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第四章 指数函数与对数函数
4.2.2 指数函数的图像和性质
一、选择题
1．（2019·全国高一课时练）已知函数f(x)＝ax(0<a<1)，对于下列命题：①若x>0，则0<f(x)<1；②若
x<1，则f(x)>a；③若f(x)>f(x)，则x<x.其中正确命题的个数为( )
1 2 1 2
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】因为 ，所以函数 在 上递减，可得③正确； 时， ，
0<a<1 f (x)=ax (-∞,+∞) x>0 0<f (x)<a0=1
可得①正确； 时， ，可得②正确；即①②③都正确，故选D.
x<1 f (x)>a0=1
2．（2019·安徽马鞍山二中高一期中考试）若 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 在 上单调递减，所以 ，则 ；
又因为 在 上单调递增，所以 ，所以 ；则 ，故选：A.
3．（2019·全国高一课时练）函数y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数y＝x＋a单调递增．由题意知a>0且a≠1.当0<a<1时，y＝ax单调递减，直线y＝x＋a,在y轴上的截距大于0且小于1；
当a>1时，y＝ax单调递增，直线y＝x＋a在y轴上的截距大于1.故选D.
4．（2019·全国高一课时练）函数f(x)＝ax-3 ＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点（ ）
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,2) D．(3,2)
【答案】D
【解析】当x－3＝0，即x＝3时， ＝1；f(3)＝1＋1＝2，故选D.
5．（2019·全国高一课时练）函数 的图象的大致形状是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，且 ，所以根据指数函数的图象和性质， 函数
为减函数，图象下降； 函数是增函数，图象逐渐上升，故选D.
6．（2019·全国高一课时练）函数 在区间 上的最大值是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D【解析】 ,当x=-2时取得最大值为27.
二、填空题
7．（2019·江苏高一课时练）若指数函数 是R上的减函数，则 的取值范围是__________．
f(x)=(2a+1) x a
1
【答案】- <a<0
2
1
【解析】因为f(x)为减函数，所以0<2a+1<1，解得- <a<0，填 。
2
8．（2017·全国高一课时练习）已知f(x)＝ax＋b的图象如图所示，则f(3)＝________．
【答案】3 －3
【解析】因为f(x)的图象过(0，－2)，(2，0)且a>1，
所以 ,所以a＝ ，b＝－3，所以f(x)＝( )x－3，f(3)＝( )3－3＝3 －3.
9.（2019·全国高一课时练）函数 的单调递减区间是_________.
【答案】
【解析】令 ，则 ， 在 上递增，在 上递减，而 是增函
数， 原函数的递减区间为 ，故答案为 .
10．（2019·全国高一课时练）设函数 f(x)= 的最小值为 2,则实数 a 的取值范围是
.
【答案】[3,+∞)
【解析】当x≥1时,f(x)≥2,当x<1时,f(x)>a-1,由题意知,a-1≥2,∴a≥3.三、解答题
11．（2019·全国高一课时练）求不等式a4x＋5>a2x－1(a>0，且a≠1)中x的取值范围．
【答案】当a>1时，x的取值范围为{x|x>－3}；当0<a<1时，x的取值范围为{x|x<－3}．
【解析】解：对于a4x＋5>a2x－1(a>0，且a≠1)，
当a>1时，有4x＋5>2x－1，解得x>－3；
当0<a<1时，有4x＋5<2x－1，解得x<－3.
故当a>1时，x的取值范围为{x|x>－3}；当0<a<1时，x的取值范围为{x|x<－3}．
12．（2014·全国高一课时练）已知函数f(x)＝3x－ .
(1)若f(x)＝2，求x的值； (2)判断x>0时，f(x)的单调性；
(3)若3tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈ 恒成立，求m的取值范围．
【答案】（1）log (1＋ )
3
（2）f(x)＝3x－ 在(0，＋∞)上单调递增;（3）[－4，＋∞)
【解析】解：(1)当x≤0时，f(x)＝3x－3x＝0，∴f(x)＝2无解．
当x>0时，f(x)＝3x－ ，令3x－ ＝2.
∴(3x)2－2·3x－1＝0，解得3x＝1± .
∵3x>0，∴3x＝1＋ .∴x＝log (1＋ )．
3
(2)∵y＝3x在(0，＋∞)上单调递增，
y＝ 在(0，＋∞)上单调递减，
∴f(x)＝3x－ 在(0，＋∞)上单调递增．
(3)∵t∈ ，∴f(t)＝3t－ >0. ∴3tf(2t)＋mf(t)≥0化为3t ＋m ≥0，即3t ＋m≥0，即m≥－32t－1.
令g(t)＝－32t－1，则g(t)在 上递减，∴g(x) ＝－4.
max
∴所求实数m的取值范围是[－4，＋∞)．
