文档文本内容
4.4对数函数
1. 对数函数概念；2. 对数函数的定义域；3. 对数函数的图象；4. 对数函数性质及应用；5. 对数函数
单调性的应用；6. 对数型复合函数的单调性；7. 对数型复合函数的值域；8. 对数型复合函数的奇偶性.
一、单选题
1．（2021·浙江湖州·高一期中）下列各式中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
A、∵y＝3x，在R上为增函数，∵0.8＞0.7，∴30.8＞30.7，故A正确；
B、∵y＝log x，在 上为减函数，∵0.4＜0.6，∴log 0.4＞log 0.6，故B正确；
0.5 0..5 0..5
C、∵y＝0.75x，在R上为减函数，∵﹣0.1＜0.1，∴0.75﹣0.1＞0.750.1，故C错误；
D、∵ ，在 上为增函数，∵ ，∴ ，故D正确.
故选：C．
2．（2021·全国高三课时练习（理））“ ”是“函数 为奇函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
时， ，当 时， ，函数 为奇函数；当 时， ，函数 不是奇函数
时， 不一定奇函数，当 是奇函数时，由 可得 ，所以“
”是“函数 为奇函数”的必要不充分条件 ，故选B.
3．（2021·全国高三课时练习（理））设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“log 3<log 3
a b
”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
若3a>3b>3，则a>b>1，从而有log 3<log 3，故为充分条件. 若log 3<log 3不一定有a>b>1，比如.
a b a b
1
a= ,b=3，从而3a>3b>3不成立.故选B.
3
4．（2021·全国高一课时练习）图中曲线是对数函数 的图象，已知 取 ， ， ， 四
个值，则相应于 ， ， ， 的 值依次为A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
【答案】A
【解析】
由已知中曲线是对数函数 的图象，
由对数函数的图象和性质，可得 ， ， ， 的 值从小到大依次为： ， ， ， ，
由 取 ， ， ， 四个值，
故 ， ， ， 的 值依次为 ， ， ， ，
故选： ．
5．（2021·全国高一课时练习）设 则（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【答案】A
【解析】
，
.
故选：A.
6．（2021·武威第六中学高三其他（文））设函数 ，则满足 的
的取值范围为（ ）．A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意， ，
所以 ，
①当 时， ，即 ，
解得 ，所以 ；
②当 时， ，即 ，
解得 ，所以 ；
综上是， 时 的取值范围为 .
故选：B
7．（2021·浙江高一期中）函数 的单调递增区间是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由 ，得到 ，令 ，则 在 上递减，而 在 上递减，
由复合函数单调性同增异减法则，得到 在 上递增，
故选：A
8．（2021·黄梅国际育才高级中学高一月考）已知奇函数 在 上是增函数，若 ，
， ，则 的大小关系为( )A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意： ，
且： ，
据此： ，
结合函数的单调性有： ，
即 .
本题选择C选项.
9．（2021·浙江高一期中）若 ， ， ，定义在 上的奇函数 满足:对任
意的 且 都有 ，则 的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由题意， 在 上单调递减，
又 ，所以 ，
所以 ，故选B．
10．（2021·全国高一课时练习）函数 在 上为减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：若函数 在 上为减函数,则 ，计算得出 ，所以B
选项是正确的.
点睛：复合函数的单调性需遵循原则“同增异减”，即内层函数和外层函数单调性相异时，符合函数才会
单减， 作为对数的底，所以有 ，所以内层函数单减，所以外层函数必须单增，故 ，还需保证
真数在定义域上恒大与 ，只需保证正数部分最小值大于 即可.
二、多选题
11．（2021·浙江高一单元测试）已知 ， 且 ， ，若 ，则下列不等式可能
正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
∵ ，
∴若 ，则 ，即 ．
∴ ，故A正确．
，故D正确．
若 ，则 ，
∴ ， ，故BC错误，故选：AD
12．（2021·全国高一课时练习）函数 在 上是减函数，那么（ ）
A． 在 上递增且无最大值 B． 在 上递减且无最小值
C． 在定义域内是偶函数 D． 的图象关于直线 对称
E. ，满足 在 上是减函数
【答案】ADE
【解析】
由 得，函数 的定义域为 .
设 则 在 上为减函数，在 上为增函数，
且 的图象关于 对称，所以 的图象关于 对称，D正确；
因为 在 上是减函数，所以 ，所以E正确；
由上述分析知 在 上递增且无最大值，A正确，B错误；
又 ，
所以C错误，
故选：ADE.
13．（2021·山东日照·高二期末）给出下列三个等式： ，
， ，下列函数中至少满足一个等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】对A： ，符合；
对B： ，符合；
对C：不满足任何一个等式；
对D： ，符合.
故选：ABD
14．（2021·江苏姑苏·苏州中学高一期中）对于函数 ，下列说法正确的有（
）
A． 是偶函数
B． 是奇函数
C． 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数
D． 没有最小值
【答案】AD
【解析】
对A,B,因为 ,故,
又 ,故 为偶函数.故A正确,B错误.
对C.因为 .
当 时,因为 在 为减函数,故 为减函数,所以在区间 为减函数.故C错误.
对D,因为当 时, 为减函数.故且当 时, .
故 没有最小值.故D正确.
故选： AD
三、填空题
15．（2021·六盘水市第二中学高一期中（理））函数 的定义域是__________．
【答案】
【解析】
由题意可得 ，即 ，解得 且 .
因此，函数 的定义域是 .
故答案为： .
16．（2021·安徽蚌埠·高三其他（文））已知函数 ，则
_______.
【答案】
【解析】
．
故答案为：－1
17．（2021·湖南天心·长郡中学高三其他（文））设函数 则满足 的的取值范围是_______________.
【答案】
【解析】
时， ， ， ，∴ ，
时， ， ， ，所以 ，
综上，原不等式的解集为 ．
故答案为： ．
四、双空题
18．（2021·浙江湖州·高一期中）函数 的定义域为______，最小值为______.
【答案】
【解析】
由题意得 ，解得 ，所以函数 的定义域为 ，
令 ，所以 在 递减，且 .
因此函数 的值域为 ，最小值为 .
故答案为： ；
19．（2021·上海高三专题练习）已知函数 ，若它的定义域为 ，则
a_________，若它的值域为 ，则a__________．
【答案】
【解析】
函数 的定义域为 ，则 恒成立，故 ，
即 ；函数 为 ，则 是函数 值域的子集，
则 ，即 .
故答案为： ； .
20．（2021·上海高一课时练习）若 ，则 的取值范围是___________；若 ，则 的
取值范围是__________．
【答案】
【解析】
在定义域内是增函数
由 ，可得
解得：
，则 的取值范围是：
在定义域内是减函数
由 ，可得
解得：
，则 的取值范围是：
故答案为： ； ．
21．（2018·浙江嘉兴·高三月考）已知 ，则 _________，若 ，则 _________.
【答案】 ； 或 .
【解析】
，
，
当 时，若 ，则 ，求得 ；
当 时，若 ，则 ，求得 .
故答案为： ； 或 .
五、解答题
22．（2021·全国高一课时练习）画出下列函数的图象：
（1）y＝lg|x－1|．（2） ．
【答案】图象见解析
【解析】
（1）设 ，
所以 是偶函数，图象关于 轴对称，
图象是由 向右平移 个单位得到，
所以 图象关于 对称，
当 时， ，
图象是 图象向右平移 个单位得到，
再画出其关于 对称部分，
即可得出 图象，如下图所示：（2）由函数 ，则满足 ，解得 ，即函数的定义为 ，
先画得对数函数 的图象，将函数 的图象向右平移1个单位，
得到函数 ，再将函数 下方的图象关于 轴对称，
即可得到函数 的图象，如图所示：
23．（2021·全国高一课时练习）已知f(x)＝log(1－x)＋log(x＋3)，求f(x)的定义域、值城．
2 2
【答案】定义域为 ，值域为 .
【解析】
由函数 有意义得 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
因为
， ，
又因为 在 上递增，在 上递减，所以 ，所以 .
所以函数 的值域为 .
24．（2021·内蒙古集宁一中高三月考）已知
(1)求 的定义域；
(2)判断 的奇偶性并予以证明；
(3)求使 的 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
(1)由 >0 ，解得x∈(－1,1)．
(2)f(－x)＝log ＝－f(x)，且x∈(－1,1)，∴函数y＝f(x)是奇函数．
a
(3)若a>1，f(x)>0，则 >1，解得0<x<1；
若0<a<1，f(x)>0，则0< <1，解得－1<x<0.
判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，
如果对称常见方法有：（1）直接法， (正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，
（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法， （ 为偶函数，
为奇函数） .
25.（2021·浙江高一期中）已知函数 ．（Ⅰ）若 ，求函数 的定义域和值域；
（Ⅱ）若函数 的定义域为 ，值域为 ，求实数 的值．
【答案】（Ⅰ）定义域为 ，值域为 ；（Ⅱ） .
【解析】
（Ⅰ）若 ，则 ，由 ，得到
，得到 ，故定义域为 ．
令 ，则
当 时， 符合．
当 时，上述方程要有解，则 ，得到 或 ，
又 ，所以 ，
所以 ，则值域为 ．
（Ⅱ）由于函数 的定义域为 ，则 恒成立，则 ，即 ，令
，由于 的值域为 ，则 ，而
，则由 解得 ，故 和 是方程
即 的两个根，则 ，得到 ，符合题
意．所以 ．26．（2021·开鲁县第一中学高二期末（文））设 ,且
.
（1）求 的值及 的定义域；
（2）求 在区间 上的最大值．
【答案】（1） ，定义域为 ；（2）2
【解析】
（1） ,解得 .
故 ,
则 ,解得 ,
故 的定义域为 .
（2）函数 ,定义域为 , ,
由函数 在 上单调递增,函数 在 上单调递增,在 上单调递减,
可得函数 在 上单调递增,在 上单调递减.
故 在区间 上的最大值为 .
27．（2021·怀仁市第一中学校云东校区高一期末（理））已知函数
.(1)当 时,求 ；
(2)求解关于 的不等式 ；
(3)若 恒成立,求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）
【解析】
（1）当 时，
（2）由 得：
或
当 时，解不等式可得： 或
当 时，解不等式可得： 或
综上所述：当 时， 的解集为 ；当 时， 的解集为
（3）由 得：
或
①当 时， ，
或 ，解得：②当 时， ，
或 ，解得：
综上所述： 的取值范围为
