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4.2 指数函数
1. 指数函数的概念；2. 指数函数的图象；3. 指数函数的性质；4. 幂式大小的比较；5. 指数型函数的
奇偶性；6. 指数型函数的单调性；7.
一、单选题
1．（2021·全国高一课时练习）下列各函数中，是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据指数函数的定义知， ，
A选项底数错误，B选项系数错误，C选项指数错误；
D正确.
故选：D
2．（2021·全国高一课时练习）已知函数 的图象经过定点P，则点P的坐标是（ ）
A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)
【答案】A
【解析】
当 ，即 时， ，为常数，
此时 ，即点P的坐标为(－1，5).
故选：A.
3．（2021·浙江高一期中）函数 与 ，其中 ，且 ，它们的大致图象在同一直角
坐标系中有可能是 ( )A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为函数 单调递增，所以排除AC选项；
当 时， 与 轴交点纵坐标大于1，函数 单调递增，B选项错误；
当 时， 与 轴交点纵坐标大于0小于1，函数 单调递减；D选项正确.
故选：D
4．（2021·陆良县联办高级中学高一开学考试）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
要是函数有意义须满足 ，即 ，解得 ，
因此，函数 的定义域为 .
故选：C.
5．（2021·浙江高三月考）在同一直角坐标系中，函数 与 在 上的图象可能
是（ ）．A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
为幂函数， 为指数函数
A. 过定点 ，可知 ， ， 的图象符合，故可能.
B. 过定点 ，可知 ， ， 的图象不符合，故不可能.
C. 过定点 ，可知 ， ， 的图象不符合，故不可能.
D.图象中无幂函数图象，故不可能.
故选：A
6．（2021·全国高一课时练习）若a<0，则0.5a, 、5a 、5－a的大小关系是（ ）
A．5－a<5a<0.5a B．5a<0.5a<5－a C．0.5a<5－a<5a D．5a<5－a<0.5a
【答案】B
【解析】
因为 ，故可得 ， ， ；
再结合指数函数的图像关系，则 .
故 .
故选：B.
7．（2021·黑龙江高二期末（文））设函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． 或 B．
C． D．
【答案】A
【解析】
当 时， ，函数 单调递增，
由于函数 是定义在 上的偶函数，且 ，
由 ，得 ，所以， ，解得 或 .
因此，不等式 的解集为 或 .
故选：A.
8．（2021·浙江高一课时练习）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由二次函数的性质可知 ，因此，即函数 的值域为 .
故选： .
9．（2021·浙江南湖 嘉兴一中高一月考）函数 为增函数的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ 是减函数， 在 上递增，在 上递减，
∴函数 的增区间是 ．
故选：C．
复合函数的单调性（在函数定义域内）：
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
10．（2021·河北新华 石家庄二中高二期末）若函数 的值域为 ，则a的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
当 时，
当 时，
函数 的值域为，即
故选：B
二、多选题
11．（2021·浙江高一单元测试）若函数 （ 且 ）的图像过第一、三、四象限，
则必有（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
若 ，则 的图像必过第二象限，而函数 （ 且 ）的图像过
第一、三、四象限，所以 ．
当 时，要使 的图像过第一、三、四象限，则 ，即 ．
故选：BC
12．（2021·浙江高一单元测试）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
，则
，
， ，又 ，
， ．
故选：AC.
13．（2021·广东南海 高一月考）已知函数 ， ，则 ， 满足（）
A． B． 且
C． D．
【答案】AB
【解析】
对A, 成立.故A正确.
对B, 因为 中 为增函数, 为减函数,故 为增函数.故
成立.因为 , ,故 成立.
故B正确.
对C, , .故C错误.
对D, .故D错误.
故选：AB
14．（2021·湖南宁乡一中高一开学考试）定义运算 ，设函数 ，则下列
命题正确的有（ ）
A． 的值域为
B． 的值域为
C．不等式 成立的范围是
D．不等式 成立的范围是【答案】AC
【解析】
由函数 ，有,
即，作出函数 的图像如下，
根据函数图像有 的值域为 ，
若不等式 成立，由函数图像有
当 即 时成立，
当 即 时也成立.
所以不等式 成立时， .
故选：AC.
三、填空题
15．（2021·全国高一课时练习）函数y=（a2–3a+3）•ax是指数函数，则a的值为___________．
【答案】2
【解析】
由题意得：a2–3a+3=1，即（a–2）（a–1）=0，解得a=2或a=1（舍去），故答案为2．
16．（2021·全国高一课时练习）已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】∵a2＋a＋2＝ ，
∴y＝(a2＋a＋2)x为R上的增函数．
∴x>1－x，即 .
x的取值范围是 .
17．（2021·六盘水市第二中学高一期中（理））若函数 在［－1，2］上的最大
值为4，最小值为m，且函数 在 上是增函数，则a＝＿＿＿＿.
【答案】
【解析】
当 时，有 ，此时 ，此时 为减函数，
不合题意.若 ，则 ，故 ，检验知符合题意
四、双空题
18．（2021·上海高一课时练习）函数 的图象与函数 的图象关于________对称，它们的交
点坐标是_________.
【答案】 轴
【解析】
函数 的图象与函数 的图象如下：由指数函数的性质可知，函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，它们的交点坐标是 .
故答案为： 轴； .
19．（2021·哈尔滨市第一中学校高三开学考试（文））已知函数，则 __________，函数
的值域为__________.
【答案】
【解析】
时 ,∴ ,
当 时 ,根据指数函数的性质， )的取值范围是 ，
当 时 ， 的取值范围是 ,
∴函数 的值域为
故答案为： ，
20．（改编题）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米
德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用[x]表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数，例如： ， ，已知函数 ，则函数
奇偶性是 函数， 的值域是
【答案】奇函数； {－1,0}.
【解析】
∵ ， ，
∴ 为，
化 ，
∵ ，∴ ，则 ．
∴当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， .
∴函数 的值域是 ．
故选：D．
21．（2021·上海高一课时练习）已知函数 ，则该函数的最大值为__________，
最小值为_________.
【答案】2
【解析】函数 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，
，
函数 单调递增， ，即函数 的最大值为2，最小值为 .
故答案为：2；
五、解答题
22．（2021·全国高一课时练习）比较下列各题中的两个值的大小．
（1） ， ；
（2） ，1；
（3） ， .
【答案】（1） （2） （3）
【解析】
（1）因为 ， ，
又指数函数 为增函数，且 ，
所以 ，即 .
（2） ，（3） ， ，
所以 .
23．（2021·全国高一课时练习）求下列函数的定义域与值域．
（1）y＝ ；
（2）y＝ ；
（3）y＝ .
【答案】（1）定义域是{x|x∈R且x≠3}，值域为{y|y>0且y≠1}；（2）定义域为R，值域为{y|
0<y≤1}；（3）定义域为(－∞，0]，值域为[0,1)．
【解析】
（1）因为指数函数y＝2x的定义域为x∈R，值域为y∈(0，＋∞)；
若x≠0，则y≠1.
由于y＝2 中的 ≠0，所以y≠1.所以所求函数的定义域是{x|x∈R且x≠3}，
值域为{y|y>0且y≠1}．
（2）因为y= 中的|x|≥0，所以x∈R,0<y≤1.
所以所求函数的定义域为R，值域为{y|0<y≤1}．
（3）由1－2x≥0得2x≤1，∴x≤0.
∴0<2x≤1，
∴0≤1－2x<1，
∴0≤y<1.
故定义域为(－∞，0]，值域为[0,1)．
24．（2021·全国高一课时练习）求下列函数的单调区间．
（1）（2）y＝ .
【答案】（1）答案见解析（2）单调递增区间为 和 ，无递减区间.
【解析】
（1）令 ，则 ，
因为 在 上递减，在 上递增，
所以当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2）由 ，得 ，令 ，则 ，
因为 ，所以函数 在 和 上都是减函数，
因为 在 和 上都是减函数，
所以函数 在 和 上都是增函数，
故函数 的单调递增区间为 和 ，无递减区间.
25．（2021·浙江高一课时练习）已知
(1) 求函数 的定义域；
(2) 判断 的奇偶性；并说明理由；
(3) 证明【答案】(1) (2) 为偶函数． (3) 证明见解析.
【解析】
(1)由 ,得 ,即 .
函数 的定义域是 ;
(2)解:函数 的定义域关于原点对称,
又 ,
而 ,
.
为偶函数;
(3)当 时, ,.
当 时,由 ,
得 ,
,则 ,.
综上, .
26．（2021·黑龙江工农·鹤岗一中高二期末（文））函数 是奇函数．
求 的解析式；
当 时， 恒成立，求m的取值范围．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
函数 是奇函数，
，
故 ，
故 ；
当 时， 恒成立，
即 在 恒成立，
令 ， ，
显然 在 的最小值是 ，
故 ，解得： ．
27．（2021·宁夏兴庆 银川一中高二期末（文））已知定义在 上的奇函数 ，在 时，且 .
（1）求 在 上的解析式；
（2）证明：当 时， ；
（3）若 ，常数 ，解关于 的不等式 .
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）
【解析】
（1）∵ 是 上的奇函数且 时， ，
∴当 时， ，
又由于 为奇函数，∴ ，∴ ，
又 ， ，∴ .
综上所述，当 时， .
（2）当 时， ，又 ，当且仅当 ，即 取等号.
∵ ，∴ ，∴ .
（3）当 时， ， ，即 ，
设 ，不等式变为 ，∵ ，∴ ，
∴ .
而当 时， ，所以 ，
又 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，
∴ ， 即 .
综上可知，不等式 的解集是 .
