P Q
图1-1 图1-2
将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。
∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB，
再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB.
A E
A C
B
m
m
P Q P Q
B B'
图1-1 图1-2
将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交
直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。
∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。
∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB，
根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’，
再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。
例1．（2023·黑龙江·九年级校考期中）问题背景（1）如图（1），在公路 的一侧有 ， 两个工厂， ，
到公路的垂直距离分别为 和 ， ， 之间的水平距离为 ．现需把 厂的产品先运送到公路
上然后再转送到 厂，则最短路线的长是_____ ．
问题探究（2）如图（2）， 和 是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，
，点 ， 重合，点 ， 重合，将 沿直线 平移，得到 ，连接
， ．试探究在平移过程中， 是否存在最小值．若存在，求出这个最小值；若不存在，请
说明理由．
问题解决（3）如图（3），A，B分别是河岸m一侧的两个旅游景点，它们到河岸的垂直距离分别是
和 ， ， 的水平距离是 ．游客在景点 游览完后，乘坐大巴先到河岸上的码头甲处，改乘游
轮沿河航行 到达码头乙，再乘坐大巴到达景点 ．请问码头甲，乙建在何处才能使从 到 的旅游路
线最短，并求出最短路线的长．例2．（2022·统考一模）如图，在矩形ABCD中，线段EF在AB边上，以EF为边在矩形ABCD内部作正
方形EFGH，连接AH，CG．若 ， ， ，则 的最小值为______．
例3．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形 中， ， 是 的中点，线段 在
边 上左右滑动；若 ，则 的最小值为____________．
例4．（2023年陕西中考模试）如图，菱形ABCD的边长为6 ，∠ABC＝60°，点E、F在对角线BD上
运动，且ED＝OF，连接AE、AF，则 AEF周长的最小值是 ．
△
例5．（2023·江苏·校考一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，连接对角线AC，将△ADC沿射线CA
的方向平移得到△A'D'C'，分别连接BC'，AD'，BD'，则BC'＋BD'的最小值为 ．
例6．（2023·天津河东·校考模拟预测）如图，在边长为4的菱形 中， ，将 沿射线 的方向平移得到 ，分别连接 ， ，则 的最小值为 ．
模型2.将军造桥（过桥）模型
将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸
建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。
将军A
将军A
M
M
河 A' 河
N N
B军营 B军营
图2-1 图2-2
将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B，
∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N，
∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。
再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。
例1．（2023.山东八年级月考）有一条以互相平行的直线 为岸的河流，其两侧有村庄 和村庄 ，现
在要在河上建一座桥梁 （桥与河岸垂直），使两村庄之间的路程最短，从作图痕迹上来看，正确的是
（ ）A． B． C． D．
例2．（2022上·湖北襄阳·九年级联考自主招生）如图有一条直角弯道河流，河宽为2， 、 两地到河岸
边的距离均为1， ， ， ，现欲在河道上架两座桥 、 ，使
最小，则最小值为
A． B． C．14 D．12
例3．（2023·江苏·八年级校联考期末）如图，已知直线a∥b，a，b之间的距离为4，点P到直线a的距离
为4，点Q到直线b的距离为2，PQ=2 ．在直线a上有一动点A，直线b上有一动点B，满足AB⊥b，
且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ＝ ．
例4．（2023.广东省深圳市八年级期中）如图，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线
为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=4，OC=10，∠A=60°，线段EF垂直平分OD，点P为线
段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E'关于x轴对称，连接BP、E'M，则BP+PM+ME'的长度的最
小值为 ．例5．（2022·山东滨州·统考中考真题）如图，在矩形 中， ．若点E是边AD上的一
个动点，过点E作 且分别交对角线AC，直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，
的最小值为 ．
1．（2024下·江苏无锡·八年级统考期末）如图，E为正方形 中 边上的一点，且 ， ，
M、N分别为边 、 上的动点，且始终保持 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B．8 C．8 D．12
2．（2024下·安徽滁州·八年级统考期末）如图，在矩形 中，边 的长分别为4和3，点E在
上，点F在 的延长线上，且 ，连接 ，当点E在边 上移动时， 的最小值为
（ ）A．7 B． C．10 D．
3．（2024下·广东广州·八年级统考期末）如图，在边长为10的正方形 对角线上有E，F两个动点，
且 ，点P是 中点，连接 ，则 最小值为（ ）
A． B． C． D．10
4．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点O在原点，顶点A、
B分别在x轴、y轴的正半轴上， ， ，D为 的中点，E、F是边 上的两个动点，且
，当四边形 的周长最小时，点E的坐标为 ．
5．（2024·山东·模拟预测）如图，在矩形 中，点 、 分别为AD、AB上的动点，连接 ，
恒等于 ．点 为 的中点，连接 ． 为线段CD的中点．点 为线段 上的一个动点．连接 、
．若 ，则 的最小值为 ．6．（2024·江苏宿迁·二模）如图，在矩形 中， ， ，将矩形沿对角线 剪开，得到
与 ，将 沿 方向平移得到 ，连接 、 ，则 的最小值为
．
7．（2024·广西南宁·模拟预测）如图，在四边形 中， ， ， ， ，点
在 上，且 ，点 和点 为边 上的两个动点，且 ，则 的最小值为 ．
8．（2023下·辽宁鞍山·八年级统考期末）如图，河的两岸有 ， 两个水文观测点，为方便联络，要在河
上修一座木桥 （河的两岸互相平行， 垂直于河岸），现测得 ， 两点到河岸的距离分别是5米，
4米，河宽3米，且 ， 两点之间的水平距离为12米，则 的最小值是 米．
9．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，在 中， ， ，M、N分别是 、 边上的动
点，且 ，则 的最小值是 ．10．（2024.广东省深圳市九年级期中）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为
x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分
线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．
（1）请直接写出点A的坐标为_____，点B的坐标为_____；
（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为_____；
11．（2023上·北京西城·八年级校考期中）如图， 中， ， ，D，E为 边
上的两个动点，且 ，连接 ， ，若 ，则 的最小值为 ．
12．（2023上·福建漳州·八年级校考阶段练习）如图，在正方形 中， ，点E是 的中点，
P，Q为 边上的两点，且 ，则四边形 周长的最小值为 ．13．（2023下·四川绵阳·八年级统考期中）如图，在平行四边形 中， ， ，连
接 ，且 ， 平分 交 与于点 ．点 在 边上， ，若线段 （点 在
点 的左侧）在线段 上运动， ，连接 ， ，则 的最小值为 ．
13．（2023·辽宁抚顺·统考三模）如图，在矩形 中， ， ．若点E是边 上的一个动点，
过点E作 ，交直线 于点F，则点E移动的过程中， 的最小值为 ．
14．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在边长为2的菱形 中， ，将 沿射线
的方向平移，得到 ，则 的最小值为 ．
15．（2023下·安徽芜湖·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为8，点E在AB上，BE＝2，点
M，N为AC上动点，且 ，连接BN，EM，则四边形BEMN周长的最小值为 ．16．（2023.广东八年级专项训练）如图所示，某条护城河在 处角转弯，河宽相同，从 处到达 处，
须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使
到 的路程最短，请确定两座桥的位置．
17．（2023·江苏·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分
别在x轴、y轴的正半轴上，A（3，0），B（0，4），D为边OB的中点.(1)若E为边OA上的一个动点，
求 的周长最小值；(2)若E、F为边OA上的两个动点，且EF=1，当四边形CDEF的周长最小时，求
点E、F的坐标.18．（2023下·吉林长春·八年级校考期末）（1）如图①，在边长是1的 网格中，点A、B、C、D都在
格点上，在线段 上找一点P，使得 最短．（2）如图②，在正方形 中， ，E是
中点，P是对角线AC上一动点，求 的最小值．（3）如图③，在正方形 中， ，
E、F是对角线 上的两个动点，且 ，则 的最小值是 ．
