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专题32 圆中的重要模型之隐圆模型
隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动，
或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见形式：动点定
长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆等，上述四种动态问题的轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、
旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模
型的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、动点定长模型（圆的定义）
若P 为动点，且AB=AC=AP，则B、C、P 三点共圆，A 圆心，AB 半径
圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．
寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．
例1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，
的一条直角边
在x 轴
上，点A 的坐标为
；
中，
，连接
，点M 是
中
点，连接
．将
以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段
的最小值是
（ ）
A．3
B．
C．
D．2
例2．（2023·广东清远·统考三模）如图，在
，
，E 为
边上的任意一点，把
沿
折叠，得到
，连接
．若
，
，则
的最小值为 ．
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例3．（2022·北京市·九年级专题练习）如图，四边形
中，
、
分别是
，
的中垂线，
，
，则
___，
___．
例4．（2023 上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，正方形ABCD 中，
，E 是
的中点．以点C
为圆心，
长为半径画圆，点P 是
上一动点，点F 是边
上一动点，连接
，若点Q 是
的中
点，连接
，
，则
的最小值为 ．
模型2、定边对直角模型（直角对直径）
固定线段AB 所对动角∠C 恒为90°，则A、B、C 三点共圆，AB 为直径
寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
例1．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形
中，
，点E 在线段
上运动，点F 在线段
上，
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，则线段
的最小值为 ．
例2．（2023 上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，以
为圆心，半径为2 的圆与x 轴交于A，B
两点，与y 轴交于C，D 两点，点E 为
上一动点，作
于点F．当点E 从点B 出发，顺时针旋
转到点D 时，点F 所经过的路径长为（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．（2022·内蒙古·中考真题）如图，
是
的外接圆，
为直径，若
，
，点
从
点出发，在
内运动且始终保持
，当
，
两点距离最小时，动点
的运动路径长
为______．
例4．（2023·广东·九年级课时练习）如图，△ACB 中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P 为CA 上的动
点，连BP，过点A 作AM⊥BP 于M．当点P 从点C 运动到点A 时，线段BM 的中点N 运动的路径长为（
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）
A．
π
B．
π
C．
π
D．2π
模型3、定边对定角模型（定弦定角模型）
固定线段AB 所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P 四点共圆
根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．
寻找隐圆技巧：AB 为定值，∠P 为定角，则P 点轨迹是一个圆．
1.（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，分别经过原点
和点
的动直线
，
夹角
，
点
是
中点，连接
，则
的最大值是（ ）
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A．
B．
C．
D．
例2．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在边长为6 的等边
中，点E 在边
上自A 向C 运
动，点F 在边
上自C 向B 运动，且运动速度相同，连接
交于点P，连接
，在运动过程中，
点P 的运动路径长为（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．（2023·成都市·九年级专题练习）如图所示，在扇形
中，
，
，点
是
上
的动点，以
为边作正方形
，当点
从点
移动至点
时，求点
经过的路径长．
例4．（2023 上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为2
，点C 是优弧
AB 上的一动点，BD⊥BC 交直线AC 于点D，当点C 从△ABC 面积最大时运动到BC 最长时，点D 所经过
的路径长为 ．
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模型4、四点共圆模型
四点共圆模型我们在上一专题中已经详细讲解了，本专题就不在赘述了。在此就针对几类考查频率高的模
型作相应练习即可。
1）若平面上A、B、C、D 四个点满足
，则A、B、C、D 四点共圆．
条件：1）四边形对角互补；2）四边形外角等于内对角．
O
D
C
B
A
2）若平面上A、B、C、D 四个点满足
，则A、B、C、D 四点共圆．
条件：线段同侧张角相等．
例1．（2023·安徽阜阳·九年级校考期中）如图，O 为线段
的中点，点A，C，D 到点O 的距离相等，则
∠A 与∠C 的数量关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2023·山西临汾·九年级统考期末）如图在四边形
中，
，若
，
则
的值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
例3．（2023·江苏镇江·校联考一模）如图，菱形
的边长为
，
，点
为
边的中点．点
从点
出发，以每秒个单位的速度向点
运动，点
同时从点
出发，以每秒
个单位的速度向点
运动，连接
，过点
作
于点
．当点
到达点
时，点
也停止运动，则点
的运动路径
长是（ ）
A．
B．12
C．
D．
例4．（2023.江苏九年级期末）如图，在
中，
，
，
，点P 为平面内一
点，且
，过C 作
交PB 的延长线于点Q，则CQ 的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例5．（2023·河南周口·校考三模）在
中，
，M 是
外一动点，满足
，若
，
，
，则
的长度为 ．
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课后专项训练
1．（2023 上·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，等边三角形ABC 与等边三角形EFB 共端点B，BC＝
2，BF＝
，△EFB 绕点B 旋转，∠BCF 的最大度数（ ）
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A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
2．（2023 上·安徽六安·九年级校考期末）如图，
是等边三角形，
，点
是
内一点，且
，连接
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·广西·中考模拟）如图所示，四边形ABCD 中，DC AB
∥
，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD 的长为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（2023 上·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，点
在线段
上，
，以
为圆心，
为半径作
，点
在
上运动，连接
，以
为一边作等边
，连接
，则
长度的最小
值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
5．（2023 上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N 的坐标分别为
，
，
，以点C 为圆心，3 为半径画
，点P 在
上运动，连接
，交
于点Q，点M 为
线段
的中点，连接
，则线段
的最小值为（ ）
A．7
B．10
C．
D．
6．（2023 上·浙江丽水·九年级统考期中）如图，
是半圆
的直径，点
在半圆
上，
是弧
上的一个动点，连结
，过点
点作
于点
，连结
，在点
移动的过程中．（1）
；（2）
的最小值是 ．
7．（2023 上·山东日照·九年级校考期中）如图，
中，
，过点
作
的平行线
为直线上一动点，
为
的外接圆，直线
交
于
点，则
的最小值为
．
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8．（2023 上·江苏连云港·九年级校考期中）如图，在矩形
中，
，N 是矩形
内一
点，
，点M 是
边上的动点，则
的最小值为 ．
9．（2023.湖北九年级期中）如图，在
中，
，
，
，点
在以
为直
径的半圆上运动，由点
运动到点
，连接
，点
是
的中点，则点
经过的路径长为 ．
10．（2023·广东·九年级课时练习）如图，扇形AOB，且OB=4，∠AOB=90°，C 为弧AB 上任意一点，过
C 点作CD OB
⊥
于点D，设△ODC 的内心为E，连接OE、CE，当点C 从点B 运动到点A 时，内心E 所经
过的路径长为 ________．
11．（2023 上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在矩形
中，已知
，
，点
是
边
上一动点点
不与点
，
重合，连接
，作点
关于直线
的对称点
，连接
，则
的最小
值为 ．
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12．（2023 上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在等腰直角三角形
中，
，
，点
是
边上一动点，连结
，以
为直径的圆交
于点
，则
长度的最小值是
．
13．（2023·辽宁大连·九年级统考期末）如图，在
中，
，D 为AB 上一点，
，E 为
AC 上一点，
，连接BE、CD 交于点O，则
的最大面积是 ．
14．（2021·广东·统考中考真题）在
中，
．点D 为平面上一个动点，
，则线段
长度的最小值为 ．
15．（2023·浙江·一模）如图，在
中，
，
．分别以
、
为斜边，向三角形
外作等腰直角三角形
和等腰直角三角形
，则
和
面积之和为 ；连接
，则线段
的最大值为 ．
16．（2022·广东·九年级专题练习）如图，在四边形ABCD 中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD
＝2，E 是AC 的中点，连接DE，则线段DE 长度的最小值为______．
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17．（2023 陕西中考模拟）如图，在等边
中，
，点P 为AB 上一动点，
于点D，
于点E，则DE 的最小值为_____．
18．（2023 上·江苏宿迁·九年级统考期中）如图1，点
是
直径
上一点，
，
，过点
作弦
，点
在
上运动，连接
．(1)求
的长．(2)如图
，连接
，作
的角平分线
交
于点
，在点
运动的过程中，
的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发
生变化，请求出其值．(3)如图，过点
作
于
，连接
，求
的最小值．
19．（2023 下·广东广州·九年级校校考阶段练习）如图，
为等边三角形，点P 是线段
上一动点
（点P 不与A，C 重合），连接
，过点A 作直线
的垂线段，垂足为点D，将线段
绕点A 逆时针
旋转
得到线段
，连接
，
．(1)求证：
；(2)连接
，延长
交
于点F，若
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的边长为2；①求
的最小值；②求
的最大值．
20．（2023·陕西延安·九年级统考期末）问题提出
（1）如图①，
内接于半径为4 的
，
是
的中位线，则
的最大值是_________；
问题探究（2）如图②，在等腰
中，
，
，
边上的中线
，求等
腰
外接圆的半径；
问题解决（3）如图③，工人师傅现要在一张足够大的板材上剪裁出一个形状为
的部件，已知
的部件要满足
，
边上的中线
，且边
与边
之和要最大，是否能剪裁出满足
要求的三角形部件？若能，请求出
的最大值；若不能，请说明理由．
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