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１２８ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
３．５ 对数与对数函数
§
Ｍ
Ｍ Ｎ
ｂ．ｌｏｇａ Ｎ ＝ｌｏｇａ －ｌｏｇａ ；
Ｍｎ ｎ Ｍ ｎ Ｒ ．
ｃ．ｌｏｇａ ＝④ ｌｏｇａ （ ∈ ）
考点 对数与对数函数 ３．对数函数的图象与性质
１．对数的概念
ａ ａ
＞１ ０＜ ＜１
对数的定义
（１）
如果ａｘ Ｎ ａ 且ａ 那么指数ｘ叫做以ａ为底Ｎ的
＝ （ ＞０ ≠１）， 图
对数 ， 记作ｘ ＝ｌｏｇａ Ｎ ， 其中ａ叫做对数的底数 ， Ｎ 叫做真数． 象
几种常见对数
（２）
对数形式 特点 记法
定义域
一般对数 底数为ａ
（
ａ
＞０
且ａ
≠１） ｌｏｇａ
Ｎ ：（０，＋∞）
常用对数 底数为 Ｎ 值域 Ｒ
１０ ｌｇ ：
自然对数 底数为 ｅ ｌｎ Ｎ 过点 （１，０）， 即ｘ ＝１ 时 ， ｙ ＝０
２．对数的性质与运算法则 性
对数的性质
质
当ｘ ＞１ 时 ， ｙ ＞０； 当ｘ ＞１ 时 ， ｙ ＜０；
（１） 当 ｘ 时 ｙ 当 ｘ 时 ｙ
ａｌｏｇａＮ Ｎ ａ 且ａ Ｎ ０＜ ＜１ ， ＜０ ０＜ ＜１ ， ＞０
ａ． ＝① （ ＞０ ≠１， ＞０）；
ａＮ Ｎ ａ 且ａ ．
ｂ．ｌｏｇａ ＝② （ ＞０ ≠１） 是 上的增函数 是 上的减函数
对数的重要公式 （０，＋∞） （０，＋∞）
（２）
Ｎ
４．反函数
ａ． 换底公式 ：ｌｏｇｂ Ｎ ＝ ｌ ｌ ｏ ｏ ｇ ｇ ａ ａ ｂ（ ａ ， ｂ均大于零且不等于 １， Ｎ ＞０）； 指数函数ｙ ＝ ａｘ （ ａ ＞０， 且ａ ≠１） 与对数函数ｙ ＝ｌｏｇａ ｘ （ ａ ＞０， 且
ａ 互为反函数 它们的图象关于直线ｙ ｘ对称．其图象关系
ｂ １ 推广 ｂ ｃ ｄ ｄ ａ ｂ ｃ均大 ≠１） ， ＝
ｂ．ｌｏｇａ ＝ ａ， ：ｌｏｇａ ·ｌｏｇｂ ·ｌｏｇｃ ＝ｌｏｇａ （ ， ， 如图所示．
ｌｏｇｂ
于零且不等于 ｄ大于零
１， ）；
ｎ
Ｍｎ Ｍ ａ 且ａ ｍ ｎ Ｒ Ｍ ｍ ．
ｃ．ｌｏｇａｍ ＝ ｍｌｏｇａ （ ＞０ ≠１， ， ∈ ， ＞０， ≠０）
对数的运算法则
（３）
如果ａ 且ａ Ｍ Ｎ 那么
＞０ ≠１， ＞０， ＞０，
ＭＮ Ｍ Ｎ
ａ．ｌｏｇａ（ ）＝③ ｌｏｇａ ＋ｌｏｇａ ；
图象是
（ ）
考点 对数与对数函数
{ ｘ ｘ ( )
１．已知函数ｆ ｘ ｌｏｇ２ ， ＞０， 则ｆ ｆ ｆ １ 的值是
（ ）＝ ３ － ｘ ＋１， ｘ ≤０， （ （１））＋ ｌｏｇ３ ２
（ ）
７
Ａ．５ Ｂ．３ Ｃ．－１ Ｄ．
２
答案 Ａ
２．函数ｆ ｘ ｘａ 满足ｆ 那么函数ｇ ｘ ｘ 的图
（ ）＝ （２）＝４， （ ）＝ ｜ｌｏｇａ（ ＋１）｜
象大致为
（ ） 答案 Ａ
４．化简 ｌｇ ２７＋ｌｇ８－３ｌｇ １０ ．
： ． ＝
ｌｇ１２
答案 ３
２
答案 Ｃ
５．设 ｘ ｙ ｍ 且 １ １ 则ｍ ．
３．已知ａ
＞０
且ａ
≠１，
函数ｆ
（
ｘ
）＝ｌｏｇａ（
ｘ
＋
ｘ２
＋
ｂ
）
在区间
（－∞，
２ ＝５ ＝ ， ｘ ＋ ｙ ＝２， ＝
上既是奇函数又是增函数 则函数ｇ ｘ ｘ ｂ 的 答案
＋∞） ， （ ）＝ｌｏｇａ｜｜ ｜－ ｜ １０
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １２９
６．已知对数函数ｆ ｘ 的图象过点 ． 若实数ｍ满足ｆ ｍ ｆ ｍ 求实数ｍ的取值范围．
（ ） （４，１） （２） （２ －１）＜（５－ ），
求ｆ ｘ 的解析式
（１） （ ） ；
３．（２０１８重庆高考仿真模拟，５）已知函数ｆ ｘ ｘ２ ｘ
（ ）＝ｌｎ（－ －２ ＋３），
则ｆ ｘ 的增区间为
（ ） （ ）
考点 对数与对数函数
Ａ．（－∞，－１） Ｂ．（－３，－１）
Ｃ．［－１，＋∞） Ｄ．［－１，１）
１．（２０２０课标Ⅰ文，８，５分）设ａ
ｌｏｇ３４＝２，
则
４
－ ａ
＝ （ ）
答案 Ｂ 由
－
ｘ２
－２
ｘ
＋３＞０，
解得
－３＜
ｘ
＜１，
即ｆ
（
ｘ
）
的定义域为
．易知ｙ ｘ２ ｘ 在 上递增 在 上递
１ １ （－３，１） ＝－ －２ ＋３ （－３，－１） ， （－１，１）
Ａ． Ｂ． 减 由ｙ ｘ递增 根据复合函数同增异减的原则 得ｆ ｘ 在
１６ ９ ， ＝ｌｎ ， ， （ ）
上递增 故选
１ １ （－３，－１） ， Ｂ．
Ｃ． 答 ８ 案 Ｂ ∵ ａ ｌｏｇ３４＝２，∴ ａ Ｄ ＝ ． ２ ６ ｌｏｇ４３＝ｌｏｇ２３，∴ ４ － ａ ＝４ －ｌｏｇ２３ ＝ ４．（ 则 ２０ ｘｙ １７ 的 浙 最 江 大 名 值 校 是 协 作 体 ， １１ ． ）已知ｘ ＞０， ｙ ＞０，ｌｇ ２ ｘ ＋ｌｇ ８ ｙ ＝ｌｇ ２，
２ －２ｌｏｇ２３ ＝２ ｌｏｇ２ １ ９ ＝ １ ， 故选 Ｂ ． 答案 １
９
２．（２０１７课标Ⅰ，９，５分）已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ 则 １２
（ ）＝ｌｎ ＋ｌｎ（２－ ）， 解析 由 ｘ ｙ 知ｘ ｙ ｘｙ 故ｘｙ
ｌｇ２ ＋ｌｇ８ ＝ｌｇ２， ＋３ ＝１，∴１≥２ ３ ， ≤
（ ） ì
Ａ． ｆ （ ｘ ） 在 （０，２） 单调递增 ï ï ｘ ＝ １ ，
ｆ ｘ 在 单调递减 １ 当且仅当í ２ 时 取等号．
Ｂ． （ ） （０，２） ， ï ，
Ｃ． ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 的图象关于直线ｘ ＝１ 对称 １２ î ïｙ ＝ １
６
Ｄ． 答 ｙ ＝ 案 ｆ （ ｘ ） Ｃ 的图 函 象 数 关 ｆ 于 ｘ 点 （１， ｘ ０） 对称 ｘ ｘ ｘ 其中 ５．（２０１７ 江苏如东高级中学第二次学情调研）函数 ｆ （ ｘ ）＝
（ ）＝ｌｎ ＋ｌｎ（２－ ）＝ｌｎ ［ （２－ ）］， ０＜ １ 的定义域为 ．
ｘ 则函数ｆ ｘ 由ｆ ｔ ｔ ｔ ｘ ｘ ｘ 复合而成 由复合 ｘ
函
＜
数
２，
的单调性
（
可
）
知 ｘ
（ ）＝ｌｎ ，
时
（ ）
ｆ
＝
ｘ
（
单
２－
调
）
递增 ｘ
，
时
ｌｏｇ
答
２（
案
３－ ）
， ∈（０，１） ， （ ） ， ∈（１，２） ， （－∞，２）∪（２，３）
ｆ ｘ 单调递减 故 选项错误 ｔ ｘ 的图象关于直线ｘ 对 { ｘ
（ ） ， Ａ、Ｂ ；（ ） ＝１ 解析 由题设可得 ３－ ＞０， 解之得ｘ 且ｘ 所以答案
称 即ｔ ｘ ｔ ｘ 则ｆ ｘ ｆ ｘ 即ｆ ｘ 的图象关于直线 ｘ ＜３ ≠２，
， （ ）＝ （２－ ）， （ ）＝ （２－ ）， （ ） ３－ ≠１，
ｘ 对称 故 选项正确 选项错误．故选 ． 为 ．
＝１ ， Ｃ ，Ｄ Ｃ （－∞，２）∪（２，３）
( )
２
ａ １ １
ａ ａ２ ２ － ＋
１－２ ＋２ ２ ２ ，
ａ ＝ ａ ＞０
２ ２
考法一 对数式大小的比较方法
所以ａ １ ａ，
例１ （１） 设ａ ＝０ ． ５ ０ ． ４ ， ｂ ＝ｌｏｇ０ ． ４０ ． ３， ｃ ＝ｌｏｇ８０ ． ４， 则ａ ， ｂ ， ｃ的 ＋１＞ ２ ａ＞１－
大小关系是
（ ） 又 １ ａ ，
＜ ＜１
ａ ｂ ｃ ｃ ｂ ａ ｃ ａ ｂ ｂ ｃ ａ ２
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜
（２） 设 １ ＜ ａ ＜１， ｍ ＝ｌｏｇａ（ ａ ＋１）， ｎ ＝ｌｏｇａ（１－ ａ ）， ｐ ＝ｌｏｇａ １ ａ， 则 所以 ｌｏｇａ （ａ ＋１ ） ＜ｌｏｇａ １ ａ＜ｌｏｇａ （ １－ ａ），
２ ２ ２
ｍ ｎ ｐ的大小关系是 即ｍ ｐ ｎ．故选 ．
， ， （ ） ＜ ＜ Ｄ
ｎ ｍ ｐ ｍ ｐ ｎ 答案 （ ）Ｃ （ ）Ｄ
Ａ． ＞ ＞ Ｂ． ＞ ＞ １ ２
ｐ ｎ ｍ ｎ ｐ ｍ
Ｃ． ＞ ＞ Ｄ． ＞ ＞ 方法总结 对数式大小的比较方法
解析 （ １ ） ∵０＜ ａ ＝０ ． ５ ０ ． ４ ＜０ ． ５ ０ ＝１ ，ｂ ＝ｌｏｇ０ ． ４０ ． ３＞ｌｏｇ０ ． ４０ ． ４＝１ ，ｃ
． ， ｃ ａ ｂ．
＝ｌｏｇ８０４＜ｌｏｇ８１＝０ ∴ ＜ ＜
（ ）因为 １ ａ ，
２ ＜ ＜１
２
( )
２
ａ １ ３
ａ２ ａ ２ ＋ －
所以ａ １ ２ ＋２ －１ ２ ２ ， １ （ ａ）
＋１－ ａ＝ ａ ＝ ａ ＞０ ａ－ １－ ＝
２ ２ ２ ２
考法二 对数函数的图象与性质的应用
１３０ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
例２ （１） 若函数ｙ ＝ ａ｜ ｘ ｜ （ ａ ＞０， 且ａ ≠１） 的值域为 ｛ ｙ ｜ ｙ ≥ 可得 {ａ －１＞０ ，
则函数ｙ ｘ 的图象大致是 ａ ａ ，
１｝， ＝ｌｏｇａ｜ ｜ （ ） －１＋４－２ ≥１
解得 ａ ，即ａ （ ， ］．
１＜ ≤２ ∈ １ ２
（ ）当ａ 时， ｆ（ｘ） （ ａｘ）在［ ， ］上是减函数，
３ ＞１ ＝ｌｏｇａ ８－ １ ２
由于ｆ（ｘ） 在［ ， ］上恒成立，
＞１ １ ２
所以ｆ（ｘ） （ ａ） ，
ｍｉｎ＝ｌｏｇａ ８－２ ＞１
故 ａ ａ，
{ ａ ｘ ａ ｘ ８－２ ＞
已知函数ｆ ｘ （ －１） ＋４－２ ， ＜１，若ｆ ｘ 的值域为
（２） （ ）＝ ｘ ｘ ． （ ） 即 ａ ８ ；
Ｒ ， 则 （ 实 ３） 数 已 ａ 知 的 函 取 数 值 ｆ 范 （ ｘ 围 ）＝ 是 ｌｏ １ ｇ ＋ ａ（ ｌｏ ８ ｇ － ２ ａ ， ｘ ） ． ≥ （ ａ １ ＞０， 且ａ ≠１）， 若ｆ （ ｘ ）＞１ 当 由于 １ ０ ＜ ＜ ｆ（ ａ ＜ ＜ ｘ） １ ３ 时， 在 ｆ ［ （ｘ） ， ＝ ］ ｌ 上 ｏｇａ 恒 （ ８ 成 － ａ 立 ｘ） ， 在［ １ ， ２ ］上是增函数，
在区间 解 ［ 题 １ 导 ，２ 引 ］ 上恒成立 ， 则实数ａ的取值范围为 ． 所 所 以 以 ｆ ａ （ｘ） ， ＞ ｍ 且 １ ｉｎ＝ ａ ｌｏｇ １ ａ ， （ ２ ８－ ａ） ＞１ ，且 ８－２ ａ ＞０ ，
＞４ ＜４
故这样的ａ不存在．
（１） ( )
综上可知，实数ａ的取值范围是 ，８ ．
１
３
( )
（２） 答案 （ ）Ｂ （ ）（ ， ］ （ ） ，８
１ ２ １ ２ ３ １
３
（３） 方法总结 １．对一些可通过平移 对称作出其图象的对数
、
解析 （ ）因为函数ｙ ａ｜ ｘ ｜（ａ ，且ａ ）的值域为｛ｙ ｙ 函数型问题 在求解其单调性 单调区间 值域 最值 零点
１ ＝ ＞０ ≠１ ｜ ≥ ， （ ）、 （ ）、
｝，所以ａ ，故ｙ ｘ 为偶函数且在（ ， ）上单调递增， 时 常利用数形结合法求解．
１ ＞１ ＝ｌｏｇａ｜ ｜ ０ ＋∞ ，
故函数ｙ ｘ 的大致图象如选项 所示．故选 ． ２．研究复合函数ｙ ｆ ｘ 的单调性 最值 时 应先研究
＝ｌｏｇａ｜ ｜ Ｂ Ｂ ＝ｌｏｇａ （ ） （ ） ，
（ ）当ｘ 时， ｆ（ｘ） ｘ ， 其定义域 结合函数ｕ ｆ ｘ 及ｙ ｕ的单调性 最值 确定函
２ ≥１ ＝１＋ｌｏｇ２ ≥１ ， ＝ （ ） ＝ｌｏｇａ （ ）
则有当ｘ 时， ｆ（ｘ） （ａ ）ｘ ａ必须是增函数， 数ｙ ｆ ｘ 的单调性 最值 其中ａ 且ａ ．
＜１ ＝ －１ ＋４－２ ＝ｌｏｇａ （ ） （ ）（ ＞０， ≠１）
且最大值大于或等于 才能满足ｆ（ｘ）的值域为Ｒ，
１
且ａ 的值域为 则实数ａ的取值范围是
≠１） ［４，＋∞）， （ ）
Ａ．（１，２］ Ｂ．（０，２］ Ｃ．［２，＋∞） Ｄ．（１，２ ２］
答案 Ａ
考法一 对数式大小的比较方法
４．（２０２１届重庆巴蜀中学高考适应性月考，９）定义在Ｒ上的偶
１．（２０２０普通高等学校招生全国统一考试考前演练）若 ａ ＝ 函数ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ 且ｘ 时 ｆ ｘ ｘ
( ) （ ） （２－ ）＝ （ ＋２）， ∈（－１，０） ， （ ）＝２ ＋
２
３ ２ ， ｂ ＝ｌｏｇ２３， ｃ ＝ｌｏｇ４６， 则ａ ， ｂ ， ｃ的大小关系是 （ ） １ ， 则ｆ （ｌｏｇ２１８）＝ （ ）
９
ａ ｂ ｃ ａ ｃ ｂ
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜
８ ８
ｃ ｂ ａ ｂ ｃ ａ Ａ．－１ Ｂ．－ Ｃ．１ Ｄ．
Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜ ９ ９
答案 Ｂ 答案 Ｃ
２．（２０２０湖南长沙明德中学３月月考）已知函数ｆ ｘ 是定义在 ５．（２０２１ 届浙江“山水联盟”开学考，１１）已知函数 ｆ ｘ
（ ） （ ）＝
Ｒ上的偶函数 当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ３ ｘ 则 ａ ｆ ３ ２ ｂ { ｘ ｘ ( ( ))
， ≥０ ， （ ）＝ ＋３ ， ＝ （２ ）， ＝ ｌｏｇ２ ， ＞０， 则ｆ ｆ １ 若 ｆ ｘ １ 则 ｘ
( ) ｘ ｘ ＝ ； （ ）＝ ， ＝
ｆ １ ｃ ｆ 的大小关系为 ２ －１， ≤０， ２ ２
ｌｏｇ３ ， ＝ （ ２） （ ） ．
２７
ａ ｂ ｃ ａ ｃ ｂ
Ａ． ＞ ＞ Ｂ． ＞ ＞ 答案 １
ｂ ａ ｃ ｂ ｃ ａ － ； ２
Ｃ． ＞ ＞ Ｄ． ＞ ＞ ２
答案 Ｃ ６．（２０２０江苏启东中学检测，１４）函数ｆ
（
ｘ
）＝ｌｎ（
ｘ２
－２
ｘ
－３）
的单
调递减区间为 ．
考法二 对数函数的图象与性质的应用
答案
{ ｘ ｘ （－∞，－１）
３．（２０２１届江苏盐城摸底，５）若函数ｆ ｘ － ＋６， ≤２， ａ
（ ）＝ ｘ ｘ （ ＞０
３＋ｌｏｇａ ， ＞２
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １３１
( ]
１
Ｃ．［２，＋∞） Ｄ． ０， ∪［２，＋∞）
２
考法一 对数式大小的比较方法
答案 Ｂ
∵
ｆ
（
ｘ
）
的定义域为 Ｒ
，
ｆ
（－
ｘ
）＝ ｌｏｇ１ ２（
ｘ２
＋１）＋
８ ｆ ｘ ｆ ｘ 为Ｒ上的偶函数．
１．（２０１８ 天津文，５，５ 分）已知 ａ ７ ｂ
(
１
) １
３ ｃ ３
ｘ２
＋１
＝ （ ），∴ （ ）
＝ｌｏｇ３ ２ ， ＝ ４ ， ＝ 令ｔ ＝ｌｏｇ２ ｘ ，∴ ｌｏｇ１ ２ ｘ ＝－ ｔ ，
则不等式ｆ ｘ ｆ ｘ 可化为ｆ ｔ ｆ ｔ
１ 则ａ ｂ ｃ的大小关系为 （ｌｏｇ２ ）＋（ｌｏｇ１ ２ ）≥２ （ ）＋（－）≥２，
ｌｏｇ１ ３ ， ， ， （ ） 即 ｆ ｔ ｆ ｔ ．
５ ２（ ）≥２，∴ （ ）≥１
ａ ｂ ｃ ｂ ａ ｃ ｃ ｂ ａ ｃ ａ ｂ
Ａ． ＞ ＞ Ｂ． ＞ ＞ Ｃ． ＞ ＞ Ｄ． ＞ ＞ 又 ｆ ８ ｆ ｘ 在 上单调递减 在Ｒ
答案 Ｄ 本题主要考查指数 对数式的大小比较． ∵ （１）＝ｌｏｇ１ ２２＋ ＝１， （ ） ［０，＋∞） ，
、 ３＋１
( ) １ ( ) 上为偶函数
３ ０ ，
ｂ １ １ ａ ７ [ ]
＝
４
＜
４
＝１， ＝ｌｏｇ３
２
＞ｌｏｇ３３＝１，
ｔ 即 ｘ ｘ １ 故选
∴ －１≤≤１， ｌｏｇ２ ∈［－１，１］，∴ ∈ ，２ ， Ｂ．
ｃ １ ７ ａ ２
＝ｌｏｇ１ ３ ５ ＝ｌｏｇ３５＞ｌｏｇ３ ２ ＝ ， ２． （２０１９ 北 京 四 中 期 中 文， ７） 已 知 函 数 ｆ （ ｘ ） ＝
ｃ ａ ｂ．故选 ． {ｘ２ ｘ ｘ
∴ ＞ ＞ Ｄ －２ ＋２， ≤２，若 ｘ Ｒ 使得ｆ ｘ ｍ ｍ２ 成立 则实
２．（２０１９北京西城期末，６）设 Ｍ Ｎ ａ 则 Ｍ ｘ ｘ ∃ ０∈ ， （ ０）≤５ －４ ，
＞０， ＞０，０＜ ＜１， “ｌｏｇａ ＞ ｌｏｇ２ ， ＞２，
Ｎ 是 Ｍ Ｎ 的 数ｍ的取值范围为
ｌｏｇａ ” “ ＜ ＋１” （ ） （ ）
充分而不必要条件 必要而不充分条件 [ ] [ ] [ ] [ ]
Ａ． Ｂ． １ １ １ １
充分必要条件 既不充分也不必要条件 Ａ． －１， Ｂ． ，１ Ｃ． －２， Ｄ． ，１
Ｃ． Ｄ． ４ ４ ４ ３
答案 Ａ 当 ａ 时 ｙ ｘ为减函数 {ｘ２ ｘ ｘ
０＜ ＜１ ， ＝ｌｏｇａ ， 答案 Ｂ 函数ｆ ｘ －２ ＋２， ≤２，当ｘ 时 函数是
又 Ｍ Ｎ 所以 Ｍ Ｎ （ ）＝ ｘ ｘ ≤２ ，
ｌｏｇａ ＞ｌｏｇａ ， ０＜ ＜ ， ｌｏｇ２ ， ＞２，
可得Ｍ Ｎ 二次函数的一部分 二次函数图象的对称轴为ｘ 函数的最
＜ ＋１， ， ＝１，
即 Ｍ Ｎ 是 Ｍ Ｎ 的充分条件 小值为 当ｘ 时 ｙ ｘ 若 ｘ Ｒ 使得ｆ ｘ ｍ
“ｌｏｇａ ＞ｌｏｇａ ” “ ＜ ＋１” ， １， ＞２ ， ＝ｌｏｇ２ ＞１， ∃ ０∈ ， （ ０）≤５ －
由 Ｍ Ｎ 不能推出 Ｍ Ｎ [ ]
“ ＜ ＋１” “ ＜ ”， ｍ２ 成立 则 ｍ ｍ２ 解得ｍ １ ．
故由 Ｍ Ｎ 不能推出 Ｍ Ｎ ４ ， １≤５ －４ ， ∈ ，１
“ ＜ ＋１” “ｌｏｇａ ＞ｌｏｇａ ”， ４
即 Ｍ Ｎ 是 Ｍ Ｎ 的不必要条件 所以 选项是正确的．
“ｌｏｇａ ＞ｌｏｇａ ” “ ＜ ＋１” ， Ｂ
即 Ｍ Ｎ 是 Ｍ Ｎ 的充分而不必要条件 故选 ． 评析 不等式的恒成立问题转化为求分段函数的最小值问
“ｌｏｇａ ＞ｌｏｇａ ” “ ＜ ＋１” ， Ａ
小题巧解 本题充分性容易判断 判断必要性时 作为选择题 题，然后求解不等式即可．
， ，
可以采用特殊值法 不妨令Ｍ Ｎ 即可得到必要性不成立． ３．（２０１７浙江高考模拟训练冲刺卷四，１５）定义区间 ｘ ｘ ｘ
， ＝１， ＝１， ［ １， ２］（ １
３．若 ａ ｂ ｃ 则ａ ｂ ｃ的大小关 ｘ 的长度等于ｘ ｘ ．函数ｙ ｘ ａ 的定义域为 ｍ
ｌｏｇ２（ｌｏｇ３ ）＝ｌｏｇ３（ｌｏｇ４ ）＝ｌｏｇ４（ｌｏｇ２ ）＝１， ， ， ＜ ２） ２－ １ ＝｜ｌｏｇａ ｜（ ＞１） ［ ，
系是
（ ） ｎ ｍ ｎ 值域为 ．若区间 ｍ ｎ 的长度的最小值为 ３
ａ ｂ ｃ ｂ ａ ｃ ａ ｃ ｂ ｂ ｃ ａ ］（ ＜ ）， ［０，１］ ［ ， ］ ，
Ａ． ＞ ＞ Ｂ． ＞ ＞ Ｃ． ＞ ＞ Ｄ． ＞ ＞ ４
答案 Ｄ ａ ｂ ｃ 则实数ａ的值为 ．
ａ
∵
ｂ
ｌｏｇ２（ｌｏｇ３
ｃ
）＝ｌｏｇ３（ｌｏｇ４ ）＝ｌｏｇ４（ｌｏｇ２ ）＝１，
答案
∴ ∴ ｌ ａ ｏ ＝ ｇ３ ９， ＝ ｂ ２ ＝ ， ６ ｌ ４ ｏｇ ， ４ ｃ ＝ ＝ １ ３ ６ ， ， ｌｏｇ２ ＝４， 解析 ４ 作出函数ｙ ＝｜ｌｏｇａ ｘ ｜ 的图象 （ 图略 ）， 要使定义域区间
[ ]
ｂ ｃ ａ．
∴ ＞ ＞ ｍ ｎ 的长度最小 则 ｍ ｎ １ 或 ｍ ｎ ａ ．若
４．ａ ｂ ｃ Ｒ＋且 ａ ｂ ｃ 记ｘ ａ ｙ ｂ ｚ ｃ 则ｘ ｙ ｚ的大 ［ ， ］ ， ［ ， ］＝ ａ ，１ ［ ， ］＝［１， ］ １－
， ， ∈ ２ ＝３ ＝６ ， ＝２ ， ＝３ ， ＝６ ， ， ，
小关系为 ． １ ３ 则ａ 此时ａ 符合题意．若 ａ ３ 则 ａ
答案 ｙ ｘ ｚ ａ ＝ ４ ， ＝４， －１＝３， －１＝ ４ ， ＝
＜ ＜
解析 设 ２ ａ ＝３ ｂ ＝６ ｃ ＝ ｋ ， ７ ， 此时 １－ ａ １ ＝ ３ ＜ ３ ， 不符合题意 ， 所以ａ ＝４ ．
ｋ ｋ ｋ ４ ７ ４
∵ ａ ， ｂ ， ｃ ∈ Ｒ＋ ，∴ ｋ ＞１， 则ａ ＝ ｌｇ ， ｂ ＝ ｌｇ ， ｃ ＝ ｌｇ ． ４．（２０１８ 江苏常熟上学期期中， １０） 若函数 ｆ （ ｘ ） ＝
ｘ ａ ｌｇ ｋ ｙ ｂ ｌｇ ｋ ｌｇ ｚ ２ ｃ ｌ ｌ ｇ ｇ ３ ｋ ． ｌｇ６ { － ｘ ＋８， ｘ ≤２， ａ 且ａ 的值域为 则实数 ａ 的
∴ ＝２ ＝ ， ＝３ ＝ ３ ， ＝６ ＝ ６ ｌｏｇａ ｘ ＋５， ｘ ＞２ （ ＞０ ≠１） ［６，＋∞），
ｌｇ ２ ｌｇ ３ ｌｇ ６ 取值范围是 ．
６ ６ ６ ３ ｙ ｘ ｚ．
∵０＜ｌｇ ６＜ｌｇ ２＝ｌｇ ８＜ｌｇ ９＝ｌｇ ３，∴ ＜ ＜ 答案
（１，２］
考法二 对数函数的图象与性质的应用 解析 当ｘ 时 ｘ 恒成立
≤２ ，－ ＋８≥６ ，
即ｘ 要满足函数ｆ ｘ 的值域为 需有 ｘ
１．设函数 ｆ （ ｘ ）＝ ｌｏｇ１ ２ （ ｘ２ ＋１）＋ ３ ｘ２ ８ ＋１ ， 则不等式 ｆ （ｌｏｇ２ ｘ ）＋ 在 ≤－２， 上恒成立 （ 则 ） {ａ ＞１， ［６， 解 ＋∞ 得 ）， ａ ｌ ． ｏｇａ ＋５≥
ｆ （ｌｏｇ１ ２ ｘ ）≥２ 的解集为 [ ] （ ） ６ 故实 （ 数 ２， ａ ＋∞ 的 ） 取值范围为 ， ａ ｌｏｇａ２ ． ＋５≥６， １＜ ≤２
１ １＜ ≤２
Ａ．（０，２］ Ｂ． ，２ ５．（２０１８浙江嘉兴高三期末，１３）已知函数ｆ ｘ ｘ
２ （ ）＝ｌｏｇ４（４－｜ ｜），
１３２ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
则ｆ ｘ 的单调递增区间是 ｆ ｆ （２） ．
（ ） ； （０）＋４ ＝ 上单调递减．由于ｆ ｆ １
答案 ４） （０）＝ｌｏｇ４４＝１， （２）＝ｌｏｇ４２＝ ×ｌｏｇ２２＝
（－４，０）；３ ２
解析 由 ４－｜ ｘ ｜＞０， 解得函数ｆ （ ｘ ） 的定义域为 （－４，４） ．ｆ （ ｘ ） １ 故ｆ ｆ （２） １ ２ ．
{ ｘ ｘ ， （０）＋４ ＝１＋４ ＝３
ｌｏｇ４（４－ ）（０≤ ＜４），故ｆ ｘ 在 上单调递增 在 ２
＝ ｘ ｘ （ ） （－４，０） ， （０，
ｌｏｇ４（４＋ ）（－４＜ ＜０），
考点 对数与对数函数 ７．（２０１９天津，６，５分）已知ａ ＝ｌｏｇ５２， ｂ ＝ｌｏｇ０ ． ５０ ． ２， ｃ ＝０ ． ５ ０ ． ２ ， 则ａ ，
１．（２０２０课标Ⅰ文，８，５分）设ａ ｌｏｇ３４＝２， 则 ４ － ａ ＝ （ ） ｂ ， ｃ的大小关系为 （ ）
ａ ｃ ｂ ａ ｂ ｃ
１ １ １ １ Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ｂ ｃ ａ ｃ ａ ｂ
１６ ９ ８ ６ Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜
答案 Ｂ 答案 Ａ
８．（２０１６课标Ⅰ，８，５分）若ａ ｂ ｃ 则
２．（２０２０课标Ⅲ文，１０，５分）设ａ ｂ ｃ ２ 则 ＞ ＞１，０＜ ＜１， （ ）
＝ｌｏｇ３２， ＝ｌｏｇ５３， ＝ ， （ ） ａｃ ｂｃ ａｂｃ ｂａｃ
３ Ａ． ＜ Ｂ． ＜
ａ ｃ ｂ ａ ｂ ｃ ａ ｃ ｂ ｃ ｃ ｃ
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ Ｃ． ｌｏｇｂ ＜ ｌｏｇａ Ｄ．ｌｏｇａ ＜ｌｏｇｂ
ｂ ｃ ａ ｃ ａ ｂ 答案 Ｃ
Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜
答案 Ａ ９．（２０１９北京，６，５分）在天文学中 天体的明暗程度可以用星
，
３．（
ｂ
２
ｃ
０
的
２０
大
天
小
津
关
，
系
６，
为
５分）设ａ ＝３ ０ ． ７ ， ｂ ＝ (
３
１ ) －０ ． ８ ， ｃ ＝ｌｏｇ０ ． ７０ ． ８， 则ａ ， 等
其中
或
星
亮
等
度
为
来描
ｍ
述
的
．两
星
颗
的
星
亮
的
度
星
为
等
Ｅ
与
ｋ
亮度满足
．已
ｍ
知
２－
太
ｍ
阳
１＝
的 ２
５
星
ｌｇ
等
Ｅ Ｅ
是
１
２
，
， （ ） ｋ ｋ（ ＝１，２）
ａ ｂ ｃ ｂ ａ ｃ ． 天狼星的星等是 ． 则太阳与天狼星的亮度的比值
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ －２６７， －１ ４５，
ｂ ｃ ａ ｃ ａ ｂ 为
Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜ （ ）
答案 Ｄ
Ａ．１０
１０ ． １
Ｂ．１０
．
１
４．（２０２０课标Ⅰ理，１２，５分）若 ２ ａ ＋ｌｏｇ２ ａ ＝４ ｂ ＋２ｌｏｇ４ ｂ ， 则 （ ） Ｃ．ｌｇ１０ ． １ Ｄ．１０ －１０ ． １
ａ ｂ ａ ｂ 答案 Ａ
Ａ． ＞２ Ｂ． ＜２
ａ ｂ２ ａ ｂ２ １０．（２０１７北京，８，５分）根据有关资料 围棋状态空间复杂度的
Ｃ． ＞ Ｄ． ＜ ，
答案 Ｂ 上限Ｍ约为
３
３６１
，
而可观测宇宙中普通物质的原子总数Ｎ约
５．（２０２０课标Ⅲ理，１２，５分）已知 ５ ４ ４ ５．设ａ ｂ Ｍ
ｃ 则
５ ＜８ ，１３ ＜８ ＝ｌｏｇ５３， ＝ 为
１０
８０．则下列各数中与
Ｎ
最接近的是
（
参考数据
：ｌｇ３≈０
．
４８）
ｌｏｇ８５， ＝ｌｏｇ１３８， （ ）
ａ ｂ ｃ ｂ ａ ｃ
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ （ ）
ｂ ｃ ａ ｃ ａ ｂ ３３ ５３ ７３ ９３
Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜ Ａ．１０ Ｂ．１０ Ｃ．１０ Ｄ．１０
答案 Ａ 答案 Ｄ
６．（２０２０课标Ⅱ，文１２，理１１，５分）若 ｘ ｙ － ｘ － ｙ 则 １１．（２０１９上海，６，４分）已知函数ｆ ｘ 的周期为 且当 ｘ
２ －２ ＜３ －３ ， （ ） １， ０＜ ≤１
( )
（ ） 时 ｆ ｘ ｘ 则ｆ ３ ．
ｙ ｘ ｙ ｘ ， （ ）＝ｌｏｇ２ ， ＝
Ａ．ｌｎ（ － ＋１）＞０ Ｂ．ｌｎ（ － ＋１）＜０ ２
ｘ ｙ ｘ ｙ 答案
Ｃ．ｌｎ｜ － ｜＞０ Ｄ．ｌｎ｜ － ｜＜０ －１
答案 Ａ
考点 对数与对数函数
２．（２０１８天津理，５，５分）已知ａ ｂ ｃ １ 则ａ
１．（
ｂ
２
ｃ
０
的
１９
大
天
小
津
关
文
系
，
为
５，５分）已知ａ ＝ｌｏｇ２７， ｂ ＝ｌｏｇ３８， ｃ ＝０ ． ３ ０ ． ２ ， 则ａ ，
ｂ ｃ的大小关系为
＝ｌｏｇ２ｅ， ＝ｌｎ２， ＝ｌｏｇ１ ２ ３ ， ，
， （ ） ， （ ）
ｃ ｂ ａ ａ ｂ ｃ ａ ｂ ｃ ｂ ａ ｃ
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ Ａ． ＞ ＞ Ｂ． ＞ ＞
ｂ ｃ ａ ｃ ａ ｂ ｃ ｂ ａ ｃ ａ ｂ
Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜ Ｃ． ＞ ＞ Ｄ． ＞ ＞
答案 Ａ 本题考查指数函数与对数函数的图象和性质 通 答案 Ｄ 本题主要考查对数的大小比较．
；
过对对数式的估算或适当 缩放 考查学生的直观想象与逻辑 由已知得ｃ ｂ ｃ ａ ｂ 故
“ ” ＝ｌｏｇ２３，∵ ｌｏｇ２３＞ｌｏｇ２ｅ＞１， ＝ｌｎ ２＜１，∴ ＞ ＞ ，
推理的核心素养． 选 ．
Ｄ
显然ｃ ． ０ ． ２ ． 方法总结 比较对数的大小
＝０３ ∈（０，１）
因为 所以 ｂ ． 若底数为同一常数 则可由对数函数的单调性直接进行判断 若
ｌｏｇ３３＜ｌｏｇ３８＜ｌｏｇ３９， １＜ ＜２ ① ， ；
因为 所以ａ ． 底数为同一字母 则需对底数进行分类讨论 若底数不同 真数
ｌｏｇ２７＞ｌｏｇ２４＝２， ＞２ ， ；② ，
故ｃ ｂ ａ．选 ． 相同 则可以先用换底公式化为同底后 再进行比较 若底数与
＜ ＜ Ａ ， ， ；③
真数都不同 则常借助 等中间量进行比较．
， １，０
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １３３
３．（２０１７课标Ⅱ文，８，５分）函数ｆ ｘ ｘ２ ｘ 的单调递 ｃ ａ ｂ．故选 ．
（ ）＝ｌｎ（ －２ －８） ∴ ＞ ＞ Ｄ
增区间是
（ ） ７．（２０１２课标文，１１，５分）当 ｘ １ 时 ｘ ｘ 则ａ的取值
０＜ ≤ ，４ ＜ｌｏｇａ ，
Ａ．（－∞，－２） Ｂ．（－∞，１） Ｃ．（１，＋∞） Ｄ．（４，＋∞） ２
答案 Ｄ 本题主要考查复合函数的单调性． 范围是
（ ）
由ｘ２ ｘ 可得ｘ 或ｘ æ ö æ ö
－２ －８＞０ ＞４ ＜－２， ç ２÷ ç ２ ÷
所以ｘ Ａ．è０， ø Ｂ．è ，１ø Ｃ．（１， ２） Ｄ．（ ２，２）
∈（－∞，－２）∪（４，＋∞）， ２ ２
令ｕ
＝
ｘ２
－２
ｘ
－８，
答案 Ｂ 易知
０＜
ａ
＜１，
则函数ｙ
＝４
ｘ 与ｙ
＝ｌｏｇａ
ｘ的大致图象
则其在ｘ 上单调递减
∈（－∞，－２） ， 如图 则只需满足 １ 解得ａ ２ ２ ａ 故选 ．
在ｘ 上单调递增． ， ｌｏｇａ ＞２， ＞ ，∴ ＜ ＜１， Ｂ
∈（４，＋∞） ２ ２ ２
又因为ｙ ｕ在ｕ 上单调递增
＝ｌｎ ∈（０，＋∞） ，
所以ｙ ｘ２ ｘ 在ｘ 上单调递增．故选 ．
＝ｌｎ（ －２ －８） ∈（４，＋∞） Ｄ
易错警示 本题易忽略定义域而错选 ．
Ｃ
方法总结 复合函数的单调性符合同增异减的原则．
４．（２０１６课标Ⅰ文，８，５分）若ａ ｂ ｃ 则
＞ ＞０，０＜ ＜１， （ ）
ｃ ｃ ａ ｂ
Ａ．ｌｏｇａ ＜ｌｏｇｂ Ｂ．ｌｏｇｃ ＜ｌｏｇｃ
ａｃ ｂｃ ｃａ ｃｂ
Ｃ． ＜ Ｄ． ＞ 评析 本题考查了利用数形结合解指数、对数不等式．
答案 Ｂ ｃ 当ａ ｂ 时 ｃ ｃ 项错误
∵０＜ ＜１，∴ ＞ ＞１ ，ｌｏｇａ ＞ｌｏｇｂ ，Ａ ； ８．（２０１８课标Ⅰ文，１３，５ 分）已知函数 ｆ ｘ ｘ２ ａ ．若
ｃ ｙ ｘ在 上单调递减 又ａ ｂ （ ）＝ ｌｏｇ２（ ＋ ）
∵０＜ ＜１，∴ ＝ｌｏｇｃ （０，＋∞） ， ＞ ＞０， ｆ 则ａ ．
ａ ｂ 项正确 （３）＝１， ＝
∴ ｌｏｇｃ ＜ｌｏｇｃ ，Ｂ ； 答案
ｃ 函数ｙ ｘｃ 在 上单调递增 －７
∵０＜ ＜１，∴ ＝ （０，＋∞） ， 解析 本题主要考查函数的解析式及对数的运算．
又 ａ ｂ ａｃ ｂｃ 项错误
∵ ＞ ＞０，∴ ＞ ，Ｃ ； ｆ ｘ ｘ２ ａ 且ｆ
ｃ ｙ ｃｘ 在 上单调递减 ∵ （ ）＝ｌｏｇ２（ ＋ ） （３）＝１，
∵０＜ ＜１，∴ ＝ （０，＋∞） ， ｆ ａ
又 ａ ｂ ｃａ ｃｂ 项错误．故选 ． ∴ （３）＝ｌｏｇ２（９＋ ）＝１，
∵ ＞ ＞０，∴ ＜ ，Ｄ Ｂ ａ ａ ．
评析 本题主要考查了幂函数、指数函数、对数函数的图象和 ∴ ＋９＝２，∴ ＝－７
性质，熟练掌握幂函数、指数函数、对数函数的图象和性质是解 ９．（２０１６浙江，１２，６分）已知ａ
＞
ｂ
＞１
．若
ｌｏｇａ
ｂ
＋ｌｏｇｂ
ａ
＝
５
，
ａｂ
＝
ｂａ
，
题的关键． ２
则ａ ｂ ．
５．（２０１３课标Ⅱ理，８，５分）设ａ ｂ ｃ 则 ＝ ， ＝
＝ｌｏｇ３６， ＝ｌｏｇ５１０， ＝ｌｏｇ７１４， 答案
４；２
（ ） 解析 令 ｂ ｔ ａ ｂ ｔ 由 ｂ ａ ５ 得 ｔ
ｃ ｂ ａ ｂ ｃ ａ ａ ｃ ｂ ａ ｂ ｃ ｌｏｇａ ＝ ，∵ ＞ ＞１，∴０＜ ＜１， ｌｏｇａ ＋ｌｏｇｂ ＝ ，
Ａ． ＞ ＞ Ｂ． ＞ ＞ Ｃ． ＞ ＞ Ｄ． ＞ ＞ ２
答案 Ｄ 由对数运算法则得 ａ ｂ
＝ｌｏｇ３６＝１＋ｌｏｇ３２， ＝１＋ １ ５ 解得ｔ １ 或ｔ 舍去 即 ｂ １ ｂ ａ 又
ｃ 由对数函数图象得 所以ａ ＋ ｔ ＝ ， ＝ ＝２（ ）， ｌｏｇａ ＝ ，∴ ＝ ，
ｌｏｇ５２， ＝１＋ｌｏｇ７２， ｌｏｇ３２＞ｌｏｇ５２＞ｌｏｇ７２， ２ ２ ２
＞ ｂ ＞ ｃ ， 故选 Ｄ ． ａｂ ｂａ ａａ ａ ａ 即ａａ ａ ａ ２ 亦即 ａ ａ 解得ａ ｂ ．
６．（２０１３课标Ⅱ文，８，５分）设ａ ｂ ｃ 则 ＝ ，∴ ＝（ ） ， ＝ ， ＝ ， ＝４，∴ ＝２
＝ｌｏｇ３２， ＝ｌｏｇ５２， ＝ｌｏｇ２３， ２
（ ） 评析 本题考查对数式、指数式的运算，注意 ｌｏｇａ ｂ ＝ １ ａ ，
ａ ｃ ｂ ｂ ｃ ａ ｃ ｂ ａ ｃ ａ ｂ ｌｏｇｂ
Ａ． ＞ ＞ Ｂ． ＞ ＞ Ｃ． ＞ ＞ Ｄ． ＞ ＞
答案 Ｄ 先求出 ｂ １ 是解题的突破口．
∵ ３＜２＜３，１＜２＜ ５，３＞２，∴ ｌｏｇ３ ３＜ｌｏｇ３２＜ｌｏｇ３３， ｌｏｇａ ＝
２
１ ａ ｂ １ ｃ
ｌｏｇ５１＜ｌｏｇ５２＜ｌｏｇ５ ５，ｌｏｇ２３＞ｌｏｇ２２，∴ ＜ ＜１，０＜ ＜ ， ＞１，
２ ２
时间： 分钟 分值： 分
５５ ７５
一、单项选择题 每题 分 共 分
（ ５ ， ３０ ）
１．（２０２０山西平遥中学第一次月考，３）若 ａ 则ａ的取值
ｌｏｇ２ ３ ＜１，
范围是
（ ）
ａ ２ ａ ２
Ａ．０＜ ＜ Ｂ． ＞
３ ３
２ ａ ａ ２ 或ａ
Ｃ． ＜ ＜１ Ｄ．０＜ ＜ ＞１
３ ３
答案 Ｂ
２．（２０２１届广东云浮郁南蔡朝焜纪念中学９ 月月考，７）函数
ｆ ｘ ｘ ｘ２ ｘ ｘ 的图象大致为 答案 Ｂ
（ ）＝ｃｏｓ ｌｎ（ １＋ － ）（－２≤ ≤２） （ ）
３．（２０２０山西平遥中学第一次月考，４）设ａ ＝４ －２ １ ， ｂ ＝ｌｏｇ１ ２ １ ， ｃ ＝
３
１３４ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
则ａ ｂ ｃ的大小关系是 ８．（２０２１届山东聊城第一中学检测，１１）已知实数ａ ｂ ｃ满足ａ
ｌｏｇ３２， ， ， （ ） ， ，
ａ ｂ ｃ ａ ｃ ｂ ｂ ｃ 则下列结论正确的是
Ａ． ＜ ＜ Ｂ． ＜ ＜ ＞ ＞１＞ ＞０， （ ）
ｃ ａ ｂ ｃ ｂ ａ ｃａ ｃｂ ｃ ｃ
Ｃ． ＜ ＜ Ｄ． ＜ ＜ Ａ． ＞ Ｂ．ｌｏｇａ ＞ｌｏｇｂ
４．（２ 答 ０２ 案 ０ 山 Ｂ 东夏季高考模拟，８）若ａ ｂ ｃ 且ａｃ ｂ２ 则 Ｃ． 答 ｌｏｇ 案 １ ３ ａ ＜ Ｂ ａ Ｃ １ ３ Ｄ． ａ２ ３ ＜ ｂ２ ３
＞ ＞ ＞１ ＜ ， （ ）
ｂ ｃ ａ ｂ ａ ｃ
Ａ．ｌｏｇａ ＞ｌｏｇｂ ＞ｌｏｇｃ Ｂ．ｌｏｇｃ ＞ｌｏｇｂ ＞ｌｏｇａ 三、填空题 每题 分 共 分
ｃ ｂ ａ ａ ｂ ｃ （ ５ ， １０ ）
Ｃ．ｌｏｇｂ ＞ｌｏｇａ ＞ｌｏｇｃ Ｄ．ｌｏｇｂ ＞ｌｏｇｃ ＞ｌｏｇａ ９．（２０１９皖中名校１０月联考，１５）函数ｙ ｆ ｘ 的图象和函数ｙ
答案 Ｂ ＝ （ ）
ｘ ａ 且 ａ 的图象关于直线 ｙ ｘ 对称 且函数
５．（２０２１ 届江苏盐城伍佑中学摸底考试）若函数 ｆ ｘ ＝ｌｏｇａ （ ＞０ ≠１） ＝－ ，
（ ）＝ ｇ ｘ ｆ ｘ 则函数ｙ ｇ ｘ 的图象必过定点 ．
{ ｘ ｘ （ ）＝ （ －１）－３， ＝ （ ）
－ ＋６， ≤２， ａ 且ａ 的值域是 则实数ａ的取 答案
ｘ ｘ （ ＞０ ≠１） ［４，＋∞）， （１，－４）
３＋ｌｏｇａ ， ＞２ １０．（２０１９江西赣州模拟，１４）已知函数ｆ ｘ ｘ 实数ｍ ｎ
值范围是 （ ）＝ ｜ｌｏｇ３ ｜， ，
（ ） 满足 ｍ ｎ 且ｆ ｍ ｆ ｎ 若ｆ ｘ 在 ｍ２ ｎ 上的最大值为
０＜ ＜ ， （ ）＝ （ ）， （ ） ［ ， ］
Ａ．（１，２］ Ｂ．（０，２］ ｎ
则 ．
Ｃ．［２，＋∞） Ｄ．（１，２ ２］ ２， ｍ ＝
答案 Ａ
答案
６．（２０２０广东珠海第一学期摸底测试，７） ｘ ｙ 是 ｘ ｙ 的 ９
“ｌｎ ＜ｌｎ ” “ｅ ＜ｅ ” 四、解答题 共 分
（ ２５ ）
充分非必要条件 必要非充分条件 （ ） １１．（２０２１届福建连城一中月考（一），１９）设ｆ （ ｘ ）＝ｌｏｇａ（１＋ ｘ ）＋
Ａ． 充要条件 Ｂ． 既不充分也不必要条件 ｌｏｇａ（３－ ｘ ）（ ａ ＞０， 且ａ ≠１）， 且ｆ （１）＝２ ．
Ｃ． 答案 Ａ Ｄ． 求ａ的值及ｆ ｘ 的定义域与单调递增区间
（１） （ ） ；
[ ]
二、多项选择题 每题 分 共 分 求ｆ ｘ 在区间 ３ 上的最大值．
（ ５ ， １０ ） （２） （ ） ０，
７．（２０２１届山东潍坊统一检测，１０）已知正实数ｘ ， ｙ满足 ｌｏｇ２ ｘ ＋ １２．（２０２１届江苏南京大学 ２ 附属中学阶段检测，２２）已知函数
( )ｘ ( )ｙ
ｌｏｇ１ ２ ｙ ＜ ２ １ － ２ １ ， 则下列结论正确的是 （ ） ｆ （ ｘ ） 求 ＝ｌ ａ ｏｇ 的 ａ ｘ 值 （ ａ ＞ 并 ０， 写 且 出 ａ 函 ≠ 数 １）， ｆ 且 ｘ ｆ 的 （３ 定 ）＝ 义 １ 域 ．
（１） ， （ ） ；
Ａ．
１
ｘ ＜
１
ｙ Ｂ．
ｘ３
＜
ｙ３
（２）
设函数ｇ
（
ｘ
）＝
ｆ
（１＋
ｘ
）－
ｆ
（１－
ｘ
），
试判断ｇ
（
ｘ
）
的奇偶性
，
并
说明理由
；
ｙ ｘ ｘ － ｙ １ 若不等式ｆ ｔ ｘ ｆ ｘ ｔ 对任意ｘ 恒成立 求
Ｃ．ｌｎ（ － ＋１）＞０ Ｄ．２ ＜ （３） （ ·４ ）≥（２ －） ∈［１，２］ ，
２ 实数ｔ的取值范围．
答案 ＢＣ
专题三 函数的概念、性质与基本初等函数 １３５
１．（２０１９ 全国名校模拟示范卷一，５） 已知函数 ｆ ｘ 故选
（ ） ＝ Ｃ．
{ ｘ －１ ｘ ５．（２０１８北京二十七中期中，８）对于函数ｆ ｘ ｘ 有
２ －２， ≤１， 若ｆ ａ 则ｆ ａ （ ）＝ｌｇ｜ －２｜＋１，
ｘ ｘ （ ）＝－３， （ －７）＝ （ ） 如下三个命题
－ｌｏｇ２（ ＋１）， ＞１， ：
ｆ ｘ 是偶函数
７ ３ ３ ４ ①（ ＋２） ；
Ａ．－ Ｂ．－ Ｃ． Ｄ． ｆ ｘ 在区间 上是减函数 在区间 上是增
３ ２ { ｘ －１ ５ ｘ ５ ② 函数 （ ） （－∞，２） ， （２，＋∞）
答案 Ｂ 函数ｆ ｘ ２ －２， ≤１， ｆ ａ ；
∵ （ ）＝ ｘ ｘ （ ）＝－３， ｆ ｘ ｆ ｘ 在区间 上是增函数．
－ｌｏｇ２（ ＋１）， ＞１， ③（ ＋２）－（ ） （２，＋∞）
当ａ 时 ｆ ａ ａ －１ 无解 其中正确命题的序号是
∴ ≤１ ， （ ）＝２ －２＝－３， ； （ ）
当ａ 时 ｆ ａ ａ 解得ａ
＞１ ， （ ）＝－ｌｏｇ２（ ＋１）＝－３， ＝７， Ａ．①② Ｂ．①③
∴ ｆ （ ａ －７）＝ ｆ （７－７）＝ ｆ （０）＝２ ０－１ －２＝－ ３ ．故选 Ｂ． Ｃ．②③ Ｄ．①②③
２ 答案 Ａ 令ｇ ｘ ｆ ｘ ｘ 则ｇ ｘ ｇ ｘ 故
ｘ （ ）＝ （ ＋２）＝ｌｇ｜ ｜＋１， （ ）＝ （－ ），
２．（２０１８山东淄博模拟，１０）已知函数ｆ ｘ ｘ ｇ ｘ 正确
（ ）＝ｅ ， （ ）＝ｌｎ ＋ ① ；
２ 函数ｔ ｘ 在 上是减函数 在 上是增函
∵ ＝｜ －２｜ （－∞，２） ， （２，＋∞）
１ 对任意ａ Ｒ 存在ｂ 使ｆ ａ ｇ ｂ 则ｂ ａ的 数 且ｙ ｔ在 上是增函数
， ∈ ， ∈（０，＋∞）， （ ）＝ （ ）， － ， ＝ｌｇ （０，＋∞） ，
２ ｆ ｘ 在 上是减函数 在 上是增函数 故
最小值为 ∴ （ ） （－∞，２） ， （２，＋∞） ， ②
（ ） 正确
；
Ａ．２ ｅ－１ Ｂ．ｅ ２ － １ ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ ２ 在
２ （ ＋２）－ （ ）＝ｌｇ｜ ｜－ｌｇ｜ －２｜ ＝ｌｇ ｘ ＝ｌｇ １＋ｘ ， （２，
－２ －２
Ｃ．２－ｌｎ２ Ｄ．２＋ｌｎ２
上是减函数 故 错误．
答案 Ｄ 令 ｙ ＝ｅ ａ ， 则 ａ ＝ｌｎ ｙ ， 令 ｙ ＝ｌｎ ｂ ＋ １ ， 可得 ｂ ＝ 故 ＋∞ 选 ） ． ， ③
２ ２ Ａ
２ｅ ｙ －１ ２ ， 令ｈ （ ｙ ）＝ ｂ － ａ ， 则ｈ （ ｙ ）＝ ２ｅ ｙ －１ ２ －ｌｎ ｙ ，∴ ｈ′ （ ｙ ）＝ ２ｅ ｙ － １ ２ － ６．（２０１８浙江“七彩阳光”联盟期中，３）设ａ ＞０， ｂ ＞０， 则 “ｌｏｇ２ ａ ＋
ｂ ａ ｂ 是 ａｂ 的
１ ．显然 ｈ′ ｙ 是增函数 观察可得当 ｙ １ 时 ｈ′ ｙ 故 ｌｏｇ２ ≥ｌｏｇ２（ ＋ ）” “ ≥４” （ ）
ｙ ， （ ） ， ＝ ， （ ）＝ ０， 充分不必要条件 必要不充分条件
２ Ａ． Ｂ．
充要条件 既不充分也不必要条件
ｈ′ ｙ 有唯一零点．故当ｙ １ 时 ｈ ｙ 取得最小值 为 １ ２－１ ２ Ｃ． Ｄ．
（ ） ＝ ， （ ） ， ２ｅ － 答案 Ａ 若 ａ ｂ ａ ｂ 则ａｂ ａ ｂ．又ａ ｂ
２ ｌｏｇ２ ＋ｌｏｇ２ ≥ｌｏｇ２（ ＋ ）， ≥ ＋ ＞０， ＞
１ 故选 则ａｂ ａ ｂ ａｂ 即ａｂ 故充分性成立 若ａ ｂ
ｌｎ ＝２＋ｌｎ２， Ｄ． ０， ≥ ＋ ≥２ ， ≥４， ； ＝４， ＝１，
２ 则满足ａｂ 但 ａ ｂ ａ ｂ ａ
３．（２０１９北京东城期末，８）地震里氏震级是地震强度大小的一 ≥４， ｌｏｇ２ ＋ｌｏｇ２ ＝２，ｌｏｇ２（ ＋ ）＝ｌｏｇ２５＞２，∴ ｌｏｇ２ ＋
ｂ ａ ｂ 不成立 故必要性不成立 故选 ．
种度量．地震释放的能量Ｅ 单位 焦耳 与地震里氏震级Ｍ之 ｌｏｇ２ ≥ｌｏｇ２（ ＋ ） ， ， Ａ
间的关系为
ｌｇ
Ｅ
＝４
．
８＋１
．
５
Ｍ
（
．已知
：
两次地
）
震的里氏震级分别为
７．（
ａ
２０
在
１８天津新华
上
中
为减
学
函
模
数
拟，
则
４）
实
关
数
于
ａ
ｘ
的
的
取
函
值
数
范围
ｙ
＝
是
ｌｏｇ１ ２（
ｘ２
－
ａｘ
＋
Ｅ ２ ） ［１，＋∞） ， （ ）
． 级和 ． 级 若它们释放的能量分别为Ｅ 和Ｅ 则 １的值
８０ ７５ ， １ ２， Ｅ Ａ．（－∞，２］ Ｂ．（－１，＋∞）
２
所在的区间为 Ｃ．（－１，２］ Ｄ．（－∞，－１）
Ａ．（１，２） Ｂ．（５，６）
（ ） 答案 Ｃ
∵
函数ｙ
＝ｌｏｇ１ ２（
ｘ２
－
ａｘ
＋２
ａ
）
在
［１，＋∞）
上为减函
数 ｔ ｘ２ ａｘ ａ在 上为增函数 且在 上ｔ
Ｃ．（７，８） Ｄ．（１５，１６） ，∴ ＝ － ＋２ ［１，＋∞） ， ［１，＋∞） ＞
答案 Ｂ 由 Ｅ ． ． Ｍ可得 Ｅ ． ． ． 恒成立
ｌｇ ＝４８＋１５ ｌｇ １＝４８＋１５×８＝１
Ｅ
６ ８， ０
{ ａ
，
Ｅ ． ． ． ． Ｅ Ｅ ． ３ １
ｌｇ ２＝４８＋１５×７５＝１６０５，∵ ｌｇ １－ｌｇ ２＝０７５＝
４
，∴ ｌｇ Ｅ
２
＝ 则
２
≤１， 解得
－１＜
ａ
≤２
．
Ｅ ２ ａ ａ
３ ，∴ Ｅ １ ＝１０ ３ ４ ＝ ４ １０００，∵ ５＝ ４ ６２５＜ ４ １０００＜ ４ １２９６＝６， 实 １ 数 － ａ ＋ 的 ２ 取 ＞０ 值 ， 范围是 ．
４ ２ ∴ （－１，２］
选 ． ８．（２０１７陕西西安４月模拟，６）若实数ｘ满足 ｘ θ
∴ Ｂ ｌｏｇ２ ＝２＋ｓｉｎ ，
ｘ 则 ｘ ｘ
４．（２０１８安徽安庆二模，７）函数ｆ ｘ ＋１ ｘ ａ 的 ｜ ＋１｜＋｜ －１０｜＝ （ ）
（ ）＝ ｘ ｌｏｇａ｜ ｜（０＜ ＜１） ｘ ｘ
｜ ＋１｜ Ａ．２ －９ Ｂ．９－２ Ｃ．１１ Ｄ．９
图象的大致形状是 答案 Ｃ 因为 θ 所以 θ 即
（ ） ｓｉｎ ∈［－１，１］， ２＋ｓｉｎ ∈［１，３］，
ｘ 解得ｘ 所以 ｘ ｘ ｘ
ｌｏｇ２ ∈［１，３］， ∈［２，８］， ｜ ＋１｜＋｜ －１０｜ ＝（ ＋１）＋
ｘ 故选 ．
（１０－ ）＝１１， Ｃ
９．（２０１８浙江９＋１高中联盟期中，１１）随着天文 航海 工程 贸
、 、 、
易以及军事的发展 改进数字计算方法成了当务之急 约翰
， ， ·
纳皮尔正是在研究天文学的过程中 为了简化其中的计算而发
ｘ
{
－ｌｏｇａ（－
ｘ
），
ｘ
＜－１，
明了对数．后来天才数学家欧拉发现 ， 了对数与指数的关系
，
即
答案 Ｃ ｆ ｘ ＋１ ｘ ｘ ｘ ａｂ Ｎ ｂ Ｎ．
（ ）＝ ｘ ｌｏｇａ｜ ｜＝ ｌｏｇａ（－ ），－１＜ ＜０， ＝ ⇔ ＝ｌｏｇａ
｜ ＋１｜ ｘ ｘ ． 现在已知 ａ ｂ 则ａｂ ．
ｌｏｇａ ， ＞０ ２ ＝３，３ ＝４， ＝
１３６ ５年高考３年模拟 Ａ版（教师用书）
答案 是 ．
２
解析 因为 ａ ｂ 所以ａ ｂ [ )
２ ＝３，３ ＝４， ＝ｌｏｇ２３， ＝ｌｏｇ３４， 答案 １
，＋∞ ；（１，＋∞）
故ａｂ ｌｎ３ ｌｎ４ ｌｎ４ ． １０
＝ｌｏｇ２３×ｌｏｇ３４＝ × ＝ ＝２
ｌｎ２ ｌｎ３ ｌｎ２ 解析 由 ｘ 得 ｘ １ 则 ｆ ｘ 的定义域
１０．（２０１８江苏镇江高三上学期期末，１４）已知 ｋ 为常数 函数 １＋ｌｇ ≥０， ≥ ， （ ）
， １０
{ｘ [ )
＋２ ｘ 为 １ ．
ｆ ｘ ｘ ， ≤０， 若关于ｘ的方程ｆ ｘ ｋｘ 有且只有 ，＋∞
（ ）＝ ＋１ （ ）＝ ＋２ ４ １０
ｘ ｘ 令 ｘ ｔ ｔ 则不等式ｆ ｘ 可转化为ｔ２ ｔ
｜ｌｎ ｜， ＞０， １＋ｌｇ ＝ ，≥０， （ ）＞１ ＋ －２＞０，
个不同的解 则实数ｋ的取值范围为 ． ｔ ｔ ．
， ∵ ≥０，∴ ＞１
{ } ｘ ｘ 故不等式ｆ ｘ 的解集是 ．
答案 １ ∴１＋ｌｇ ＞１，∴ ＞１， （ ）＞１ （１，＋∞）
３ ∪（－ｅ，－１） ｘ
ｅ １４．（２０１８江苏南通一中期中）已知函数ｆ ｘ ｘ １－ ．
ｘ （ ）＝－ ＋ｌｏｇ２ ｘ
解析 当ｘ 时 ＋２ ｋｘ 成立 １＋
＝０ ，ｘ ＝ ＋２ ， ( ) ( )
＋１ 求ｆ １ ｆ １ 的值
故当ｘ 时 方程有三个根 （１） ＋ － ；
≠０ ， ， ２０１８ ２０１８
ｘ 当ｘ ａ ａ 其中ａ 时 函数ｆ ｘ 是否存在最
当ｘ 时 ＋２ ｋｘ ｋ －１ （２） ∈（－ ， ］， ∈（０，１） ， （ ）
＜０ ，ｘ ＝ ＋２⇒ ＝ｘ ， 小值 若存在 求出 ｆ ｘ 的最小值 若不存在 请说明
＋１ ＋１ ？ ， （ ） ； ，
ì
ï－ｌｎ
ｘ
－２ ｘ
理由．
ｘ ï ｘ ，０＜ ＜１， 解析 由题意易得ｆ ｘ 的定义域是 ．
当ｘ 时 ｘ ｋｘ ｋ ｜ｌｎ ｜ ２ í （１） （ ） （－１，１）
＞０ ，｜ｌｎ ｜＝ ＋２⇒ ＝ ｘ － ｘ ＝ï ｘ ｘ
î ïｌｎ ｘ －２ ， ｘ ≥１， 由ｆ （ ｘ ）＝－ ｘ ＋ｌｏｇ２ １－ ｘ，
１＋
ì ï－１ ｘ 可得 ｆ ｘ ｘ １＋ ｘ ｘ ( １－ ｘ) －１
故ｋ í
ï
ï
ｘ
－ ＋ ｌｎ １
，
ｘ －
＜
２
０，
ｘ 令 ｋ ｇ ｘ 当 ｘ 时 ｇ′ ｘ ( ｘ
（－
１－
）
ｘ
＝
)
＋
ｆ
ｌ
ｘ
ｏｇ２
即 １－ ｆ
ｘ
ｘ
＝ －
ｆ
（－
ｘ
） ＋ ｌｏｇ２
１＋
ｘ ＝
＝ï ｘ ，０＜ ＜１， ＝ （ ）， ０＜ ＜１ ， （ ）＝ － － ＋ｌｏｇ２ ｘ ＝－（ ）， （ ）＋（－ ）＝０，
１＋
ï ｘ ( ) ( )
î ïｌｎ ｘ －２ ， ｘ ≥１， 所以ｆ １ ＋ ｆ － １ ＝０ ．
－１－（－ｌｎ ｘ －２） ｌｎ ｘ ＋１ 令ｇ′ ｘ 则ｘ １ ｇ ( １ ) 令ｔ ２０ １ １ － ８ ｘ ２ ２ ０１８
ｘ２ ＝ ｘ２ ， （ ）＝０， ＝ ， ＝－ｅ， （２） ＝ ｘ＝－１＋ ｘ，
ｅ ｅ １＋ １＋
ｘ ｘ
当ｘ 时 ｇ′ ｘ １－（ｌｎ －２） －ｌｎ ＋３ 则ｔ ２ 在 内单调递减．
≥１ ， （ ）＝ ｘ２ ＝ ｘ２ ， ＝－１＋ ｘ （－１，１）
１＋
又ｙ ｔ在 上单调递增
令ｇ′
（
ｘ
）＝０，
则ｘ
＝ｅ
３
，
ｇ
（ｅ
３
）＝
１
３
． ＝ｌｏｇ２ （０，＋∞）
ｘ
，
ｅ 所以ｆ ｘ ｘ １－ 在 内单调递减
{ } （ ）＝－ ＋ｌｏｇ２ ｘ （－１，１） ，
画出图象可得ｋ １ ． １＋
∈（－ｅ，－１）∪ ３ 所以当ｘ ａ ａ 其中ａ 时 函数ｆ ｘ 存在最小值
ｅ ∈（－ ， ］， ∈（０，１） ， （ ）
ａ
ｆ ａ ａ １－ ．
（ ）＝－ ＋ｌｏｇ２ ａ
１＋
１５．（２０１８江苏盐城中学上学期第一次检测，１６）已知函数ｆ ｘ
（ ）
ｘ ｘ ．
＝ｌｇ（２＋ ）＋ｌｇ（２－ ）
求函数ｆ ｘ 的定义域 并判断函数ｆ ｘ 的奇偶性
（１） （ ） ， （ ） ；
记函数ｇ ｘ ｆ （ ｘ ） ｘ 求函数ｇ ｘ 的值域
（２） （ ）＝１０ ＋３ ， （ ） ；
若不等式ｆ ｘ ｍ有解 求实数ｍ的取值范围．
（３） （ ）＞ ，
解析 函数ｆ ｘ ｘ ｘ
１１．（２０１８北京石景山期末，９）若 ａ １ ｂ ( １ ) ０ ． ８ ｃ １ ３ { ｘ （１）∵ （ ）＝ｌｇ（２＋ ）＋ｌｇ（２－ ），
＝ｌｎ ， ＝ ， ＝２ ， ２＋ ＞０，解得 ｘ ． 函数ｆ ｘ 的定义域为 ．
２ ３ ∴ ｘ －２＜ ＜２∴ （ ） （－２，２）
则ａ ｂ ｃ的大小关系为 ． ２－ ＞０，
， ， ｆ ｘ ｘ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 是偶函数．
答案 ａ ｂ ｃ ∵ （－ ）＝ｌｇ（２－ ）＋ｌｇ（２＋ ）＝ （ ），∴ （ ）
解析 ∵
＜
ａ
＜
＝ｌｎ １ ＜０，０＜ ｂ ＝ ( １ ) ０ ． ８ ＜１， ｃ ＝２ １ ３ ＞１，∴ ａ ＜ ｂ ＜ ｃ． （ ∵ ２ ｇ ） （
ｆ
（ ｘ ）
ｘ
） ＝ ＝ １ ｌ ０ ｇ ｆ （ （ ｘ ２ ） ＋ ＋ ３
ｘ
） ｘ ， ＋ｌｇ（２－
ｘ
）＝ｌｇ（４－
ｘ２
）
．
２ ３ ( )
１２．（２０１９贵州质量测评卷一，１５）已知函数ｙ
＝ｌｏｇａ（
ｘ
－１）＋２（
ａ
∴
ｇ
（
ｘ
）＝－
ｘ２
＋３
ｘ
＋４＝－
ｘ
－
３ ２
＋
２５
（－２＜
ｘ
＜２），
且ａ 的图象恒过定点Ａ 若点Ａ也在函数ｆ ｘ ｘ ｂ ２ ４
＞０ ≠１） ， （ ）＝３ ＋ ( )
的图象上 则ｂ ． ｇ ｘ ｇ ３ ２５ ｇ ｘ ｇ ．
， ＝ ∴ （ ）ｍａｘ＝ ＝ ， （ ）ｍｉｎ＝ （－２）＝－６
答案 ２ ４
－７ ( ]
解析 令ｘ 得ｘ 定点为Ａ 将定点Ａ的坐 函数ｇ ｘ 的值域是 ２５ ．
－１＝１， ＝２，∴ （２，２）， ∴ （ ） －６，
标代入函数ｆ （ ｘ ） 中 ， 得 ２＝３ ２ ＋ ｂ ， 解得ｂ ＝－７ ． 不等式ｆ ｘ ｍ有解 ４ ｍ ｆ ｘ
１３．（２０１８浙江萧山九中１２月月考，１１）若函数ｆ （ ｘ ）＝ １＋ｌｇ ｘ （ 令 ３） ｔ ＝ ∵ ４－ ｘ２ ， 由于 （ － ） ２ ＞ ＜ ｘ ＜２，∴ ， ０ ∴ ＜ ｔ ≤ ＜ ４， （ ∴ ） ｍ ｍａ ＜ ｘ， ｌｇ４ ．
＋ｌｇ ｘ ， 则ｆ （ ｘ ） 的定义域为 ； 不等式 ｆ （ ｘ ）＞１ 的解集 ∴ 实数ｍ的取值范围为 ｛ ｍ ｜ ｍ ＜ｌｇ４｝ ．
