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专题32 圆中的重要模型之隐圆模型
隐圆是各地中考选择题和填空题、甚至解答题中常考题，题目常以动态问题出现，有点、线的运动，
或者图形的折叠、旋转等，大部分学生拿到题基本没有思路，更谈不上如何解答。隐圆常见形式：动点定
长、定弦对直角、定弦对定角、四点共圆等，上述四种动态问题的轨迹是圆。题目具体表现为折叠问题、
旋转问题、角度不变问题等，此类问题综合性强，隐蔽性强,很容易造成同学们的丢分。本专题就隐圆模
型的相关问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、动点定长模型（圆的定义）
若P 为动点，且AB=AC=AP，则B、C、P 三点共圆，A 圆心，AB 半径
圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．
寻找隐圆技巧：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．
例1．（2023·山东泰安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，
的一条直角边
在x 轴
上，点A 的坐标为
；
中，
，连接
，点M 是
中
点，连接
．将
以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段
的最小值是
（ ）
A．3
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】如图所示，延长
到E，使得
，连接
，根据点A 的坐标为
得到
，再
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证明
是
的中位线，得到
；解
得到
，进一步求出点C 在以O 为圆心，
半径为4 的圆上运动，则当点M 在线段
上时，
有最小值，即此时
有最小值，据此求出
的最
小值，即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长
到E，使得
，连接
，
∵
的一条直角边
在x 轴上，点A 的坐标为
，
∴
，∴
，∴
，
∵点M 为
中点，点A 为
中点，∴
是
的中位线，∴
；
在
中，
，∴
，
∵将
以点O 为旋转中心按顺时针方向旋转，∴点C 在以O 为圆心，半径为4 的圆上运动，
∴当点M 在线段
上时，
有最小值，即此时
有最小值，
∵
，∴
的最小值为
，∴
的最小值为3，故选A．
【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30
度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
例2．（2023·广东清远·统考三模）如图，在
，
，E 为
边上的任意一点，把
沿
折叠，得到
，连接
．若
，
，则
的最小值为 ．
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【答案】4
【分析】本题考查翻折变换，最短路线问题，勾股定理，先确定点
的运动路线，并确定
最小时点
所在位置
，再求出
的长度即可．确定点
的运动路线是解题的关键．
【详解】解：∵
沿
折叠，得到
，∴
，
∴点F 在以B 为圆心6 为半径的圆上，设以B 为圆心6 为半径的圆与
交于点
，
则
，
的最小值为
的长；
在
中，∵
，
，∴
，
∴
，∴
的最小值为4，故答案为：4．
例3．（2022·北京市·九年级专题练习）如图，四边形
中，
、
分别是
，
的中垂线，
，
，则
___，
___．
【答案】
；
【分析】连接
，根据线段垂直平分线的性质可得
，从而得到
、
、
在以
为圆心，
为半径
的圆上，根据圆周角定理可得
，再由等腰三角形的性质可得，即可求解．
【详解】解：连接
，
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、
分别是
、
的中垂线，
，
、
、
在以
为圆心，
为半径的圆上，
，
，
，
，
，
，
，
，
又
，
．故答案为：
，
．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题意得到
、
、
在以
为圆心，
为半径的圆上是解题的关键．
例4．（2023 上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，正方形ABCD 中，
，E 是
的中点．以点C
为圆心，
长为半径画圆，点P 是
上一动点，点F 是边
上一动点，连接
，若点Q 是
的中
点，连接
，
，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】取点
关于直线
的对称点
，连接
、
两线交于点
，连接
，
，
，过
作
于点
，则
，所以点
在以
为圆心，
为半径的
上运动，求出
，则
，由勾股定理得
，由
，所以当
、
、
、
四点共线时，
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的值最小，所以
的最小值为
．
【详解】解：取点
关于直线
的对称点
，连接
、
两线交于点
，连接
，
，
，过
作
于点
，
正方形ABCD 中，
，E 是
的中点，
，
点
是
的中点，点
是
的中点，
，
点
在以
为圆心，
为半径的
上运动，
四边形
是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
当
、
、
、
四点共线时，
的值最小，
的最小值为
．故答案为：
．
【点睛】本题考查圆的有关性质的应用，正方形的性质，两点之间线段最短公理的应用，勾股定理，解题
的关键是正确确定点
的运动路径．
模型2、定边对直角模型（直角对直径）
固定线段AB 所对动角∠C 恒为90°，则A、B、C 三点共圆，AB 为直径
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寻找隐圆技巧：一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
例1．（2023·山东·统考中考真题）如图，在四边形
中，
，点E 在线段
上运动，点F 在线段
上，
，则线段
的最小值为 ．
【答案】
/
【分析】设
的中点为O，以
为直径画圆，连接
，设
与
的交点为点
，证明
，可知点F 在以
为直径的半圆上运动，当点F 运动到
与
的交点
时，线段
有最小值，据此
求解即可．
【详解】解：设
的中点为O，以
为直径画圆，连接
，设
与
的交点为点
，
∵
，∴
，∴
，
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∵
，∴
，∴点F 在以
为直径的半圆上运动，
∴当点F 运动到
与
的交点
时，线段
有最小值，
∵
，∴
，，∴
，
的最小值为
，故答案为：
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F 的运动
轨迹是解题的关键．
例2．（2023 上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，以
为圆心，半径为2 的圆与x 轴交于A，B
两点，与y 轴交于C，D 两点，点E 为
上一动点，作
于点F．当点E 从点B 出发，顺时针旋
转到点D 时，点F 所经过的路径长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】连接
，
，
，先由圆周角定理得到点F 的运动轨迹是以
为直径的圆上，且点O 在圆
上，进而得到当点E 从点B 出发，顺时针旋转到点D 时，点F 所经过的路径长为
的长；根据勾股定理
和锐角三角函数求得
，
，则
所对的圆心角的度数为
，利用弧长
公式求得
的长即可求解．
【详解】解：连接
，
，
，
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∵
，∴
，
∴点F 的运动轨迹是以
为直径的圆上，且点O 在圆上，当点E 在点B 处时，
，点F 与O 重
合；
当点E 在点D 处时，∵以
为圆心，半径为2 的圆与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于C，D 两点，
∴
即
，点F 与A 重合，
∴当点E 从点B 出发，顺时针旋转到点D 时，点F 所经过的路径长为
的长；
∵
，
，
，∴
，
∵
，∴
，
，
∴
，则
所对的圆心角的度数为
，
∴
的长为
，即点F 所经过的路径长为
，故选：B．
【点睛】本题考查圆周角定理、解直角三角形、弧长公式、坐标与图形等知识，正确得到点F 的运动轨迹
以及点F 所经过的路径长为
的长是解答的关键．
例3．（2022·内蒙古·中考真题）如图，
是
的外接圆，
为直径，若
，
，点
从
点出发，在
内运动且始终保持
，当
，
两点距离最小时，动点
的运动路径长
为______．
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【答案】
【分析】根据题中的条件可先确定点P 的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定CP 的长最小时点P 的
位置，进而求出点P 的运动路径长．
【详解】解：
为
的直径，
∴点P 在以AB 为直径的圆上运动，且在△ABC 的内部，
如图，记以AB 为直径的圆的圆心为
，连接
交
于点
，连接
∴当点
三点共线时，即点P 在点
处时，CP 有最小值，
∵
∴
在
中，
∴∠
∴
∴
两点距离最小时，点P 的运动路径长为
【点睛】本题主要考查了直径所对圆周角是直角，弧长公式，由锐角正切值求角度，确定点P 的路径是解
答本题的关键．
例4．（2023·广东·九年级课时练习）如图，△ACB 中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P 为CA 上的动
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点，连BP，过点A 作AM⊥BP 于M．当点P 从点C 运动到点A 时，线段BM 的中点N 运动的路径长为（
）
A．
π
B．
π
C．
π
D．2π
【答案】A
【详解】解：设AB 的中点为Q，连接NQ，如图所示：
∵N 为BM 的中点，Q 为AB 的中点，∴NQ 为△BAM 的中位线，
∵AM⊥BP，∴QN⊥BN，∴∠QNB＝90°，
∴点N 的路径是以QB 的中点O 为圆心，
AB 长为半径的圆交CB 于D 的
，
∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴AB
CA＝4
，∠QBD＝45°，∴∠DOQ＝90°，
∴
为⊙O 的
周长，∴线段BM 的中点N 运动的路径长为：
π，故选：A．
在
中，
点
、
为
、
的中点，
，
，
，即
，
点
在以
为直径的半圆上，
，
点
的运动路径长为
，故答案为：
．
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模型3、定边对定角模型（定弦定角模型）
固定线段AB 所对同侧动角∠P=∠C，则A、B、C、P 四点共圆
根据圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相．
寻找隐圆技巧：AB 为定值，∠P 为定角，则P 点轨迹是一个圆．
1.（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，分别经过原点
和点
的动直线
，
夹角
，
点
是
中点，连接
，则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，
，得出
的轨迹是圆，取点
，则
是
的中位线，则
求得
的正弦的最大值即可求解，当
与
相切时，
最大，则正弦值最大，据此即可求
解．
【详解】解：如图所示，以
为边向上作等边
，过点
作
轴于点
，则
，
则
的横坐标为
，纵坐标为
，∴
，
取点
，则
是
的中位线，∴
，
∵
，∴点
在半径为
的
上运动，∵
是
的中位线，∴
，
∴
，当
与
相切时，
最大，则正弦值最大，
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在
中，
，
过点
作
轴，过点
作
于点
，过点
作
于点
， 则
∵
与
相切，∴
，∴
，
∴
，∴
，∴
设
，
,则
∴
∴
∴
解得：
∴
∴
的最大值为
，故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，求正弦，等边三角形的性质。圆周角定理，得出点
的轨
迹是解题的关键．
例2．（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在边长为6 的等边
中，点E 在边
上自A 向C 运
动，点F 在边
上自C 向B 运动，且运动速度相同，连接
交于点P，连接
，在运动过程中，
点P 的运动路径长为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】过点A 作
于A，作
于
，连接
，交
于
，证明
，得
，再证明
，可得
，确定点
的运动路径是以点
为圆心，以
为半径的弧
，再由弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，过点A 作
于A，作
于
，连接
，交
于
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
是
的垂直平分线，
，
在
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点
的运动路径是以点
为圆心，以
为半径的弧
，
点P 的运动路径长为
．故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积，动点
的运动轨迹等知识，确定点
的运动
轨迹是解本题的关键．
例3．（2023·成都市·九年级专题练习）如图所示，在扇形
中，
，
，点
是
上
的动点，以
为边作正方形
，当点
从点
移动至点
时，求点
经过的路径长．
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【答案】点
经过的路径长为
．
【分析】如图，由此BO 交⊙O 于F，取
的中点H，连接FH、HB、BD．易知△FHB 是等腰直角三角
形，HF＝HB，∠FHB＝90°，由∠FDB＝45°＝
∠FHB，推出点D 在⊙H 上运动，轨迹是
（图中红
线），易知∠HFG＝∠HGF＝15°，推出∠FHG＝150°，推出∠GHB＝120°，易知HB＝3
，利用弧长公
式即可解决问题．
【详解】解：如图，由此BO 交⊙O 于F，取
的中点H，连接FH、HB、BD．
易知△FHB 是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90°，
∵∠FDB＝45°＝
∠FHB，∴点D 在⊙H 上运动，轨迹是
（图中红线），
易知∠HFG＝∠HGF＝15°，∴∠FHG＝150°，∴∠GHB＝120°，易知HB＝3
，
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∴点D 的运动轨迹的长为
＝2
π．
【点睛】本题考查轨迹、弧长公式、圆的有关知识、正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅
助线，正确寻找点D 的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题．
例4．（2023 上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，⊙O 的半径为2，弦AB 的长为2
，点C 是优弧
AB 上的一动点，BD⊥BC 交直线AC 于点D，当点C 从△ABC 面积最大时运动到BC 最长时，点D 所经过
的路径长为 ．
【答案】
π
【分析】如图，以AB 为边向上作等边三角形△ABF，连接OA，OB，OF，DF，OF 交AB 于H．说明点D
的运动轨迹是以F 为圆心，FA 为半径的圆，再利用弧长公式求解即可．
【详解】如图，以AB 为边向上作等边三角形△ABF，连接OA，OB，OF，DF，OF 交AB 于H．
∵FA=FB，OA=OB，∴OF⊥AB，AH=BH=
，∴sin∠BOH=
，
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∴∠BOH=∠AOH=60°，∴∠AOB=120°∴∠C=
∠AOB=60°，
∵DB⊥BC，∴∠DBC=90°，∴∠CDB=30°，
∵∠AFB=60°，∴∠ADB=
∠AFB，∴点D 的运动轨迹是以F 为圆心，FA 为半径的圆，
∵当点C 从△ABC 面积最大时运动到BC 最长时，BC 绕点B 顺时针旋转了30°，
∴BD 绕点B 也旋转了30°，∴点D 的轨迹所对的圆心角为60°，
∴运动路径的长
，故答案为：
．
【点睛】本题考查轨迹，垂径定理，等边三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是
学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
模型4、四点共圆模型
四点共圆模型我们在上一专题中已经详细讲解了，本专题就不在赘述了。在此就针对几类考查频率高的模
型作相应练习即可。
1）若平面上A、B、C、D 四个点满足
，则A、B、C、D 四点共圆．
条件：1）四边形对角互补；2）四边形外角等于内对角．
O
D
C
B
A
2）若平面上A、B、C、D 四个点满足
，则A、B、C、D 四点共圆．
条件：线段同侧张角相等．
例1．（2023·安徽阜阳·九年级校考期中）如图，O 为线段
的中点，点A，C，D 到点O 的距离相等，则
∠A 与∠C 的数量关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】D
【分析】根据题意可得四边形为
的圆内接四边形，即可求解．
【详解】解∶∵O 为线段
的中点，点A，C，D 到点O 的距离相等，
∴点A，B，C，D 到点O 的距离相等，
∴点A，B，C，D 在以O 为圆心的圆上，即四边形为
的圆内接四边形，
∴
．故选：D
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键．
例2．（2023·山西临汾·九年级统考期末）如图在四边形
中，
，若
，
则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先根据题意得到点A，B，C，D 四点共圆，然后证明出
，进而得到
，
然后利用
直角三角形的性质得到
，进而求解即可．
【详解】如图所示，∵
∴点A，B，C，D 四点共圆，
∵
∴
∵
∴
∴
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∵
，
∴
∴
∴
．故选：D．
【点睛】此题考查了四点共圆，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌
握以上知识点．
例3．（2023·江苏镇江·校联考一模）如图，菱形
的边长为
，
，点
为
边的中点．点
从点
出发，以每秒个单位的速度向点
运动，点
同时从点
出发，以每秒
个单位的速度向点
运动，连接
，过点
作
于点
．当点
到达点
时，点
也停止运动，则点
的运动路径
长是（ ）
A．
B．12
C．
D．
【答案】D
【分析】如图，连接
、
、
，设
、
交于点
，
交
于点
，连接
，设
中点
为
，连接
、
，根据菱形及等边三角形得性质可得
，
，可得出
，可
得
必经过点
，根据
，可得点
在以
为直径的圆上，根据
、
的速度及
菱形性质可得当点
达到点
时，点
达到点
，
，可得点
点运动路径长是
的长，利用
勾股定理可求出
的长，根据圆周角定理可得
，利用弧长公式即可得答案．
【详解】如图，连接
、
、
，设
、
交于点
，
交
于点
，连接
，设
中点
为
，连接
、
，
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∵菱形
的边长为
，
，∴
，
是等边三角形，
∵点
为
边的中点，∴
，
，
，
∵点
的速度为每秒个单位，点
的速度为每秒
个单位，∴
，
∵
，∴
，∴
，
∴
，
，∴
必经过点
，
∵
，
，∴点
在以
为直径的圆上，且
、
、
、
四点共圆，
∵当点
达到点
时，点
达到点
，
，∴点
点运动路径长是
的长，
∵
，
，∴
，
∴
，即点
点运动路径长是
．故选：D．
【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、四点共圆的证明、勾股定理、圆周角定理及弧
长公式，正确得出点
的运动轨迹是解题关键．
例4．（2023.江苏九年级期末）如图，在
中，
，
，
，点P 为平面内一
点，且
，过C 作
交PB 的延长线于点Q，则CQ 的最大值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意可得A、B、C、P 四点共圆，由AA 定理判定三角形相似，由此得到CQ 的值与PC 有关，
当PC 最大时CQ 即取最大值．
【详解】解：∵在
中，
，
，
，
A
∴、B、C、P 四点共圆，AB 为圆的直径，AB=
∵
∴
ABC
PQC
∴△
△
∽
∴
，
，即
∴当PC 取得最大值时，CQ 即为最大值
∴当PC=AB=5 时，CQ 取得最大值为
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆，掌握同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等确
定四点共圆，利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键．
例5．（2023·河南周口·校考三模）在
中，
，M 是
外一动点，满足
，若
，
，
，则
的长度为 ．
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【答案】
/
【分析】过点B 作
交
的延长线于点H，过点D 作
于点E，过点D 作
于点
F，点A,M,B,C 四点共圆，得
，解直角三角形
，
，面积
法求解，
，得
．
【详解】解析：过点B 作
交
的延长线于点H，过点D 作
于点E，过点D 作
于点F，如图所示：
∵
∴点A,M,B,C 四点共圆
∵
∴
∴
，
∴
，∴
，
∵
，
∴
，
∴
，∴
【点睛】本题考查四点共圆，圆周角定理，解直角三角形，角平分线性质定理，添加辅助构造直角三角形
是解题的关键．
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课后专项训练
1．（2023 上·江苏南通·九年级校考阶段练习）如图，等边三角形ABC 与等边三角形EFB 共端点B，BC＝
2，BF＝
，△EFB 绕点B 旋转，∠BCF 的最大度数（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】C
【分析】由旋转的性质可得点F 在以点B 为圆心，BF 长为半径的圆上，可得当CF'与⊙B 相切时，
∠BCF'的度数有最大值，由三边关系得△CBF′是含30 度角的直角三角形，即可求解．
【详解】解：如图，
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∵△EFB 绕点B 旋转，∴点F 在以点B 为圆心，BF 长为半径的圆上，
∴当CF'与⊙B 相切时，∠BCF'的度数有最大值，连接BF'，∴∠CF'B＝90°，
∵BC＝2，BF′＝BF＝
，∴CF′＝
＝1＝
BC，
∴∠CBF′＝30°，∴∠BCF'＝60°，故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质以及直线与圆的位置关系，确定点F 的运动轨迹是本
题的关键．
2．（2023 上·安徽六安·九年级校考期末）如图，
是等边三角形，
，点
是
内一点，且
，连接
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质得到
，
，继而推出
，可得点P 在以
为直径的圆上，得知当C，D，P 三点共线时，
最小，再利用等边三角形的性质和勾股定理求解即
可．
【详解】解：∵
是等边三角形，∴
，
，
∵
，∴
，
整理得：
，则
，∴点P 在以
为直径的圆上，
如图，设
的中点为D，连接
，即
长度不变，
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∴
，∴当C，D，P 三点共线时，
最小，此时
，
∵
，∴
，
，
∴
的最小值为
，故选D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，三角形三边关系的应用，解题的关键是
根据已知条件推出
，得到点P 在以
为直径的圆上．
3．（2023·广西·中考模拟）如图所示，四边形ABCD 中，DC AB
∥
，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD 的长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：以A 为圆心，AB 长为半径作圆，延长BA 交⊙A 于F，连接DF．
AB=AC=AD=2
∵
，∴D，C 在圆A 上，
DC AB
∵
∥
，∴弧DF=弧BC，∴DF=CB=1，BF=AB+AF=2AB=4，
FB
∵
是⊙A 的直径，∴∠FDB=90°，∴BD=
=
故选B
4．（2023 上·浙江杭州·九年级校联考期中）如图，点
在线段
上，
，以
为圆心，
为半径作
，点
在
上运动，连接
，以
为一边作等边
，连接
，则
长度的最小
值为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】以
为边，在
的上面作等边
，使
，
，连接
，
，
，根据全等三家巷的性质得到
，连接
并延长，交
于点
，则
的最小值为
，过
作
于
，根据勾股定理即可得到答案．
【详解】解：如图，以
为边，在
的上面作等边
，使
，
，连接
，
，
，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
点
的运动轨迹为以点
为圆心，2 为半径的圆，
连接
并延长，交
于点
，则
的最小值为
，过
作
于
，
，
，
，
，
，
长度的最小值为
，故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，正确
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地作出辅助线是解题的关键．
5．（2023 上·江苏无锡·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C，N 的坐标分别为
，
，
，以点C 为圆心，3 为半径画
，点P 在
上运动，连接
，交
于点Q，点M 为
线段
的中点，连接
，则线段
的最小值为（ ）
A．7
B．10
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，掌握垂径定理，勾股定理，两点间的距离公式，直角三角形斜边
上中线的性质，三点共线等知识是解决问题的关键．
连接
，
，由垂径定理得出
，由直角三角形的性质得出
，进而得出点M 在
以O 为圆心，以3 为半径的
上，得出当O、M、N 三点共线时，
有最小值，由
，求出
，进而求出
，即线段
的最小值为7．
【详解】解：如图1，连接
，
，
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，
，
，O 是
的中点，
是
的中点，
，
，
，
∴点M 在以O 为圆心，以3 为半径的
上，如图2，当O、M、N 三点共线时，
有最小值，
，
，
，
，∴线段
的最小值为7，故选：A．
6．（2023 上·浙江丽水·九年级统考期中）如图，
是半圆
的直径，点
在半圆
上，
是弧
上的一个动点，连结
，过点
点作
于点
，连结
，在点
移动的过程中．（1）
；（2）
的最小值是 ．
【答案】 2
/
【分析】（1）连接
，因为
是直径，则
，所以
，所以
；
（2）以
为直径作圆
，连接
、
，在点
移动的过程中，点
在以
为直径的圆上运动，当
、
、
共线时，
的值最小，最小值为
，利用勾股定理求出
即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，连接
，
是直径，
，
，
，
．故答案为：2；
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（2）如图，以
为直径作圆
，连接
，
，
，
在点
移动的过程中，点
在以
为直径的圆上运动，
在
中，
，
，
，
，
，在
中，
，
，
当
、
、
共线时，
的值最小，最小值为
．故答案为：
．
【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理、点与圆的位置关系，两点之间线段最短，解题的关键是确定点
的运动路径是以
为直径的圆上运动，属于中考填空题中的压轴题．
7．（2023 上·山东日照·九年级校考期中）如图，
中，
，过点
作
的平行线
为直线上一动点，
为
的外接圆，直线
交
于
点，则
的最小值为
．
【答案】
/
【分析】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等
知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题．
如图，连接
．首先证明
，由此推出点
在以
为圆心，
为半径的
上运动，连接
交
于
，此时
的值最小．
【详解】解：如图，连接
．
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∵
，∴
，∴
，
∴
，∴点
在以
为圆心，
为半径的
上运动，
连接
交
于
，此时
的值最小．此时
与
交点为
．
∵
∴
所对圆周角为
，∴
，
∵
是等腰三角形，
，∴
，
∵
，∴
，
故答案为：
．
8．（2023 上·江苏连云港·九年级校考期中）如图，在矩形
中，
，N 是矩形
内一
点，
，点M 是
边上的动点，则
的最小值为 ．
【答案】9
【分析】根据矩形的性质得到
，求得
，得到点N 在以
为直径的半圆上运动，
设半圆的圆心为O，作点B 关于直线
的对称点
，连接
交
于M，交半圆于N，则此时
的值最小，最小值
，过O 作
于H，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形
是矩形，∴
，∴
，
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∵
，∴
，∴
，
∴点N 在以
为直径的半圆上运动，设半圆的圆心为O，
作点B 关于直线
的对称点
，连接
交
于M，交半圆于N，则此时
的值最小，最小值
，
过O 作
于H，则
，
，
∴
，∴
的最小值
，故答案为：9．
【点睛】本题考查了利用轴对称求最短距离问题，勾股定理，矩形的性质，解直角三角形，平行四边形的
判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．
9．（2023.湖北九年级期中）如图，在
中，
，
，
，点
在以
为直
径的半圆上运动，由点
运动到点
，连接
，点
是
的中点，则点
经过的路径长为 ．
解：
，
，
，
，
连接
，
，
是直径，
，即
，
取
，
的中点
和
，连接
，
，
，
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在
中，
，
为
、
的中点，
，
，
10．（2023·广东·九年级课时练习）如图，扇形AOB，且OB=4，∠AOB=90°，C 为弧AB 上任意一点，过
C 点作CD OB
⊥
于点D，设△ODC 的内心为E，连接OE、CE，当点C 从点B 运动到点A 时，内心E 所经
过的路径长为 ________．
【答案】
【分析】根据题意先利用内心的性质求出∠OEC 的度数和∠COE= BOE
∠
，易证△COE
BOE
△
≌
，利用全等
三角形的性质得∠OEB= OEC=135°
∠
，从而确定出点E 的运动轨迹，则劣弧OB 的长即为所求．
【详解】解：∵CD OB
ODC=90°
⊥
∴∠
∵点E 是△ODC 的内心∴∠OEC=90°+
ODC=135°
∠
，∠COE= BOE
∠
又∵OE=OE，OB=OC
COE
BOE
OEB= OEC=135°
∴△
△
∴∠
∠
∴点E 的运动轨迹为：以OB 为弦，并且弦OB 所对圆周角为135°的一段劣弧．
设经过点O、B、E 三点的圆M 如图所示，
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则∠N=180°- OEB=45°
M=2 N=90°
OM=BM=
∠
∴∠
∠
∴
OB=2
∴劣弧OB 的长
∴内心E 所经过的路径长为
．故答案为：
．
【点睛】本题考查弧长计算，熟练掌握圆的内心的性质和全等三角形的性质是解题的关键.
11．（2023 上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在矩形
中，已知
，
，点
是
边
上一动点点
不与点
，
重合，连接
，作点
关于直线
的对称点
，连接
，则
的最小
值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查圆外一点到圆上一点的最值，轴对称的性质，矩形的性质．连接
，得到
，进而得到点
在以点
为圆心，为半径的圆上，当
，
，
三点共线时，线段
的
长度最小，求出此时
的长度即可．解题的关键是确定点
的运动轨迹．
【详解】解：连接
，
点
和
关于
对称，
，
在以
圆心，为半径的圆上，
当
，
，
三点共线时，
最短，
，
，
，故答案为：
．
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12．（2023 上·江苏连云港·九年级统考期中）如图，在等腰直角三角形
中，
，
，点
是
边上一动点，连结
，以
为直径的圆交
于点
，则
长度的最小值是
．
【答案】
/
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握圆周角
定理和等腰直角三角形的性质，确定点
的运动轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离
问题是解答本题的关键．
连接
，根据圆周角定理，由
为直径，得到
，由
得到点
在以
为直径的
⊙
上，当点
、
、
共线时，
最小，利用勾股定理求出
，进而求得线段
长度的最小值．
【详解】解：如图，连接
，
为直径，
，
，
点
在以
为直径的⊙
上，
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⊙
的半径为
，
当点
、
、
共线时，
最小，
在
中，
，
，
，
，即线段
长度的最小值为
．故答案为：
．
13．（2023·辽宁大连·九年级统考期末）如图，在
中，
，D 为AB 上一点，
，E 为
AC 上一点，
，连接BE、CD 交于点O，则
的最大面积是 ．
【答案】
【分析】过点
作
，根据平行线分线段成比例定理可得则
，根据已知
，可
得
，
在以
为直径的圆上，设圆心为
，当
时，
的面积最大为：
，即可求出此时
的最大面积．
【详解】解：如图，过点
作
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在以
为直径的圆上，设圆心为
，
当
时，
的面积最大为：
，
此时
的面积最大为：
．故答案为：
．
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【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
14．（2021·广东·统考中考真题）在
中，
．点D 为平面上一个动点，
，则线段
长度的最小值为 ．
【答案】
【分析】由已知
，
，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角
的一半可知，点
在以
为圆心
为半径的圆上，线段
长度的最小值为
．
【详解】如图： 以
为半径作圆，过圆心
作
，
以
为圆心
为半径作圆，则点
在圆
上，
,
线段
长度的最小值为:
．故答案为：
．
【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图
形是解题的关键．
15．（2023·浙江·一模）如图，在
中，
，
．分别以
、
为斜边，向三角形
外作等腰直角三角形
和等腰直角三角形
，则
和
面积之和为 ；连接
，则线段
的最大值为 ．
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【答案】 1
【分析】（1）设两等腰直角三角形的腰长，然后用勾股定理，三角形面积公式即可求解；
（2）取AB 中点F，设
的外接圆为
，因为A、F 为定点，又可知
为定值，所以D 为
圆上一动点，可知
为一定圆，设点C 在
上时，可以确定圆心O 的位置，然后BD 的最大值迎刃而
解．
【详解】（1）
、
均是等腰直角三角形，设
，
，
，
，
即
，
=1．故答案为：
1．
（2）如图1，取AB 中点F，连接DF，CF，
则AF=CF=BF=1，又AD=CD，
DF 垂直平分AC，
，
设
的外接圆为
，
A、F 为圆上两定点，点D 为动点，又
为定值，
为一位置与大小确定的定圆，当点C 运动到
上时（如图2），
，
，
，
，
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为等腰直角三角形，
四边形AFCD 为正方形，
的圆心O 在此时正方形AFCD 的中心处，
取AF 中点G，连接OG，则OG=GF=
，
的半径r=OF=
，
，当BD 过点O 时（如图3），BD 最大，
此时BD 的最大值为BO+r=
+
=
．故答案为：
．
【点睛】此题考查以直角三角形为背景的一道几何综合题，熟练运用勾股定理与三角形面积公式是解第一
问的关键．第二问考查综合运用几何知识解决问题的能力，如何确定经过A、D、F 三点的
是一个定
圆，且如何确定圆心O 的位置，这是难点，而且难度较大．
16．（2022·广东·九年级专题练习）如图，在四边形ABCD 中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD
＝2，E 是AC 的中点，连接DE，则线段DE 长度的最小值为______．
【答案】
【分析】先判断出四边形ABCD 是圆内接四边形，得到∠ACD=∠ABD=30°，根据题意知点E 在以FG 为直
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径的⊙P 上，连接PD 交⊙P 于点E，此时DE 长度取得最小值，证明∠APD=90°，利用含30 度角的直角三
角形的性质求解即可．
【详解】解：∵∠BAD=∠BCD=90°，∴四边形ABCD 是圆内接四边形，
∴∠ACD=∠ABD=30°，∴∠ADB=60°，∵AD=2，∴BD=2AD=4，
分别取AB、AD 的中点F、G，并连接FG，EF，EG，
∵E 是AC 的中点，∴EF∥BC，EG∥CD，∴∠AEF=∠ACB，∠AEG=∠ACD，
∴∠AEF+∠AEG =∠ACB+∠ACD=90°，即∠FEG =90°，∴点E 在以FG 为直径的⊙P 上，如图：
当点E 恰好在线段PD 上，此时DE 的长度取得最小值，连接PA，
∵F、G 分别是AB、AD 的中点∴FG∥BD，FG=
BD=2，∴∠ADB=∠AGF=60°，
∵PA=PG，∴△APG 是等边三角形，∴∠APG=60°，
∵PG=GD=GA，且∠AGF=60°，∴∠GPD=∠GDP=30°，∴∠APD=90°，
∴PD=
，∴DE 长度的最小值为(
) ．故答案为：(
)．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30 度角的直角三角
形的性质，得到点E 在以FG 为直径的⊙P 上是解题的关键．
17．（2023 陕西中考模拟）如图，在等边
中，
，点P 为AB 上一动点，
于点D，
于点E，则DE 的最小值为_____．
【答案】
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【详解】如解图，
，故四边形PDCE 对角互补，故P、D、C、E 四点共圆，
，故
，要使得DE 最小，则要使圆的半径R 最小，故直径PC 最小，当
时，PC 最短为
，故
，故
．
18．（2023 上·江苏宿迁·九年级统考期中）如图1，点
是
直径
上一点，
，
，过点
作弦
，点
在
上运动，连接
．(1)求
的长．(2)如图
，连接
，作
的角平分线
交
于点
，在点
运动的过程中，
的长度是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不会发
生变化，请求出其值．(3)如图，过点
作
于
，连接
，求
的最小值．
【答案】(1)8(2)
的长度不发生变化；
(3)
【分析】（1）连接
，根据
，
，确定圆的半径为5，结合
，据垂径定理，得到
，得
．（2）连接
，据垂径定理，得到
，利用三角形外角性质，圆周角定理，证明
即可．（3）根据
题意，点H 的运动轨迹是以
为直径的
上的
，当D、H、N 三点共线时，
取得最小值，计算
淘宝：学思创想
即可．
【详解】（1）如图，连接
，∵
，
，∴
，∴圆的半径为5，
∵
，∴
，∴
．
（2）
的长度不发生变化；
．理由如下：如图，连接
，
∵
直径
，
，
，弦
，
，
∴
，∴
，
∵
的角平分线交
于点
，∴
，
∵
，
，
∴
，∴
，∴
，故
的长度不发生变化；
．
（3）如图，连接
，∵
，
∴点H 的运动轨迹是以
为直径的
上的
，当D、H、N 三点共线时，
取得最小值，
连接
，交
于点M，故当H 与M 重合时，
取得最小值，
∵
，
，
，∴
，
∴
，过点N 作
于点F，则
，∴
，
∵
，∴
，
，
，
∴
，∴
，故
最小值为
．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形外角性质，直角所对的弦是直径，点圆最值，中位线定
理，熟练掌握垂径定理，圆的最值性质是解题的关键．
淘宝：学思创想
19．（2023 下·广东广州·九年级校校考阶段练习）如图，
为等边三角形，点P 是线段
上一动点
（点P 不与A，C 重合），连接
，过点A 作直线
的垂线段，垂足为点D，将线段
绕点A 逆时针
旋转
得到线段
，连接
，
．(1)求证：
；(2)连接
，延长
交
于点F，若
的边长为2；①求
的最小值；②求
的最大值．
【答案】(1)见解析(2)①
，②2
【分析】（1）根据旋转的性质可得
，
，根据等边三角形的性质可得
，
，进而得出
，即可求证
，即可求证；
（2）①根据题意可得
，则点D 在以
为直径的圆上运动，连接
，与
相交于点D，此
时
最小，求解即可；②过点C 作
，交
的延长线于点G，通过证明
得
出点F 是
中点，再根据
，得出点A，点F，点C，点E 四点在以
为直径的圆
上，即可求解，当
为直径时，取得最大值，即可求解．
【详解】（1）证明：∵线段
绕点A 逆时针旋转
得到线段
，∴
，
，
∵
为等边三角形，∴
，
，
∴
，即
，
在
和
中，
，∴
，∴
．
（2）解：①∵
，∴
，∴点D 在以
为直径的圆上运动，
连接
，与
相交于点D，此时
最小，
∵
为等边三角形，
为
直径，∴
，
根据勾股定理可得：
，∴
．
淘宝：学思创想
②如图，过点C 作
，交
的延长线于点G，
∵
，
，∴
，
∵
，∴
，由（1）可得
，
∴
，
∴
，
∴
，∴
，∴
，且
，
∴
，∴
，即点F 是
中点，
连接
∵
是等边三角形，∴
，∴
，
∴
，∴点A，点F，点C，点E 四点在以
为直径的圆上
∴
最大为直径，即最大值为2．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，直
径所对的圆周角为直角，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
20．（2023·陕西延安·九年级统考期末）问题提出
（1）如图①，
内接于半径为4 的
，
是
的中位线，则
的最大值是_________；
问题探究（2）如图②，在等腰
中，
，
，
边上的中线
，求等
腰
外接圆的半径；
问题解决（3）如图③，工人师傅现要在一张足够大的板材上剪裁出一个形状为
的部件，已知
的部件要满足
，
边上的中线
，且边
与边
之和要最大，是否能剪裁出满足
要求的三角形部件？若能，请求出
的最大值；若不能，请说明理由．
淘宝：学思创想
【答案】（1）4；（2）等腰
外接圆的半径为4；（3）
的最大值为
【分析】（1）利用三角形的中位线定理解决问题即可．
（2）由题意AD 垂直平分线段BC，推出△ABC 的外接圆的圆心在线段AD 上，设圆心为O，连接OB，OC．
由题意∠BOC=2 BAC=90°
∠
，设OA=OB=OC=r，则BC=
r，OD=BD=CD=
r，根据
，构建方
程求出r 即可．（3）延长AD 到E，使得DE=AD，连接EC，延长AC 到F，使得CF=CE，连接EF，证明
∠F=60°，因为
，推出AE=30，推出点F 的运动轨迹是图中优弧AE，由题意
，推出当AF 是直径时，AB+AC 的值最大，由此即可解决问题．
【详解】解：（1）∵
是
的中位线，∴MN=
BC，
BC
∵
是⊙O 的弦，且圆的半径为4，∴BC≤8，
BC
∴
是最大值为8，∴MN 的最大值为4．故答案为：4；
（2）∵
，
是
边上的中线，
∴
垂直平分线段
．∴
的外接圆的圆心在线段
上．
如图，设圆心为
，连接
，
．∴
，
设
，则
，
，
∵
，∴
，解得
．∴等腰
外接圆的半径为4；
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（3）如图，延长
到
，使得
，连接
，延长
到
，使得
，连接
．
∵
，
，
，∴
．
∴
，
，∴
，∴
．
∵
，∴
是等边三角形．∴
．
∵
，∴
．∴点
的运动轨迹是解图中的优弧
．
∵
，∴当
为直径时，
的值最大，
此时
．∴
，∴
．∴
，即
，
∴
，∴
．∴
的最大值为
．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了三角形的中位线定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等边
三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
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