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专题 23.8 旋转中三种几何模型十一类题型（知识梳理与考点分类讲
解）
第一部分【模型图形归纳与题型目录】
【模型1】等边三角形旋转模型
在正 中， 为 内一点，将 绕 点按逆时针方向旋转 ，使得 与 重合。
经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的 、 、 三条线段集中于图（1-1-b）中的一个
中，此时 也为正三角形。
【模型2】正方形旋转模型
在正方形 中， 为正方形 内一点，将 绕 点按顺时针方向旋转 ，使得 与
重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的 、 、 三条线段集中于图（2-1-b）中的
中，此时 为等腰直角三角形。【模型3】等腰直角三角形旋转模型
在等腰直角三角形 中， ， 为 内一点，将 绕 点按逆时针方向旋
转 ，使得 与 重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个 为等腰直角三角形。
模型类型与题型目录
【模型1】等边三角形旋转模型
【题型1】利用等边三角形旋转模型求线段长....................................2
【题型2】利用等边三角形旋转模型求角度......................................6
【题型3】利用等边三角形旋转模型求面积......................................9
【题型4】利用等边三角形旋转模型进行推理....................................13
【模型2】正方形旋转模型
【题型5】利用正方形的旋转模型求角度........................................18
【题型6】利用正方形的旋转模型求线段长......................................21
【题型7】利用正方形的旋转模型求面积........................................24
【题型8】利用正方形的旋转模型进行推理......................................28
【模型3】等腰直角三角形旋转模型
【题型9】利用等腰直角三角形的旋转模型求角度或线段长........................32
【题型10】用等腰直角三角形的旋转模型进行推理...............................35
【题型11】拓展与延伸.......................................................38第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】利用等边三角形旋转模型求线段与面积
【例1】（2024九年级·全国·竞赛）如图， 为一个平面内的等边三角形，在同一个平面内有一点 ，
使得 ，则点 到点 的最大距离为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．
【答案】B
【分析】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质等知识，利用旋转构造全等三角形是解题的关
键．把 绕点A按逆时针方向旋转 ，得 ，则 ，连接 ，则
，证明 为等边三角形和 ，进一步即可得到答案．
解：如图，把 绕点A按逆时针方向旋转 ，得 ，则 ，连接 ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ 为一个平面内的等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，∴ ，
．
故选：B
【变式1】（2022·贵州黔东南·二模）如图，点P是等边三角形ABC内一点，且 ， ，
，则这个等边三角形ABC的边长为 ．
【答案】
【分析】将三角形BCP绕点B逆时针旋转60°得三角形BDA，过B作BH⊥直线AP于H，先证明三角形
BDP为等边三角形，利用勾股定理逆定理得∠DPA=90°，进而得∠BPH=30°，利用勾股定理解直角三角形
即可得答案．
解：将三角形BCP绕点B逆时针旋转60°，得三角形BDA，BC边落在AB上，过B作BH⊥直线AP于H，
如图所示，
由旋转知， BDP为等边三角形，AD=PC= ，
△
∴BP=PD=BD= ，∠BPD=60°，
∵PA= ，
∴ ，∴∠APD=90°，
∴∠BPH=30°，
∴BH= ，PH= ，
由勾股定理得：AB= ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定、勾股定理逆定理、旋转变换的应用等知识点，解题关键是
作旋转变换，将分散的条件集中在同一三角形中．
【变式2】（23-24九年级上·湖北武汉·期中）如图， 与 都是等边三角形，连接 ，
， ，若将 绕点C顺时针旋转，当点A、C、E在同一条直线上时，线段 的长为
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含30度
的直角三角形的性质，构造出直角三角形是解本题的关键．分两种情况：①当点E在 的延长线上时，
②当点E在 的延长线上时，分别画出图形，利用勾股定理，求解即可．
解：∵ ， 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是等边三角形， ，
∴ ，
①当点E在 的延长线上时，如图，过点B作 于G，则 ，在 中， ，
∴ ，
根据勾股定理得， ，
∴ ，
在 中，
根据勾股定理得， ；
②当点E在 的延长线上时，如图，过点B作 于H，则 ，
在 中， ，
∴ ，
根据勾股定理得 ，
∴ ，
在 中，
根据勾股定理得， ．
∴ 或 ．故选：D．
【题型2】利用等边三角形旋转模型求角度
【例2】（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，点 是等边三角形 内一点，且 ， ，
，若将 绕着点 逆时针旋转60度后得到 ，则 的度数是 ．
【答案】 / 度
【分析】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股
定理逆定理的应用，属于中考常考题型．
首先证明 为等边三角形，得 ，由 可得 ，在 中，已知三边，
用勾股定理逆定理证出得出 ，可求 的度数，由此即可解决问题．
解：连接 ，由题意可知
则 ， ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
又∵ ， ， ，
∴ ，∴ ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴
∴ ，
故答案为 ．
【点拨】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股
定理逆定理的应用，属于中考常考题型．
【变式1】（2024·山东聊城·一模）如图，在等边三角形 中，点D在边 上，连接BD，将BD绕点
B旋转一定角度，使得 ，连接 ．若 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，找到全等三角形是求解的关键；根据
，以及 可证 ，进而证得 为等边三角形，有 ，再根据
证 ≌ ，可得到 ，即可求出 为 ．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
在 和 中，∴ ≌
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【变式2】（2024·四川广元·二模）如图，在等边三角形 中，D是边 上的中点， ．将
绕点C顺时针旋转 ，得到 ，连接 ， ，当 时， 的大小
是 （ ）
A．60°或90° B．90°或120° C．60°或300° D．120°或150°
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理的逆定理等知识．利用勾股定理的逆定理
证明 ，分两种情形分别求解即可．
解：设 ，则 ， ， ，
，
，
①如图中，当点 在 的中点时，满足条件，此时 ；
②如图中，当点 落在 的中点时，满足条件，此时 ．综上所述，满足条件的 的值为 或 ．
故选：C．
【题型3】利用等边三角形旋转模型求面积
【例3】（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，P是等边三角形 内一点，将线段 绕点A顺
时针旋转 得到线段 ，连接 ．
(1)求证 ：
(2)若 ．求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析； (2)
【分析】（1）证明 ，可得结论；
（2）利用勾股定理的逆定理证明 是直角三角形即可，根据 ，求解即可．
解：（1）证明：如图1中，是等边三角形，
，
，
，
，
在 和 中，
，
∴ ，
；
（2）解：如图2中，连接 ，
，
是等边三角形，
，
，， ，
，
，
，
，
是直角三角形，
．
【点拨】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理
的逆定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
【变式1】（21-22八年级下·江西南昌·期中）如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP，BP，
CP，若AP=3，BP=4，CP=5，则S ABP+S BPC= ．
△ △
【答案】6+4❑√3
【分析】将 BPC绕点B逆时针旋转60°后得 BP'A，根据旋转的性质可得∠PBP′=∠CBA=60°，BP=BP′，
可得 BPP′为△等边三角形，可得BP′=BP=4=PP△'，再由勾股定理的逆定理可得 APP′是直角三角形，由三角
形的△面积公式可求解． △
解：如图，将 BPC绕点B逆时针旋转60°后得 BP'A，连接PP′，
△ △
根据旋转的性质可知，旋转角∠PBP′=∠CBA=60°，BP=BP′，
∴△BPP′为等边三角形，
∴BP′=BP=4=PP'；
过点P作PD⊥BP′于点D，
∴BD= BP′=2，
由勾股定理得PD=2❑√3，
∴S BPP= ×BP'×PD=4❑√3；
'
△
由旋转的性质可知，AP′=PC=5，
在 BPP′中PP′=4，AP=3，
由△勾股定理的逆定理得 APP′是直角三角形，
△
∴S ABP+S BPC=S APBP=S BPP+S APP=4❑√3+ ×PP'×AP=6+4❑√3，故答案为：6+4❑√3．
四边形 ' ' '
△ △ △ △
【点拨】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，作辅助线构造出等边
三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．
【变式2】（22-23八年级下·河南平顶山·期中）王老师将课本第89页11题进行了改编，如图等边三角形
边长为6，点D在直线 上，将 绕点A逆时针旋转，使得旋转后点B的对应点为C，点D的
对应点为E，设 ， 的面积为y，则y关于x的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点E作 于F，根据等边三角形的性质及旋转的性质求出 ，得到，利用勾股定理求出 ，即可得到问题的答案．
解：如图，过点E作 于F，
∵等边三角形 边长为6，
∴ ，
∴ ，
由旋转得
∴
∵
∴ ，
∴
∴ 的面积 ，故选：D．
【点拨】此题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，直角三角形中30度角的性质，勾股定理的应用，根
据图象的面积求函数解析式等知识与方法，正确地作出需要的辅助线是解题的关键．
【题型4】利用等边三角形旋转模型进行推理
【例4】（22-23八年级下·山东聊城·期末）在等边三角形 的内部有一点 ，连接 ， ，以点
为中心，把 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ．以点 为中心，把 顺时针旋转 得到
，连接 ， ．
(1)判断 和 的大小关系，并说明理由；
(2)求证： ；
(3)求证：四边形 是平行四边形．【答案】(1) ，理由见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析
【分析】（1）根据旋转的性质得 ， ，则可判断 为等边三角形，再利用
为等边三角形得到 ，则可得到 ；
（2）通过证明 得到 ；
（3）根据旋转的性质得 ， ，则可判断 为等边三角形，于是得到 ，
再与（2）的证明方法一样证明 得到 ，于是 ，加上 ，
从而可判断四边形 是平行四边形．
解：（1）解： ，
理由如下：
以点 为中心，把 逆时针旋转 得到 ，
， ，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
， ，
，
，
；
（2）证明：在 和 中，
，
，
；
（3）证明： 以点 为中心，把 顺时针旋转 得到 ，， ，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
由（1）可知：
，
由（2）可知： ，
又 ，
，
四边形 是平行四边形．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形
的判定等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【变式1】（2021八年级·全国·专题练习）如图， 为等边三角形，以 为边向外作 ，使
，再以点C为旋转中心把 旋转到 ，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②
平分 ；③ ；④ ．其中正确的有（ ）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】①设∠1=x度，把∠2=（60-x）度，∠DBC=∠4=（x+60）度，∠3=60°加起来等于180度，即可证
明D、A、E三点共线；
②根据△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，判断出△CDE为等边三角形，求出
∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°-60°=60°，可知DC平分∠BDA；
③由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，从而得到∠E=∠BAC．
④由旋转可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE为等边三角形，DC=DE=DB+BA．
解：如图，
①设∠1=x度，则∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度，
∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度，
∴D、A、E三点共线；故①正确；
②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，
∴CD=CE，∠DCE=60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠E=60°，
∴∠BDC=∠E=60°，
∴∠CDA=120°-60°=60°，
∴DC平分∠BDA；故②正确；
③∵∠BAC=60°，
∠E=60°，
∴∠E=∠BAC．故③正确；
④由旋转可知AE=BD，
又∵∠DAE=180°，
∴DE=AE+AD．
∵△CDE为等边三角形，∴DC=DB+DA．故④正确；
故选：D．
【点拨】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质等相关知识，要注意旋转不变性，找到变化过程中的
不变量．
【变式2】（2024·北京门头沟·一模）如图，在等边三角形 中，有一点P，连接 、 、 ，将
绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 、 ，有如下结论：① ；② 是等边三
角形；③如果 ，那么 ．以上结论正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】①根据等边三角形的性质得出 ， ，根据旋转的性质得出
，即可求证；②根据旋转的性质得出 ，即可证明 是等边
三角形；③根据等边三角形的性质得出 根据全等三角形的性质得出 ，则
，即可推出 ．
解：①∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ 绕点B逆时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，故①正确，符合题意；
②∵ 绕点B逆时针旋转 得到 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，故②正确，符合题意；
③∵ 是等边三角形，
∴
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，故③正确，符合题意；
综上：正确的有①②③，
故选：D．
【点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题
的关键的掌握旋转前后对应边相等；全等三角形的判定方法以及全等三角形对应角相等；等边三角形的判
定方法以及等边三角形三个角都是60度；直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．
【题型5】利用正方形的旋转模型求角度
【例5】（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，在正方形 中，E为 边上的点，连接 ，将
绕点C顺时针方向旋转 得到 ，连接 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正方形的性质及旋转的性质可得 是等腰直角三角形，再根据 ，即得
结果．
解：由旋转的性质得 ， ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段
的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
【变式1】（2021·陕西西安·模拟预测）如图，在正方形 内有一点P，若 ，则
的度数为 ．【答案】135°．
【分析】将 ABP绕着点A顺时针旋转90°得 ADP′,连结PP′，可得 ABP≌△ADP′,可证 APP′是等腰直角三
△ △ △ △
角形,可得∠AP′P=45°,由勾股定理得PP′= ,利用勾股定理逆定理可证 P′PD为直角三角形,
△
可得∠PP′D=90°,可求∠APB=∠AP′D=135°．
解：将 ABP绕着点A顺时针旋转90°得 ADP′,连结PP′
∴△ABP△≌△ADP′, △
∴AP′=AP=4,P′D=BP=7,∠AP′D=∠APB,
由旋转得∠PAP′=90°,
∴△APP′是等腰直角三角形,
∴∠AP′P=45°,
在Rt APP′中,
△
由勾股定理得PP′= ,
又∵P′P2+P′D2= ,
∴△P′PD为直角三角形,
∴∠PP′D=90°,
∴∠AP′D=∠AP′P+∠PP′D =45°+90°=135°,
∴∠APB=∠AP′D=135°．
故答案为:135°．【点拨】本题考查正方形性质，旋转变换，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理与勾股定理逆定理，利
用旋转变换构造全等,得到等腰直角三角形是解题关键．
【变式2】（2020·辽宁沈阳·一模）正方形ABCD，点P为正方形内一点，且满足PA=3， ，
PC=5，则∠APB的度数为 度．
【答案】135
【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后画出 绕点 旋转 得到的△ ，然后根据正方形
的性质和旋转的性质可以求得 和 的度数，然后即可得到 ，从而可以得到 的度
数．
解：将 绕点 旋转 得到△ ，则 ， ， ， ，
，
，
， ，
， ，
，
，
△ 是直角三角形， ，
，
，
故答案为：135．【点拨】本题考查正方形的性质、勾股定理的逆定理、旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，画出相
应的图形，利用数形结合的思想解答．
【题型6】利用正方形的旋转模型求线段长
【例6】（22-23九年级上·四川泸州·期中）如图，已知在正方形内有一点 ，连接 、 、 ，将
顺时针旋转 得到 ，连接 ，点 恰好在线段 上，若 ， ，则 的
长度为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据旋转的性质可得 ，从而可得
，进而可得 ，然后利用勾股定理求出 ，即可解答．
解：由旋转得：
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【变式1】（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，等边三角形 ，边长为6，点D为 边上一点，
，以D为顶点作边长为6的正方形 ，连接 ， ．将正方形 绕点D旋转，当 取
最小值时， 的长为 ．
【答案】8
【分析】过点A作 于M，由等边三角形的性质得出 ， ，得出
，在 中，由勾股定理得出 ，当正方形 绕点D旋转到点E、
A、D在同一条直线上时， ，即此时 取最小值，在 中，由勾股定理得出
，在 中，由正方形的边长及勾股定理即可得出 ．
解：过点A作 于M，
是等边三角形，边长为6，，
，
，
，
，
在 中， ，
当点E在DA延长线上时， ，此时 取最小值，
在 中， ，
正方形 的边长为6，
，
在 中， ，
故答案为：8．
【点拨】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最小值问题；熟练掌
握正方形的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
【变式2】（21-22九年级上·广西河池·期中）如图， 是正方形 内一点， ， ，
．则 的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】D
【分析】把△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP ，根据旋转的性质可得AP ＝PC，BP ＝BP，△PBP
是等腰直角三角形，利用勾股定理求出PP ，然后求出∠APP ＝90°，再利用勾股定理列式计算求出P A，
从而得解．解：如图，把△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP （点C的对应点C 与点A重合），
∴AP ＝PC，BP ＝BP＝1，
∴△PBP 是等腰直角三角形，
∴∠P PB＝45°，PP ＝ ，
∵∠APB＝135°，
∴∠APP ＝∠APB−∠P PB＝135°−45°＝90°，
在Rt△APP 中，AP ＝ ，
∴PC＝AP ＝3，
故选D．
【点拨】本题考查了旋转的性质，勾股定理以及正方形的性质的综合运用，作出辅助线构造出直角三角形
是解题的关键，也是本题的难点．
【题型7】利用正方形的旋转模型求面积
【例7】（21-22九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在正方形ABCD 中，AB＝4，点E在BC上，将线
段EA绕点E顺时针旋转90°，得到线段EF，连接DE，DF，CF，则 的值是 ﹔设BE＝x， DEF面
积为S，则S与x之间的关系式是 ．
【答案】
【分析】过点 作 交 的延长线与点 ，根据旋转的性质以及正方形的性质即可得，进而可得 是等腰直角三角形，即可求得 的值，根据 DEF面积等于
即可列出函数关系式．
解：如图，过点 作 交 的延长线与点 ，则 ，
四边形 是正方形，
，
,
设 ，则 ,
,
是等腰直角三角形，
；故答案为： ， ．
【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，二次函数的应用，
理解题意，添加辅助线是解题的关键．
【变式1】（20-21八年级下·湖南长沙·期中）如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C
的距离分别为2 、1、 ，则正方形ABCD的面积为 ．
【答案】13
【分析】将△ABP绕点B顺时针旋转90°得△CBE，连接PE，过点B作BH⊥PE于H，通过勾股定理逆定
理可证∠PEC＝90°，则∠BEC＝∠APB＝135°，可知点A、P、E三点共线，求出BH，AH的长度，利用勾
股定理即可．
解：将△ABP绕点B顺时针旋转90°得△CBE，连接PE，过点B作BH⊥PE于H，
∴BP=BE，∠PBE=90°，∠APB=∠CEB，AP=CE= ，
∴△BPE是等腰直角三角形，
∴ ，∠BEP=∠BPE=45°
∵PE2+CE2=（ ）2+（2 ）2=10，
PC2=（ ）2=10，
∴PE2+CE2=PC2，
∴∠PEC=90°，
∴∠BEC=∠APB=135°，∴∠APB+∠BPE=135°+45°=180°，
∴点A、P、E三点共线，
∵PE= ，
∴PH=BH= ，
∴AH=AP+PH= ，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：
AB2=BH2+AH2=（ ）2+（ ）2=13，
∴正方形ABCD的面积为：13．
故答案为：13．
【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，三线合一定理，旋转的
性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
【变式2】（20-21八年级下·山东威海·期中）如图， 是正方形 内一点， ， ，
，则 °．正方形 的面积是 ．
【答案】
【分析】将三角形ABP绕点B顺时针旋转90°得到三角形CBE，过点B作BH⊥CE，交CE延长线于H，先利用勾股定理求出 ，∠BPE=∠BEP=45°，然后利用勾股定理的逆定理得到
∠PEC=90°从而得到BEP=∠EBH=45°，∠APB=∠BEC=180°-∠BEH=135°，再利用勾股定理BH，CH，即可求
得BC，从而求解.
解：如图，将三角形ABP绕点B顺时针旋转90°得到三角形CBE，过点B作BH⊥CE，交CE延长线于H
∴BP=BE=4，CE=AP=7，∠PBE=90°，∠APB=∠BEC
∴由勾股定理得： ，∠BPE=∠BEP=45°
∵ ，
∴
∴∠PEC=90°
∵PH⊥EC
∴∠BHC=90°
∴PE∥BH
∴∠BEP=∠EBH=45°
∴BH=HE，∠APB=∠BEC=180°-∠BEH=135°
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴正方形的面积为
故答案为：135°， .【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关
键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
【题型8】利用正方形的旋转模型进行推理
【例8】（20-21八年级下·北京平谷·期末）如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将
射线AP绕点A逆时针旋转45°，得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于点
F，连接DF．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）补全图形见解析；（2）BE+DF=EF，证明见解析．
【分析】（1）根据题意补全图形即可．
（2）延长FE到H,使EH=EF，根据题意证明△ABH≌△ADF，然后根据全等三角形的性质即可证明．
解：（1）补全图形
（2）BE+DF=EF．
证明：延长FE到H,使EH=EF∵BE⊥AP，
∴AH=AF，
∴∠HAP=∠FAP=45°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，
∠BAD=90°
∴∠BAP+∠2=45°，
∵∠1+∠BAP=45°
∴∠1=∠2，
∴△ABH≌△ADF，
∴DF=BH，
∵BE+BH=EH=EF，
∴BE+DF=EF．
【点拨】此题考查了正方形的性质和全等三角形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线．
【变式1】如图，已知正方形 ， ， 是 中点， 平分 交 于点 ，将
绕点 顺时针旋转 得 ，则下列结论中：① ；② ；③ 平分 ；
④ ；⑤ ．正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①③④
【答案】B【分析】过点F作FM⊥AD于M，FN⊥AG于N，易证四边形CFMD是矩形及AE,再由旋转性质得G、B、C共
线及AG,再由角平分线性质得∠GAF=DAF及FM=FN,然后由 求出GF，进而求得
CF，再经过分析推理即可得出结论．
解：过点F作FM⊥AD于M，FN⊥AG于N，如图，
∵四边形ABCD是正方形， ， 是 中点，
∴∠D=∠C=∠ABC=90º，BC=AD=CD=AB=4，DE=CE=2，
∴四边形CFMD是矩形，且 ，
∴FM=CD=4，
∵将 绕点 顺时针旋转 得 ，
∴ ，故①正确；
且AG=AE= ，BG=DE=2，∠DAE=∠BAG，∠D=∠BAG=90º，
∴点G在CB的延长线上，
∵ 平分 交 于点 ，
∴∠EAF=∠BAF，
∴∠DAE+∠EAF=∠BAG+∠BAF即∠DAF=∠GAF，
∴ 平分 ，故③正确；
∴FN=FM=4，
∵ ，
∴GF= ，故④错误；
∴BF= ，
CF=BC+BG-BF= ，故⑤正确；
又AE≠AB≠BF,，
∴ 不成立，故②错误，
∴正确的序号为①③⑤，
故选：B．【点拨】本题是一道综合性很强的填空题，涉及正方形的性质、旋转的性质、角平分线的性质、勾股定理、
等面积法求线段长、全等三角形的判定等知识，熟练掌握基本图形的性质及运用它们解决问题是解答的关
键．
【变式2】（23-24九年级上·广东东莞·期中）正方形 的边长为 ， ， 分别是 ， 边上的
点，且 ．将 绕点 逆时针旋转 ，得到 ．
(1)求证： ；
(2)当 时，求 的长．
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）由旋转的性质可知， ， ；由 和四边形 是正方形，
可得 ，从而得出 ，利用 得出 ，即可求解；
（2）由 得 ，正方形 的边长为 ，从而求出 ，根据
求出 的长，设 ，则 ，在 中，由
勾股定理得：
，即可求解．
解：（1）证明： ，
，
由旋转的性质可知， ， ，
，
，
，，
，
；
（2）解：设 ，
， ，
，
，
，
在 中，由勾股定理得：
，即 ，
解得： ，
则 ．
【点拨】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟
练掌握相关的定理及性质．
【题型9】利用等腰直角三角形的旋转模型求角度
【例9】如图所示，在等腰直角三角形 中， ，将 绕点 逆时针旋转 后得到的
，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，先由等腰直角三角形的性质得到
，再由旋转的性质可得 ，据此可得答案．
解：∵在等腰直角三角形 中， ，∴ ，
由旋转的性质可得 ，
∴ ，
故选：A．
【变式1】（2024·重庆大渡口·一模）如图， 和 是等腰直角三角形， ，
的边AF，AG交边BC于点D，E．若 ， ，则AD的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转全等和勾股定理解三角形，将 顺时针旋转 到 位置，得到直角三
角形 ，可求出 ，再证明 ，得到 ，进而求出
，过点A作 ，由等腰三角形三线合一和直角三角形斜边中线等于斜边一半
得出 ，再在直角三角形 求出 ．
解：如图，将 绕点A顺时针旋转 到 位置，连接
∵ 和 是等腰直角三角形， ，
∴ ， ，
由旋转性质可知： ， ， ，
∴ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过点A作 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为 ．
【点拨】本题涉及了旋转的性质、半角模型、构造全等三角形转换线段关系和勾股定理，解题关键是通过
旋转构造全等三角形得到 ，由 求出 ．
【变式2】（2021·河南信阳·模拟预测）如图，在 中， ， ，以 为边作等腰直角
三角形 （ 为直角顶点， 、 两点在直线 的两侧），线段 长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由旋转的性质可得 ， ， ，由等腰直角三角形的性质
可得 ，由三角形的三边关系可求解．
解：如图，将 绕点 顺时针 ，得到 ，连接 ，≌ ， ，
， ，
，
在 中， ，
当点 在 上时， 的最大值 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系，添加恰当辅助线构造全等
三角形是解题的关键．
【题型10】用等腰直角三角形的旋转模型进行推理
【例12】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）在 中， ，点D为 中点，
， 绕点D旋转， 分别与边 交于E，F两点．下列结论：①
；② ；③ ；④ 始终为等腰直角三角形，其中
正确的个数有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，
三角形的面积公式的运用，连接 ，根据等腰直角三角形的性质就可以得出 ，就可以得
出 ，进而得出 ，就有 ，由勾股定理就即可求出结论．
解：连接 ，
，
点D为 中点， ，
． ， ．
，
，
．
在 和 中，
，
，
， ．
，
，
．
，
．
，
，．
， ，
始终为等腰直角三角形．
，
．
，
．
∴正确的有4个．
故选：D．
【变式1】（22-23九年级上·天津滨海新·期中）将两块斜边长度相等的等腰直角三角形板如图①摆放，如
果把图①中的 绕点C逆时针旋转 得 ，连接 ，如图②．下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形全等的判定方法一一进行判断即可得到答案．
解：∵ 和 是等腰直角三角形，且斜边相等，
∴ ，
∴ (ASA) ，
故选项A正确；
根据旋转的性质可得 ，
故选项B正确；
∵ ， ， 并不一定相等，∴ 不一定全等，
故选项C错误；
∵ ，
∴ ,
∵ ,
∴ ，
∴ ，
∴ ,
∵ ，
∴ ，
故选项D正确；
故选C．
【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质和全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等
三角形的判定方法．
第三部分【拓展延伸】
【题型10】拓展延伸
【例1】如图，P在等边△ABC内且∠APC＝120°，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将 APC旋转60°到 ADB，由于要求 的最小值，我们不断让PA变大，点P往下移，如图1，
△ △根据直角三角形中斜边比直角边大，当PE与PB重合时取到最小值，如图2，当PA⊥PB时，取到最小值，
此时PA∥BD，PA＝PD，且∠PDB＝60°，可得 的最小值．
解：将 APC旋转60°到 ADB，由于要求 的最小值，我们不断让PA变大，点P往下移，如图1，
△ △
当CP⊥AB时，PA＝PB， ＝1， ＝ ，
根据直角三角形中斜边比直角边大，当PE与PB重合时取到最小值，
如图3，当PA⊥PB时，取到最小值，此时PA∥BD，PA＝PD，且∠PDB＝60°，
可得 ＝ ．
故选：D．
【点拨】本题考查等边三角形的性质，垂线段最短，旋转变换等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中压轴题．
【例2】（2024九年级·全国·竞赛）如图， 和 都为等腰直角三角形，点 在 上，点 在
的延长线上， ，现将 绕点 旋转 ，得到 ，连接
，过点 作 ，垂足为点 ，直线 交 于点 ，则线段 的长度为 ．
【答案】 或
【分析】分 按顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论，过点 作 ，垂足为点 ，过点
作 交 的延长线于点 ，连接 ，利用勾股定理，含30度角的直角三角形的特征求出，根据等面积法求出 ，证明 ，得到 ，
易得四边形 为平行四边形，利用平行四边形对角线互相平分的性质即可求解．
解：如图1和图2，过点 作 ，垂足为点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接
，
则有 ，得 ，
，
由等面积法有 ；
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形 为平行四边形，
，
在图1中， ，
在图2中，同理得： ．【点拨】本题考查几何变换综合应用，涉及等腰直角三角形的性质及应用，全等三角形的判定与性质，勾
股定理，平行四边形的判定与性质，直角三角形的特征，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决
问题．
