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专题 23.8 旋转中三种几何模型十一类题型（知识梳理与考点分类讲
解）
第一部分【模型图形归纳与题型目录】
【模型1】等边三角形旋转模型
在正 中， 为 内一点，将 绕 点按逆时针方向旋转 ，使得 与 重合。
经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的 、 、 三条线段集中于图（1-1-b）中的一个 中，
此时 也为正三角形。
【模型2】正方形旋转模型
在正方形 中， 为正方形 内一点，将 绕 点按顺时针方向旋转 ，使得 与
重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的 、 、 三条线段集中于图（2-1-b）中的
中，此时 为等腰直角三角形。【模型3】等腰直角三角形旋转模型
在等腰直角三角形 中， ， 为 内一点，将 绕 点按逆时针方向旋
转 ，使得 与 重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个 为等腰直角三角形。
模型类型与题型目录
【模型1】等边三角形旋转模型
【题型1】利用等边三角形旋转模型求线段长....................................2
【题型2】利用等边三角形旋转模型求角度......................................3
【题型3】利用等边三角形旋转模型求面积......................................4
【题型4】利用等边三角形旋转模型进行推理....................................5
【模型2】正方形旋转模型
【题型5】利用正方形的旋转模型求角度........................................6
【题型6】利用正方形的旋转模型求线段长......................................7
【题型7】利用正方形的旋转模型求面积........................................8
【题型8】利用正方形的旋转模型进行推理......................................9
【模型3】等腰直角三角形旋转模型
【题型9】利用等腰直角三角形的旋转模型求角度或线段长.......................10
【题型10】用等腰直角三角形的旋转模型进行推理..............................11
【题型11】拓展与延伸......................................................11第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用等边三角形旋转模型求线段与面积
【例1】（2024九年级·全国·竞赛）如图， 为一个平面内的等边三角形，在同一个平面内有一点 ，
使得 ，则点 到点 的最大距离为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．
【变式1】（2022·贵州黔东南·二模）如图，点P是等边三角形ABC内一点，且 ， ，
，则这个等边三角形ABC的边长为 ．
【变式2】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图， 与 都是等边三角形，连接 ，
， ，若将 绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段 的长为
（ ）
A． B． C． 或 D． 或【题型2】利用等边三角形旋转模型求角度
【例2】（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，点 是等边三角形 内一点，且 ， ，
，若将 绕着点 逆时针旋转60度后得到 ，则 的度数是 ．
【变式1】（2024·山东聊城·一模）如图，在等边三角形 中，点D在边 上，连接BD，将BD绕点
B旋转一定角度，使得 ，连接 ．若 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024·四川广元·二模）如图，在等边三角形 中，D是边 上的中点， ．将
绕点C顺时针旋转 ，得到 ，连接 ， ，当 时， 的大小
是 （ ）
A．60°或90° B．90°或120° C．60°或300° D．120°或150°【题型3】利用等边三角形旋转模型求面积
【例3】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，P是等边三角形 内一点，将线段 绕点A顺
时针旋转 得到线段 ，连接 ．
(1)求证 ：
(2)若 ．求四边形 的面积．
【变式1】（21-22八年级下·江西南昌·期中）如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP，BP，
CP，若AP=3，BP=4，CP=5，则S ABP+S BPC= ．
△ △
【变式2】（22-23八年级下·河南平顶山·期中）王老师将课本第89页11题进行了改编，如图等边三角形
边长为6，点D在直线 上，将 绕点A逆时针旋转，使得旋转后点B的对应点为C，点D的
对应点为E，设 ， 的面积为y，则y关于x的关系式为（ ）A． B． C． D．
【题型4】利用等边三角形旋转模型进行推理
【例4】（22-23八年级下·山东聊城·期末）在等边三角形 的内部有一点 ，连接 ， ，以点
为中心，把 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ．以点 为中心，把 顺时针旋转 得到
，连接 ， ．
(1)判断 和 的大小关系，并说明理由；
(2)求证： ；
(3)求证：四边形 是平行四边形．
【变式1】（2021八年级·全国·专题练习）如图， 为等边三角形，以 为边向外作 ，使
，再以点C为旋转中心把 旋转到 ，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②
平分 ；③ ；④ ．其中正确的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（2024·北京门头沟·一模）如图，在等边三角形 中，有一点P，连接 、 、 ，将
绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 、 ，有如下结论：① ；② 是等边三
角形；③如果 ，那么 ．以上结论正确的是（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【题型5】利用正方形的旋转模型求角度
【例5】（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形 中，E为 边上的点，连接 ，将
绕点C顺时针方向旋转 得到 ，连接 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2021·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形 内有一点P，若 ，则
的度数为 ．
【变式2】（2020·辽宁沈阳·一模）正方形ABCD，点P为正方形内一点，且满足PA=3， ，
PC=5，则∠APB的度数为 度．【题型6】利用正方形的旋转模型求线段长
【例6】（22-23九年级上·四川泸州·期中）如图，已知在正方形内有一点 ，连接 、 、 ，将
顺时针旋转 得到 ，连接 ，点 恰好在线段 上，若 ， ，则 的
长度为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式1】（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，等边三角形 ，边长为6，点D为 边上一点，
，以D为顶点作边长为6的正方形 ，连接 ， ．将正方形 绕点D旋转，当 取
最小值时， 的长为 ．
【变式2】（21-22九年级上·广西河池·期中）如图， 是正方形 内一点， ， ，
．则 的长为（ ）A．2 B． C． D．3
【题型7】利用正方形的旋转模型求面积
【例7】（21-22九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在正方形ABCD 中，AB＝4，点E在BC上，将线
段EA绕点E顺时针旋转90°，得到线段EF，连接DE，DF，CF，则 的值是 ﹔设BE＝x， DEF面
积为S，则S与x之间的关系式是 ．
【变式1】（20-21八年级下·湖南长沙·期中）如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C
的距离分别为2 、1、 ，则正方形ABCD的面积为 ．
【变式2】（20-21八年级下·山东威海·期中）如图， 是正方形 内一点， ， ，
，则 °．正方形 的面积是 ．【题型8】利用正方形的旋转模型进行推理
【例8】（20-21八年级下·北京平谷·期末）如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将
射线AP绕点A逆时针旋转45°，得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于点
F，连接DF．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明．
【变式1】如图，已知正方形 ， ， 是 中点， 平分 交 于点 ，将
绕点 顺时针旋转 得 ，则下列结论中：① ；② ；③ 平分 ；
④ ；⑤ ．正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①③④
【变式2】（23-24九年级上·广东东莞·期中）正方形 的边长为 ， ， 分别是 ， 边上的
点，且 ．将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ．
(1)求证： ；(2)当 时，求 的长．
【题型9】利用等腰直角三角形的旋转模型求角度
【例9】如图所示，在等腰直角三角形 中， ，将 绕点 逆时针旋转 后得到的
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·重庆大渡口·一模）如图， 和 是等腰直角三角形， ，
的边AF，AG交边BC于点D，E．若 ， ，则AD的值是 ．
【变式2】（2021·河南信阳·模拟预测）如图，在 中， ， ，以 为边作等腰直角
三角形 （ 为直角顶点， 、 两点在直线 的两侧），线段 长的最大值为（ ）A． B． C． D．
【题型10】用等腰直角三角形的旋转模型进行推理
【例12】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）在 中， ，点D为 中点，
， 绕点D旋转， 分别与边 交于E，F两点．下列结论：①
；② ；③ ；④ 始终为等腰直角三角形，其中
正确的个数有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】（22-23九年级上·天津滨海新·期中）将两块斜边长度相等的等腰直角三角形板如图①摆放，如
果把图①中的 绕点C逆时针旋转 得 ，连接 ，如图②．下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．第三部分【拓展延伸】
【题型10】拓展延伸
【例1】如图，P在等边△ABC内且∠APC＝120°，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2024九年级·全国·竞赛）如图， 和 都为等腰直角三角形，点 在 上，点 在
的延长线上， ，现将 绕点 旋转 ，得到 ，连接
，过点 作 ，垂足为点 ，直线 交 于点 ，则线段 的长度为 ．
