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专题12 解直角三角形之实际应用模型
解直角三角形是中考的重要内容之一（也可理解为相似三角形的一种特殊情况），直角三角形边、角
关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为
解直角三角形问题，在解直角三角形时要注意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、
角不在直角三角形中，应先添加辅助线,构造直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直
角三角形的实际应用模型。
【知识储备】
B B
C
c 60° a c 45° a b 1 C 20° b 10 C 5° a b 75° a
a
A 30° b C A 45 b ° C A 30° c 30° B A 30° c 45° B A 45° c 60° B
图1 图2 图3 图4 图5
如图1，30°-60°-90°三边比值 ； 如图2，45°-45°-90°三边比值
3，30°-30°-120°三边比值 ；如图4，30°-45°-105°三边比值
如图
5，45°-60°-75°三边比值 。
如图
上面五个结论在于运用勾股定理和方程，当然也可用三角函数。其实三角函数相关题目的辅助线也是
类似，即作垂线，把角放在直角三角形中来研究。希望同学能够自己动手计算并研究记忆这些特殊角
度三角形的三边比值，这些结论在选填题特别好用。
....................................................................................................................................................2
模型1.背靠背模型...........................................................................................................................................2
模型2.母子模型...............................................................................................................................................6
模型3.拥抱模型.............................................................................................................................................12..................................................................................................................................................16
模型1.背靠背模型
背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，
其中公共边（高）CD是解题的关键。
图1 图2 图3 图4 图5
重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB；
如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF；
如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。
例1．（2024·陕西·模拟预测）小乐同学家住大楼甲中，某个周末，他站在阳台眺望远方，当看到正对面的
大楼乙时，陷入了思考：对面的大楼乙有多高？于是小乐做了一个简易的测角仪用来观测大楼乙的顶端与
底端．如图，小乐家在点 处，当他抬头观察大楼乙的顶端 时，记其仰角为 ，观测大楼乙的底端 时，
记其俯角为 ，整理所测数据： ， ．已知甲、乙两栋大楼的间距为 ．请根据题目数
据帮助小乐计算出大楼乙的高度．（图中所有点在同一个平面内， ， ，结果保留根号）例2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，一幢居民楼 后面有一处斜坡 ，已知斜坡的坡角 ，
斜坡 长 ，一人站在坡面的顶端A处看居民楼顶端C点，仰角为 ，而居民楼底端距离坡面底端
长 ，请根据以上数据求居民楼的高度．（参考数据： ， ，
）
例3．（2024·湖北·模拟预测）在某小区内有两栋楼房（A楼在B楼的左侧）从A楼向B楼的楼底看去，若
视线大地的夹角 ，从B楼向A楼楼顶的最左侧看去，视线与楼顶的夹角 ，若两楼楼体均
与地面垂直，两楼楼体均宽5米，A楼高 米，求B楼的高．（可能有用的数据： 、
、 ）
例4．（2024·山东威海·中考真题）某校九年级学生开展利用三角函数解决实际问题的综合与实践活动，活
动之一是测量某护堤石坝与地平面的倾斜角．测量报告如下表（尚不完整）
课题 测量某护堤石坝与地平面的倾斜角
成员 组长：××× 组员：×××，×××，×××测量工具 竹竿，米尺
说明： 是一根笔直的竹竿．点 是竹竿上
测量示意图 一点．线段 的长度是点 到地面的距离．
是要测量的倾斜角．
测量数据
…… ……
(1)设 ， ， ， ， ， ， ， ，请根据表中的测量示意
图，从以上线段中选出你认为需要测量的数据，把表示数据的小写字母填写在“测量数据”一栏．
(2)根据（ ）中选择的数据，写出求 的一种三角函数值的推导过程．
(3)假设 ， ， ，根据（ ）中的推导结果，利用计算器求出 的度数，
你选择的按键顺序为________．
模型2.母子模型
图1 图2 图3 图4
母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公
共边BC是解题的关键。
重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB；
如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。图5 图6 图7 图8 图9
如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG；
如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG；
如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。
例1．（2024·陕西西安·模拟预测）由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于 年 月成功完
成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达 处时，测得小岛 位于它的北偏东 方向，
航母再航行 海里到达 处，此时测得小岛 位于它的北偏东 方向．如果航母继续航行至小岛 的正南
方向的 处，求还需航行的距离 的长． 参考数据： ， ， ，
， ，
例2．（2023·重庆·一模）为推动“公园大渡口，多彩艺术湾”建设，我区新建了多个公园，如图，某公园
有一个湖泊，沿湖修建了四边形 人行步道．经测量，点B在点A的正东方向；点D在点A的正北方
向， ；点C在点B的北偏东 方向，在点D的北偏东 方向， ．
（参考数据： ， ）
(1)求步道 的长度（精确到个位）；(2)小王每天步行上学都要从点A到点C，他可以从点A经过点B到
点C，也可以从点A经过点D到点C，请计算说明他走哪一条路较近？例3．（2024·新疆昌吉·模拟预测）北庭故城建于唐代，见证了新疆自古以来就是祖国不可分割的一部分，
废墟最高处如图所示是故城地标建筑之一，当初是为了防御外敌所建的瞭望角楼．此楼底部距离地平线高
度 为 米，小明在地面A点处测得残楼低N的仰角是 ，由A往前走30米至点B处，测得的残顶
P的仰角是 ，请求出瞭望角楼 的高度（精确到1米）．（ ， ，
）
例4．（2024·广东广州·模拟预测）如图，小乐和小静一起从点 出发去拍摄木棉树 ．小乐沿着水平面
步行17m到达点 时拍到树顶点 ，仰角为 ；小静沿着坡度 的斜坡步行13m到达点C时拍到
树顶点F，仰角为 ，那么这棵木棉树的高度约（ ）m．（结果精确到1m）（参考数据： ，
， ）A．22 B．21 C．20 D．19
例5．（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是南昌八一起义纪念塔，象征着革命的胜利．某校数学社团的
同学们欲测量塔的高度．如图2，他们在第一层看台 上架设测角仪 ，从 处测得塔的最高点 的仰
角为 ，测出 ，台阶可抽象为线段 ， ，台阶的坡角为 ，测角仪 的
高度为 ，塔身可抽象成线段 ．(1)求测角仪 与塔身 的水平距离；
(2)求塔身 的高度．（结果精确到 ）（参考数据： ， ， ，
）
例6.（2024·贵州贵阳·二模）长期以来，冰雪运动被称为“高岭之花”．如图所示，滑雪轨道由
两部分组成，轨道 的长度都为200米，若AB与水平面的夹角 ， 与水平面的夹角
． (参考数据： ， ，结果精确到1米)
(1)求轨道拐点B到轨道底端C的水平距离；(2)若小星沿此轨道，从A处滑到C处，求小星下降的高度 ．模型3.拥抱模型
拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。
图1 图2 图3 图4
重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE；
如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。
例1．（2024·河北·校考一模）如图，在一居民楼AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点
恰好看到塔的底部D点，且俯角α为38°．从距离楼底B点2米的P处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C
点，且仰角β为28°．已知树高EF＝8米，求塔CD的高度．（参考数据：sin38°≈0.6，cos38°≈0.8，
tan38°≈0.8，sin28°≈0.5，cos28°≈0.9，tan28°≈0.5）例2．（2024·山东菏泽·模拟预测）北京冬奥村的餐厅由机器人送餐．一送餐机器人从世界餐台 处向正南
方向走 米到达亚洲餐台 处，再从 处向正东方向走 米到达中餐餐台 处，然后从 处向北偏西
走到就餐区 处，最后从 回到 处，已知就餐区 在 的北偏东 方向，求中餐台 到就餐区
（即CD）的距离．（结果保留整数，参考数值： ， ， ， ，
， ）
例3．（2024·四川自贡·模拟预测）如图，小明为了测量小河对岸大树 的高度，他在点A处(点G、A、
C在同一水平线上)测得大树顶端B的仰角为 ，沿着坡度 的斜坡 走6米到达斜坡上点D处，
此时测得大树顶端B的仰角为 ，点A、B、C、D在同一平面内．参考数据： ， ，
， ， ）(1)填空： _____ ；(2)求斜坡上点D到 的距离；(3)求大树 的高度（结果精确到 米）．
1．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房 的高度，在水平地
面 处安置测角仪测得楼房 顶部点 的仰角为 ，向前走20米到达 处，测得点 的仰角为 ，
已知测角仪 的高度为1米，则楼房 的高度为（ ）（ ）A． B． C． D．
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在龟山附近的小山 的顶部有一座通讯塔 ，点 位于同
一直线上．在地面 处，测得塔顶 的仰角为 ，塔底 的仰角为 ．已知通讯塔 的高度为29米，
则小山 的高度为 米．（结果取整数，参考数据： ．）
3．（2024·甘肃·中考真题）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实
现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，
“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的
实践活动．如图，已知一风电塔筒 垂直于地面，测角仪 ， 在 两侧， ，点C
与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为 ，在F处测得筒
尖顶点A的仰角为 ．求风电塔筒 的高度．（参考数据： ， ， ．）4．（2024·吉林·中考真题）图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉
塔，此时飞行高度 ，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角 ，看塔底D的俯角
，求吉塔的高度 （结果精确到0.1m）．（参考数据： ， ，
）
5．（2024·安徽·中考真题）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点 处发出，
经水面点 折射到池底点 处．已知 与水平线的夹角 ，点 到水面的距离 m，点
处水深为 ，到池壁的水平距离 ，点 在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平
面内．记入射角为 ，折射角为 ，求 的值（精确到 ，参考数据： ，
， ）．
6．（2024·湖北·中考真题）小明为了测量树 的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：
方案一：如图（1），测得 地与树 相距10米，眼睛 处观测树 的顶端 的仰角为 ：
方案二：如图（2），测得 地与树 相距10米，在 处放一面镜子，后退2米到达点 ，眼睛 在镜
子 中恰好看到树 的顶端 ．已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树 的高度．（结果保留整数， ）
7．（2024·陕西·中考真题）如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为 ，小明想利用这个观
景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角
，再在 上选一点B，在点B处测得C点的仰角 ， ．求山顶C点处的海拔
高度．（小明身高忽略不计，参考数据： ， ， ）
8．（2024·四川泸州·中考真题）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向
上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西 方向上，再沿北偏东 方向继
续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西 方向上．已知A，C相距30n mile．求C，D
间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．
9．（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东 方向，且
A，B相距 海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东 方向、灯塔B的正北方向．(1)求B，C两处的距离；(2)该渔船从C处沿北偏东 方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发
出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东 方向，便立即以18海里/小时的速度沿
方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．
（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据： ， ）
10．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，小明家A与商店C与小刚家D在一条直线上，点B为学校，
学校B在小明家北偏东 方向．在商店C北偏西 ，且刚好在小刚家西北方向， 千米（参考数据
， ， ）．(1)求小明家到学校的距离（答案保留整数）；
(2)一天，小明和小刚约定去学校打篮球，小明计划先打车从家去商店购买文具再沿路线 继续打车去学
校与小刚汇合，小明在商店C选文具耽误了3分钟，而小刚骑上自己的电瓶车也从家出发按 沿路线
直接到学校，小明和小刚同时出发，其中小明打车的速度为 （等待车的时间忽略不计，两次打
车速度相同），谁先到学校？并说明理由．
11．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中 ，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里
的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东 方向缓慢前进．15分
钟后，他们再游客中心A的北偏西 方向的点D处相遇．(1)求妈妈步行的速度；(2)求明明从C处到D处
的距离．
12．（2024·湖南·模拟预测）慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然䇯立，雄视洞庭
湖，成为“巴陵胜状”之一．某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，
并写出如下项目报告：
课题 测量慈氏塔的高度
测量工具 测角仪、无人机等
测量示意图
如图②，测量小组使无人机在点 处以 的速度竖直上升 后，飞行至点 处，在点
测量过程 处测得塔顶 的俯角为 ，然后沿水平方向向左飞行至点 处，在点 处测得塔顶 和
点 的俯角均为
点 均在同一竖直平面内，且点 在同一水平线上， ．结果精确到
说明
．参考数据：
(1)求无人机从点 到点 处的飞行距离；(2)求慈氏塔 的高度．
13．（2024·安徽·模拟预测）某超市自动扶梯路线如图所示，一楼扶梯 段坡角为 ，中转平台
，二楼扶梯 段坡角为 ，已知 ， ， ，求水平距离 的长．（结果精确到 ，参考数据： ， ， ， ）
14．（2024·湖南长沙·模拟预测）为推进《学生出入校门智能管理方案》的实施，图1是某校安装的人脸
识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头 的仰角、俯角均为
，摄像头高度 ，识别的最远水平距离 ．（计算结果精确到 ）
(1)头部高度为 、身高 的小帅站在离摄像头水平距离 的点 处，请问小帅最少需要下蹲
多少厘米才能被识别？
(2)头部高度为 ，身高 的小美踮起脚尖可以增高 ，但仍无法被识别，若学校工作人员及时
将摄像头的仰角、俯角都调整为 ，此时小美能被识别吗？请计算说明．（参考数据： ，
， ， ， ，
15．（2024·重庆南岸·模拟预测）春天是踏青的好季节，小明和小华决定去公园出游踏青．如图，已知为公园入口，景点 位于 点东北方向 米处，景点 位于 点南偏东 方向，景点 在景点 的
正北方向，景点 既位于景点 正东方向310米处，又位于景点 的北偏西 方向．景点 既位于景点
的正东方向，又位于景点 的正南方向． 米．(1)求 的长；（精确到个位）(2)小明选择了游
览路线①： ，小明行驶的平均速度是72米/分，小明在景点 处各停留了10分钟、5分钟．
小华选择了游览路线②： ，小华行驶的平均速度为96米/分．小华在景点 处各停留了9
分钟、8分钟．请通过计算说明：小明和小华谁先到达景点 处．
（参考数据： ）
16．（2024·浙江·模拟预测）在小组实践活动中，需要测量某建筑内从A点到D点距离，由于 之间有
障碍物，小明准备利用所学的平面镜成像知识来解决问题．于是他在建筑物直角拐角 处放置一个平
面镜 (如图所示)，经测量，他发现 与墙面AB所成的角即 墙面 ，
当小明站在点C处，与点A距离 ，且点C在 上， 连线与 平行时，他通过平面镜可观察到点
D．你能帮小明算一下点D距离点A多远吗？（结果精确到 ，参考数据：
）17．（2023·山东青岛·二模）如图，显示器的宽 为22厘米，支架 长14厘米，当支架与显示器的夹
角 ，支架与桌面的夹角 ，测得 长为2厘米，求显示器顶端到桌面的高度 的长
（ ， ， ）
18．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，某工程队准备在山坡(山坡视为直线l)上修一条路，需要测量山坡
的坡度，即 的值．测量员在山坡P处(不计此人身高)观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角
为 塔底 B 的仰角为 ．已知塔高 米，塔所在的山高 米， 米， 图中的
点O， B， C， A， P在同一平面内．
(1)求P到 的距离；
(2)求山坡的坡度 ．（参考数据∶ ， ， ， ）
19．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）在课堂上，同学们已经学习了一些测量距离的方法．小刚想尝试利用无人机测量一河某处的宽度．如图所示，小刚站在河岸一侧的D点操控无人机，操纵器距地面距
离 米，在河对岸安放了一标志物F点，无人机在点D正上方的点A，无人机的飞行速度为7米/秒，
无人机匀速水平飞行4秒到达点B，此时，小刚手里的操纵器测量无人机的仰角为 ，然后无人机又继续
以同样的速度水平飞行12秒到达点C，测得点F的俯角为 （点A，B，C，D，E，F在同一平面内）
(1) ______米， ______ ；(2)求无人机的飞行高度；
(3)求河宽 的距离．（参考数据： ， ， ）
20．（2024·山东·校考二模）如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好
看到塔的底部D点，且俯角α为45°，从楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且
仰角β为30°.已知树高EF=6米，求塔CD的高度（结果保留根号）.21．（2024·陕西西安·模拟预测）如图是某路段路灯的示意图，灯杆 长0.6m，灯柱 与灯杆 的夹
角为 ．为节能环保并提高路灯的照明效果，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域 的长为12.3
，从D，E两处分别测得路灯A的仰角为 和 ，求灯柱 的高度（参考数据： ，
， ）．
22．（2024·四川成都·二模）泰姬陵是世界知名的古建筑，被列为“世界文化遗产”．如图所示，为了估
测泰姬陵的高度，在泰姬陵的正东方向选取高为 参照物 ，在它们之间的地面上选取点E（B，E，D
三点共线），在点E处测得A处、C处的仰角分别是 和 ，在A处测得C处的仰角为 ，求泰姬陵
的高度．（结果精确到 ，参考数据： ， ， ， ，
）．
