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能力强化 / 初二 / 春季
第 1 讲 三角形的证明
例题练习题答案
例1 已知：如图，CD平分∠ACB，DE // BC，∠AED = 80∘ ，求∠EDC的度数．
练1.1 如图，在△ABC中，AB = AC，CD平分∠ACB交AB于点D，AE∥DC交BC的延长线于点
E，已知∠BAC = 32∘ ，∠E的度数为( )
A： 48∘
B： 42∘
C： 37∘
D： 32∘
例2 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD于点D，∠DCB=∠B，若AC＝10，CD＝8，求AB
的长．
练2.1 如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4，则BC的长为（ ）
1/150
A： 4
B： 8
C： 12
D： 16
例3 如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC = 90∘ ，AB = AC，BE平分∠ABC交AC于E，过C作
CD⊥BE于D点，写出AT、CD与BD之间的数量关系并证明．
练3.1 如图，等腰Rt△ABC中，AC = AB，∠BAC = 90∘ ，E是AC上任意一点，过C作CD⊥BE于
D，连接AD，求证：∠ADB = 45∘ ．
例4 如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点P．求
证：AB=PC．
练4.1 如图，在△ABC中，AB=AC，D为△ABC外一点，∠ABD = ∠ACD = 60∘ ．求证：
CD = AB −BD．
2/150
例5 如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，
∠A = ∠ABE．
（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；
（2）当AB = AC，∠A = 46∘ 时，求∠EBC及∠F的度数．
练5.1 如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE
于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线；
（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
例6 如图，BD = CD，∠ABD = ∠ACD = 90∘ ，点E、F分别在AB、AC上，若ED平分
∠BEF．
（1）求证：FD平分∠EFC；
3/150
（2）求证：EF = BE +CF．
练6.1 如图，CE⊥AB，BD⊥AC，BF = CF，若∠B = 30∘ ，则∠BAF的度数为（ ）．
A： 30∘
B： 35∘
C： 40∘
D： 45∘
能力强化 / 初二 / 春季
第 1 讲 三角形的证明
自我巩固答案
1 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB+BD=CD，∠C=25°，则∠B等于（ ）
A： 25°
B： 30°
4/150
C： 50°
D： 65°
2 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN//BC交AB于M，交AC于
N，若BM +CN = 9，则线段MN的长为（ ）
A： 6
B： 7
C： 8
D： 9
3 如图，∠ABC = 50∘ ，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足
DF = DE，则∠DFB的度数为（ ）
A： 25∘
B： 130∘
C： 50∘ 或130∘
D： 25∘ 或130∘
4 已知△ABC为等腰直角三角形，B、D、E三点共线，AE⊥DE ，∠ADE=45∘ ．
求证：CD+AE = BE．
5/150
5 如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ ABC是等边三角形，若∠ADC = 30∘ ，
AD = 3，BD = 5，则CD的长为（ ）
–
A： 3√2
B： 4
–
C： 2√5
D： 4.5
6 如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上（除B、C外）的任意一点，∠ADE=60°，且DE交△ABC
外角∠ACF的平分线CE于点E．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）求证：AD=DE．
7 两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD = CD，
AB = CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：
1
①AC⊥BD；②AO = CO = AC；③△ ABD≌ △ CBD，
2
其中正确的结论有（ ）
A： 0个
6/150
B： 1个
C： 2个
D： 3个
8 如图，在△ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，下
面四个结论：
①∠AFE=∠AEF；
②AD垂直平分EF；
S BF
△BFD
③ = ；
S CE
△CED
④EF一定平行BC．
其中正确的是（ ）
A： ①②③
B： ②③④
C： ①③④
D： ①②③④
9 如图，OE = OF，CE = CF，点D在OC上，DE⊥OA于点E，DF⊥OB于点F．则下列结
论错误的是（ ）
A： DE = DF
B： OC平分∠ECF
7/150
C： CE = OE
D： △DEO≌△DFO
10 如图，∠B = ∠C = 90∘ ，M是BC的中点，DM平分∠ADC ，∠CMD = 35∘ ， 则
∠MAB的度数是（ ）
A： 35∘
B： 45∘
C： 55∘
D： 65∘
能力强化 / 初二 / 春季
第 1 讲 三角形的证明
课堂落实答案
1 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，DE∥BC，BE平分∠ABC，CD分∠ACB．若AC=3，AB=4，
则DE的长为（ ）
A： 6
B： 7
C： 8
D： 9
8/150
2 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D．E、F分别是CD、AD上的点，且CE＝AF，
如果∠AED=62°，那么∠DBF＝（ ）
A： 62°
B： 38°
C： 28°
D： 26°
3 △ABC是等边三角形，且∠ADB = 60∘ ，则AD、BD、CD之间的数量关系为_______________．
4 如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC = 60∘ ，D是三角形外一点，且BD = CD，AD与BC交
于一点E，∠BDC = 120∘ ，则下列结论错误的是（ ）
A： AD垂直平分BC
B： AB = 2BD
C： ∠ACD = 90∘
D： △ABD ≅△ACD
5 如图，O是△ ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离相等，即OF = OD = OE，若
∠BAC = 100∘ ，则∠BOC等于（ ）
9/150
A： 140∘
B： 145∘
C： 150∘
D： 155∘
能力强化 / 初二 / 春季
第 1 讲 三角形的证明
精选精练
1 如图，在△ABC中，∠ACB = 90∘ ，AC = BC，∠CAD = ∠CBD = 15∘ ，延长BD到点
E，使CE = CB．以下结论：①CD平分∠ACB；②∠CDE=60°；③△ACE是等边三角形；④
DE = AD+CD，其中正确的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
2 已知：在△ABC中，∠ACB = 90∘ ，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线
于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ = MN．求证：
（1）△APM是等腰三角形；
10/150
（2）PC = AN．
–
3 已知AB = CD，∠AED = 90∘ ，求证：AD+BC ≥ √2CD．
4 如图，等边△ABC的边长为1，过AB上一点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，
连接PQ交AC于D，则DE的长为（ ）
1
A：
2
1
B：
3
2
C：
3
2
D：
5
5 如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，则下列结论：
11/150
①∠AED=90°；②∠ADE=∠CDE；③DE=BE；④AD=AB+CD，其中成立的是（ ）
A： ①②④
B： ①②③
C： ②③④
D： ①③
6 如图，∠ABC = ∠DCB，AB = DC，ME平分∠BMC交BC于点E，则下列说法：①
△ ABC ≅△ DCB，AB = DC；②ME 垂 直 平 分 BC； ③ △ ABM ≅△ EBM； ④
△ ABM ≅△ DCM，其中正确的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
能力强化 / 初二 / 春季
第 2 讲 一元一次不等式组
例题练习题答案
例1
12/150
x > 1
(1)
不等式组 的解集是（ ）
{x ≥ 2
A： x ≥ 2
B： x > 1
C： 1 < x ≤ 2
D： 无解
x ≥ −1
(2)
不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
{x < 2
A：
B：
C：
D：
练1.1
x > 3
(1)
不等式组 的解集是（ ）
{x < 4
A： x > 3
B： x < 4
C： 3 < x < 4
D： 无解
x ≤ 2
(2)
请在数轴上表示不等式组 的解集．
{x < 4
(3)不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组可能是（ ）
x < −3
A：
{x ≤ −1
x < −3
B：
{x ≥ −1
13/150
x > −3
C：
{x ≤ −1
x > −3
D：
{x ≥ −1
例2 解不等式组并将解集在数轴上表示出来．
−2x < 6
(1)
；
{3(x+1) ≤ 2x+5
3x−1 ≥ x+1
(2)
．
2x−1 < 5x+1
{
2
练2.1 2(x+1) > x
解不等式组 ，并在数轴上表示它的解集．
1 −2x ≥ x+7
{
2
2x−1 < 3
练2.2
不等式组 的整数解有（ ）个．
{−x ≤ 1
2
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
例3 解下列不等式组：
−2 −3x
（1）−1 < < 1； （2）4 ≤ 1 −3x ≤ 7．
4
练3.1 代数式2x−1的值小于1，但不小于−1，x的取值范围为___________．
例4
若关于x的不等式组
x+8 < 4x−1,
的解集是x > 3，则m的取值范围是________．
{x > m
x+9 < 5x+1
练4.1
不等式组 的解集是x > 2，则m的取值范围是（ ）
{x > m+1
A： m ≤ 2
B： m ≥ 2
C： m ≥ 1
14/150
D： m ≤ 1
练4.2
若关于x的不等式组
x−a > b
的解集为2 < x < 5，求
b
的值．
{2x−a < 2b+4 a
例5 关于x的方程2x−m = 4的解是非负数，求m的取值范围．
练5.1 已知关于x的方程5(x−1) = x+3m−11的 解 都 是 非 正 数 ， 则 m的 取 值 范 围 为
_____________．
5x+2y = 11a+18
练5.2
已知关于x，y的方程组 ．
{ 2x−3y = 12a−8
（1）用含a的式子表示x、y；
（2）x > 0，y > 0，求a的取值范围．
例6
(1) 1x−1 < 0
若不等式组 2 有解，则m的取值范围是（ ）
{x > m
A： m > 2
B： m < 2
C： m ≥ 2
D： m ≤ 2
1 +x > a
(2) 若不等式组 无解，则a的取值范围是___________．
{2x−4 < 0
练6.1
2x−m ≤ 0
(1) 若关于x的一元一次不等式组 有解,则m的取值范围是（ ）
{−x < 4
A： m ≥ −8
B： m ≤ −8
C： m > −8
D： m < −8
x−3m < 0
(2)
若关于x的一元一次不等式组 无解，则m的取值范围为（ ）
{x+2m > 7
15/150
7
A： m ≤
5
7
B： m >
5
7
C： m > −
5
7
D： m ≤ −
5
x−a < 1
练6.2
若关于x的不等式组 的整数解有3个，则a的取值范围是（ ）
{x ≥ 1
A： 3 < a ≤ 4
B： 2 < a ≤ 3
C： 2 ≤ a < 3
D： 3 ≤ a < 4
能力强化 / 初二 / 春季
第 2 讲 一元一次不等式组
自我巩固答案
2x+1 ≤ 3
1
不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
{x > −3
A：
B：
C：
D：
2
(1)解不等式组：
16/150
2x−1 ≥ x+1，
①
{x+8 < 4x−1；
x−3 < 0，
②
{2(x+1) ≤ x+3；
2x−5 < 0，
③
{x−2(x+1) < 0；
1
x−1 < x，
④⎧ 2
⎨2x−4 > 3x+3.
⎩
1 −3x 2x−7
(2) 解不等式组： < 2 ≤ 1 − ．
5 3
3
5x−2 < 3x+4，①
(1)
解不等式组：
{3x+3 ≥ x−1. ②
解：解不等式①得：________；解不等式②得：________；
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
所以，这个不等式组的解集是_____________；整数解为_____________．
x+2(1 −2x) ≥ −4，
(2)
解不等式组⎧ 3 +5x 并写出它的所有整数解．
⎨ x−1 < ，
⎩ 2
4(x+1) ≤ 7x+10，
(3)
解不等式组⎧ x−8 并写出它的所有非负整数解．
⎨ x−5 < ，
⎩ 3
1
4 (x+2)−3 > 0
关于x的不等式组⎧ 2 的解集是x > 4，那么m的取值范围是（ ）
⎨x > m
⎩
A： m ≤ 4
B： m < 4
C： m ≥ 4
D： m > 4
3x−1 > 4(x−1)，
5
关于x的不等式组 的解集为x < 3，那么m的取值范围为（ ）
{x < m
A： m = 3
17/150
B： m > 3
C： m < 3
D： m ≥ 3
x > m−1
6 关于x的不等式组 的解集为x > −1，则m的值是（ ）
{x > m+2
A： −3
B： −2
C： 0
D： 1
3x+y = 1 +a
7 若关于x，y的二元一次方程组 的解满足x+y < 505，则a的取值范围
{x+3y = 3
（ ）
A： a > 2016
B： a < 2016
C： a > 505
D： a < 505
x−m ≥ 0
8
若关于x的不等式组 有解，则m的取值范围是？
{5 −2x ≥ 0
x−m < 0
9
关于x的不等式 无解，那么m的取值范围为（ ）
{3x−1 > 2(x−1)
A： m ≤ −1
B： m < −1
C： −1 < m ≤ 0
D： −1 ≤ m < 0
x−a > 0
10
已知关于x的不等式组 有且只有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
{3x+4 < 13
A： a > −1
18/150
B： −1 ≤ a < 0
C： −1 < a ≤ 0
D： a ≤ 0
能力强化 / 初二 / 春季
第 2 讲 一元一次不等式组
课堂落实答案
3x+1 > 4，
1
不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
{ 2x−1 ≤ 3
A：
B：
C：
D：
1
2 x+ 1 ⩾ −3
不等式组 2 的最大整数解为（ ）
{x− 2(x− 3) > 0
A： 8
B： 6
C： 5
D： 4
2x−1 < 3，
3 若不等式组 的解集是x < 2，则a的取值范围是（ ）
{x < a
A： a < 2
B： a ≤ 2
C： a ≥ 2
19/150
D： 无法确定
x−a ≥ b−1，
4 已知关于x的不等式组 的解集为1 ≤ x < 3，试求a，b的值．
{2x+a < 2b
x−y = a+3
5 已知关于x，y的方程组 的解满足x > y > 0，求a的取值范围．
{ 2x+y = 5a
能力强化 / 初二 / 春季
第 2 讲 一元一次不等式组
精选精练
1 某同学在解不等式组的过程中，画的数轴除不完整外，没有其它问题．他解的不等式组可能是
（ ）
x−3 > 0
A：
{x+1 ≤ 0
x−3 ≤ 0
B：
{x+1 > 0
x−3 < 0
C：
{x+1 ≥ 0
x−3 ≥ 0
D：
{x+1 < 0
2 等腰三角形的周长为20，则腰长x的取值范围是_____________．
x−a > −1
3 已知关于x的不等式组 的解集中任意一个x的值均不在0 ≤ x ≤ 4的范围内，则
{x−a ≤ 2
a的取值范围是（ ）
A： a > 5或a < −2
B： −2 ≤ a ≤ 5
C： −2 < a < 5
D： a ≥ 5或a < −2
20/150
−1(x−a) > 0
4
若整数a使关于x的方程x+2a = 1的解为负数，且使关于x的不等式组 2 无
{x−1 ≥ 2x+1
3
解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A： 5
B： 7
C： 9
D： 10
x+3y = 3 −2k
5 关于x，y的方程组 的解满足x+y > 0，且关于x 的 不 等 式 组
{3x+y = 1 +k
x−2(x−1) ≤ 3
有解，则符合条件的整数k的值的和为（ ）
2k+x ≥ x
{
3
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
9x−a > 0，
6
如果关于x的不等式组 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数
{8x−b < 0
a，b的有序数对(a,b)共有_____个．
能力强化 / 初二 / 春季
第 3 讲 不等式（组）综合
例题练习题答案
例1 如图为一次函数y = ax+b的图象，则
（1）ax+b = 0的解为___________；
（2）不等式ax+b ≥ 0的解集为___________；
（3）不等式ax+b < 0的解集为___________；
（4）不等式ax+b ≤ −3的解集为____________．
21/150
练1.1
(1)一次函数y = kx+b(k ≠ 0)的图象如图所示，则一元一次不等式kx+b > 0的解集为（
）
A： x > −2
B： x < −2
C： x > 2
D： x < 2
(2)如图，直线y = x+b和y = kx+2与x轴分别交于点A(−2,0)、点B(3,0)， 则
x+b > 0
解集为（ ）
{kx+2 > 0
A： x < −2
B： x > 3
C： x < −2或x > 3
D： −2 < x < 3
22/150
例2 如图，直线y = kx+b经过点A(5,0)，B(1,4)．
(1)求直线AB的解析式；
(2)若直线y = 2x−4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
(3)根据图象，写出关于x的不等式2x−4 ≥ kx+b的解集．
练2.1
(1)直线l ：y = k x+b与直线l ：y = k x+c在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，
1 1 2 2
则关于x的不等式k x+b < k x+c的解集为（ ）
1 2
A： x > 1
B： x < 1
C： x > −2
D： x < −2
(2)如图，函数y = ax+4和y = 2x的图象相交于点A(m,3)，则不等式ax+4 > 2x的解
集为（ ）
23/150
3
A： x <
2
B： x < 3
3
C： x >
2
D： x > 3
例3 在开山工程爆破时，已知导火索燃烧速度为0.5cm/s，人跑开的速度是4m/s，为了使放炮的人在
爆破时能安全跑到100m以外的安全区，导火索的长度x（cm）应满足的不等式是（ ）
x
A： 4 × ≥ 100
0.5
x
B： 4 × ≤ 100
0.5
x
C： 4 × < 100
0.5
x
D： 4 × > 100
0.5
练3.1 某商品进价为700元，出售时标价为1100元，后由于商品积压，商店准备打折销售，但要保证利
润率不低于10%，则至多可打（ ）
A： 六折
B： 七折
C： 八折
D： 九折
练3.2 在一次奥运知识竞赛中，共有25道选择题，每道题的四个选项中，有且只有一个答案正确，选对
得4分，不选或错选扣2分，如果得分不低于60分才能得奖，那么要得奖至少应答对多少道题？
例4 小李是某服装厂的一名工人,负责加工A,B两种型号服装,他每月的工作时间为22天,月收入由底薪
和计件工资两部分组成,其中底薪900元,加工A型服装1件可得20元,加工B型服装1件可得12元.已
知小李每天可加工A型服装4件或B型服装8件,设他每月加工A型服装的时间为x天,月收入为y元.
24/150
(1)求y与x的函数关系式;
3
(2) 根据服装厂要求,小李每月加工A型服装数量应不少于B型服装数量的 ,那么他的月收入最高
5
能达到多少元?
练4.1 某商场用3600元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利600元．其中甲种商品每件进价120元，售
价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元．
(1)该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
(2)商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件
数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要
使第二次经营活动获利不少于840元，乙种商品最低售价为每件多少元？
练4.2 “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书
馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需
1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：采购的文学名著价格都一样，采购的动漫书
价格都一样）.
（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？
（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不
超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．
例5 某种笔记本原售价是每本6元，凡一次购买两本或以上可享受优惠价格，第1种：两本按原价，其
余按七折优惠；第2种：全部按原价的八折优惠，若在购买数量相同的情况下，要使第1种比第2种
更优惠，则至少购买笔记本（ ）本．
A： 7
B： 6
C： 5
D： 4
练5.1 甲、乙两个厂家生产的办公桌和办公椅的质量、价格一致，每张办公桌800元，每把椅子80元．
甲、乙两个厂家推出各自销售的优惠方案，甲厂家：买一张桌子送三把椅子；乙厂家：桌子和椅
25/150
子全部按原价8折优惠，现某公司要购买3张办公桌和若干把椅子，若购买的椅子数为x把（
x ≥ 9）．
（1）分别用含x的式子表示甲、乙两个厂家购买桌椅所需的金额；
（2）顾客到哪个厂家购买更划算？
能力强化 / 初二 / 春季
第 3 讲 不等式（组）综合
自我巩固答案
1
(1)如图为一次函数y = kx+b的图象，则：
①kx+b = 0的解为___________；
②不等式kx+b ≥ 0的解集为___________；
③不等式kx+b < 0的解集为___________；
④不等式kx+b ≥ 3的解集为____________．
(2)如图，已知函数y = x+b和y = ax+3的图象交点为P，则不等式x+b > ax+3的解
集为__________．
3x+1 > 0
2
观察下列图象，可以得出不等式组
{−0.5x+1 > 0
的解集是（ ）
26/150
1
A： x <
3
1
B： − < x < 0
3
C： 0 < x < 2
1
D： − < x < 2
3
3 如图，函数y = kx与y = ax+b的图象交于点P(−4,−2)，则不等式kx < ax+b的解集是
( )
A： x < −2
B： x > −2
C： x < −4
D： x > −4
4 学校运动会长跑比赛中，张华跑在前面，离终点100米时，在他身后10米的李明想以4米/秒的速
度冲刺超过张华，假设这时张华需以x米/秒的速度进行以后的冲刺，这样才能在到达终点时始终
保持领先位置，则下列满足题意的不等式为（ ）
110
A： x > 100
4
110
B： x < 100
4
110
C： x ≥ 100
4
110
D： x ≤ 100
4
27/1504
5 某商品的标价比成本价高m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，为了不亏本，n应满足
（ ）
A： n ≤ m
100m
B： n ≤
100 +m
m
C： n ≤
100 +m
100m
D： n ≤
100 −m
6 某次知识竞赛，共有20道题，每小题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过85分，
他至少要答对（ ）道题．
A： 11
B： 12
C： 13
D： 14
7 某公司经营A，B两种商品，A种商品每件进价9万元，B种商品每件进价5万元，现准备购进A，B
两种商品共20件，所用资金不低于145万元，不高于160万元，该公司的进货方案共有（ ）
A： 2种
B： 3种
C： 4种
D： 5种
8 某工厂现有甲种原料226kg，乙种原料250kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共40件，
生产A、B两种产品用料情况如下表：
需要用甲原料 需要用乙原料
一件A种产品 7kg 4kg
一件B种产品 3kg 10kg
若设生产A产品x件，求x的值，并说明有哪几种符合题意的生产方案．
28/150
9 某超市从厂家购进了A，B两种型号的体育器材共100件，总投资不越过1620元，A，B两种型号的
体育器材的进价分别为18元/件和15元/件．
（1）求A型号体育器材至多购进了多少件？
（2）若A，B两种型号的体育器材的售价分别为28元/件和20元/件，A型号体育器材的数量
用m（件）表示，超市售完这100件体育器材的毛利润用w（元）表示，求毛利润w（元）关于
m（件）的函数解析式，并求出毛利润w（元）的最大值．
（注：毛利润=售价−进价）
10 张老板要印制名片x张，有甲乙两个经销商来推销，甲经销商的价格是每份定价3元的名片打八
折，但另收900元的制版费，乙经销商的价格是每份名片定价3元不变，但制版费900元打六折．
（1）请直接用含x的式子表示甲、乙两个经销商的费用：甲 ，乙 ；
（2）请你替张老板根据印刷量来选择方案．
能力强化 / 初二 / 春季
第 3 讲 不等式（组）综合
课堂落实答案
1 一次函数y = kx+b(k ≠ 0)的图象如图所示，则一元一次不等式kx+b > 0的解集为（ ）
A： x > −2
B： x < −2
C： x > 2
D： x < 2
2 如图，直线y = mx经过P(2,1)和Q(−4,−2)两点，且与直线y = kx+b交于点P，则不
1 2
等式kx+b > mx的解集为（ ）
29/150
A： x > 2
B： x < 2
C： x > −4
D： x < −4
3 如图所示，l 反映了某公司的销售收入与销量的关系，l 反映了该公司产品的销售成本与销量的关
1 2
系，当该公司盈利（收入大于成本）时，销售量必须大于_________件．
4 某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天生产的汽车多6辆，那么现在15天的产量就
超过了原来20天的产量．若设原来每天最多能生产x辆，则关于x的不等式为（ ）
A： 15x > 20(x+6)
B： 15(x+6) ≥ 20x
C： 15x > 20(x−6)
D： 15(x+6) > 20x
5 为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒
乓球每个1.5元，球拍每个22元．如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么孔明应
该买多少个球拍？
能力强化 / 初二 / 春季
30/150
第 3 讲 不等式（组）综合
精选精练
1
1 已知直线y = kx+b经过(−2,−1)，(−3,0)两点，则不等式组 x < kx+b < 0的解集为
2
__________．
2 如图，直线y = kx+b过点A(0,2)，且与直线y = mx交于点P (1,m)，则不等式组
1 2
mx >kx+b >mx−2的解集是（ ）
A： 1 < x < 2
B： 0 < x < 2
C： 0 < x < 1
D： 1 < x
3 某市出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元付费，不足1千米
按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路为x千米，则x应满足的关系式为（ ）
A： 14.6−1.2 < 5 +1.2(x−3) ≤ 14.6
B： 14.6−1.2 ≤ 5 +1.2(x−3) < 14.6
C： 5 +1.2(x−3) = 14.6−1.2
D： 5 +1.2(x−3) = 14.6
4 某市区现行出租车的收费标准：起步价5元（即行驶距离不超过3千米都需付5元车费），超过3千
米后，每增加1千米，加收1.5元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付
车费11元，那么甲地到乙地路程的最大值是（ ）
A： 5千米
31/150
B： 7千米
C： 8千米
D： 9千米
5 若干名学生住宿舍,每间住4人,2人无处住;每间住6人,空一间还有一间不空也不满,问多少学生多少
宿舍?设有x间宿舍,则可列不等式(组)为___.
6 元旦联欢会上，班级为同学们买了一批小礼物，如果每个人分3个，还多5个；如果每个人分4个，
就会有一个人能分到但分不到4个，若已知班级学生的人数是奇数，试问这些小礼物共有多少个？
能力强化 / 初二 / 春季
第 4 讲 旋转模型
例题练习题答案
例1 如图，在△ABC中，D在AB上，且△CAD和△CBE都是等边三角形．
求证：（1）∠EDB = 60∘ ；（2）DE = CD+DB．
练1.1 已知：如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且A，E，D三点共线．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求证：DA −DB = DC．
32/150
例2 （1）如图，已知△ABE与△AFC都是等腰直角三角形，CE，BF相交于点M，
求证：EC⊥BF．
（2）如图，四边形ABCD，DEFG都是正方形，连接AE，CG．
求证：AE = CG．
练2.1 如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，且∠ACB = ∠DCE = 90∘ ．点A，D，E在同一直
线上，连接BE．
（1）求证：AD = BE；
（2）判断线段AE与BE的位置关系，并说明理由．
33/150
例3
(1)如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，C点在BD上，AC，BE交于点G，AD，CE交于点
F．
证明：①AD = BE；②△CGF是等边三角形．
(2)已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN是等边三角形．
求证：CF平分∠AFB．
练3.1 已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD，BE相交于点
P，AC，BE相交于点M，AD，CE相交于点N，则下列五个结论： ①AD = BE； ②
∠BMC = ∠ANC；③∠APM = 60∘ ；④AN = BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，
正确的有___________．
例4 已知△ABC为等腰直角三角形，B、D、E三点共线，AE⊥DE , ∠ADE=45∘ ．
34/150
求证：CD+AE = BE．
练4.1 △ABC是等边三角形，且∠ADB = 60∘ ，则AD、BD、CD之间的数量关系为_______________．
例5 已知，如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45∘ ，我们把这种
模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转时一种常用的方法．
(1)在图中，连接EF，为了证明结论“EF＝BE +DF”，小明将△ADF绕点A顺时针旋转90∘ 后
解答了这个问题，请按小明的思路写出证明过程；
(2)如图，当∠EAF的两边分别与CB、DC的延长线交于点E、F，连接EF，试探究线段
EF、BE、DF之间的数量关系，并证明．
练5.1 问题背景：“半角问题”．
35/150
(1)如 图 1 ， 在 四 边 形 ABCD 中 ， AB = AD ， ∠BAD = 120∘ ，
∠B = ∠ADC = 90∘ ．E、F分别是BC、CD上的点．且∠EAF = 60∘ ．探究图中线段
EF、BE、FD之间的数量关系．小明同学探究此“半角问题”的方法是：延长FD到点G．使
DG = BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论
应是___________________；（直接写结论，不需证明）
探索延伸：当聪明的你遇到下面的问题该如何解决呢？
1
(2)若将（1）中“∠BAD = 120∘ ，∠EAF = 60∘ ”换为∠EAF = ∠BAD，其它条件
2
不变，如图2，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关系，并证明；
(3)如图3，在四边形ABCD中，AB = AD，∠B +∠ADC = 180∘ ，E、F分别是边
1
BC、CD延长线上的点，且∠EAF = ∠BAD，试问线段EF、BE、FD具有怎样的数量关
2
系，并证明．
能力强化 / 初二 / 春季
36/150
第 4 讲 旋转模型
自我巩固答案
1 如图所示，AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE，∠1 = 25∘ ，∠2 = 30∘ ，则∠3
为（ ）
A： 60∘
B： 55∘
C： 50∘
D： 无法计算
2 如图，OA = OC，OB = OD且OA⊥OB，OC⊥OD，下列结论：①△AOD≌△COB； ②
CD = AB；③
∠CDA = ∠ABC，其中正确的结论是（ ）
A： ①②
B： ①②③
C： ①③
D： ②③
3 如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，B，C，D三点在一条直线上，AD与BE相交于点
P，AC，BE相交于点M，AD，CE相交于点N，则下列五个结论：①AD = BE；②∠BMC
37/150
=∠ANC；③∠APM = 60∘ ；④CP平分∠MCN；⑤△CMN是等边三角形．其中，一定正确
的有（ ）
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
4 如图所示，已知△ABC，分别以AB、AC边作图：AE⊥AB，AD⊥AC，AE = AB ，
AD = AC ， 下 列 结 论 ： ① △AEC≌△ABD； ② EC = DB； ③ EC⊥DB； ④ MA 平 分
∠EMD中，正确的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
5 在△ABC中，∠ABC = 45∘ ，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F，下列结
论：①∠FCD = 45∘ ；②AE = EC；③S
△ABF
: S
△AFC
= BD : CD；④若
BF = 2EC，则△FDC周长等于AB的长．正确的是（ ）
38/150
A： ①②
B： ①③
C： ①④
D： ①③④
6 如图，点B，C，E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是
（ ）
A： △ACE≌△BCD
B： △BGC≌△AFC
C： △DCG≌△ECF
D： △DBA≌△CEA
7 如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF = 45∘ ，若BE = 2 ，
DF = 3，则EF的长为（ ）
A： 3
B： 4
39/150
C： 5
D： 6
8 如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF = 45∘ ，且正方形的边长为4，则点
A到EF的距离为（ ）
A： 2
B： 4
–
C： 2√2
–
D： 4√2
9 如图，已知正方形ABCD的边长为12，点E，F分别在边BC、CD上，∠EAF = 45∘ ．当
EF = 10时，△AEF的面积是（ ）
A： 40
B： 50
C： 60
D： 64
10 如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿
AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE = 1，则EF的长为（ ）
40/150
3
A：
2
5
B：
2
9
C：
4
D： 3
能力强化 / 初二 / 春季
第 4 讲 旋转模型
课堂落实答案
1 如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等
边△CDE，AD与BE交于点O，求证：∠AOB = 60∘ ．
2 如图，△ABC是等边三角形，点D为AC边上一点，以BD为边作等边△BDE，连接CE，
若CD = 1，CE = 4，则BC的长度为（ ）
41/150
A： 4
B： 6
C： 5
D： 8
3 如图，在△ABC和△ADE中，AC = AB，AE = AD，∠CAB = ∠EAD = 90∘ ，则CE
与BD之
间的关系为______________________．
4 已知点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且
CA = CD，CB = CE，∠ACD = ∠BCE，直线AE 与 BD交 于 点 F ． 如 图 ， 若
∠ACD = 60∘ ，则
∠AFD =_____°．
42/150
5 如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EF = DE +BF，则∠EAF =（ ）
A： 30∘
B： 45∘
C： 60∘
D： 75∘
能力强化 / 初二 / 春季
第 4 讲 旋转模型
精选精练
1 如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角
形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下结论错误的是
（ ）
A： PQ∥AE
B： AP = BQ
C： DE = DP
D： ∠AOB = 60∘
2
43/150
在△ABC中，AB = CB，∠ABC = 90∘ ，F为AB延长线上一点，点E在BC 上 ， 且
AE = CF，若
∠CAE = 35∘ ，求∠ACF的度数为___________°．
3 如图，已知，△ABC和△ADE均为等边三角形，BD，CE交于点F．
（1）求证：BD = CE；
（2）求锐角∠BFC的度数．
4 如图，在Rt△ABC中，∠BAC = 90∘ ，AC = 2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45∘ 的直
角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和
EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
44/150
5 如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上．若点A到EF的距离等于正方形的边长，证明：
∠FAE = 45∘ ．
6 如图，Rt△CEF中，∠C = 90∘ ，∠CEF、∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线
CE、CF的垂线，B、D为垂足．
（1）求证：四边形ABCD是正方形．
（2）已知AB的长为6，求(BE +6)(DF +6)的值．
（3）借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若三角形PQR中，∠QPR = 45∘ ，一条高
是PH，长度为6，QH = 2，则HR =________．
能力强化 / 初二 / 春季
第 5 讲 三角形综合
例题练习题答案
例1 如图，已知△ABC中，AB = AC = 10cm，BC = 8cm，点D为AB的中点．
45/150
(1)如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运
动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理
由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与
△CQP全等？
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿
△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
练1.1 如图，在长方形ABCD中，AB = CD = 6cm，BC = 10cm，点P从点B出发，以2cm/秒的
速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒．
(1)PC =_____cm；（用含t的代数式表示）
(2)当t为何值时，△ ABP≌ △ DCP？
(3)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以v cm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在
这样的v值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
例2 如图，△ABC中，AB = BC = AC = 12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿
△ABC的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点
46/150
时，M、N同时停止运动．
(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
(3)当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此
时M、N运动的时间．
练2.1 如图：已知△ABC中，∠B = 90∘ ，AB = 16cm，BC = 12cm，P、Q是△ABC边上的两个动
点，其中点P从点A开始沿A → B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B沿B → C → A方
向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求PQ的长；
（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒种后，△PQB能形成等腰三角形？
（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
例3 已知：如图，点A(6，0)，点B(0，8)，点C在y轴上，将△OAB沿AC翻折，使点O落在AB边上的点
D处．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点C的坐标；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△PAB为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说
明理由．
47/150
练3.1 如图，直线y = x+3与y轴交于点A，与直线x = 1交于点B，点P是直线x = 1上的动点，若使
△ABP为等腰三角形，则点P的坐标是________．
例4 问题背景：如图1，△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结
论：PA+PC=PE．
–
问题解决：如图2，在△MNG中，MN = 6，∠M = 75∘ ，MG = 4√2．点O是△MNG内一
点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是_____．
练4.1 如图1，点P为△ABC所在平面上一点，且∠APB = ∠BPC = ∠CPA = 120∘ ，则点P叫做
△ABC的费马点．如图2，在锐角三角形△ABC的外侧作等边△
ACB′ ，连接BB′ ．求证：BB′
过
△ABC的费马点P，且BB′=PA +PB +PC．
48/150
能力强化 / 初二 / 春季
第 5 讲 三角形综合
自我巩固答案
1 已知：如图，在长方形ABCD中，AB = 4，AD = 6，延长BC到点E，使CE = 2，连接DE，
动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC−CD−DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，
当t的值为（ ）时，△ABP和△DCE全等．
A： 1
B： 1或3
C： 1或7
D： 3或7
2 如图，已知线段AB = 18米，MA⊥AB于点A，MA = 6米，射线BD⊥AB于B，P点从B点向A
运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走2米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，在线段
MA上有一点C，使△CAP与△PBQ全等，则x的值为( )
49/150
A： 4
B： 6
C： 4或9
D： 6或9
3 如图，在△ABC中，AB = AC = 28cm，BC = 20cm，点D是AB边的中点，若有一动点P
在BC边上由点B向点C运动，点Q在CA边上由点C向A运动．
(1)P、Q两点的运动速度均为3cm/s，经过2秒后，△BPD与△CPQ是否全等，说明理由；
(2)若点P的运动速度为2.5cm/s，点Q的运动速度为3.5cm/s，是否存在某一时刻，使
△BPD≌△CPQ．
4 △ABC中，∠C = 90∘ ，AC = 8cm，BC = 6cm．动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径
运动，速度为每秒2cm，运动的时间为t秒．以下结论中正确的有（ ）
①t为6秒时，CP把△ABC的周长分成相等的两部分
②t为6.5秒时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，且此时CP长为5cm：
③t为3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形，
A： ①②③
B： ①②
C： ②③
D： ①③
5 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，AC = BC = 9cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒
–
√2cm的速度向终点B运动；同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设
点P、点Q运动的时间为t秒，当△PQC成为以QC为底边的等腰三角形时，则t的值为( )
50/150
A： 3
–
B： 2√2
–
C： 3√2
–
D： 6 −3√2
6 如图，坐标平面内一点A（2，−1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶
点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（ ）
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
7 如图，已知Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，∠A = 30∘ ，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等
腰三角形，则符合条件的P点有( )
51/150
A： 2个
B： 4个
C： 6个
D： 8个
3
8 如图，一次函数y = − x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，将△AOB沿直线CD对折，
4
使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
（1）点A的坐标为_______，点B的坐标为_______；
（2）求OC的长；
（3）在x轴上有一点P，且△PAB是等腰三角形，不需计算过程，直接写出点P的坐标．
9 已知，点O是等边△ABC内的任一点，连接OA，OB，OC．
（1）如图1，已知∠AOB = 150∘ ，∠BOC = 120∘ ，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得
△ADC．
①∠DAO的度数是 ；
②用等式表示线段OA，OB，OC之间的数量关系，并证明；
（2）设∠AOB = α，∠BOC = β．
①当α，β满足什么关系时，OA +OB +OC有最小值？请在图2中画出符合条件的图形，并说
明理由；
②若等边△ABC的边长为1，直接写出OA +OB +OC的最小值．
52/150
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第 5 讲 三角形综合
课堂落实答案
1 如图，已知长方形ABCD的边长AB = 16cm，BC = 12cm，点E在边AB上，AE = 6cm，
如果点P从点B出发在线段BC上以2cm/s的速度向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点D向点C
运动．则当△BPE与△CQP全等时，点P运动的时间t为（ ）
A： 1s
B： 3s
C： 1s或3s
D： 2s或3s
2 如图所示，两根旗杆间相距12m，某人从B点沿BA走向A，一定时间后他到达点M，此时他仰望旗
杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90∘ ，且CM = DM，已知旗杆AC的高为3m，该人的运动
速度为1m/s，求这个人运动了多长时间？
3 如图，在△ABC中，AB = 20cm，AC = 12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运
动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也
随之停止运动，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是（ ）
53/150
A： 2.5秒
B： 3秒
C： 3.5秒
D： 4秒
3
4 如图，直线y = − x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是线段AB上的动点，若使△OAP
4
为等腰三角形，则点P的坐标是_______．
5 如图，△ABC中，∠ABC = 30∘ ，AB = 4，BC = 5，P是△ABC内部的任意一点，连接
PA，PB，PC，求PA +PB +PC的最小值．
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第 5 讲 三角形综合
精选精练
1
54/150
(1)如图1，在Rt △ ACB中，∠BAC = 90∘ ，AB = AC，分别过B、C两点作过点A的直
线l的垂线，垂足为D、E．当D、E两点在直线BC的同侧时，猜想BD、CE、DE三条线段有怎
样的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，将（1）中的条件改为：在△ ABC中，AB = AC，D、A、E三点都在直线l上，
并且有∠BDA = ∠AEC = ∠BAC = α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的猜
想是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图3，∠BAC = 90∘ ，AB = 22，AC = 28．点P从B点出发沿B → A → C路径向
终点C运动；点Q从C点出发沿C → A → B路径向终点B运动．点P和点Q分别以每秒2和3
个单位的速度同时开始运动，有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，
分别过P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G．问：点P运动多少秒时，△ PFA与△ QAG全
等？（直接写出结果即可）
2 如图，∠AOB = 60∘ ，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么
∠OEC的度数为（ ）
55/150
A： 120°或75°
B： 120°或30°
C： 75°或30°
D： 120°或75°或30°
3 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格
点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A： 6 个
B： 7 个
C： 8 个
D： 9个
4 如图，在平面直角坐标系内，已知点A(0，3)、B(6，5)，动点P在x轴正半轴上运动．
(1)连接AB，则线段AB的长为_____；
56/150
(2)当AP、BP与x轴所夹的锐角相等时，求点P与A、B两点的距离之和；
(3)当△PAB是等腰三角形时，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
4
5 如图，直线l ：y = x+4分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C为x轴上任意一点，直线l ：
1 2
3
3
y = − x+b经过点C，且与直线l 交于点D，与y轴交于点E，连接AE．
1
4
(1)当点C的坐标为（2，0）时，
①求直线l 的函数表达式；
2
②求证：AE平分∠BAC；
(2)问：是否存在点C，使△ACE是以CE为一腰的等腰三角形？若存在，直接写出点C的坐标；若
不存在，请说明理由．
6 如图，P是等边△ABC内部一点，PC = 3，PA = 4，PB = 5，求△ABC的边长．
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第 6 讲 因式分解高阶
例题练习题答案
例1
57/150
(1)因式分解的结果是(x−3)(x−4)的多项式是（ ）
A： x2 −7x−12
B： x2 −7x+12
C： x2 +7x+12
D： x2 +7x−12
(2)多项式x2 −4x−5分解因式，下列结果正确的是（ ）
A： (x+5)(x−1)
B： (x−5)(x+1)
C： (x−5)(x−1)
D： (x+5)(x+1)
(3)若x2 +mx−36 = (x−12)(x+3，) 则m的值为（ ）
A： −9
B： −15
C： 9
D： 15
练1.1
(1)因式分解的结果是(x+3)(x−5)的多项式是（ ）
A： x2 −2x−15
B： x2 −2x+15
C： x2 +2x+15
D： x2 +2x−15
(2)多项式x2 +4x−5分解因式，下列结果正确的是（ ）
A： (x+5)(x−1)
58/150
B： (x−5)(x+1)
C： (x−5)(x−1)
D： (x+5)(x+1)
(3)若x2 +mx−36 = (x−9)(x+4，) 则m的值为（ ）
A： −5
B： −13
C： 5
D： 13
例2 用十字相乘法进行因式分解：
（1）x2 −2x−15
2
（2）n2 −n +
9
（3）6x2 −x−2
（4）9x2+24x−9
（5）x2 +xy −6y2
（6）x3 −5x2y −24xy2
练2.1 因式分解：
（1）(x−1)(x+4)−36
（2）d2 +6db−7b2
（3）a4 +a2 −90
（4）a4 +3a2b2 +2b4
（5）2a2 −25b2 −5ab
（6）(x−y) 2 −2(x−y)−8
例3 若x2 +kx+20能在整数范围内因式分解，则k可取的整数值有（ ）
A： 2个
B： 3个
C： 4个
59/150
D： 6个
练3.1
(1)如果2a−3是多项式4a2 +ma+9的一个因式，则m的值是（ ）
A： 0
B： 6
C： 12
D： −12
(2)多项式x2 +px+24能分解成两个一次因式的积，则整数p的值可以是_________．
例4 因式分解：
（1）m4 +4n4 （2）x4 −3x2 +1
（3）n8 +n4 +1 （4）x4 −11x2y2 +y4
练4.1 因式分解：
（1）x3 −5x+4
（2）3a3 +7a2 −4
（3）x4 −7x2y2 +81y4
（4）4x2 −4x−y2 +4y −3
（5）a4 +a2b2 +b4
（6）x4 −47x2 +1
（7）2x4+3x3+3x2+3x+1
（8）a2 −2ab−3b2 +12b−9
例5
(1)若一个三角形三边满足(a+b) 2 −c2 = 2ab，则这个三角形是（ ）
A： 直角三角形
B： 等腰直角三角形
C： 等腰三角形
D： 以上结论都不对
60/150
(2)如图，边长为a，b的矩形的周长为10，面积为6，求a3b2 +a2b3
的值．
练5.1
(1)已知a、b、c是三角形的三条边，且a2 +4ac+3c2 −3ab−7bc+2b2 = 0，求证：
2b = a+c．
(2)矩形的周长是28cm，两边x，y使x3 +x2y −xy2 −y3 = 0，求矩形的面积．
(3)小东是一位密码爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：a−b、a+b、a2 −b2
、
c−d、c+d、c2 −d2
依次对应下列六个字：科、爱、勤、我、理、学，现将
(a2 −b2 )c2 −(a2 −b2 )d2
因式分解，其结果呈现的密码信息可能是（ ）
A： 勤学
B： 爱科学
C： 我爱理科
D： 我爱科学
例6 若整数m是8的倍数，那么称整数m为“发达数”．例如，因为16是8的倍数，所以16是“发达
数”．
（1）已知整数m等于某个奇数的平方减1，求证：m是“发达数”；
（2）已知两位正整数t = 10x+y（1 ≤ x ≤ y ≤ 9，其中x，y为自然数），交换其个位上的
数字和十位上的数字得到新数s，如果s加上t的和是“发达数”，求所有符合条件的两位正整数t．
练6.1 对任意一个正整数m，如果m = k(k+1)，其中k是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳
拆分点．例如，56 = 7 ×(7 +1)，则56是一个“矩数”，7为56的最佳拆分点．
（1）求证：若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数；
（2）把“矩数”p与“矩数”q的差记为D(p,q)，其中p > q，D(p,q)> 0．例如，
20 = 4 ×5，6 = 2 ×3，则D(20,6)= 20 −6 = 14．若“矩数”p的最佳拆分点为t，
s
“矩数”q的最佳拆分点为s，当D(p,q)＝30时，求 的最大值．
t
能力强化 / 初二 / 春季
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第 6 讲 因式分解高阶
自我巩固答案
1 已知x2 −12x+32 可以分解为(x+a)(x+b)，则a+b的值是（ ）
A： −12
B： 12
C： 18
D： −18
2 因式分解9x2 +9x−4的结果是（ ）
A： (3x−1)(3x+4)
B： (9x−1)(x+4)
C： (3x+2)(3x−2)
D： (9x+1)(x−4)
3 因式分解6m2 +6n2 −13mn的结果是（ ）
A： (3m+2n)(2m−3n)
B： (6m−n)(m−6n)
C： (6m−n)(m+n)
D： (2m−3n)(3m−2n)
4 甲、乙两个同学分解因式3x2 +ax+b时，甲看错了b，分解结果为(3x+2)(x+4)；乙看错
了a，分解结果为(3x+1)(x+15)，则原式因式分解结果为（ ）
A： (3x−3)(x−5)
B： (3x+3)(x+5)
C： (3x+5)(x+3)
D： (3x−5)(x−3)
62/150
5 若多项式x2 +2mx+16在整数范围内可分解因式，则整数m的值可能有（ ）
A： 4个
B： 6个
C： 8个
D： 不确定
6 因式分解：
（1）k2 +5k−6
（2）c2 −5c+4
（3）x2+5x−24
（4）x2 −6 −x
7 因式分解：
（1）6x2 −7x+2
（2）3x2 −8x−3
（3）12x2 −11x−15
（4）6(x+y) 2 −12 +(x+y)
8 因式分解：
(1)a3 −9a+8
(2)x4 −6x2 −7x−6
9 如果三角形的三边a、b、c适合a2 (b−c)+b2(c−a)+c2(a−b) =，0 请判断△ABC的
形状．
10 某密码手册中，有这样一条信息：a−b，x−y，x+y，a+b，x2 −y2 ，a2 −b2 分别对应
下列六个字：中，爱，我，二，游，美，现将(x2 −y2)a2 −(x2 −y2)b2
因式分解，结果呈现
的密码信息可能是( )
A： 我爱美
B： 二中游
C： 爱我二中
63/150
D： 美我二中
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第 6 讲 因式分解高阶
课堂落实答案
1 下列各式从左到右的变形中,因式分解正确的是（ ）
A： x2 − 7x+ 12 = x(x− 7) + 12
B： x2 − 7x+ 12 = (x− 3)(x+ 4)
C： x2 − 7x+ 12 = (x− 3)(x− 4)
D： x2 − 7x+ 12 = (x+ 3)(x+ 4)
2 因式分解6m2 +20n2 −23mn的结果是（ ）
A： (2m−5)(3m−4)
B： (2m−4n)(3m−5n)
C： (2m−5n)(3m+4n)
D： (2m−5n)(3m−4n)
3 若多项式x2 −ax+15在整数范围内可分解因式，则整数a的值可能有（ ）
A： 4个
B： 6个
C： 8个
D： 不确定
4 因式分解：
（1）m2+6m+8
（2）a4+a2b2+b4
64/150
5 已知a、b、c为△ABC的三边长，a2 +5b2 −4ab−2b+1 = 0，且△ABC为等腰三角形，求
△ABC的周长．
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第 6 讲 因式分解高阶
精选精练
1 下列因式分解，错误的是（ ）
A： x2 −7x+10 = (x−2)(x−5)
B： x2+2x−8 = (x+4)(x−2)
C： y2+7y +12 = (y −3)(y −4)
D： y2 −7y −18 = (y −9)(y +2)
2 分解因式：
（1）x2 −10x+16 =________；
（2）3x2 −4x+1 =________．
3 用十字相乘法分解因式．
(1)6x2 +x−35；
(2)3x2 −10x+3；
(3)6x2 −5x−6；
(4)2x2 −xy −y2 ．
4 分解因式：
（1）(a−b) 2 −4c(a−b)+3c2
（2）(t+1) 2 −(t+1)−2
5 因式分解：
（1）9x4+5x2+1
65/150
（2）a3 +2a2 −12a+15
6 阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形
由(x+p)(x+q) = x2 +(p+q)x+p得q ，x2 +(p+q)x+pq = (x+p)(x+q；)
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，
例如：将式子x2 +3x+2分解因式 ．
分析：这个式子的常数项2 = 1 ×2，一次项系数3 = 1 +2，所以
x2 +3x+2 = x2 +(1 +2)x+1 ×．2
解：x2 +3x+2 = (x+1)(x+2)
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：x2 +7x−18 =____________．
启发应用
（2）利用因式分解法解方程：x2 −6x+8 = 0；
（3）填空：若x2 +px−8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是____________．
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第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 已知点P (3 −m,m−1)在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A：
B：
C：
D：
2 已知等腰三角形的两边长分别为6cm、3cm，则该等腰三角形的周长是（ ）
A： 9cm
66/150
B： 12cm
C： 12cm或15cm
D： 15cm
3 已知多项式2x2 +bx+c分解因式为2(x−3)(x+1)，则b，c的值为（ ）
A： b = 3，c = −1
B： b = −6，c = 2
C： b = −6，c = −4
D： b = −4，c = −6
4 如图，△ABC是等边三角形，△BCD是等腰直角三角形，其中∠BCD = 90∘ ， 则
∠BAD =（ ）
A： 105∘
B： 115∘
C： 125∘
D： 135∘
1
5 若关于x的不等式(2 −m)x < 1的解集为x > ，则m的值可以是（ ）
2 −m
A： 0
B： 1
C： 2
D： 3
6 如图，直线y = −x+2与y = kx+b(k ≠ 0)的交点的横坐标为1，则关于x的不等式组
0 ⩽ −x+2 < kx+b的解集为( )
67/150
A： x < 1
B： x > 1
C： 1 < x ⩽ 2
D： 1 ⩽ x < 2
7 如图，∠AOB = 30∘ ，OP平分∠AOB，PC∥OA，PD⊥OA，若PC = 6，PD的长为（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
8 已知a、b、c为△ABC的三边,且满足a2c2 − b2c2 = a4 − b4 ,则△ABC是（ ）
A： 直角三角形
B： 等腰三角形
C： 等腰三角形或直角三角形
D： 等腰直角三角形
9 如图，在△ ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC = 112∘ ，则
∠EAF为（ ）
68/150
A： 38∘
B： 40∘
C： 42∘
D： 44∘
10 如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，点A，C，B共线，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，
有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM = CN；③AC = DN；④∠DAE = ∠DBC．其中
正确的有（ ）
A： ②④
B： ①②③
C： ①②④
D： ①②③④
11 分解因式：3a2 −12 = ________．
12 如图，在ΔABC中，AB = AC，D为BC的中点，∠BAD = 35∘ ，则∠C 的度数为
________________．
13 多项式x2 +mx+5因式分解得(x+5)(x+n)，则m+n =__________．
14 如图，在△ABC中，AB = AC，∠A = 40∘ ，AB的垂直平分线MN交AC于点D ， 则
∠DBC =___________．
69/150
3x < 2x+4
15
不等式组 的最大整数解是__________．
{ x+6 ≤ 3x
16 如图，有一个直角△ ABC，∠C = 90∘ ，AC = 6，BC = 3，一条线段PQ = AB，P、Q
两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP = ________时，才能使以点
P、A、Q为顶点的三角形与△ ABC全等．
x+2y = 3
17 已知关于x，y的方程组 的解满足不等式x+y < 3，则数a的取值范围是 ．
{2x+y = 6a
18 如图，在Rt△ABC中，∠B = 90∘ ，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点
1
E，F，再分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点
2
D．若BD = 3，AC = 10，则△ACD的面积是_____．
19 分解因式
(1)3a2 −6a+3
2
(2)(x2 +y2
)
−4x2y2
．
70/150
20 x−3 +3 ≥ x
解不等式组： 2 把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的整
{3(x+2) > x+2
数解．
21 如图，在△ABC中，∠B = 2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于D．求证：AB +BD = AC．
22 下面是某同学对多项式(x2 −4x+2)(x2 −4x+6)+4进行因式分解的过程．
解：设x2 −4x＝y
原式＝(y +2)(y +6)+4（第一步）
＝y2 +8y +16（第二步）
＝(y +4) 2 （第三步）
2
＝(x2 −4x+4) （第四步）
请问：
（1）该同学因式分解的结果是否彻底？_____（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写
出因式分解的最后结果．
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式(x2 −2x)(x2 −2x+2)+1进行因式分解．
23 某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元．
（1）A、B两种商品的单价分别是多少元？
（2）已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数2倍少4件，如果购买A、B两种商品的总件
数不少于32件，且该商店购买A、B两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方
案？
x+y = −7 −m
24
已知方程组 的解满足x为非正数，y为负数．
{x−y = 1 +3m
（1）求m的取值范围；
（2）化简：|m−3|−|m+2| ；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x < 2m+1的解为x > 1．
71/150
25 如图，△ABC是等腰直角三角形，AB = AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的
点，且DE⊥DF．
(1)请说明：DE = DF；
(2)请说明：BE2 +CF2 = EF2 ；
(3)若BE = 6，CF = 8，求△DEF的面积（直接写结果）．
26 长方形的周长为16cm，它的两边x，y是整数(单位cm)，且满足
x−y −x2 +2xy −y2 +2 = 0，求它的面积．
27 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，
（1）求证：DE∥BC；
（2）若AE=3，AD=5，点P为线段BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请求出
所有BP的值．
能力强化 / 初二 / 春季
第 8 讲 分式与分式方程
例题练习题答案
例1
72/150
x−2
(1) 当分式 有意义时，x的取值范围是（ ）
3x+6
A： x ≠ 2
B： x ≠ −2
1
C： x ≠
2
1
D： x ≠ −
2
x2 −9
(2)
当x =______时，分式 的值为0．
x−3
练1.1 不论x取何值，下列分式中总有意义的是（ ）
x−1
A：
x2
x2
B：
(x+2) 2
x
C：
|x|+2
x2
D：
x+2
例2 下列各式中，正确的是（ ）
a2 a
A：
=
ab b
a a2
B：
=
b b2
a a+1
C： =
b b+1
−x+y x+y
D： = −
2 2
练2.1 若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）
2 +x
A：
x−y
2x
B：
x−y
2 +x
C：
xy
73/150
x2
D：
x+y
例3 计算：
x2 −1 1
（1） ⋅ ；
x2 −2x+1 x+1
x2 −4 x2 +2x
（2） ÷ ．
x2 −4x+4 2 −x
练3.1 计算：
2
a2 c2 bc
（1） × ÷ ；
−b (−ab) a
16 −m2 m−4 m−2
（2） ÷ ⋅ ．
16 +8m+m2 2m+8 m+2
x y
例4 通分：（1） ， ；
4a(x+2) 6b(x+2)
a a−1
（2） ， ．
3 −a a2 −9
a−1 1 −a
练4.1
通分： ， ．
(a+1) 2 −4 2 −4a+2a2
例5 计算：
m+n 2m a2
（1） + ； （2） −(a+1)．
m−n n −m a−1
练5.1 计算：
x2 +9x x2 −9
（1） + ；
x2 +3x x2 +6x+9
2n m 4mn
（2） + + ．
m+2n 2n −m 4n2 −m2
2
例6 x+1 2x 1 1
计算： ⋅ − − ．
x (x+1) (x−1 x+1)
练6.1 x 2 y x 2y2
计算： ⋅ − ÷ ．
(2y) 2x y2 x
例7
1 a2 −6a+9
(1)
先化简(1 − )÷ ，然后在−2，0，1，2，3中选择一个合适的数代入
a−2 a2 −4
并求值；
m2 +4m+4 m+2
(2) 如果m2 +2m = 1，那么 ÷ 的值为________．
m m2
74/150 m
1 1 2x+3xy −2y
练7.1
已知 − = 3，求代数式 的值．
x y x−xy −y
例8 解方程：
2 3
（1） = ；
x−2 x
2 −x 1
（2） +4 = ；
x−3 3 −x
x 2
（3） − = 1；
x−1 x2 −1
3x x
（4） = −1．
x2 +6x+9 x+3
练8.1 解方程：
x−3 3
（1） +1 = ；
x−2 2 −x
3 x x
（2） = − ．
x2 +x−2 x−1 x+2
能力强化 / 初二 / 春季
第 8 讲 分式与分式方程
自我巩固答案
x+1
1
若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
x−3
A： x = −1
B： x = 3
C： x ≠ 1
D： x ≠ 3
x2 −36
2
若分式 的值为0，则（ ）
2x+12
A： x = −6
B： x = 6
C： x = 36
75/150
D： x = ±6
3x2y
3
如果把分式 中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
x+y
A： 扩大2倍
B： 缩小2倍
C： 缩小4倍
D： 扩大4倍
4 约分：
2x(x−1)
(1)
；
4xy2(1 −x)
a2 +4ab+4b2
(2)
．
a2 −4b2
2a+2b a2 −b2
5
计算： ÷ ．
3ab 9a2b
6
x y
(1)通分： ， ；
ac bc
2x x
(2)
通分： ， ．
x2 −9 2x+6
a 1
7 计算： − ．
a2 −25b2 2a−10b
8 化简：
2a+4
(1) +1；
a2 −4
x2 −y2 x xy
(2)
÷ − ．
x2+2xy +y2 ( 2 x+y)
2x−1 x2 −1
9
先化简，后求值： −1 ÷ ，其中x= 2018．
( x ) x
4 1
10 解方程： − = 0．
x2 −4 x−2
76/150
能力强化 / 初二 / 春季
第 8 讲 分式与分式方程
课堂落实答案
x+2
1
若分式 的值为零，则（ ）
x−3
A： x = 3
B： x = −2
C： x = 2
D： x = −3
3xy 3xy
2 如果把分式 中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式 的值（ ）
x+y x+y
A： 扩大2倍
B： 缩小2倍
C： 缩小4倍
D： 扩大4倍
m2 +mn mn
3
化简 ÷ 的结果是（ ）
m−n m−n
m+n
A：
n
m2
B：
m−n
m−n
C：
n
D： m2
x 1
4 计算： − ．
x2 −9y2 2x−6y
2 x+2
5 解方程： + = −1．
x+3 3 −x
77/150
能力强化 / 初二 / 春季
第 8 讲 分式与分式方程
精选精练
1 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数，并且结果为最简分式：
1x− 1y
(1)
3 5
；
2x+ 1y
6
0.2x− 1y
(2)
2
；
1x+ 1
3 4
0.8x−0.78y
(3) ；
0.5x+0.4y
a −0.4b
(4) 2
．
0.6a+ 3b
4
ab 1 bc 1 ac 1 abc
2 已知a、b、c为实数，且 = ， = ， = ，求 的值．
a+b 3 b+c 4 a+c 5 ab+bc+ac
2x−3y +z
3 已知x，y，z都不为零，且满足4x−3y −6z = 0，x+2y −7z = 0．求 的
3x+y −5z
值．
4 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可
8 6 +2 2 2
化为带分数，如： = = 2 + = 2 ．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母
3 3 3 3
的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分
x−1 x2
母的次数时，我们称之为“真分式”．如 ， 这样的分式就是假分式；再如：
x+1 x−1
3 2x
， 这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分
x+1 x2 +1
x−1 (x+1)−2 2
式的和的形式）．如： = = 1 − ； 解决下列问题：
x+1 x+1 x+1
2
（1）分式 是________（填“真分式”或“假分式”)；
x
x2 −1
（2）将假分式 化为带分式；
x+2
2x−1
（3）如果x为整数，分式 的值为整数，求所有符合条件的x的值．
x+1
78/150
x −2x
5 计算： −1 + ．
x+3 x2 +2x−3
2x+2 x+2 x2 −2
6
解分式方程： − = ．
x x−2 x2 −2x
能力强化 / 初二 / 春季
第 9 讲 分式方程的应用
例题练习题答案
例1
1 a−2
(1) 若x = 4是分式方程 −3 = 的根，则a的值为（ ）
x x
A： 9
B： −9
C： 13
D： −13
x k
(2) 已知关于x的分式方程 −2 = 的解为正数，则k的取值范围为（ ）
x−1 1 −x
A： −2 < k < 0
B： k > −2且k ≠ −1
C： k > −2
D： k < 2且k ≠ 1
练1.1
ax 3
(1) 若关于x的方程 −1 = 的解为整数解，则满足条件的所有整数a的和是（ ）
1 +x x+1
A： 6
B： 0
79/150
C： 1
D： 9
2 m 3 1
(2) 已知关于x的分式方程 = 与分式方程 = 的解相同，求m2 −2m的
x+4 x 2x x−1
值．
例2
1 a−x
(1) 若分式方程 +1 = 有增根，则a的值是（ ）
x−3 x−3
A： 4
B： 3
C： 2
D： 1
m 1
(2)m =______时，方程 − = 1会出现增根．
x(x+1) x
练2.1
x−3
(1) 若分式方程 +1 = m有增根，则这个增根的值为（ ）
x+3
A： 1
B： 3
C： −3
D： 3或−3
k 1
(2) 按照解分式方程的一般步骤解关于x的方程1 − = 出现增根−1，
x+1 (x+1)(1 −x)
则k =______．
2 kx 3
例3
关于x的分式方程 + = 会产生增根，则k =______．
x−1 x2 −1 x+1
ax+1 2
练3.1
关于x的方程： − = 1．
x−1 1 −x
（1）当a = 3时，求这个方程的解；
（2）若这个方程有增根，求a的值．
80/150
m 1 −x
例4
如果关于x的方程 +3 = 无解，试求m的值．
x−2 2 −x
m 1 −x
练4.1
若关于x的方程 − = 0无解，则m的值是（ ）
x−3 3 −x
A： 3
B： −3
C： −2
D： 2
3 −2x mx−2
例5
（1）若关于x的方程 − = −1无解，求m的值．
x−3 3 −x
2 mx 3
（2）若关于x的分式方程 + = 无解，求m的值．
x−2 x2 −4 x+2
1 a 2
练5.1
关于x的分式方程 − = 总无解，求a的值．
x−2 3 −x x2 −5x+6
m+x−1 3m+1
例6
已知，关于x的分式方程 − = 1．
x x+1
（1）当m = −1时，请判断这个方程是否有解并说明理由；
（2）若这个分式方程有实数解，求m的取值范围．
2 ax 3
练6.1
已知，关于x的方程 + = 有解，求a的取值范围．
x−3 x2 −9 x+3
例7 "五一"江北水城文化旅游节期间,几名同学包租一辆面包车前去旅游,面包车的租价为180元,出发时
又增加了两名同学,结果每个同学比原来少摊了3元钱车费,设原来参加游览的同学共x人,则所列方
程为（ ）
180 180
A： − = 3
x− 2 x
180 180
B： − = 3
x+ 2 x
180 180
C： − = 3
x x− 2
180 180
D： − = 3
x x+ 2
练7.1 某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出
售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用
81/150
1500元所购该书的数量比第一次多10本，当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完
剩余的书．
(1)第一次购书的进价是多少元？
(2)试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多
少；若赚钱，赚多少？
例8 某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需要时间与原计划生产450
台机器所需时间相同．
（1）现在平均每天生产多少台机器？
（2）生产3000台机器，现在比原计划提前几天完成？
练8.1 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从
桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千
米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，
1
行驶完全程时间仅为原来路程行驶完全程时间的 ，港珠澳大桥的设计时速是多少？
6
能力强化 / 初二 / 春季
第 9 讲 分式方程的应用
自我巩固答案
3x−a 1
1 已知关于x的分式方程 = 的解是非负数，那么a的取值范围是（ ）
x−3 3
A： a > 1
B： a ≥ 1且a ≠ 3
C： a ≥ 1且a ≠ 9
D： a ≤ 1
m 2x
2 如果解关于x的分式方程 − = 1时出现增根，那么m的值为（ ）
x−2 2 −x
A： −2
82/150
B： 2
C： 4
D： −4
5 a 4
3 若方程 = + 有增根，则增根可能为（ ）
x−2 x x(x−2)
A： 0
B： 2
C： 0或2
D： 1
1 m
4 若解关于x的分式方程 +1 = 时会产生增根，则m的值为（ ）
x−1 1 −x
A： m = 1
B： m = −1
C： m = 0
D： m = ±1
2x+m
5 已知关于x的方程 = 3，下列说法正确的有（ ）
x−2
①当m > −6时，方程的解是正数；②当m < −6时，方程的解是负数；③当m = −4时，方程
无解．
A： 0个
B： 1个
C： 2个
D： 3个
1
6 下列关于分式方程 +1 = 0的解的情况说法正确的为（ ）
x−1
A： 有解且x = 0
B： 有解且x = 1
83/150
C： 有解且x = 2
D： 无解
x m
7 若关于x的分式方程 −1 = 无解，求m的值．
x−1 (x−1)(x+2)
1 2 k
8 若分式方程 + = 有解，求k的取值范围．
x x−1 x2 −x
9 某商场将每件进价为20元的玩具以单价为30元的价格出售时，每天可售出300件，经调查当单价
每涨1元时，每天少售出10件．若商场想每天获得3750元利润，则每件玩具应涨多少元？这道应
用题如果设每件玩具应涨x元，则下列说法错误的是（ ）
A： 涨价后每件玩具的售价是（30+x）元
B： 涨价后每天少售出玩具的数量是10x件
C： 涨价后每天销售玩具的数量是（300﹣10x）件
D： 可列方程为（30+x）（300﹣10x）=3750
10 为了支援青海省玉树地区人民抗震救灾，四川省某休闲用品有限公司主动承担了为灾区生产2万顶
帐篷的任务，计划用10天完成．
（1）按此计划，该公司平均每天应生产帐篷___顶；
（2）生产1天后，公司又从其他部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时通过技术革新等手段使
每位工人的工作效率比原计划提高了25%，结果提前3天完成了生产任务．求该公司原计划安排多
少名工人生产帐篷？
能力强化 / 初二 / 春季
第 9 讲 分式方程的应用
课堂落实答案
2ax+3 3
1 关于x的方程 = 的解为x = 1，则a =（ ）
a−x 4
A： 1
B： 3
84/150
C： −1
D： −3
2x+m
2 关于x的分式方程 = 3的解是正数，则m可能是（ ）
x−2
A： −5
B： −6
C： −7
D： −8
x m
3 若关于x的分式方程 −2 = 有增根，则m的值为__________．
x−3 x−3
x m x2
4
若关于x的分式方程 − = 无解，则m =________．
x−3 x+3 x2 −9
5 九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘
汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．设骑
车学生的速度为xkm/h，则所列方程正确的是（ ）
10 10 1
A： = −
x 2x 3
10 10
B： = −20
x 2x
10 10 1
C： = +
x 2x 3
10 10
D： = +20
x 2x
能力强化 / 初二 / 春季
第 9 讲 分式方程的应用
精选精练
x+m 3m
1 若关于x的分式方程 + = 3的解为正实数，求实数m的取值范围．
x−2 4 −2x
x+1 1 1 +k
2 若关于x的方程 − = 有增根，求增根和k的值．
x2 −x 3x 3x−3
85/150
m 1
3 关于x的分式方程 − = 0的解，下列说法正确的是（ ）
x x+1
A： 不论m取何值时，该方程总有解
m
B： 当m ≠ 1时该方程的解为x =
1 −m
m
C： 当m ≠ 1且m ≠ 0时，该方程的解为x =
1 −m
D： 当m = 2时该方程的解为x = 2
m+x
4 若关于x的分式方程2m+ = 0无解，则m =（ ）
x−1
A： 1
1
B： −
2
C： −1
1
D： −1或−
2
x−3 m
5 若关于x的方程 = 无解，则m =_________．
x−2 2 −x
6 为备战全市中小学足球比赛，某九年一贯制学校在商场购买中、小学生两种不同的比赛服，购买
中学生比赛服共花费960元，购买小学生比赛服共花费480元，已知购买中学生比赛服的数量是购
买小学生比赛服数量的1.5倍，且购买一件中学生比赛服比购买一件小学生比赛服多花20元，求购
买一件中学生比赛服和一件小学生比赛服各需多少元？
能力强化 / 初二 / 春季
第 10 讲 平行四边形
例题练习题答案
例1 如图，在平行四边形ABCD中，∠C = 108∘ ，BE平分∠ABC，则∠ABE等于（ ）
86/150
A： 18°
B： 36°
C： 72°
D： 108°
练1.1 如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB边上一点，连接DE、CE．若DE、CE分别是∠ADC、
∠BCD的平分线，且AB=4，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A： 10
–
B： 8√2
–
C： 5√5
D： 12
例2 平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△ BOC 的周长比△ AOB 的
周长大2cm，则CD =_____cm．
练2.1 如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB ≠ AD，AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则
△ABE的周长为_____cm．
例3 已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长
以及□ABCD的面积．
练3.1 国家级历史文化名城——金华，风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛
（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，
那么下列说法中错误的是（ ）
87/150
A： 红花，绿花种植面积一定相等
B： 紫花，橙花种植面积一定相等
C： 红花，蓝花种植面积一定相等
D： 蓝花，黄花种植面积一定相等
例4 如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，如果AB = 5，AE = 4，
BC = 8，有下列结论：
–
①DE = 4√5；
1
②S △AED =
2
S ABCD；
③DE平分∠ADC；
④∠AED = ∠ADC．
其中正确结论的序号是_________（把所有正确结论的序号都填在横线上）．
练4.1 如图，在平行四边形ABCD中，直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、
N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：①AO = BO；②OE = OF；③△
EAM≌△FCN；④△EAO≌△CNO，其中一定正确的是（ ）
A： ①②
B： ②③
C： ②④
88/150
D： ③④
例5 如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO = BO，E、F分别是OC、OD中点．求证：四
边形AFBE是平行四边形．
练5.1 如图所示，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE = CF，M、N分别是DE、
BF的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形．
例6 如图，已知E、F分别为□ABCD的对边AD、BC上的点，且DE = BF，EM⊥AC于
M，FN⊥AC于N，EF交AC于点O，求证：EF与MN互相平分．
练6.1 如图，直线EF与□ABCD的对角线AC平行，分别交DA、CB的延长线于点E、F，直线
GH与AC平行，分别交CD、BA的延长线于点G、H，则EF与HG的关系是________．
例7 已知：△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．
89/150
求证：四边形DEFG是平行四边形．
练7.1 已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：四边形EFGH是平行四边形．
能力强化 / 初二 / 春季
第 10 讲 平行四边形
自我巩固答案
1 在平行四边形ABCD中，∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 2，则∠D =（ ）
A： 36°
B： 108°
C： 72°
D： 60°
2 如图，在□ABCD中，AB = BD，点E在BD上，CE = CB．如果∠A = 70∘ ，那么
∠DCE等于（ ）
90/150
A： 20°
B： 25°
C： 30°
D： 35°
3 如图所示，如果△AOB与△AOD的周长之差为8，而AB : AD = 3 : 2，那么□ABCD的周长为
（ ）
A： 16
B： 24
C： 40
D： 80
4 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18，
CD : DA = 2 : 3，△AOB的周长为13，那么BC的长是（ ）
A： 6
B： 9
C： 3
D： 12
5 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线分别交BC，AD于点
E，F．若∠ABC = 30∘ ，AB = 6，BC = 10，则图中阴影部分的面积为（ ）
91/150
A： 30
B： 15
15
C：
2
D： 1
6 在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A： 一组对边平行，另一组对边相等
B： 一组对边平行且相等
C： 两组对边分别平行
D： 对角线互相平分
7 在四边形ABCD中，已知∠A = ∠C，再从①∠B = ∠C；②AD∥BC；③AB∥CD； ④
AC = BD中选择一个能判定四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ）
A： 1种
B： 2种
C： 3种
D： 4种
8 如图,平行四边形ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BE = DF,求证:
(1)AE = CF;
(2)四边形AECF是平行四边形.
9 如图，▱ ABCD的周长为36，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，BD = 12，则
△
DOE的周长为多少？
92/150
10 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O且AC = BD，M、N分别为AD、
BC的中点，连接MN交AC、BD于点E、F．
求证：OE = OF．
能力强化 / 初二 / 春季
第 10 讲 平行四边形
课堂落实答案
1 如图，在□ABCD中，∠AEB = 36∘ ，BE平分∠ABC，则∠C等于（ ）
A： 36°
B： 72°
C： 108°
D： 144°
2 如果平行四边形的一边长是14，那么它的两条对角线的长可以是（ ）
A： 16和12
B： 16和18
C： 18或10
93/150
D： 36或6
3 如图，直线EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，分别交AB，CD于E，F，若平行四边形的面积
是12，则△ AOE与△ DOF的面积和为（ ）
A： 4
B： 3
C： 2
D： 6
4 如图，在□ABCD中，BE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，DF⊥AC，垂足F在AC的延长
线上，求证：AE = CF．
5 如图，在Rt △ ABC中，∠ACB = 90∘ ，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长BC至F，使
1
CF = BC，若AB = 10，则EF的长是（ ）
2
A： 5
B： 4
C： 3
D： 2
94/150
能力强化 / 初二 / 春季
第 10 讲 平行四边形
精选精练
1 如 图 ， 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 ， BE⊥CD ， BF⊥AD ， 垂 足 分 别 为 E 、 F ，
∠FBE=60°，AF=3cm，CE=4.5cm，则∠A=______度，AB=_____cm，BC=____cm．
2 如图，在平行四边形ABCD中，AB = 4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于
点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG = 1，则AE的长为（ ）
–
A： 2√3
–
B： 4√3
C： 4
D： 8
3 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，EO⊥AC．
(1)若△ABE的周长为10cm，求平行四边形ABCD的周长；
95/150
(2)若∠ABC = 78∘ ，AE平分∠BAC，试求∠DAC的度数．
4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°．分别以直角边AC和斜边AB向外作等边△ACD、
等边△ABE．过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
(1)求证：AC = EF；
(2)求证：四边形ADFE是平行四边形．
5 在▱ ABCD中,∠BAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.
(1)在图1中证明CE = CF;
(2)若∠ABC = 90∘ ,G是EF的中点(如图2),直接写出∠BDG的度数;
(3)若∠ABC = 120∘ ,FG // CE,FG = CE,分别连接DB、DG(如图3),求∠BDG的度
数.
6 如图，在四边形ABCD中，AD = BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分
别与AD、BC的延长线交于H、G点．求证：∠AHF = ∠BGF．
96/150
能力强化 / 初二 / 春季
第 11 讲 矩形
例题练习题答案
例1
(1)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以下说法错误的是（ ）
A： ∠ABC = 90∘
B： AC = BD
C： OA = AB
D： OA = OB
(2)如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠BAE = 30∘ ，BE = 1，则BD =_____．
练1.1 如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE : ∠EDC = 3 : 2，则∠ACD的度数为
（ ）
A： 54∘
B： 72∘
97/150
C： 36∘
D： 18∘
例2
(1)如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE = 15∘ ，则下列结论：
①△ODC是等边三角形；
②BC = 2AB；
③∠AOE = 135∘ ；
④S ΔAOE = S ΔCOE，
其中正确的结论有_________________．
(2)如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC = 4，BC = 3，P为AB上一动点，
且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值为__________．
练2.1
(1)如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE = BD，连接AE，若∠ADB = 36∘ ，则
∠E =______．
(2)如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AB = 10，BC = 6，P为AB上一动点，
且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值为__________．
98/150
例3 如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE∥DB，交AD的延长线于点
E．试说明AC = CE．
练3.1 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOB = 120∘ ，AD = 2，AE⊥BD于点E，
求OE的长．
例4 如图，矩形ABCD中，AB = 8，BC = 6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE
与CD相交于点O，BE与CD相交于点G，且OE = OD，则AP的长为__________．
练4.1 如图，将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若△AFD的周长为9，△ECF
的周长为3，则矩形ABCD的周长为________．
99/150
例5 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO = CO，BO = DO，在不添加
任何辅助线的前提下，要想该四边形成为矩形，只需再加上一个条件：____________________（填
上你认为正确的一个答案即可）．
练5.1 如图，△ABC中，AB = AC，AD、AE分别是∠BAC及其外角∠CAF的角平分线，
CE⊥AE．求证：AB = DE．
例6 如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高，点O是AC的中点，延长DO到点E，使OE = OD，连接
AE、CE．
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)若AB = 17，BC = 16，求四边形ADCE的面积．
练6.1 已知在△ABC中，AB = AC = 5，BC = 6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行
四边形.
（1）求证：平行四边形ADBE是矩形．
100/150
（2）求矩形ADBE的面积．
能力强化 / 初二 / 春季
第 11 讲 矩形
自我巩固答案
1 矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征（ ）
A： 对角相等
B： 对角线互相平分
C： 对角线相等
D： 对边相等
2 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB = 60∘ ，AC = 6cm，则AB的长
是（ ）
A： 3cm
B： 6cm
C： 10cm
D： 12cm
3 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转90∘ 后，得到矩形AB′C′D′ ，若CD = 8 ，
AD = 6，连接CC′ ，那么CC′ 的长是（ ）
101/150
A： 20
B： 100
–
C： 10√3
–
D： 10√2
4 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠BOC = 120∘ ，BO = 4，则矩形的边BC的长是
（ ）
A： 6
B： 8
–
C： 6√3
–
D： 4√3
5 如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE // BD,DE // AC,若AC = 4,则四边
形CODE的周长为（ ）
A： 4
B： 6
C： 8
D： 10
102/150
6 如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（ ）
A： AB = CD
B： AD = BC
C： AB = BC
D： AC = BD
7 已知，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，要使四边形ABCD为矩形，那么需要添加的一个条件是
（ ）
A： AB=BC
B： AD=BC
C： AD=AB
D： BC=CD
8 如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE = AD，连接EB、EC、DB，添加一个
条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（ ）
A： AB = BE
B： BE⊥DC
C： ∠ADB = 90∘
D： CE⊥DE
9 如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE = CG，
AH = CF．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
103/150
（2）如果AB = AD，且AH = AE，求证：四边形EFGH是矩形．
10 在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF = BE，连接
AF，BF．
（1）求证：四边形DEBF是矩形；
（2）若AF平分∠DAB，AE = 3，BF = 4，求▱ ABCD的面积．
能力强化 / 初二 / 春季
第 11 讲 矩形
课堂落实答案
1 下列说法错误的是（ ）
A： 矩形的对角线互相平分
B： 矩形的对角线相等
C： 有一个角是直角的四边形是矩形
D： 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
2 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，∠AOD = 60∘ ，AD = 3，则BD的长为（ ）
A： 5
104/150
B： 6
C： 7
D： 8
3 已知矩形一边的长为5，另一边的长为4，则它的对角线的长为（ ）
A： 3
−−
B： √41
C： 4
−−
D： 2√41
4 如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE = BC，AE = AB，AE，DC相
交于点O，连接DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）若∠AOD = 120∘ ，AC = 4，求对角线CD的长．
5 在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF = BE，连接AF、BF，若
CF = 3，BF = 4，DF = 5，求证：AF平分∠DAB．
能力强化 / 初二 / 春季
第 11 讲 矩形
精选精练
1 如图，P是平行四边形ABCD的边AD的中点，且PB = PC，BC = 2AB，则
∠APB =（ ）
105/150
A： 30∘
B： 45∘
C： 60∘
D： 无法确定
2 如图，在矩形ABCD中，BD = 8，AE⊥BD，垂足为点E，∠BAE = 30∘ ，那么△ECD的面积是
（ ）
–
A： 4√3
–
9√3
B：
2
–
C： 5√3
–
D： 6√3
3 如图,在矩形ABCD中,O为AC中点,EF过O点且EF ⊥ AC分别交DC于F,交AB于E,点
G是AE中点且∠AOG = 30∘ ,则下列结论正确的个数为（ ）
(1)DC = 3OG;
1
(2)OG = BC;
2
(3)△ OGE是等边三角形;
1
(4)S △AOE = S ABCD.
6
106/150
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
4 如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE = 15∘ ，则下列结论：
①△ODC是等边三角形；
②BC = 2AB；
③∠AOE = 135∘ ；
④S ΔAOE = S ΔCOE，
其中正确的结论有_________________．
5 如图，矩形ABCD中，点E在AB上，点F 在CD上，点G、H在对角线AC 上，且
CH = AG，CF = AE．
（1）求证：△AGE≌△CHF；
（2）若AB = 8，AD = 4，且GH恰好平分∠FGE，求CF的长．
6 如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的
角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：EO = FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形?并证明你的结论．
107/150
能力强化 / 初二 / 春季
第 12 讲 菱形与正方形初步
例题练习题答案
例1 菱形和矩形一定都具有的性质是（ ）
A： 四条边相等
B： 对角线互相垂直
C： 对角线互相平分且相等
D： 对角线互相平分
练1.1 菱形的对角线不一定具有的性质是（ ）
A： 互相平分
B： 互相垂直
C： 每一条对角线平分一组对角
D： 相等
例2
(1)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=16，BD=12，OE⊥BC，垂足为点
E，则OE=_____．
108/150
(2)如图，已知菱形ABCD，AC = 6，BD = 8，则菱形的边长等于（ ）
A： 4
B： 5
C： 6
D： 7
练2.1
(1)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=120°，则对角线BD的长是（ ）
A： 1
–
B： √3
C： 2
–
D： 2√3
(2)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=24，则菱形ABCD的周长为
（ ）
109/150
A： 52
B： 48
C： 40
D： 20
(3)菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是(8，0)，点A的纵坐标是2，
则点B的坐标是（ ）
A： (4,2)
B： (4,−2)
C： (2,−6)
D： (2,6)
例3
(1)如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB = OD，请你添加一个适当的条件
________，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可）
(2)四边形ABCD中，已知AB // CD，AD // BC，添加一个条件________，即可判定该四边
形是菱形．
110/150
(3)下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A： AC⊥BD，AC与BD互相平分
B： AB = BC = CD = DA
C： AB = BC，AD = CD，AC⊥BD
D： AB = CD，AD = BC，AC⊥BD
练3.1 已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B = 90∘ ，对角线AC的垂直平分线与边AD、
BC分别相交于点E、F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB = 6，BC = 8，求EF的长．
例4
(1)正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A： 四边相等
B： 对角线相等
C： 两组对边分别平行
D： 一条对角线平分一组对角
(2)正方形的一条对角线之长为3，则此正方形的边长是（ ）
–
3√2
A：
2
B： 3
–
C： 3√2
3
D：
2
练4.1
111/150
(1)正方形具有而矩形不一定有的性质是（ ）
A： 四个角都是直角
B： 对角线互相平分
C： 对角线互相垂直
D： 对角线相等
(2)若正方形的边长为a，则其对角线长为_____；若正方形ACEF的边是正方形ABCD的对角线，
则正方形ACEF与正方形ABCD的面积之比等于_____．
例5
(1)如 图 ， 在 正 方 形 ABCD中 ， 点 F 是 AB 上 一 点 ， CF 与 BD 交 于 点 E ． 若
∠BCF = 25∘ ，则∠AED的度数为（ ）
A： 60∘
B： 65∘
C： 70∘
D： 75∘
(2)如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，给
出下列五个结论：
①AP = EF；
②AP⊥EF；
③∠PFE = ∠BAP；
④PD = EC；
⑤PB2 +PD2 = 2PA2 ，
正确的有____________．
112/150
练5.1
(1)如 图 ， 已 知 P 是 正 方 形 ABCD 内 的 一 点 ， 且 △ ABP 为 等 边 三 角 形 ， 那 么
∠DCP =___________．
(2)如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，
且PE=PB．
①求证：△BCP≌△DCP；
②求证：∠DPE=∠ABC；
③把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则
∠DPE =_______．
例6 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90∘ ，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D
作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
(1)求证：CE = AD；
113/150
(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
练6.1 如图，在△ ABC中，AC = BC，AC⊥BC ，D是AB的中点，E是CD的中点，过点C作
CF // AB交AE的延长线于点F，连接BF．试判断四边形BDCF的形状，并说明理由．
能力强化 / 初二 / 春季
第 12 讲 菱形与正方形初步
自我巩固答案
1 如图，菱形ABCD的周长是52，对角线AC，BD相交于点O，若BD = 10，则菱形ABCD的面积
是（ ）
A： 120
B： 240
C： 60
D： 100
2 如果菱形的边长是a，一个内角是60∘ ，那么菱形较短的对角线长等于（ ）
1
A： a
2
–
114/150
–
√3
B：
a
2
C： a
–
D： √3a
3 如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于O，∠ABC = 70∘ ，E是线段AO上一点，则
∠BEC的度数可能是( )
A： 100∘
B： 70∘
C： 50∘
D： 20∘
4 如图，菱形ABCD的较短对角线BD为4，∠ADB = 60∘ ，E、F分别在AD、CD 上 ，
∠EBF = 60∘ ，则AE +CF的值为（ ）
A： 4
–
B： 4√3
C： 6
–
D： 6√3
115/150
5 如图，在菱形ABCD中，已知∠DAB = 60∘ ，AB = 2，求AC的长和菱形的面积．
6 下列说法中，正确的是（ ）
A： 有一个角是直角的四边形是菱形
B： 对角线互相垂直的菱形是正方形
C： 对角线相等的平行四边形是矩形
D： 一组邻边相等的平行四边形是正方形
7 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从下列条件：①AB = BC；②∠ABC = 90∘ ；③
AC = BD；④AC⊥BD中，再选两个作为补充，使平行四边形ABCD变为正方形．下面
四种组合，错误的是（ ）
A： ①②
B： ①③
C： ②③
D： ②④
8 如图，四边形ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，则∠BPC等于（ ）
A： 20∘
116/150
B： 30∘
C： 35∘
D： 40∘
9 如图所示，四边形OABC为正方形，边长为6，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA
上，且D的坐标为(2,0)，P是OB上的一动点，则PD+PA的最小值是（ ）
−−
A： 2√10
−−
B： √10
C： 4
D： 6
10 如图，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，连接CF．
（1）求证：∠HEA = ∠CGF；
（2）当AH = DG时，求证：菱形EFGH为正方形．
能力强化 / 初二 / 春季
第 12 讲 菱形与正方形初步
117/150
课堂落实答案
1 如图，在菱形ABCD中，对角线AC = 4，BD = 6，则菱形ABCD的面积为_____．
2 若菱形ABCD的边长为13cm，对角线BD长10cm，则它的另一条对角线AC的长是_____
cm，菱形的面积为_____cm2
．
3 如图，梯形ABCD中，AD // BC，∠C = 90∘ 且AB = AD，连接BD，过A点作BD的
垂线，交BC于E．如果EC = 3cm，CD = 4cm，那么，梯形ABCD的周长是_______
cm．
4 如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，
∠PCD=（ ）
A： 60∘
B： 90°
C： 45°
D： 75°
5 已知：如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF= BP= CQ
= DE．
118/150
求证：（1）EF = FP = PQ = QE；
（2）四边形EFPQ是正方形．
能力强化 / 初二 / 春季
第 12 讲 菱形与正方形初步
精选精练
1 如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（ ）
A： 2.4cm
B： 4.8cm
C： 5cm
D： 9.6cm
–
2 如图，菱形ABCD的周长为8√5，对角线AC和BD相交于点O，AC : BD = 1 : 2，则
AO : BO =___，菱形ABCD的面积S =___．
3 如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
119/150
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A = 90∘ ，∠C = 30∘ ，BD = 6．求菱形BEDF的面积．
4 如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连
接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE=CF；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
5 如图，在矩形ABCD内有一点F，FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，
连接BE，CE．现添加下列条件：
①EB∥CF，CE∥BF；②BE = CE，BE = BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④
BE = CE，CE∥BF，
其中能判定四边形BECF是正方形的共有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
120/150
6 如图①，正方形ABCD中，点E、F都在AD边上，且AE＝FD，分别连接BE、FC，对角线BD交
FC于点P，连接AP，交BE于点G；
（1）试判断AP与BE的位置关系；
（2）如图②，再过点P作PH⊥AP，交BC于点H，连接AH，分别交BE、BD于点N，M，请直接
写出图②中有哪些等腰三角形．
能力强化 / 初二 / 春季
第 13 讲 正方形高级技巧
例题练习题答案
例1 在Rt△AEB中，∠AEB = 90∘ ，以斜边AB为边向Rt△AEB外作正方形ABCD，若正方形
ABCD的对角线交于点O，试猜想线段OE与EB，EA之间的数量关系，请写出结论并证明．
练1.1 将正方形A的一个顶点与正方形B的对角线交叉重合，如图1位置，则阴影部分面积是正方形A面积
1
的 ，将正方形A与B按图2放置，则阴影部分面积是正方形B面积的____________．
8
121/150
例2 如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在
射线AC上移动，另一边交DC于Q．
(1)如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；
(2)如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜
想．
练2.1 如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是AC上的一点，连接EB，过点A作
AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．
（1）猜想：如图1，线段OE与线段OF的数量关系为________；
（2）拓展：如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，AM、DB的延长线相交于
点F，其他条件不变，（1）的结论还成立吗？如果成立，请仅就图2给出证明；如果不成立，请
说明理由．
例3 如图，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分
∠DAM．
122/150
（1）求证：AM = AD+MC；
（2）若AD = 4，求AM的长．
练3.1 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AF平分∠BAC，交BD于点F，求
1
证：EF + AC= AB．
2
例4
(1)如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点D、B作DE⊥a于点E，BF⊥a
于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为（ ）
A： 1
B： 5
C： 7
D： 12
(2)如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(2,3)，则C点坐
标是________．
123/150
练4.1
(1)过正方形ABCD的顶点B作直线l，分别过A、C作l的垂线，垂足为E、F，若AE = 3，
CF = 1，则AB =（ ）
A： 1
B： 2
−−
C： √10
D： 4
(2)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，
OA = 4，OB = 2，点C，D在第一象限．C点的坐标为____________，D的坐标为
_____________．
例5 如图1，在正方形ABCD中，P是CD上的一动点，连结PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，
垂足为E、F．
124/150
（1）求证：BE = EF +DF；
（2）如图2，若点P是DC延长线上的一个动点，请探索BE、DF、EF三条线段之间的数量关系，并
说明理由；
（3）如图3，若点P是CD延长线上的一个动点，请探索BE、DF、EF三条线段之间的数量关系．
练5.1 如图，G为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BG，CF⊥BG，垂足分别为点E、
F．已知AD = 4，则AE2 +CF2 =___．
例6 如图，正方形ABCD的边长为1，点P是边BC上任意一点（可以与B、C重合），分别过B、C、D作
射线AP的垂线，垂足分别为E、F、G，求BE +CF +DG的最小值．
练6.1 如图，矩形纸片ABCD中，已知AB = 5，AD = 4，四边形MNEF 是在矩形纸片
ABCD中剪裁出的一个正方形．
（1）试求∠BNE +∠CFE的度数；
（2）试求BN +CF的值；
（3）试求点E到BC的距离；
（4）写出EM的最大值和最小值．
125/150
能力强化 / 初二 / 春季
第 13 讲 正方形高级技巧
自我巩固答案
1 如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC = 2AE，点M，N 分别在正方形
ABCD的边BC，CD上，且∠MEN = 90∘ ，若正方形ABCD的边长为6，则四边形
EMCN的面积为（ ）
A： 9
B： 12
C： 16
D： 32
2 如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且BE = CF．连接AE、BF．
下列结论错误的是（ ）
126/150
A： AE = BF
B： AE⊥BF
C： ∠DAE = ∠BFC
D： ∠AEB +∠BFC = 120∘
3 如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D(5,3)在边AB上，以C为中
心，把△CDB旋转90∘ ，则旋转后点D的对应点D′
的坐标是（ ）
A： (2,10)
B： (−2,0)
C： (2,10)或(−2,0)
D： (10,2)或(−2,0)
4 如图，四边形ABCD中，AB = BC，∠ABC = ∠CDA = 90∘ ，BE⊥AD于点E，且四
边形ABCD的面积为25，则BE =（ ）
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
127/150
5 点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，
得线段PE，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A： 75°
B： 60°
C： 45°
D： 30°
6 已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B，C重
合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段
之间的关系．
7 如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE = BF = CG = DH = 5，则四边
形EFGH的面积是（ ）
A： 30
B： 34
128/150
C： 36
D： 40
8 如图，直线l过等腰直角三角形ABC的顶点B，A、C两点到直线l的距离分别是2和3，则AB的
长是（ ）
A： 5
–
B： √5
−−
C： √11
−−
D： √13
9 如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形
ABCD和EFGH都是正方形，如果AB = 10，AH = 6，那么EF等于（ ）
A： 8
B： 6
C： 4
D： 2
10 如图，E是正方形ABCD的边BC上的一个动点（E与B、C两点不重合），过点E作射线EP⊥AE，在
射线EP上截取线段EF，使得EF = AE，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G．
（1）求证：FG = BE；
（2）探究点F是否在∠DCG的平分线上，并说明你的理由．
129/150
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第 13 讲 正方形高级技巧
课堂落实答案
1 如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点C(0,4)，D是OA中点，将
ΔCDO以C为旋转中心逆时针旋转90∘ ，写出此时点D的对应点的坐标________．
2 如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE = CF，连接AE、BF．将△ABE绕正方
形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF，则旋转角的度数是（ ）
A： 45°
B： 120°
C： 60°
D： 90°
130/150
3 如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC = 2AE，直角三角形FEG的两直角边
EF，EG分别交BC，DC于点M，N，若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形
EMCN的面积为（ ）
4
A： a2
9
1
B： a2
4
5
C： a2
9
2
D： a2
3
4 如图，在4 ×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1．图中阴影是个正方形，顶点均在格点
上，则这个正方形的边长是__________．
5 过正方形ABCD的顶点B作直线l，分别过A、C作l的垂线，垂足为E、F，若AE = 5，
CF = 2，则AB =（ ）
A： 2
B： 3
−−
C： √29
D： 5
131/150
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第 13 讲 正方形高级技巧
精选精练
1 如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP
绕O点旋转，这两个正方形重叠部分的面积为_______．
2 如图，正方形ABCD与正方形DEFG共点于D，连接AG、CE，则∠COH =（ ）
A： 60∘
B： 75∘
C： 90∘
D： 105∘
–
3 如图，已知四边形ABCD为正方形，AB = 4√2，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过
点E作EF⊥DE交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
132/150
（2）探究：CE +CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
4 如图，正方形ABCD的顶点B在直线l上，AE⊥直线l于点E，若EB = 4，则△EBC的面积为
__________．
5 请完成下题：
(1)如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC = 90∘ ，AB = AC，直线m经过点A，
BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，求证：DE = BD+CE．
(2)如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB = AC，D、A、E三点都在直线
m上，并且有∠BDA = ∠AEC = ∠BAC = α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论
DE = BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
6 如图1，四边形ABCD是正方形，E是BC边的中点，∠AEF = 90∘ ，EF交正方形外角平分
线CF于F点，则有AE = EF．
133/150
（1）如图2，若点E是线段BC上的一个动点（不与B、C重合），上述其它条件不变，上述结
论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）如图3，若点E在CB的延长线上时，上述其它条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请
证明；若不成立，请说明理由．
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第 14 讲 中点模型
例题练习题答案
例1 如图，△ABC中，D为BC的中点．
（1）求证：AB+AC＞2AD；
（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．
练1.1 如图，在△ABC外作正方形ABDE和ACGF，M是BC的中点．则AM与EF的关系是( )
A： AM = EF
1
B： AM = EF
2
134/150
2
C： AM = EF
3
–
D： AM = √2EF
例2 已知如图，DE是△ABC的中位线，AF是BC边上的中线，DE、AF交于点O．现有以下结论：①
1
DE∥BC；② OD=OE；③ AO=FO；④ S △ADE =
4
S △ABC．
其中正确结论的个数为（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
练2.1 如图，△ ABC中，AB = 4，AC = 3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C 作
CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（ ）
1
A：
2
B： 1
7
C：
2
D： 7
例3 已知：如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．
求证：GF = GC．
135/150
练3.1 如图，在四边形ACBD中，AB与CD相交于点O，AB = CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接
EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，并说明理由．
例4 如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下
滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ）
A： 不变
B： 变小
C： 变大
D： 无法判断
练4.1 如图，∠MON = 90∘ ，边长为4的等边△ABC的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上
运动时，A随之在边OM上运动，等边三角形的形状保持不变，运动过程中，点C到点O的最大距
离为__________．
136/150
例5 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，EF分别是BD、AC的中点，请你说明EF与AC
的位置关系．
练5.1 如图，以△ABC的AB，AC边为斜边向外作Rt△ABD和Rt△ACE，其中，P是BC中点，且使
∠ABD = ∠ACE = α．
(1)求证：DP=EP；
(2)求∠DPE的度数．
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第 14 讲 中点模型
课堂落实答案
1 在△ABC中，AB=6，AC=4，则BC边上的中线AD的取值范围是_______________．
2 如图，等腰直角△ ABC中，AD为底边上的高，E、F分别为AC、CD的中点，若CD = 8，则
EF =（ ）
–
A： 2√2
137/150
B： 4
–
C： 4√2
D： 8
3 如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，△ABD的周长为16cm，则△DOE
的周长是__________cm．
4 如图，△ABC中，AB = 10，AC = 7，AD平分∠BAC，AE是BC边上的中线，过点C
作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为_____．
5 如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km，
则M，C两点间的距离为 km．
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第 14 讲 中点模型
自我巩固答案
138/150
1 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是CD的中点，BE的延长线与AD的延长线相交于点F．求
证：BE = FE．
2 如图，在△ABC中，AB ≠ AC，点D、E在BC边上，且DE = EC，过点D作DF∥BA交AE于点
F，DF = AC，求证：AE平分∠BAC．
3 如图，△ABC是直角三角形，∠C = 90∘ ，D为AB边的中点，∠EDF = 90∘ ，AE = 6，
BF = 8，求EF的长度．
4 如图，在△ ABC中，AB = 5，BC =6，AC = 7，点D，E，F分别是△ ABC三边的中
点，则△ DEF的周长为（ ）
A： 9
B： 10
139/150
C： 11
D： 12
5 如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为PA，PB的中点，对下列各
值：
①线段MN的长；②△PAB的周长；
③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；
⑤∠APB的大小．
其中会随点P的移动而变化的是（ ）
A： ②③
B： ②⑤
C： ①③④
D： ④⑤
6 如图，已知□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若
AC +BD = 24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF的长是（ ）厘米．
A： 6
B： 9
C： 12
D： 3
7 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点F，M，N分别为AB，CD的中点，连接MN分别交
BD，AC于点P，Q，且∠FPQ=∠FQP，若BD = 9，则AC =__________．
140/150
1
8
如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB＝BC，E是CD的中点，F是AB的中点，求证：EF＝ AB．
2
9 如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．
（1）求证：DC = BE；
（2）若∠AEC = 66∘ ，求∠BCE的度数．
10 如图，BD，AE是钝角三角形ABC的两条高，M，N分别是AB，DE的中点，求证：MN⊥DE．
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第 14 讲 中点模型
精选精练
141/150
1 如图，点D、E三等分△ABC的BC边，求证：AB +AC >AD+AE．
2 如 图 ， AB = AE， AB⊥AE ， AD = AC ， AD⊥AC， 点 M是 BC 的 中 点 ， 求 证 ：
DE = 2AM．
3 已知△ACD与△AGF都为等腰直角三角形，∠GAF=∠CAD=90°．连接GD、CF，N为线段GD的中
点，连接AN．
(1)求证：2AN = CF；
(2)求证：AN⊥CF．
4 如图1，BD、CE分别是△ABC中∠B、∠C的外角平分线，过点A作AF⊥BD、AG⊥CE，垂足分别
为F、G，连接FG，延长AF、AG，与直线BC分别相交于M、N．
142/150
1
（1）证明：FG = (AB +BC +AC)；
2
（2）如图2，BD、CE分别是△ABC中∠B、∠C的内角平分线；如图3，BD是△ABC中∠B的内角平
分线，CE是△ABC中∠C的外角平分线，则在图2，图3两种情况下，线段FG与△ABC三边又有怎样
的数量关系？写出你的猜想，并对其中一种情况说明理由．
5 直角三角形有一个非常重要的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，比如：如图
1
1，Rt△ABC中，∠ACB = 90∘ ，D为斜边AB中点，则CD = AD = BD = AB．请你利
2
用该定理和以前学过的知识解决下列问题：
如图2，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a
于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；
(1)求证：PM = PN；
143/150
(2)若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时
PM = PN还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
(3)如图4，∠BAC = 90∘ ，a旋转到与BC垂直的位置，E为BC上一点且AE = AC，EN⊥a于
N，连接EC，取EC中点P，连接PM，PN，求证：PM⊥PN．
6 已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD＝∠ACE＝90°．如图甲，连接DE，设M为DE的中
点．
(1)说明：MB＝MC；
(2)设∠BAD＝∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB
＝MC是否还能成立？并证明其结论．
能力强化 / 初二 / 春季
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
4 5b 2 1 1 a
1 下列各式中 ， ， x+ y， ， ，分式的个数有（ ）
x−y 3a 3 2 xy 5 +π
A： 4个
B： 3个
C： 2个
D： 1个
2 一个等腰直角三角形的斜边中线长为4，则这个三角形的面积为（ ）
144/150
A： 4
B： 8
C： 16
D： 32
3 下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A： (x+1)(x−1) = x2 −1
B： x+2x+1 = x(x+2)+1
C： a2 −4b2 = (a+2b)(a−2b)
D： a(x−y) = ax−ay
4 如图，矩形ABCD，对角线AC、BD交于点O，AE⊥BD，∠BAE = 20∘ ，则∠EAO =（ ）
A： 30∘
B： 40∘
C： 50∘
D： 60∘
(x−1)(x+2)
5
已知分式 的值为0，那么x的值是（ ）
x2 −1
A： −1
B： −2
C： 1
D： 1或−2
6 如图，一次函数y = kx+b的图象与x轴交于一点，则当y > 0时，x的取值范围是( )
145/150
A： x < −2
B： x > −2
C： x > 0
D： x < 0
7 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，经过点O的直线分别交BC，AD于点
E，F．若∠ABC = 30∘ ，AB = 6，BC = 10，则图中阴影部分的面积为（ ）
A： 30
B： 15
15
C：
2
D： 1
1 1 a−2ab−b
8 已知 − = 4，则 的值为（ ）
a b 2a−2b+7ab
A： 6
B： −6
2
C：
15
2
D： −
7
9 如图，在△ABC中，∠C = 90∘ ，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE，若
CE = 5，AC = 12，则BE的长是（ ）
146/150
A： 5
B： 10
C： 12
D： 13
10 如图，正方形ABCD， AB、AD上各有一点P、Q，∠PCQ = 45∘ ，CH⊥PQ．
下列说法中正确的有（ ）个
①DQ+BP = PQ；②CQ平分∠DQP；③CH = AB；④PQ平分∠APC．
A： 4
B： 3
C： 2
D： 1
2
11
使分式 有意义的x的取值范围是________．
x−1
12 因式分解：x3 −2x2 −3x =___________．
13 如图，ΔABC中，AB = 10，AC = 7，AD是角平分线，CM⊥AD于M，且N是BC的中
点，则MN的长是__________．
a2 1
14
化简 + =_____________．
a−1 1 −a
15 如图，在▱ABCD中，已知AD = 6cm，AB = 4cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则
EC =__________cm．
147/150
3x−1 m
16 若关于x的分式方程 + = 1有增根，则m =__________．
x−1 1 −x
17 如图所示，在平行四边形ABCD中，DF⊥AB交BA的延长线于点F，DE⊥BC交BC的延长线于点E，
∠EDF = 120∘ ，则∠ADC =_____．
18 如图，已知点P是边长为2的正三角形ABC的中线AD上的动点，E是AC边的中点，则PC+PE的最小
值是___．
3(1 −x) > 2(1 −2x)
19
解不等式（组）: ，并写出它的整数解．
1+x ≥ 2x
{
2 3
20 请完成以下题目
(1)分解因式:a2 −1 +b2 −2ab
x−2 x+2 16
(2) 解方程: = +
x+2 x−2 x2 −4
m2 −2m+1 m−1 –
(3) 先化简,再求值: ÷ m−1 − ,其中m = √3.
m2 −1 ( m+1)
21 如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°．
（1）尺规作图：作∠B的角平分线BD，交AC于点D（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）判断△DBC是否为等腰三角形，并说明理由．
148/150
22 如图，菱形ABCD中，AB = AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．
（1）证明：四边形AECF是矩形；
（2）若AB = 8，求菱形的面积．
23 某内陆城市为了落实国家“一带一路”战略，促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港
口420km的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了
50%，行驶时间缩短了2h，求汽车原来的平均速度．
24 如图，在四边形ABCD中，AB = CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别
与BA、CD的延长线交于点M、N，求证：∠BME = ∠CNE．
25 如图，已知正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF = 45∘ ，
将ΔDAE绕点D逆时针旋转90∘ ，得到ΔDCM．
（1）求证：EF = MF；
149/150
（2）若AE = 2，求FC的长．
26 已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA = 3，PB = 4，PC = 5．求∠APB的度
数．
27 如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，
构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′
，旋转角为
α
（1）当点D′ 恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；
（2）如图2，G为BC中点，且0∘ < α < 90∘ ，求证：GD′ = E′D；
（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，
ΔDCD′ 与ΔCBD′ 能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．
150/150
