文档内容
12.1 全等三角形
夯实基础篇
一、单选题：
1．观察下面的6组图形，其中是全等图形的有（ ）
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
【答案】B
【解析】
【分析】
根据全等图形的定义进行判断即可．
【详解】
解：观察图①④⑤⑥四组图形经过平移、旋转、对折后能够完全重合，是全等图形，共4组，
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等图形的定义，能够完全重合的图形是全等形，难度不大．
2．下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形的周长和面积分别相等 B．全等三角形是指形状相同的两个三角形
C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．所有的等边三角形都是全等三角形
【答案】A
【解析】
【分析】
根据全等三角形的定义和性质依次分析各项即可判断．
【详解】
解：A，全等三角形的周长和面积分别相等，说法正确，故此选项符合题意．
B，全等三角形是指形状相同的两个三角形，还有大小相等，故此选项不符合题意．
C，全等三角形是指面积相等的两个三角形，应大小相等形状相同，故此选项不符合题意．D，所有的等边三角形都是全等三角形，大小不一定相等，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的定义和性质，基础应用题，熟练掌握全等三角形的定义和性质是解此题的关
键．
3．在 中， ， 分别是 ， 上的点， ，则 的度数
（ ）
A．15 B．20 C．25 D．30
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 ，得 ，再利用直角三角形中两个锐角互余即可得出.
【详解】
解：∵
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，直角三角形两个锐角和等于90°，掌握全等的性质是解题的关键.
4．如图， ，D在 边上， ， ，则 的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．65°
【答案】D【解析】
【分析】
由 可知 ， 是△ADC的一个外角，已知与它不相邻的两个内角，即可
求出 的度数．
【详解】
∵
∴
∵在△ADC中， ，
∴ =30°+35°=65°
故选：D
【点睛】
本题只要你考查了三角形的全等的性质，掌握全等三角形对应角相等以及三角形的一个外角等于与它不相
邻的两个内角之和是解题的关键．
5．如图， ，下列等式不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质得出 ， ， ， ，再逐个判断即可．
【详解】
解： ，
， ， ， ，
，
，
即只有选项 符合题意，选项A、选项B、选项C都不符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
6．如图，若 则下列结论中不成立的是（ ）
A． B． C．DA平分 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质得出∠B＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠E＝∠C，再逐个判断即可．
【详解】
解：A．∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC＝∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，故本选项不符合题意；
B．如图，∵△ABC≌△ADE，
∴∠C＝∠E，
∵∠AOE＝∠DOC，∠E＋∠CAE＋∠AOE＝180°，∠C＋∠COD＋∠CDE＝180°，
∴∠CAE＝∠CDE，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＝∠CDE，故本选项不符合题意；
C．∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠ADE，AB＝AD，
∴∠B＝∠BDA，
∴∠BDA＝∠ADE，
∴AD平分∠BDE，故本选项不符合题意；
D．∵△ABC≌△ADE，
∴BC＝DE，故本选项符合题意；
故选：D．【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质是解此
题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
二、填空题：
7．一个三角形的三边为2、5、x+2y，另一个三角形的三边为2x+y、2、4，若这两个三角形全等，则x+y
＝_____．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据全等三角形对应边相等相加即可得解．
【详解】
∵两个三角形全等，∴x+2y=4，2x+y=5，两式相加得：3x+3y=9，∴x+y=3．
故答案为3．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，比较简单，准确确定对应边是解题的关键．
8．已知△ABC≌△DEF，∠A＝40°，∠E＝80°，则∠C＝___．
【答案】60°
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质，得∠B＝∠E＝80°，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠E＝80°
∵∠A＝40°
∴∠C＝180°-∠A-∠B＝60°
故答案为：60°．
【点睛】本题考查了全等三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、三角形内角和的性质，
从而完成求解．
9．如图，已知△ABC与△DEF全等，且∠A＝72°、∠B＝45°、∠E＝63°、BC＝10，EF＝10，那么∠D＝
_____度．
【答案】
【解析】
【分析】
ABC中，根据三角形内角和定理求得∠C＝63°，那么∠C＝∠E．根据相等的角是对应角，相等的边是对
△应边得出△ABC≌△DFE，然后根据全等三角形的对应角相等即可求得∠D．
【详解】
解：在△ABC中，∵∠A＝72°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝63°，
∵∠E＝63°，
∴∠C＝∠E．
∵△ABC与△DEF全等，BC＝10，EF＝10，
∴△ABC≌△DFE，
∴∠D＝∠A＝72°，
故答案为72．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质；注意：题目条件中△ABC与△DEF全等，但是没有明确对应顶点．得出
△ABC≌△DFE是解题的关键．
10．如图， ．若AD＝8，BC＝3，则AB的长是________．【答案】2.5
【解析】
【分析】
根据全等三角形对应边相等可得 ，再求出 ，然后代入数据进行计算即可得解．
【详解】
解： ，
，
，
即 ，
， ，
．
故答案为：2.5．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应顶点的字母写在对应位置上确定出对应边，然后求出
是解题的关键．
11．如图， ， ， ，则 ________．
【答案】70°
【解析】
【分析】
先根据三角形内角和定理求出∠BAE的度数，然后根据全等三角形对应角相等解答即可．
【详解】
解：∵∠B=50°，∠AEB=60°，
∴∠BAE=180°-∠B-∠AEB=180°-50°-60°=70°，
∵△ABE≌△ACD，
∴∠DAC=∠BAE=70°．故答案为：70°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，准确找出对应角是解题的关键．
12．如图， ，且 ， ， ， ____ ．
【答案】95
【解析】
【分析】
由全等三角形的性质可得 ，进而可求出 ，然后利用三角形外交的性质求解即可．
【详解】
解： ，
，
， ，
，
，
故答案为：95．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解答本题的关键．
三、解答题：
13．如图，△ABC≌△ADE，延长BC交AD、DE于点F和点G，∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，
∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．【答案】90°，65°
【解析】
【分析】
先根据全等三角形的性质得∠BAC=∠DAE，由于∠DAE+∠CAD+∠BAC=120°，则可计算出∠CAB=55°，
根据三角形外角性质可得∠DFB=∠BAF+∠B=90°，据此即可解答．
【详解】
解：∵△ABC≌△ADE
∴∠B=∠D=25°，∠EAD=∠CAB
又∵∠EAB=120°
∴∠CAB=（∠EAB－∠CAD）÷2=（120°－10°）÷2=55°，
∵∠DFB=∠CAD＋∠CAB+∠B
∴∠DFB=10°＋55°＋25°=90°
∴∠ACB=180°－∠B－∠CAB =180°－25°－55°=100°
又∵∠DGB=∠DFB－∠D
∴∠DGB=90°－25°=65°
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，
应用时要会找对应角和对应边．
14．如图，已知 ，点 、 在线段 上．
（1）线段 与 的数量关系是：_________，判断该关系的数学根据是： （用文字
表达）；
（2）判断 与 之间的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）相等（或写 ），全等三角形的对应边相等；（2） ，见详解
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的性质即可解答（2）根据两个三角形全等得 ，然后根据等角的补角相等，得出 ，根据平行
的判定条件：内错角相等，两直线平行即可证明
【详解】
（1）∵
∴AD=BC
根据全等三角形的对应边相等
故答案为：相等（或写 ）
全等三角形的对应边相等
（2）猜想： ．
理由：
∵ ，
∴ ，
∵∠ADB=180°－∠ADF
∠CBD=180°－∠CBE
∴ ，
∴
故答案为
【点睛】
本题考察全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，以及平行四边形的判定条件：内错角相等，两直
线平行，熟练掌握性质和判定是解题的关键
15．如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，
BD＝4cm，求
(1)DE的长；
(2)∠BAC的度数．
【答案】(1) ；
(2)【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据垂直的定义得到∠D＝90°，求得∠DBA+∠BAD＝90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA＝
∠CAE等量代换即可得到结论．
（1）解：∵△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，∴AE＝BD＝4cm，∴DE＝AD+AE＝6cm．
（2）∵BD⊥DE，∴∠D＝90°，∴∠DBA+∠BAD＝90°，∵△ABD≌△CAE，∴∠DBA＝
∠CAE∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠BAC＝90°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
能力提升篇
一、单选题：
1．如图，已知 ， 平分 ，若 ， ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义得到∠ACD=∠BCD= ∠BCA，根据全等三角形的性质得到∠D=∠A=30°，根据三角
形的外角性质、全等三角形的性质解答即可．
【详解】
解：∵CD平分∠BCA，
∴∠ACD=∠BCD= ∠BCA，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠D=∠A=30°，
∵∠CGF=∠D+∠BCD，∴∠BCD=∠CGF-∠D=58°，
∴∠BCA=116°，
∴∠B=180°-30°-116°=34°，
∵△ABC≌△DEF，
∴∠E=∠B=34°，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理，三角形的外角性质，掌握全等三角形的对应角相等
是解题的关键．
2．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若 ，∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度
数为（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】D
【解析】
【分析】
由于折叠，可得三角形全等，运用三角形全等得出 ，利用平行线的性质可得出
，则 即可求．
【详解】
解： 沿线段DE折叠，使点B落在点F处，
，
，
，
，
，
，
，故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质及三角形内角和定理、平行线的性质；解题的关键是理解折叠就是得到全等
的三角形，根据全等三角形的对应角相等就可以解决．
3．如图，在正方形ABCD中，AB＝8cm，延长BC到点E，使CE＝2cm，连接DE，动点P从点A出发，
以每秒2cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全
等时，t的值为( )
A．3 B．5 C．9 D．3或9
【答案】D
【解析】
【分析】
根据运动过程，根据点P运动的位置和全等情况分类讨论，根据全等三角形的性质即可分别求解．
【详解】
解：如图甲所示，当 时， ，
即 ，解得 ，
如图甲所示，当 时，
即 ，解得 ，
故选：D．
图甲 图乙
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应情况分类讨论是解题关键．4．如图，将三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF，AD＝CH＝2，EF＝4，下列结论：①BH∥EF；
②AD＝BE；③∠A＝∠EDF；④∠C＝∠BHD；⑤阴影部分的面积为6．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③④⑤ B．②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平移的性质及全等三角形的性质判断即可．
【详解】
∵将△ABC沿AB方向平移得到△DEF，AD＝CH＝2，EF＝4，
∴BC∥EF，AB＝DE，
∴BH∥EF，①正确；
∴AB﹣DB＝DE﹣DB，
∴AD＝BE，②正确；
③∵将三角形ABC沿AB方向平移得到三角形DEF，
∴△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠EDF，③正确；
∵BH∥EF，
∴∠BHD＝∠F，
由平移性质可得：∠C＝∠F，
∴∠C＝∠BHD，④正确；
∵阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣△DBH的面积＝6．⑤正确；
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的面积公式和平移的性质：①平移不改变图形的形状和
大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
二、填空题：
5．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于_______．【答案】180°
【解析】
【分析】
直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+∠6＝180°，∠5+∠7+∠8
＝180°，进而得出答案．
【详解】
解：如图所示：
由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7＝540°，
∵三个三角形全等，
∴∠4+∠9+∠6＝180°，
又∵∠5+∠7+∠8＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．
故答案为：180°．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
6．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到△DEF的
位置AB＝10，DO＝4，平移距离为5，则阴影部分（即四边形DOCF）面积为__________．【答案】40
【解析】
【分析】
根据全等三角形的性质得到S =S ，DE=AB=10，然后可以得出S =S ，根据梯形的面积
ABC DEF 四边形DOCF 梯形ABEO
△ △
公式计算，得到答案．
【详解】
解：∵△ABC≌△DEF，
∴S =S ，DE=AB=10，
ABC DEF
△ △
∴S -S =S -S ，OE=DE-DO=6，
ABC OEC DEF OEC
△ △ △ △
∴S =S = ×（6+10）×5=40，
四边形DOCF 梯形ABEO
故答案为：40．
【点睛】
本题考查的是平移的性质、全等三角形的性质和梯形的面积计算，熟练掌握是解题的关键．
7．在平面直角坐标系中有两点 ， ，如果点 在 轴上方，由点 ， ， 组成的三角形与
全等时，此时点 的坐标为______．
【答案】(4，2)或(-4，2) ##(-4，2)或(4，2)
【解析】
【分析】
根据点的坐标确定OA、OB的长，然后利用全等可分析点的位置，最后分情况解答即可．
【详解】
解：∵在平面直角坐标系中有两点A（4，0）、B（0，2），
∴OA=4，OB=2，∠AOB=90°
∵△CBO≌△AOB
∴CB= OA =4，OB=OB=2，∵点 在 轴上方
∴当点C在第一象限时，C点坐标为（4，2）
当点C在第二象限时，C点坐标为（-4，2）
∴C的坐标可以为（4，2）或（-4，2）．
故填（4，2）或（-4，2）．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质，掌握分类讨论思想、做到不重不漏是解答本题的关键．
8．如图，已知 ABC中，AB＝AC＝16cm，∠B＝∠C，BC＝10cm，点D为AB的中点，如果点P在线段
BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若当 BPD与
CQP全等时，则点Q运动速度可能为_____厘米/秒．
【答案】1或1.6
【解析】
【分析】
根据 ，推出当 BPD与 CQP全等时，存在两种情况，① ② ，设
运动时间为 秒，点 的运动速度为 厘米/秒，则 cm， cm， cm，再根据全
等三角形对应边相等的性质解答即可．
【详解】
解：∵
∴当 BPD与 CQP全等时，存在两种情况，① ②
设运动时间为 秒，点 的运动速度为 厘米/秒，则 cm， cm， cm
∵点 是 中点， cm
∴ cm
当 时，∴ ，解得：
当 时， 、
∴ ，解得：
综上所述：点Q运动速度可能为1厘米/秒或 厘米/秒．
故答案为：1或 ．
【点睛】
本题考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，根据对应角相等分情况讨论是解答本题的关键．
三、解答题：
9．如图所示， ， ， ， 的延长线交 于点 ，交 于点 ，
， ， ，求 的度数．
【答案】60°
【解析】
【分析】
根据 推出 ， ，由此求出∠ACF的度数，根据三角形的
内角和定理得到 ，代入数值求出答案．
【详解】
解： ，
， ，
，
由三角形的内角和定理得， ，
，
解得 ．
【点睛】此题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，邻补角的定义，三角形内角和定理，熟记三角形
全等的性质是解题的关键．
10．如图， 和 是对应角， 和 是对应边．
（1）写出 和 的其他对应角和对应边；
（2）若 ，求 的度数；
（3）若 ，求 的长．
【答案】（1）其他对应角为 和 ， 和 ；其他对应边为 和 和 ；
（2） ；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的性质，对应角相等，对应边相等，解答即可；
（2）根据全等三角形的性质可得 ，运用三角形外角的性质即可解答；
（3）根据全等三角形的性质可得 ，进一步证明 ，然后可得 ．
【详解】
（1）其他对应角为： 和 ， 和 ；
其他对应边为： 和 和 ；
（2）∵ ，
∴
∵ ，
∴ ；
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应角相等，对应边相等是解本题的关键．
