文档内容
能力强化 / 初三 / 暑假
第 1 讲 一元二次方程的认识与解法
例题练习题答案
例1 判断下列方程是否是一元二次方程：
1 1
2 2 2 2 3 2 3
（1）x = ；（2）x = x +x；（3）3x +6x = 9；（4）y +x = 2x +y ；（5） = 1．
2 2
x
练1.1 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A： 2
(x+1) = 2(x+1)
B： 1 1
+ −2 = 0
2 x
x
C： 2
ax +bx+c = 0
D： 2 2
x +2x = x −1
例2 将方程3x(x−1) = 5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并且写出其中的二次项系数、一次项系
数及常数项．
练2.1 2
将一元二次方程4x +7 = 3x化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A： 4，3
B： 2
4x ，−3x
C： 4，7
D： 4，−3
例3 |a−1|
已知关于x的方程(a−3)x +(a+1)x−3 = 0是一元二次方程，求参数a的值．
练3.1 |m|
关于x的方程(m−2)x +3mx+1 = 0是一元二次方程，则（ ）
1/165
A： m = ± 2
B： m = 2
C： m = −2
D： m ≠ ± 2
例4 请使用直接开平方法解下列方程：
1
2 2
（1）x = 12；（2） x = 5；
3
1 1
( )2 ( )2
（3） x+ = 4；（4） x+3 = 16．
2 2
练4.1 请使用直接开平方法解下列方程：
2 2
（1）x = 25；（2）4x = 9；
2 2
（3）(x−1) = 3； （4）(2x+3) = 49．
例5
(1) 2
一元二次方程x −6x−1 = 0配方后可变形为（ ）
A： 2
(x+3) = 10
B： 2
(x+3) = 8
C： 2
(x−3) = 10
D： 2
(x−3) = 8
(2) 2
利用配方法解一元二次方程2x −8x−1 = 0时，应先将其变形为（ ）
A： 2
(2x−4) = 17
B： 2
(2x−4) = 15
C： 2
2(x−2) = 7
D： 2
2(x−2) = 9
2/165
(3)用配方法解方程：
2
①x +2x = 0；
2
②x −4x−1 = 0；
1
2
③ x +2x−5 = 0；
3
2
④3x −6x−15 = 0．
练5.1
(1)利用配方法解下列方程，配方正确的是（ ）
A： 2 2
2y −4y−4 = 0可化为(y−1) = 4
B： 2 2
x −2x−9 = 0可化为(x−1) = 8
C： 1 1 3
2 2
x −2x−1 = 0可化为 (x−1) =
2 2 2
D： 2 2
x −4x = 0可化为(x−2) = 4
(2)配方法解方程：
2
①4x −8x+1 = 0；
1
2
② x −3x+4 = 0．
2
例6 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题．
2
求代数式y +4y+8的最小值．
2 2 2
解：y +4y+8 = y +4y+4+4 = (y+2) +4
2 2
因为(y+2) ≥ 0，(y+2) +4 ≥ 4，
2
所以y +4y+8的最小值是4．
(1) 2
求代数式m +m+1的最小值；
(2) 2
求代数式4−x +2x的最大值．
3/165
练6.1 2
求证：不论x为何值，代数式2x −6x+5的值总大于0．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 1 讲 一元二次方程的认识与解法
自我巩固答案
1 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A： 2
a(x+1) = 2(x+1)
B： 1 1
+ −2 = 0
2 x
x
C： 2 2
x +2x = x −1
D： 2
x +1 = 0
2 将方程3x(x+1) = 5(x+2)化成一元二次方程的一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数及常
数项分别为（ ）
A： 3、2、−10
B： 3、−2、10
C： 3、−2、−10
D： 3、2、10
3 下列方程中，是一元二次方程的有（ ）
2 1 √2
2 2 2
①x +3x = ； ②7x = 0； ③ x − = x；
x 5 2
2 2 2
④(x+3) = (x+2)(x−3)；⑤2x −5y = 0； ⑥ax +bx+c = 0．
A： 1个
B： 2个
4/165
C： 3个
D： 4个
4 |m|
关于x的方程(m+2)x +3mx+1 = 0是一元二次方程，则（ ）
A： m = 2
B： m = ± 2
C： m = −2
D： m ≠ ± 2
5 |a+2|
关于x的方程(a+4)x +3ax+1 = 0是一元二次方程，则（ ）
A： a = −4
B： a = 0，a = −4
C： a = 0
D： a ≠ −2
6 2
一元二次方程(x−2) = 9的两个根分别是（ ）
A： x = 1，x = −5
1 2
B： x = −1，x = −5
1 2
C： x = 1，x = 5
1 2
D： x = −1，x = 5
1 2
7 2
一元二次方程x +8x+1 = 0配方后可变形为（ ）
A： 2
(x+4) = 17
B： 2
(x+4) = 15
C： 2
(x−4) = 17
D： 2
(x−4) = 15
5/165
8 2
一元二次方程x +6x+5 = 0的根是（ ）
A： x = 1，x = 5
1 2
B： x = −1，x = 5
1 2
C： x = 1，x = −5
1 2
D： x = −1，x = −5
1 2
9 4
2
利用配方法解方程2x − x−2 = 0时，应先将其变形为（ ）
3
A： 1 8
( )2
x+ =
3 9
B： 1 10
( )2
x− =
3 9
C： 1 8
( )2
x− =
3 9
D： 1 10
( )2
x+ =
3 9
10 2
解方程：2x −4x = 1．
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第 1 讲 一元二次方程的认识与解法
课堂落实答案
1 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A： 2
x +x+1 = 0
6/165
B： 2
ax +bx = 0
C： 1
2
x + = 0
2
x
D： 2 2
3x −2xy−5y = 0
2 2
m −4
若(m+2)x +3x−1 = 0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A： −2
B： ±√6
C： ±2
D： 0
3 将方程3x(x−1) = 5(x−2)化成一元二次方程的一般形式，其二次项系数、一次项系数及常数项分
别为（ ）
A： 3、−8、−10
B： 3、−8、10
C： 3、8、−10
D： 3、8、10
4 2
一元二次方程x −8x+1 = 0配方后可变形为（ ）
A： 2
(x+4) = 17
B： 2
(x+4) = 15
C： 2
(x−4) = 17
D： 2
(x−4) = 15
5 2
将方程2x −4x−3 = 0配方后所得的方程正确的是（ ）
A： 2
(2x−1) = 0
7/165
B： 2
(2x−1) = 4
C： 2
2(x−1) = 1
D： 2
2(x−1) = 5
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第 1 讲 一元二次方程的认识与解法
精选精练
1 2 2
一元二次方程−2(x−1) = x+3化成一般形式ax +bx+c = 0后，其中a = 2，则b、c的值是
（ ）
A： b = 3，c = 5
B： b = −3，c = 5
C： b = −3，c = −5
D： b = 3，c = −5
2 2 2
已知m是关于x的方程x −2x−3 = 0的一个根，则2m −4m = _____．
3 2 2 2 2
若A = 10a +2b −7a+6，B = a +2b +5a−1，则A −B的值是（ ）
A： 正数
B： 负数
C： 0
D： 可正可负
4 √
2
已知a为实数，则代数式 27−12a+2a 的最小值为（ ）
A： 0
B： 3
8/165
C： 3√3
D： 9
5 2
“a ≥ 0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：
2 2 2
x +4x+5 = x +4x+4+1 = (x+2) +1，
2 2
∵(x+2) ≥ 0，(x+2) +1 ≥ 1，
2
∴x +4x+5 ≥ 1．
试利用“配方法”解决下列问题：
(1) 2 2 2
填空：因为x −4x+6 = (x________) +_______；所以当x = ______时，代数式x −4x+6有最
_______（填“大”或“小”）值，这个最值为_______．
(2) 2
比较代数式x −1与2x−3的大小．
6 ( 2 ) 2
已知关于x的方程 a −4a+5 x +2ax+4 = 0．小聪认为，无论a为何实数，这个方程都是一元二
次方程；而小明认为，方程的类型要取决于字母a的取值．你认为谁的判断是正确的，并简述理
由．
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第 2 讲 一元二次方程的解法
例题练习题答案
例1 2
公式法解一元二次方程3x −2x = 3时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（ ）
A： a = 3，b = −2，c = 3
B： a = 3，b = 2，c = 3
C： a = 3，b = 2，c = −3
D： a = 3，b = −2，c = −3
练1.1 2
公式法解一元二次方程4x−3x +1 = 0时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（ ）
9/165
A： a = 4，b = −3，c = 1
B： a = 4，b = 3，c = 1
C： a = 3，b = 4，c = 1
D： a = −3，b = 4，c = 1
例2 用公式法解下列一元二次方程：
2
（1）x −x−2 = 0；
2
（2）2x −5x−1 = 0；
2
（3）0.3y +y = 0.8；
（4）x 2 −3√2x+3 = 0．
练2.1 用公式法解下列一元二次方程：
2
（1）x −5x−4 = 0；
2
（2）4x −6x−3 = 0；
1
2
（3） x +3x = 1；
2
（4）x 2 −2√2x+2 = 0．
例3
(1)下列用因式分解法解方程正确的是（ ）
A： x(x+2) = 0，∴x+2 = 0
B： (x+3)(x−1) = 1，∴x+3 = 0或x−1 = 1
C： (x−2)(x−3) = 2×3，∴x−2 = 2或x−3 = 3
D： (2x−2)(3x−4) = 0，∴2x−2 = 0或3x−4 = 0
(2)请使用因式分解法解下列一元二次方程：
2 2
①5x = 4x；②x −9 = 0；
2 2
③x +2x+1 = 0；④x −x−2 = 0；
2 2
⑤3x −x−4 = 0；⑥2(x+5) = x(x+5)．
10/165
练3.1
(1) 2
关于x的方程x +px+q = 0的两根为x = 3，x = −4，则用因式分解法解该方程可得到
1 2
（ ）
A： (x+3)(x−4) = 0
B： (x−3)(x+4) = 0
C： (x+3)(x+4) = 0
D： (x−3)(x−4) = 0
(2)请使用因式分解法解下列一元二次方程：
2
①x −4x = 0；
2
②4x −1 = 0；
2
③4x −4x+1 = 0；
2
④x +4x+3 = 0；
2
⑤x −5x−24 = 0；
2
⑥2x +7x−9 = 0；
⑦3x(x−1) = 2(x−1)．
例4
(1)解下列方程：
2 2 2 2
①2x −18 = 0；②9x −12x−1 = 0；③2x +4x+2 = 0；④2(5x−1) = 3(5x−1)．较简便的
方法（ ）
A： 依次为：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
B： 依次为：因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法
C： ①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
D： ①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
(2)请选择适当的方法解下列一元二次方程：
2
①4x −12 = 0；
11/165
2
②x −14x = 8；
2
③x −7x−18 = 0；
2 2
④2(x−3) = x −9；
2
⑤2x +3x−1 = 0．
练4.1 请选择适当的方法解下列一元二次方程：
1 1
2
（1） x = ；
3 4
2
（2）x +6x−1 = 0；
2
（3）x −5x+3 = 0；
2
（4）x −8x+12 = 0．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 2 讲 一元二次方程的解法
自我巩固答案
1 2
公式法解一元二次方程3x−2x +1 = 0时，首先要确定a、b、c的值，下列叙述正确的是（ ）
A： a = 3，b = −2，c = 1
B： a = 3，b = 2，c = 1
C： a = −2，b = −3，c = 1
D： a = −2，b = 3，c = 1
2 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A： 2
x −2x−5 = 0
B： 2
x +2x−4 = 0
12/165
C： 2
x −2x+1 = 0
D： 2
x +2x+4 = 0
3 用公式法解方程x 2 +2√2x−6 = 0的结果是（ ）
A： x = x = 1
1 2
B： x = 0，x = −2√2
1 2
C： x = √2，x = −3√2
1 2
D： x = −√2，x = 3√2
1 2
4 2
用公式法解方程3x +4x−1 = 0的结果是（ ）
A： 1
x = − ，x = −1
1 2
3
B： 1
x = 1，x =
1 2
3
C： 2+√7 2−√7
x = ，x =
1 2
3 3
D： −2+√7 −2−√7
x = ，x =
1 2
3 3
5 下列用因式分解法解方程正确的是（ ）
A： (x−2)(x+1) = 0，∴x−2 = 0
B： 1 1
( )
x+ (1−x) = 0，∴x+ = 0或1−x = 0
2 2
C： (x+1)(x−1) = 2，∴x+1 = 1或x−1 = 2
D： (3−x)(x+2) = 2×4，∴3−x = 2或x+2 = 4
6 2
一元二次方程x +6x+9 = 0的根是（ ）
13/165
A： x = x = 3
1 2
B： x = x = −3
1 2
C： x = ± 3
D： x = −3，x = 0
1 2
7 2
一元二次方程x −5x−6 = 0的根是（ ）
A： x = 2，x = 3
1 2
B： x = −2，x = −3
1 2
C： x = −6，x = 1
1 2
D： x = 6，x = −1
1 2
8 解下列方程：
1 1
2 2 2 2
① x −18 = 0；②5x −3x−7 = 0；③x +2x− = 0；④2(2x−1) = 3(1−2x)．
2 4
较简便的方法（ ）
A： 依次为：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
B： 依次为：因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法
C： ①用直接开平方法，②③用公式法，④用因式分解法
D： ①用直接开平方法，②用公式法，③④用因式分解法
9 用适当的方法解下列方程：
（1）2(x−3) = 3x(x−3)；
2
（2）x −2x−2 = 0．
10 解下列一元二次方程：
2
（1）x +10x+25 = 0；
2
（2）x −x−1 = 0．
14/165
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第 2 讲 一元二次方程的解法
课堂落实答案
1 2
方程2x −3x−1 = 0用公式法求解，先确定a、b、c的值，正确的是（ ）
A： a = 2，b = −3，c = −1
B： a = −2，b = 3，c = 1
C： a = −2，b = −3，c = −1
D： a = 2，b = 3，c = −1
2 2
一元二次方程x +2x−2 = 0的解为（ ）
A： x = −1+√3，x = −1−√3
1 2
B： x = √3+1，x = √3−1
1 2
C： x = 1+√3，x = 1−√3
1 2
D： x = −2+2√3，x = −2−2√3
1 2
3 2
方程x = 4x的解是（ ）
A： x = 4
B： x = 0，x = 4
1 2
C： x = 0
D： x = 2，x = −2
1 2
4 2
一元二次方程x −4x+3 = 0的解是（ ）
A： x = 1
15/165
B： x = −1，x = −3
1 2
C： x = 3
D： x = 1，x = 3
1 2
5 解下列一元二次方程：
2
（1）x +3x+1 = 0；
2
（2）(x−2) = 3x−6．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 2 讲 一元二次方程的解法
精选精练
1 解方程：
(1) 2
2x −7x+1 = 0；
(2)x(x−3) +x−3 = 0．
2 解方程：
(1) 2
x −2x = 0；
(2) 2
x −6x−1 = 0．
3 解下列关于x的一元二次方程：
(1) 2
x −10x+9 = 0；
(2) 2
x −3x−1 = 0．
4 用适当的方法解下列方程：
16/165
(1)x(2x−5) = 4x−10；
(2) 2
2x +5x+1 = 0；
(3) 2
x +5x+7 = 3x+6．
5 求下列各式中的x的值：
25
2
（1）x − = 0；
16
2
（2）4(x+1) = 32．
6 2
用配方法解方程：2x +12x+10 = 0．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 3 讲 判别式与韦达定理
例题练习题答案
例1
(1) 2
一元二次方程x +x−2 = 0的根的情况是（ ）
A： 有两个不相等的实数根
B： 有两个相等的实数根
C： 只有一个实数根
D： 没有实数根
(2) 2
已知a是实数，则关于x的一元二次方程x +ax−4 = 0的根的情况是（ ）
A： 没有实数根
B： 有两个相等的实数根
C： 有两个不相等的实数根
17/165
D： 根据a的值来确定
(3) 2
求证：无论a取任何实数，关于x的一元二次方程x +ax+a−1 = 0总有实数根．
练1.1
(1) 2
方程x −2x+3 = 0的根的情况是（ ）
A： 有两个相等的实数根
B： 只有一个实数根
C： 没有实数根
D： 有两个不相等的实数根
(2) 2
已知a是实数，则关于x的一元二次方程x +ax−1 = 0的根的情况是（ ）
A： 没有实数根
B： 有两个相等的实数根
C： 有两个不相等的实数根
D： 根据a的值来确定
(3) 2
关于x的方程x −(m+2)x−2 = 0的根的情况是（ ）
A： 没有实数根
B： 有两个相等的实数根
C： 有两个不相等的实数根
D： 根据m的值来确定
例2
(1) 2
已知关于x的方程x +x+a = 0，
①如果方程有两个不等的实数根，求a的范围；
②如果方程有两个相等的实数根，求a的范围；
③如果方程没有实数根，求a的范围．
18/165
(2) 2
已知关于x的方程mx +(m−2)x+2 = m有两个相等的实数根，求整数m的值．
练2.1
(1) 2
关于x的方程x −2x+c = 0有两个相等的实数根，则c的值为（ ）
A： 1
B： −1
C： 4
D： −4
(2) 2
如果关于x的方程mx +mx+1 = 0有两个相等的实数根，那么m等于（ ）
A： 4或0
B： 1
4
C： 4
D： ±4
例3 2
关于x的一元二次方程kx +3x−1 = 0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A： 9
k ≤ −
4
B： 9
k ≤ − 且k ≠ 0
4
C： 9
k ≥ −
4
D： 9
k ≥ − 且k ≠ 0
4
练3.1 2
若关于x的一元二次方程(k−1)x +4x+1 = 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
19/165
A： k < 5
B： k < 5且k ≠ 1
C： k ≤ 5且k ≠ 1
D： k > 5
例4 1
已知关于x的方程2(k+1)x 2 −√k+2x+ = 0有实数根，则k的取值范围为（ ）
4
A： k ≤ 0
B： k ≥ −2且k ≠ −1
C： −2 ≤ k ≤ 0且k ≠ −1
D： −2 ≤ k ≤ 0
练4.1 2
已知关于x的方程(m−1)x +2mx+m+3 = 0有实数根，m的取值范围为（ ）
A： 3
m ≤ 且m ≠ 1
2
B： 3
m ≥
2
C： 3
m ≤
2
D： 3
m < 且m ≠ 1
2
例5 2
设x 、x 是方程x −4x+m = 0的两个根，且x +x −x x = 1，则x +x = ______，m = _____．
1 2 1 2 1 2 1 2
练5.1 2
x 、x 是方程2x −7x+4 = 0的两根，则x +x = ________，x x = _________．
1 2 1 2 1 2
例6
(1) 2
已知方程2x +3bx+4c = 0的两个根为4和9，则b = ______，c = _________．
20/165
(2) 2 2 2
设x 、x 是一元二次方程x −2x−3 = 0的两根，求x +x 的值．
1 2 1 2
(3) x x
2 1
已知方程x 2 +px+1 = 0的两根为x 、x ，其中x = 2+√3，求 + 的值．
1 2 1
x x
1 2
练6.1
(1) 2
若关于x的一元二次方程x +mx+n = 0的两个实数根分别为2和−4，则m+n的值是（ ）
A： −10
B： 10
C： −6
D： −1
(2) 2 2 2
若α、β是方程x −2x−2 = 0的两个实数根，则α +β 的值为（ ）
A： 10
B： 9
C： 8
D： 7
(3) b a
2 2
已知不相等的两个实数a、b满足a −2a−1 = 0，b −2b−1 = 0，则 + 的值是（ ）
a b
A： 6
B： −4
C： −6
D： 4
能力强化 / 初三 / 暑假
21/165
第 3 讲 判别式与韦达定理
自我巩固答案
1 2
一元二次方程x +x+2 = 0的根的情况是（ ）
A： 有两个不相等的实数根
B： 有两个相等的实数根
C： 只有一个实数根
D： 没有实数根
2 2
关于x的方程x −(m+2)x+2 = 0的根的情况是（ ）
A： 没有实数根
B： 有两个相等的实数根
C： 有两个不相等的实数根
D： 根据m的值来确定
3 2
关于x的方程x −4x+c = 0有两个相等的实数根，则c的值为（ ）
A： 4
B： 3
C： 2
D： 1
4 2
若关于x的一元二次方程kx −2x−1 = 0有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A： −1
B： 1
C： 4
D： −4
5 2
已知关于x的一元二次方程(k+1)x +(3k−1)x+2k−2 = 0，那么下列说法正确的是（ ）
22/165
A： 该方程没有实数根
B： 该方程一定有两个实数根
C： 该方程有两个不相等的实数根
D： 该方程有两个相等的实数根
6 2
一元二次方程x −5x+2 = 0的两根为x 、x ，则x ⋅x 的值为（ ）
1 2 1 2
A： 5
B： −5
C： 2
D： −2
7 2
已知关于x的一元二次方程x −ax+1+a = 0有一个根是0，则另一个根是（ ）
A： 2
B： 1
C： 0
D： −1
8 2
若关于x的一元二次方程x +mx+n = 0的两个实数根分别为2和1，则mn的值是（ ）
A： −8
B： 8
C： 6
D： −6
9 2 2 2
若α、β是方程x −2x−1 = 0的两个实数根，则α +β 的值为（ ）
A： 6
B： 5
C： 4
23/165
D： 3
10 2
关于x的一元二次方程x +(2m−1)x+m−5 = 0的两根为x 、x ，且满足x x −x −x = 3，求m
1 2 1 2 1 2
的值．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 3 讲 判别式与韦达定理
课堂落实答案
1 2
一元二次方程x +2x−3 = 0的根的情况是（ ）
A： 有两个不相等的实数根
B： 有两个相等的实数根
C： 只有一个实数根
D： 没有实数根
2 2
关于x的方程4x −4x+m = 0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A： 4
B： 3
C： 2
D： 1
3 2
一元二次方程x −3x−7 = 0的两根为x 、x ，则x ⋅x 的值为（ ）
1 2 1 2
A： 7
B： −7
C： 3
D： −3
24/165
4 2
若关于x的一元二次方程x +mx+n = 0的两个实数根分别为3和2，则m+n的值是（ ）
A： −30
B： 5
C： 6
D： 1
5 2
关于x的一元二次方程x +(3m+2)x+2m−7 = 0的两根为x 、x ，且满足x x −x −x = 5，求m
1 2 1 2 1 2
的值．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 3 讲 判别式与韦达定理
精选精练
1 2
已知关于x的一元二次方程x −(m−3)x−m = 0，求证：方程有两个不相等的实数根．
2 2
已知关于x的方程x +ax+a−2 = 0．
(1)若该方程的一个根为1，求a的值；
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
3 2
关于x的一元二次方程kx −6x−4 = 0．求：
(1)当k为何值时，方程有解；
(2)当k为何值时，方程无解．
4 2
已知关于x的方程kx −6x+9 = 0．
(1)若方程有实数根，求k的取值范围；
25/165
(2)若方程有两个相等的实数根，求k的值，并求此时方程的根．
5 2 2
已知关于x的一元二次方程x +(2k−1)x+k +1 = 0有实数根x
1
、x
2
，且x
2
+x
2
= 17，求k的值．
1 2
6 1
2
关于x的方程(1−2k)x −2(k+1)x− k = 0有实根．
2
(1)若方程只有一个实根，求出这个根；
(2) 1 1
若方程有两个不相等的实根x 、x ，且 + = −6，求k的值．
1 2
x x
1 2
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第 4 讲 平行与比例
例题练习题答案
例1 回答下列问题．
(1)不为0的四个实数a、b、c、d满足ab = cd，将其改写成比例式为_______．
(2) x−y 2 x
如果 = ，那么 = _________．
y 3 y
(3) a c 1 a+c
已知 = = ，则 (b+d ≠ 0)的值为__________．
b d 3 b+d
(4) a c e
如果 = = = k(b+d+f ≠ 0)，且a+c+e = 3(b+d+f)，那么k = ____．
b d f
(5) b+c a+c a+b
已知： = = = k，则k = ________．
a b c
26/165
练1.1 a b 2a+b
（1）若 = (a ≠ b)，则 = ______________．
4 5 a−b
3x+3y 3y+3z 3z+3x
（2）若 = = = m，则m的值为______________．
z x y
例2 已知a、b、c、d是成比例线段，其中a = 2cm，b = 3cm，c = 4cm，则线段d的长是（ ）
A： 6cm
B： 5cm
C： 8
cm
3
D： 3
cm
8
练2.1 下列线段中能成比例的是（ ）
A： 3cm，5cm，7cm，9cm
B： 2cm，5cm，6cm，8cm
C： 3cm，6cm，9cm，18cm
D： 1cm，3cm，4cm，7cm
例3 回答下列问题.
(1)线段a = 2cm，b = 8cm，则a、b的比例中项c = ________，a、b、c的第四比例项d = ______．
(2)如图，将一条线段AB分割成大小两条线段PA、PB，若小段与大段的长度之比等于大段与全
段之比，称P为线段AB的黄金分割点．若对一段长20cm的线段进行黄金分割，那么较长线段
约为________cm．（精确到0.1cm，√5 ≈ 2.236）
练3.1 回答下列问题.
27/165
(1)已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a = 2cm，b = 4cm，c = 5cm，则d等于
（ ）
A： 1cm
B： 10cm
C： 5
cm
2
D： 8
cm
5
(2)从美学角度来说，人的上身长与下身长之比为黄金比时，可给人以协调的美感．某女老师身
长约1.68m，下身长约1.02m，她要穿_____cm高的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果（结果
精确到1cm）．
例4 回答下列问题.
(1) AB 3
如图，l ∥l ∥l ，直线a、b与l 、l 、l 分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若 = ，
1 2 3 1 2 3
BC 5
DE = 6，则EF的长是（ ）
A： 18
5
B： 48
5
C： 10
D： 6
28/165
(2)如图，AD//BE//CF ，直线l ，l 与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，
1 2
AB 2
= ，DE=4，则EF的长为（ ）
BC 3
A： 8
3
B： 20
3
C： 6
D： 10
练4.1 已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，则x的值为（ ）
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
例5 回答下列问题.
29/165
(1) DE
如图，在 △ ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC．若AD = 4，DB = 2，则 的值为
BC
_____．
(2) BO 2
如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O．若 = ，AB = 10，则CD = ______．
OC 3
练5.1 如图所示，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）
A： AD BC
=
DF CE
B： BC DF
=
CE AD
C： CD BC
=
EF BE
D： CD AD
=
EF AF
例6 如图，△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，点F是BC上的点，AB = 6，EF = 2，
AD BF AE
= ，求 的值．
BD FC AC
30/165
练6.1 AD DE
如图，△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，点F是DE延长线上的点， = ，连
BD EF
AE 2 AD
接FC，若 = ，求 的值．
AC 3 FC
能力强化 / 初三 / 暑假
第 4 讲 平行与比例
自我巩固答案
1 a c
已知 = (a,b,c,d不为0)，则下列各式中错误的是（ ）
b d
A： ad = bc
B： a d
=
c b
C： b d
=
a c
D： a+c b+d
=
a b
31/165
2 a 3 a
若 = ，则 的值是（ ）
b 8 a+b
A： 8
11
B： 6
13
C： 3
11
D： 3
5
3 a b c d
如果 = = = = k，那么k = （ ）
b+c+d a+c+d a+b+d a+b+c
A： −1
B： 1
2
C： 1
3
D： 1
或−1
3
4 已知线段d是线段a、b、c的第四比例项，其中a = 3cm，b = 4cm，c = 5cm，则d的值为（ ）
A： 20
cm
3
B： 6cm
32/165
C： 12
cm
5
D： 2cm
5 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为
20cm，则它的宽约为（ ）
A： 12.36cm
B： 13.6cm
C： 32.36cm
D： 7.64cm
6 如图，AB∥CD∥EF，若AC = 5，CE = 7，BD = 4，则BF = （ ）
A： 35
4
B： 28
5
C： 20
7
D： 48
5
7 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD = 2，BD = 4，那么下列条件能够判断DE//BC
的是（ ）
33/165
A： AE 1
=
AC 2
B： DE 1
=
BC 4
C： AE 1
=
AC 3
D： DE 1
=
BC 2
8 如图，已知DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（ ）
A： AD AE
=
AB AD
B： CE AE
=
CF DE
C： AE AD
=
AC AB
D： AD DE
=
AB BC
9 如图，AB∥CD，AC、BD交于点O，若DO = 3，BO = 5,DC = 4，则AB长为（ ）
A： 6
34/165
B： 8
C： 20
3
D： 15
4
10 AF AE 2 DE
如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F,E在边AC上，且DF∥BE， = = ，求 的值．
FE CE 3 BC
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第 4 讲 平行与比例
课堂落实答案
1 x 1 x+y
若 = ，则 = （ ）
y 3 y
A： 4
3
B： 1
4
C： 2
3
D： 4
1
35/165
2 已知a、b、c、d是成比例线段，其中a = 3cm，b = 4cm，c = 6cm，则d为（ ）
A： 8cm
B： 19
cm
2
C： 4cm
D： 9
cm
2
3 已知线段a = 4，b = 2，a为b、c的比例中项，则c为（ ）
A： 2√2
B： 8
C： 4
D： 2
4 如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，AO:DO = 1:2，那么下列式子正确的是（ ）
A： BO:BC = 1:2
B： CD:AB = 2:1
C： CO:BC = 1:2
D： AD:DO = 3:1
5 如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD = 5，BD = 10，AE = 3，
求CE的长．
36/165
能力强化 / 初三 / 暑假
第 4 讲 平行与比例
精选精练
1 已知四条线段a，2，6，a+1成比例，则a的值为________．
2 a+4 b+3 c+8
已知a、b、c是△ABC的三边，且满足 = = ，且a+b+c = 12，请你探索△ABC的形
3 2 4
状．
3 如图，已知AB∥CD∥EF，且BC = 2EC，则AF:AD = _________．
4 如图，在△ABC中，点E、D在边AC上，点F、M在边AB上，且AE = ED = DC，FE∥MD，
FE
MD∥BC，如果FD的延长线交BC的延长线于N，那么 的值为______．
BN
5 如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点M，交
DF 3
BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F， = ．
FC 2
37/165
（1）若BD = 20，求BG的长；
CM
（2）求 的值．
CD
6 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA和CD的延长线交于P，AC和BD交于点O，连接PO并延长
分别交AD、BC于点M、N．求证：AM = DM．
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第 5 讲 相似三角形的性质与判定
例题练习题答案
例1 回答下列问题.
(1)下列两个图形一定相似的是____________．（填序号）
①两个菱形；②两个矩形；③两个正方形；④两个等腰梯形．
(2)下列图形中不一定是相似图形的是__________．（填序号）
①两个圆；②两个周长相等的长方形；③两个周长相等的正方形；④两个正五边形．
练1.1 下列各组图形一定相似的是（ ）
A： 两个矩形
B： 两个等边三角形
C： 各有一个角是80°的两个等腰三角形
D： 任意两个菱形
例2 如图，四边形ABCD和EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH的长度x．
38/165
练2.1 如图所示是两个相似四边形，边x的长为________，边y的长为________，∠α的大小为________．
例3 回答下列问题.
(1)下列各组条件中，一定能推得ΔABC和ΔDEF相似的是（ ）
A： ∠A = ∠E且∠D = ∠F
B： ∠A = ∠B且∠D = ∠F
C： AB EF
∠A = ∠E且 =
AC ED
D： AB DF
∠A = ∠E且 =
BC ED
(2) 如图，△ABC中，∠A = 36∘ ，AB = AC，BD平分∠ABC交AC于点D．
求证：△BDC∽△ABC．
练3.1 回答下列问题.
(1)在△ABC和△DEF中，AB = AC,DE = DF,根据下列条件，能判断△ABC和△DEF相似的是（ ）
A： AB AC
=
DE DF
39/165
B： AB BC
=
DE EF
C： ∠A = ∠E
D： ∠B = ∠D
(2)如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ACD = ∠B．求证：△ADC∽△ACB．
例4 AD 1
如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB边上，且 = ，AE = EB．
AC 3
求证：△AED∽△CBD．
练4.1 2
如图，在△ABC中，已知AB = AC，点D、E、B、C在同一条直线上，且AB = BD⋅CE．
求证：△ABD∽△ECA．
例5 回答下列问题.
(1) ′ ′ ′
已知△ABC∽△A B C ，且相似比为3，则下列结论正确的是（ ）
A： ′ ′
AB是A B 的3倍
B： ′ ′
A B 是AB的3倍
C： ∠A是∠A ′ 的3倍
40/165
D： ∠A ′ 是∠A的3倍
(2)如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（ ）
A： 2
AB = BC⋅BD
B： 2
AB = AC⋅BD
C： AB ⋅AD = BC⋅BD
D： AB ⋅AC = AD⋅BD
(3) 如图，△ABC∽△AED，∠ADE = 80∘ ，∠A = 60∘ ，则∠B等于（ ）
A： 40∘
B： 60∘
41/165
C： 80∘
D： 100∘
(4)如果两个相似三角形的周长比为1:4，那么这两个三角形的相似比为_____．
(5)已知，△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1:2，当BC = 1时，对应边EF的长为
________．
练5.1 回答下列问题.
(1) ′ ′ ′
已知△ABC∽△A B C ，且相似比为5，则下列结论正确的是（ ）
A： ′ ′
BC是B C 的5倍
B： ′ ′
B C 是BC的5倍
C： ∠B是∠B ′ 的5倍
D： ∠C ′ 是∠C的5倍
(2)如图，△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△BCD，则下列结论一定正确的是（ ）
A： 2
BC = AB ⋅CD
B： 2
BC = AB ⋅BD
C： AB ⋅AC = BC⋅BD
D： BC⋅AB = BD⋅BC
(3) 如图，△ABC∽△EBD，∠BDE = 80∘ ，∠B = 30∘ ，则∠A等于（ ）
42/165
A： 50∘
B： 70∘
C： 90∘
D： 110∘
(4)如果两个相似三角形的周长比为3:5，那么这两个三角形的相似比为________．
(5)已知，△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为4:9，当AB = 2时，对应边DE的长为
________．
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第 5 讲 相似三角形的性质与判定
自我巩固答案
1 如图，已知矩形ABCD中，AB = 3，BE = 2，EF⊥BC．若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全
等，则CE = （ ）
A： 3
B： 3.5
C： 4
D： 4.5
43/165
2 巡警小王在犯罪现场发现一只脚印，他把随身携带的一张百元钞票放在脚印旁进行拍照，照片送
到刑事科，他们测得照片中的脚印和钞票的长度分别为5cm和3.1cm，一张百元钞票的实际长度大
约为15.5cm，请问脚印的实际长度为_____cm．
3 AD AE
如图，D、E分别是AB、AC上的点，在下列条件中：（1）∠AED = ∠B；（2） = ；
AC AB
DE AD
（3） = ，其中能判定△ADE与△ACB相似的是（ ）
CB AC
A： （1）（2）
B： （1）（3）
C： （1）（2）（3）
D： （2）（3）
4 已知如图（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数如图上标注，则对图（1）、（2）
中的两个三角形，下列说法正确的是（ ）
A： 都相似
B： 都不相似
C： 只有（1）相似
D： 只有（2）相似
5 如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（ ）
44/165
A： AC AB
=
CD BC
B： CD BC
=
AD AC
C： 2
AC = AD⋅AB
D： 2
CD = AD⋅BD
6 已知△ABC∽△DEF，且相似比为4，则下列结论正确的是（ ）
A： DE是AB的4倍
B： AB是DE的4倍
C： ∠A是∠D的4倍
D： ∠F是∠C的4倍
7 已知△ABC∽△A B C ，且∠A = 50∘ ，∠B = 95∘ ，则∠C 等于（ ）
1 1 1 1
A： 50∘
B： 95∘
C： 35∘
D： 25∘
8 如图，Rt △ ABC中，∠C = 90∘ ，D是AC边上一点，AB = 5，AC = 4，若△ABC∽△BDC，则CD =
（ ）
45/165
A： 2
B： 3
2
C： 4
3
D： 9
4
9 如果两个相似多边形的面积比为4:9，那么它们的周长比为（ ）
A： 4:9
B： 2:3
C： √2:√3
D： 16:81
10 如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，且AB = 9，AC = 6，AD = 3，若使△ADE与△ACB相
似，∠AED = ∠B，求AE的长．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 5 讲 相似三角形的性质与判定
课堂落实答案
1 如图的两个四边形相似，则∠α的度数是（ ）
46/165
A： 87°
B： 60°
C： 75°
D： 120°
2 如图，△ABC中，AB = 4，BC = 6，点D、点E分别是边AB、BC上的两个动点，若按照下列条件，
将△ABC沿DE剪开，剪下的△BDE与原三角形不相似的是（ ）
A： ∠BDE = ∠C
B： DE∥AC
C： AD = 3，BE = 2
D： AD = 1，CE = 4
3 P是△ABC边AB上一点(AB > AC)，下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是( )
A： ∠ACP = ∠B
B： ∠APC = ∠ACB
C： AC AP
=
AB AC
D： PC AC
=
BC AB
4 如图所示，若 △ ABC ∽△ DEF ，则∠E的度数为（ ）
47/165
A： 28∘
B： 32∘
C： 42∘
D： 52∘
5 如果△ABC∽△DEF，A、B分别对应D、E，且AB:DE = 1:2，那么下列等式一定成立的是（ ）
A： BC:DE = 1:2
B： △ ABC的面积:△ DEF的面积 = 1:2
C： ∠A的度数:∠D的度数 = 1:2
D： △ ABC的周长:△ DEF的周长 = 1:2
能力强化 / 初三 / 暑假
第 5 讲 相似三角形的性质与判定
精选精练
1 如图，矩形ABCD中，AB = 4，点E、F分别在AD、BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩
形DEFC，且相似比为1:2，求AD的长．
2 两个相似六边形的相似比为3:5，它们周长的差是24cm，那么较大的六边形周长为（ ）
A： 40cm
B： 50cm
C： 60cm
D： 70cm
48/165
3 如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，
那么x的值（ ）
A： 只有1个
B： 可以有2个
C： 可以有3个
D： 有无数个
4 如图，在△ABC中，D是AB上一点，且∠ABC = ∠ACD．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AD = 3，AB = 7，求AC的长．
5 如图，在平行四边形ABCD中，E是边AB上的点，EC交对角线BD于点F，若BE = 2AE，则EF:FC
等于（ ）
A： 1：2
B： 2：3
C： 1：1
D： 3：5
6 在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且△ADE与△ABC相似，AD = EC，BD = 10，AE = 4，
则AB的长为（ ）
49/165
A： 2√10
B： 12
C： 2√10+10
D： 12或2√10+10
能力强化 / 初三 / 暑假
第 6 讲 相似三角形的性质与判定综合
例题练习题答案
例1 如图，在矩形ABCD中，已知AD > AB．在边AD上取点E，连接CE．过点E作EF⊥CE，与边AB的
延长线交于点F．
（1）求证： △ AEF∽ △ DCE；
（2）若AB = 4，AE = 6，AD = 14，求线段AF的长．
例2 FB DB
如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E是AC的中点，ED、CB的延长线交于点F，求证： = ．
FD CD
练2.1 如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC = ∠A．
50/165
（1）求证：△BCD∽△ACB；
（2）如果BC = √6，AC = 3，求CD的长．
例3 如图，在四边形ABCD中，∠ADB = ∠ACB，延长AD、BC相交于点E，求证：
(1)△ACE∽△BDE；
(2)BE ⋅DC = AB ⋅DE．
练3.1 如图，在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，
∠EAF = ∠GAC．
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2) AF
若AD = 3，AB = 5，求 的值．
AG
例4 回答下列问题.
51/165
(1)如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若AD = 3，DB = 2，BC = 6，则DE
的长为___________．
(2)如图，在△ABC中，矩形DEFG的一边DE在BC边上，顶点G、F分别在AB、AC边上，AH是BC
边上的高，AH与GF交于点K．若AH = 32cm，BC = 48cm，矩形DEFG的周长为76cm，矩
形DEFG的面积为______________．
练4.1 回答下列问题.
(1)如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED = ∠B，那么下列各式中一定正确的是
（ ）
A： AE ⋅AC = AD⋅AB
B： CE ⋅CA = BD⋅AB
C： AC⋅AD = AE ⋅AB
D： AE ⋅EC = AD⋅DB
(2)如图，在△ABC中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另外两个顶点G、H分别
在AC、AB上，BC = 15，BC边上的高是10，则正方形的面积为（ ）
52/165
A： 6
B： 36
C： 12
D： 49
例5 回答下列问题.
(1)如图，在□ABCD中，AB = 4，BC = 6，∠ABC、∠BCD的角平
分线分别交AD于E、F两点，BE与CF交于点G，则△EFG与△BCG面积之比是________．
(2)如图，点D是AB边的中点，AF∥BC，CG:GA = 3:1，BC = 8，则AF = ______．
练5.1 回答下列问题.
(1)如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，
S :S = 4:25，则DE:EC = __________．
△DEF △ABF
(2)如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，S :S = 1:3，则
△BDE △CDE
S :S 的值为（ ）
△DOE △AOC
53/165
A： 1
3
B： 1
4
C： 1
9
D： 1
16
例6 回答下列问题.
(1)如图， △ A′B′C′是 △ ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若 △ A′B′C′的面积与
△ ABC的面积比是4:9，则OB′:OB为（ ）
A： 2：3
B： 3：2
C： 4：5
D： 4：9
(2)如图，点O是平面直角坐标系的原点，点A、B、C的坐标分别是(1, −1)、(2,1)、(1,1)．
①作图：以点O为位似中心，在y轴的左侧把原来的四边形OABC放大两倍（不要求写出作图
过程）；
′ ′ ′
②直接写出点A、B、C对应点A 、B 、C 的坐标．
54/165
练6.1 回答下列问题.
(1) 1
已知△ABC与△DEF是位似图形，且△ABC与△DEF的位似比为 ，则△ABC与△DEF的周长之比
4
是（ ）
A： 1
2
B： 1
4
C： 1
8
D： 1
16
(2)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(2,2)，B(4,0)，C(4, −4)．在y
轴右侧，以O为位似中心，画出△A B C ，使它与
1 1 1
△ABC的相似比为1:2；根据位似作图，△ABC内一点M(a,b)的对应点的坐标是________．
55/165
能力强化 / 初三 / 暑假
第 6 讲 相似三角形的性质与判定综合
自我巩固答案
1 已知△ABC的三边长分别为√2，√6，2，△A ′ B ′ C ′ 的两边长分别是1和√3，如果△ABC与△A ′ B ′ C ′
′ ′ ′
相似，那么△A B C 的第三边长应该是（ ）
A： √2
B： √2
2
C： √6
2
D： √3
3
2 AD AE 1
如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若 = = ，则S :S = （ ）
ΔADE ΔABC
AC AB 2
A： 1：4
B： 1：2
C： 1：3
D： 1:√2
56/165
3 如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC = 2DE；②△ADE∽△ABC；
AD AB
③ = ．其中正确的有（ ）
AE AC
A： 3个
B： 2个
C： 1个
D： 0个
4 如图，△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，AB∥DE，CF为AB边上的中线，若AD = 5，
CD = 3，DE = 4，则BF的长为（ ）
A： 32
3
B： 16
3
C： 10
3
D： 8
3
5 如图，有一块锐角三角形材料，边BC = 120mm，高AD = 80mm，要把它加工成正方形零件，使其
一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（ ）
57/165
A： 40mm
B： 45mm
C： 48mm
D： 60mm
6 如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接EC交对角线BD于点F ， 则
S ：S 等于（ ）
△DEF △BCF
A： 1：2
B： 1：4
C： 1：9
D： 4：9
7 如图，AB∥CD，AD、BC相交于点O，点E、F分别是OA、OB的中点，若OB = 4，OC = 3，
EF = 4，则CD的长为（ ）
A： 8
3
B： 4
C： 6
D： 8
58/165
8
如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A
′
B
′
C
′
．已知OB = 3OB
′，则△A ′
B
′
C
′
与△ABC
的面积比为（ ）
A： 1：3
B： 1：4
C： 1：8
D： 1：9
9 如图，已知：四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA=∠D
（1）求证：△EAC∽△ECB；
（2）若DF=AF，求AC：BC的值．
10 ′ ′ ′
如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A B C 是关于点O为位似中心的位似图
形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点0；
(2) ′ ′ ′
求出△ABC与△A B C 的位似比．
59/165
能力强化 / 初三 / 暑假
第 6 讲 相似三角形的性质与判定综合
课堂落实答案
1 有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S ，S ，则S :S 等于（ ）
1 2 1 2
A： 1:√2
B： 1:2
C： 2:3
D： 4:9
2 如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB．若NF = NM = 2，ME = 3，则
AN = （ ）
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
3 如图：△PQR是等边三角形，∠APB = 120∘ ．求证：QR 2 = AQ⋅RB．
60/165
4 在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点O，CD = 2，AB = 5，则S :S =
ΔBOC ΔADC
（ ）
A： 2:5
B： 5:2
C： 2:7
D： 5:7
5 如图，在Rt△ABC中，AB = 3cm，BC = 4cm，沿直角边BC所在的直线向右平移3cm，得到
2
△DEF，DE交AC于G，则所得到的△GEC的面积是（ ）cm ．
A： 1
2
B： 1
C： 3
4
D： 3
8
能力强化 / 初三 / 暑假
第 6 讲 相似三角形的性质与判定综合
精选精练
61/165
1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，
则CE的长为（ ）
A： 3
2
B： 7
6
C： 25
6
D： 2
2 1 1
如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、AD上，且AE = AB，AF = AD，连接EF交对
3 4
AG
角线AC于G，则 = _____．
AC
3 1 1
如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD = BC，CE = AC，BE、AD相交
3 3
于点F，连接DE，则下列结论：①∠AFE = 60∘ ；②DE⊥AC；③CE 2 = DF ⋅DA；④
AF ⋅BE = AE ⋅AC，正确的结论有（ ）
A： 4个
62/165
B： 3个
C： 2个
D： 1个
4 如图,在平行四边形ABCD中,EF//AB,DE:EA = 2:3,EF = 4,则CD的长为（ ）
A： 16
3
B： 8
C： 10
D： 16
5 如图，AB//GH//CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB = 2，CD = 3，则GH长为（ ）
A： 1
B： 1.2
C： 2
D： 2.5
6 如图，在8×8的网格图中，△ABC三个顶点坐标分别为A(0,2)、B(−1,0)、C(2, −1)．
63/165
(1)以O为位似中心，将 △ ABC放大为 △ A B C ，使得 △ A B C 与 △ ABC的位似比为2:1，
1 1 1 1 1 1
请在网格图中画出 △ A B C ；
1 1 1
(2)直接写出（1）中点A 、B 、C 的坐标．
1 1 1
能力强化 / 初三 / 暑假
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 下列方程中，没有实数根的是（ ）
A： 2x+3 = 0
B： 2
x −1 = 0
C： 2
= 1
x+1
D： 2
x +x+1 = 0
2 若一个长、宽均为定值的矩形被直线分成面积为x,y的两部分，则表示y与x之间函数关系的图象是
（ ）
A： A图
B： B图
C： C图
64/165
D： D图
3 2
已知关于x的一元二次方程x +mx−8 = 0的一个实数根为2，则另一实数根及m的值分别为（ ）
A： 4，−2
B： −4，−2
C： 4，2
D： −4，2
4 AD
如图，若AB∥CD∥EF，则下列结论中，与 相等的是（ ）
AF
A： AB
EF
B： CD
EF
C： BO
OE
D： BC
BE
5 如图，DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中不正确的是（ ）
65/165
A： AE AD
=
AC AB
B： AE BF
=
EC FC
C： AD BF
=
BD FC
D： BD BF
=
AD FC
6 2 2 2
如果a、b、c是△ABC的三边长，且方程x −2cx+a +b = 0有两个相等的实数根，那么这个三角
形是（ ）
A： 等腰三角形
B： 等边三角形
C： 不等边三角形
D： 直角三角形
7 如图，在□ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S :S = 4:25
△DEF △ABF
，则DE:EC = （ ）
A： 2:5
B： 2:3
C： 3:5
D： 3:2
8 如图△ABC中，DE∥BC，AD=2，AB=6，AE=3，则CE的长为（ ）
66/165
A： 9
B： 6
C： 3
D： 4
9 a b a+b
若 = 20， = 10，则 的值为（ ）
b c b+c
A： 11
21
B： 21
11
C： 110
21
D： 210
11
10 已知x 是关于x的一元二次方程ax 2 +bx+c = 0（a ≠ 0）的一个根，记Δ = b 2﹣4ac ，
1
M = （2ax +b）2 ，则关于Δ与M大小关系的下列说法中，正确的是（ ）
1
A： Δ > M
B： Δ = M
C： Δ < M
D： 无法确定Δ与M的大小
67/165
11 2
已知三角形的两边长分别是3和5，第三边长是方程3x −10x = 8的根，则这个三角形的形状是
_____三角形．
12 已知△ABC∽△DEF，相似比为2:1，若△DEF的面积为4，则△ABC的面积为__________．
13 如图，把一个长方形分成两个全等的小长方形，若使每一个小长方形与原长方形相似，则原长方
形长和宽之比为________．
14 2
已知关于x的方程x −2x+a = 0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________．
15 如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面
积是△ABC的面积的___．
16 2 2 2
已知一元二次方程x −6x−5 = 0的两根为m，n，则m −mn+n = _____．
17 解方程．
1
2
（1） (x+2) −3 = 0；
3
（2）（2x−3）2
= x
2
．
18 解方程．
2
（1）x −x−2 = 0；
2
（2）（配方法）x −1 = 4x．
19 2
（1）解方程：x +5x−6 = 0；
2
（2）用公式法解方程：2x −4x−1 = 0．
68/165
20 解方程．
（1）3x(x−1) = 2(x−1)；
2
（2）x +2x−120 = 0．
21 2 2
已知关于x的方程x −2(m+1)x+m +2 = 0．
(1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围；
( )( )
(2)若两实数根x 、x 满足 x +1 x +1 = 8，求m的值．
1 2 1 2
22 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最
长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，恰好用完，试求AB的长，使矩形花园的
2
面积为300m ．
23 2
已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x −9x+20 = 0的一个根，求这个等腰三角形的腰长．
24 BC AC
如图，直角梯形ABCD中，BC//AD，∠BAD = 90∘ ，AC⊥BD，已知 = k，求 的值．
AD BD
25 如图a、b、c，已知∠AOB的平分线OM上有一点P，∠CPD的两边与射线OA、OB交于点C、D，
连接CD交OP于点G，设∠AOB = α（0∘＜α＜180∘），∠CPD = β．
（1）如图a，当α = β = 90∘ 时，试猜想PC与PD，∠PDC与∠AOB的数量关系（不用说明理由）；
69/165
（2）如图b，当α = 60∘ ，β = 120∘ 时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由．
（3）如图c，当α+β = 180∘ 时，
①你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立请直接写出结论；若不成立，请说明理由；
PD PD
②若 = 2，求 的值．
PG PO
能力强化 / 初三 / 暑假
第 8 讲 反比例函数初步
例题练习题答案
例1
(1)下面是一些关于x的函数，请找出所有的反比例函数，并在后面写出常数k是多少．
x 1 3
−2
①y = ；②y = − ；③xy = 1；④y = −3x ；⑤y = +1．
3 x−1 x
(2) |m|−2
若y = (m−1)x 是反比例函数，则m的值是______________．
(3)学校食堂用1200元购买大米，写出购买的大米质量y（千克）与单价x（元）之间的函数表达
式，y是x的反比例函数吗？
练1.1
(1)下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A： 1
y = −
2x
B： 1
y = −
2
x
70/165
C： 1
y = −
x+1
D： 1
y = 1−
x
(2) 1−|m|
函数y = (m+2)x 是反比例函数，则m满足的条件是___________________．
(3)小华要看一部300页的小说，所需的天数y与平均每天看的页数x成______比例函数，表达式
为_________．
例2
(1)在同一平面直角坐标系中画出下列反比例函数的图象：
1 2 1
①y = ；②y = ；③y = − ．
x x 2x
(2) b
若ab < 0，则正比例函数y = ax与反比例函数y = 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
x
练2.1
(1) 2
m +1
下列关于反比例函数y = 的图象的说法正确的是（ ）
x
71/165
A： 图象在一、三象限
B： 图象在二、四象限
C： 图象在一、二象限
D： 图象在三、四象限
(2) a
函数y = （a ≠ 0）与y = a(x+1)（a ≠ 0）在同一坐标系中的大致图象是（ ）
x
例3
(1) 3
关于双曲线y = − 的图象，以下说法正确的是（ ）
x
A： 双曲线的两支既关于x轴对称又关于y轴对称
B： 双曲线的两支既不关于x轴对称又不关于y轴对称
C： 双曲线的两支不关于x轴对称但关于y轴对称
D： 双曲线的两支关于x轴对称但不关于y轴对称
(2) m−2
若函数y = 的图象在每个象限内y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
x
A： m > −2
B： m < −2
C： m > 2
D： m < 2
72/165
(3) k
( ) ( )
已知点A −1,y 、B −2,y 是反比例函数y = (k < 0)图象上的点，则y _____y ．（填“ >
1 2 1 2
x
”“ < ”或“ = ”）
练3.1
(1) 6
对于反比例函数y = − 图象的对称性叙述错误的是（ ）
x
A： 关于原点对称
B： 关于直线y = x对称
C： 关于直线y = −x对称
D： 关于x轴对称
(2) m+2
若函数y = 的图象在每个象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是
x
____________．
(3) k
( ) ( )
已知点A 1,y 、B 2,y 是反比例函数y = (k > 0)图象上的点，则y _____ y ．（填“ >
1 2 1 2
x
”“ < ”或“ = ”）
例4 k 1
( )
已知反比例函数y = 的图象经过点 −1, ，则反比例函数的解析式为________．
x 2
练4.1 已知点A与点B关于原点对称，A的坐标是(2, −3)，那么经过点B的反比例函数的解析式是
（ ）
A： 2
y = −
x
B： 3
y = −
x
73/165
C： 6
y = −
x
D： 3
y = −
2x
例5
(1) 4
反比例函数y = − 的图象上有一点A，过A点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B、C，求
x
矩形ABOC的面积．
(2) 2 4
双曲线y = 与y = 在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于
x x
B、A两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为____________．
练5.1
(1)如图，点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，若阴影部分面积为
3，则这个反比例函数的关系式是______________．
74/165
(2)（2）如图，P 、P 、P 是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形，
1 2 3
分别为△P A O，△P A O，△P A O，设它们的面积分别是S 、S 、S ，则（ ）
1 1 2 2 3 3 1 2 3
A： S < S < S
1 2 3
B： S < S < S
2 1 3
C： S < S < S
1 3 2
D： S = S = S
1 3 2
(3) 6
如图，过原点的直线与反比例函数y = 交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连接
x
BM，求：OAM的面积；ABM的面积．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 8 讲 反比例函数初步
自我巩固答案
1 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A： 1
y =
5x
B： 2
y =
2
x
C： y = 2x+1
75/165
D： 2y = x
2 2
−2
m
若函数y = (m+1)x 是反比例函数，则m的值是（ ）
A： ±1
B： 1
C： 0
D： −1
3 下列关系中，两个量之间为反比例函数关系的是（ ）
A： 正方形的面积S与边长a的关系
B： 正方形的周长L与边长a的关系
C： 长方形的长为a，宽为20，其面积S与a的关系
D： 长方形的面积为40，长为a，宽为b，a与b的关系
4 k
在同一平面直角坐标系中，函数y = x+k与y = (k ≠ 0)的图象大致是（ ）
x
A：
B：
76/165
C：
D：
5 下列函数中，y随x的增大而减小的是（ ）
A： 9
y = − (x < 0)
x
B： 11
y = −
x
C： 3
y = (x > 0)
x
D： y = 2x
6 2
关于双曲线y = − 的对称性叙述错误的是（ ）
x
A： 关于原点对称
B： 关于直线y = x对称
C： 关于x轴对称
D： 关于直线y = −x对称
7 3
下列各点中，在反比例函数y = − 图象上的点是（ ）
x
77/165
A： (1,3)
B： (3,1)
C： 3
( )
2,
2
D： 3
( )
− ,2
2
8 6
如图，已知点P为反比例函数y = − 图象上一点，过点P向坐标轴引垂线，垂足分别为M，N，那
x
么四边形MONP的面积为（ ）
A： −3
B： 3
C： 6
D： 12
9 k
如图，点P是反比例函数y = (x < 0)图象上的一点，过P点向x轴作垂线，垂足为点D，连接OP．
x
若Rt△POD的面积为2，则k的值为（ ）
78/165
A： 4
B： 2
C： −4
D： −2
10 12
如图，点A(2,y)是反比例函数y = 的图象上一点，延长AO交该图象于点B，AC⊥x轴，BC⊥y
x
轴，求△ABC的面积．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 8 讲 反比例函数初步
课堂落实答案
1 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A： x
y =
2
B： 2
y = −
x
79/165
C： 1
y =
2−x
D： 1
y = −2
x
2 k
在同一直角坐标系中，函数y = kx+1与y = (k ≠ 0)的图象大致是（ ）
x
A：
B：
C：
D：
80/165
3 k
点(4, −3)是反比例函数y = 的图象上的一点，则k = （ ）
x
A： −12
B： 12
C： −1
D： 1
4 2
如图，过反比例函数y = (x > 0)图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接
x
OA、OB，设AC与OB的交点为E， △ AOE与梯形ECDB的面积分别为S 、S ，则它们的大小关系
1 2
为（ ）
A： S < S
1 2
B： S > S
1 2
C： S = S
1 2
D： 无法确定
5 k
如图，已知反比例函数y = 的图象经过点A(4,m)，AB⊥x轴，且AOB的面积为2．求k和m的值．
x
81/165
能力强化 / 初三 / 暑假
第 8 讲 反比例函数初步
精选精练
1 m(m−3)
函数y = 是反比例函数，则m必须满足（ ）
x
A： m ≠ 3
B： m ≠ 0或m ≠ 3
C： m ≠ 0
D： m ≠ 0且m ≠ 3
2 k
一次函数y = −kx+k与反比例函数y = − (k ≠ 0)在同一坐标系中的图象可能是( )
x
A：
82/165
B：
C：
D：
3 |m|−3
当m = _____时，函数y = (m−2)x 是反比例函数．
4 |m|−5
已知反比例函数y = (2m−3)x 的图象分布在第一、第三象限，求m的值，并写出反比例函数
的解析式．
5 k
如图，反比例函数y = 的图象经过点A(−1, −2)，则当(x > 1)时，函数值y的取值范围是（ ）
x
A： y > 1
B： 0 < y < 1
C： y > 2
D： 0 < y < 2
83/165
6 k k
1 2
如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y = (x > 0)及y = (x > 0)的图象分别交于点
1 2
x x
A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k −k 的值为（ ）
1 2
A： 2
B： 3
C： 4
D： −4
能力强化 / 初三 / 暑假
第 9 讲 锐角三角函数
例题练习题答案
例1
(1) 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，分别求出图1、图2中sinA、cosA、tanA、sinB、cosB、tanB
的值．
84/165
(2) 在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，若BC = 1，AC = 2，则sinA的值为（ ）
A： √5
5
B： 2√5
5
C： 1
2
D： 2
(3) 在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，若a = 3b，求sinB、cosB、tanB的值．
(4) 3
如图，在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，BC = 9，sinA = ，求cosA、tanB、AB的值．
5
练1.1
(1) 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，下列选项错误的是（ ）
A： 7
sinA =
25
B： 7
sinA =
24
85/165
C： 24
tanB =
7
D： 7
cosB =
25
(2) 在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，若AB = 6，AC = 2，则sinA的值为（ ）
A： 1
3
B： 2
3
C： 2√2
3
D： √2
3
(3) 在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，若BC = 2AC，则tanA = （ ）
A： √5
5
B： 1
2
C： 2√5
3
D： 2
(4) 15
如图，在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，AC = 30，cosA = ，则tanB = _______，AB = _______．
17
86/165
例2
(1)如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在小正方形的顶点上．则cos∠A
的值为（ ）
A： 2√5
5
B： 2
C： √5
5
D： 1
2
(2)在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tan B的值为__________．
练2.1
(1)在正方形网格中，∠AOB如图放置．则tan∠AOB的值为_________．
87/165
(2) 如图，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正弦值
为___________．
例3 根据提供的数据回答下列问题：
（1）在图1中，sinA = ____，cosA = ____，
2 2
sin A +cos A = ____；
在图2中，sinD = ____，cosD = ____，
2 2
sin D+cos D = ____；
通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以
证明；
sinA
（2）在图1中，tanA = ____， = ____；
cosA
sinD
在图2中，tanD = ____， = ____；
cosD
通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？用一个一般式子把你发现的规律表示出来，并加以
证明．
练3.1 3sinα+cosα
若α为锐角，tanα = 3，则 = ________．
cosα
例4
88/165
(1)下列三角函数值错误的是（ ）
A： 1
sin30∘ =
2
B： √3
sin60∘ =
2
C： tan45∘ = 1
D： cos60∘ = √3
(2) √2
已知α为锐角，如果sinα = ，那么α等于（ ）
2
A： 30∘
B： 45∘
C： 60∘
D： 不确定
(3) √2
在△ABC中，若cosA = ，tanB = √3，则这个三角形一定是（ ）
2
A： 直角三角形
B： 等腰三角形
C： 钝角三角形
D： 锐角三角形
(4) 1
已知sinA = ，∠A为锐角，则cos2A的值为_______．
2
练4.1
(1)下列三角函数值错误的是（ ）
89/165
A： √3
cos30∘ =
3
B： √2
sin45∘ =
2
C： tan45∘ = 1
D： 1
cos60∘ =
2
(2) √3
已知α为锐角，如果tanα = ，那么α等于（ ）
3
A： 30∘
B： 45∘
C： 60∘
D： 不确定
(3) √2 √3
在△ABC中，若cosA = ，tanB = ，则这个三角形一定是（ ）
2 3
A： 直角三角形
B： 等腰三角形
C： 钝角三角形
D： 锐角三角形
(4) √2
已知cosA = ，∠A为锐角，则sin
(
A
+15∘)
的值为（ ）
2
A： 1
2
90/165
B： √2
2
C： √3
2
D： 1
例5
|
√2|
(
√3
)2
在△ABC中，若 sinA − + −cosB = 0，∠A，∠B都是锐角，求∠C的度数．
2 2
练5.1 ( )2 | |
在△ABC中，若 √3tanA −3 + 2cosB −√3 = 0，则△ABC为（ ）
A： 直角三角形
B： 等边三角形
C： 含60°的任意三角形
D： 顶角为钝角的等腰三角形
例6 计算：
（1）2sin60∘ +2cos60∘
；
（2）cos 2 30∘ +sin 2 45∘ −tan 2 45∘ ；
2sin30∘
（3） ；
2cos30∘ −1
（4）√3cos30∘ +2 −1 −√2sin45∘ − ( √3−1 )0 ．
练6.1 1 1 2
( )0 ( )−1
计算 − + ⋅ − | tan45∘ −√3 | 的结果是（ ）
2 3 √3
A： 1+√3
B： 2+√3
C： 1+2√3
91/165
D： 2+2√3
能力强化 / 初三 / 暑假
第 9 讲 锐角三角函数
自我巩固答案
1 在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列等式中，正确的是（ ）
A： b
sinA =
c
B： c
cosB =
a
C： a
tanA =
b
D： b
cotB =
a
2 如图，△ABC中，∠C=90°，则∠A的余弦值为（ ）
A： 8
17
B： 8
15
C： 15
17
92/165
D： 15
8
3 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为
（ ）
A： 3
5
B： 4
3
C： √10
5
D： 3
4
4 1
如果∠α是锐角，且cosα = ，那么sin 2 α的值是（ ）
2
A： √3
2
B： 1
4
C： 1
2
D： 3
4
93/165
5 已知sin 2 9∘ = a，sin81∘ = b，则sin9∘ = （ ）
A： √a
B： √b
C： a
2
D： b
2
6 1
已知在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，若sinA = ，则cosA等于（ ）
2
A： √3
2
B： √2
2
C： 1
2
D： 1
7 下列三角函数值错误的是（ ）
A： √2
cos45∘ =
2
B： √3
tan30∘ =
3
C： tan45∘ = 1
D： 1
sin60∘ =
2
94/165
8 √3
已知tanA = ，∠A为锐角，则cos2A的值为（ ）
3
A： √2
2
B： √3
3
C： 1
D： 1
2
9 ( )2
在△ABC中，若 2cosA −√2 +|1−tanB| = 0，则△ABC一定是（ ）
A： 直角三角形
B： 等腰三角形
C： 等边三角形
D： 等腰直角三角形
10 计算：
1
( )−1
（1） + | 1−√2 | −2cos45∘ ；
3
√2
（2）
sin45∘ +√12sin60∘ −2tan45∘
．
2
能力强化 / 初三 / 暑假
第 9 讲 锐角三角函数
课堂落实答案
95/165
1 如图，在△ABC中，∠A = 90∘ ，若AB = 8，AC = 6，则cos C的值为（ ）
A： 3
5
B： 4
5
C： 3
4
D： 4
3
2 5
如图，在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，BC = 5，sinA = ，则cosA = （ ）
13
A： 12
13
B： 5
13
C： 5
12
D： 12
5
96/165
3 √2
已知∠A为锐角，且cosA= ，那么∠A等于（ ）
2
A： 15∘
B： 30∘
C： 45∘
D： 60∘
4 | 1 | ( √3)2
在△ABC中，若 sinA − + cosB − = 0，则∠C = （ ）
2 2
A： 30∘
B： 60∘
C： 90∘
D： 120∘
5 计算：
（1）cos 2 45∘ +cos30∘ −√3⋅tan30∘ ； （2）2sin30∘ +4cos30∘ ⋅tan60∘ ．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 9 讲 锐角三角函数
精选精练
1 √3
已知 < cosA < sin80∘ ，则锐角A的取值范围是（ ）
2
A： 60∘ < ∠A < 80∘
B： 30∘ < ∠A < 80∘
97/165
C： 10∘ < ∠A < 60∘
D： 10∘ < ∠A < 30∘
2 DE 2
如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC， = ，则sinA的值为（ ）
BC 5
A： 2
5
B： √21
5
C： √21
2
D： 3
5
3 AB −BC
在△ABC中，∠C = 90∘ ，∠B的平分线交AC于D．则 = （ ）
AD
A： sin∠ABC
B： cos∠ABC
C： tan∠ABC
98/165
D： cot∠ABC
4 c a
在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若∠B = 60∘ ，则 + 的值为（ ）
a+b c+b
A： 1
2
B： √2
2
C： 1
D： √2
5 1
计算：sin30∘ +cos 2 45∘ + tan 2 60∘ = ___________．
3
能力强化 / 初三 / 暑假
第 10 讲 二次函数的图象与性质（一）
例题练习题答案
例1
(1) 2
若y = mx +nx−p（其中m、n、p是常数）为二次函数，则（ ）
A： m、n、p均不为0
B： m ≠ 0且n ≠ 0
C： m ≠ 0
99/165
D： m ≠ 0或p ≠ 0
(2) 2
k +k
当k为何值时，函数y = (k−1)x +1是二次函数？
练1.1
(1) 2
若关于x的函数y = (2−a)x −x是二次函数，则a的取值范围是____________．
(2) 2
m +2m+2
已知y = (m+2)x +mx+3是二次函数，则m的值为__________．
例2
(1) 2
关于函数y = x 的性质表达正确的一项是（ ）
A： 无论x为任何实数，y值总为正
B： 当x值增大时，y的值也增大
C： 它的图象关于y轴对称
D： 它的图象在第一、三象限内
(2) 1
2 2 2
关于y = x ，y = x ，y = 3x 的图象，下列说法中不正确的是（ ）
3
A： 顶点相同
B： 对称轴相同
C： 图象形状相同
D： 最低点相同
(3) |m|−3
若二次函数y = (2−m)x 的图象开口向下，则m的值为______．
(4) 如图所示，在同一坐标系中，作出①y = a x 2 ，②y = a x 2 ，③y = a x 2 的图象，比较a 、a 、
1 2 3 1 2
a 大小是________．
3
100/165
练2.1
(1) 2
抛物线y = −2x 不具有的性质是（ ）
A： 开口向下
B： 对称轴是y轴
C： 当x > 0时，y随x的增大而减小
D： 函数有最小值
(2)下列说法错误的是（ ）
A： 2
二次函数y = 3x 中，当x > 0时，y随x的增大而增大
B： 2
二次函数y = −6x 中，当x = 0时，y有最大值0
C： 2
抛物线y = ax (a ≠ 0)中，a越大图象开口越小，a越小图象开口越大
D： 2
不论a是正数还是负数，抛物线y = ax (a ≠ 0)的顶点一定是坐标原点
(3) ( ) ( ) ( ) 2
已知a < −1，点 a−1,y ， a,y ， a+1,y 都在函数y = −x 的图象上，则（ ）
1 2 3
A： y < y < y
1 2 3
B： y < y < y
1 3 2
C： y < y < y
3 2 1
D： y < y < y
2 1 3
例3 2 2
在同一直角坐标系中，画出y = x +2，y = x −2的图象，并思考这些二次函数的图象有什么共同
点和不同点？把下面的表格补充完整．
101/165
2 2
y = x +2 y = x −2
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最值
练3.1 2
二次函数y = −3x −1的顶点坐标是_______________，对称轴是_______________；
当x__________时，y随x增大而减小；
当x__________时，y随x增大而增大；
当x = ________时，y有最____值，是______．
例4 2
与抛物线y = −x +1的顶点相同、形状相同且开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式为
（ ）
A： 2
y = −x
B： 2
y = x −1
C： 2
y = −x −1
D： 2
y = x +1
102/165
练4.1 2 2 2
若在同一直角坐标系中，作y = 3x ，y = x −2，y = −2x +1的图象，则它们（ ）
A： 都关于y轴对称
B： 开口方向相同
C： 都经过原点
D： 互相可以通过平移得到
例5 2 2
在同一直角坐标系中，画出y = (x+3) ，y = (x−3) 的图象，并思考这些二次函数的图象有什么共
同点和不同点？把下面的表格补充完整．
2 2
y = (x+3) y = (x−3)
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最值
练5.1 1
2
对于二次函数y = (x−2) ，下列结论：
2
①二次函数的图象开口向下；
②对称轴为直线x = 2；
③顶点坐标为(2,0)；
103/165
④x > 2，y随x的增大而增大，
其中正确结论的个数是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
例6 2
在平面直角坐标系中,二次函数y = a(x−h) (a ≠ 0)的图象可能是（ ）
A：
B：
C：
D：
练6.1 2
对于函数y = −2(x−m) 的图象，下列说法不正确的是（ ）
A： 开口向下
B： 对称轴是x = m
C： 最大值为0
D： 与y轴不相交
104/165
能力强化 / 初三 / 暑假
第 10 讲 二次函数的图象与性质（一）
自我巩固答案
1 2
当m不为何值时，函数y = (m−2)x +4x−5（m是常数）是二次函数（ ）
A： −2
B： 2
C： 3
D： −3
2 2
m −6m−5
若y = (m+1)x 是二次函数，则m = （ ）
A： 7
B： −1
C： −1或7
D： 以上都不对
3 1
2
下列可能是二次函数y = − x 的图象的是（ ）
2
A：
B：
105/165
C：
D：
4 2
抛物线y = −x 不具有的性质是（ ）
A： 开口向下
B： 对称轴是y轴
C： 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小
D： 顶点是原点
5 2
抛物线y = 2x +3的顶点坐标是（ ）
A： (2,3)
B： (0,3)
C： (2, −3)
D： (3,0)
6 2 2 2
抛物线y = 2x ，y = −2x ，y = 2x +1共有的性质是（ ）
A： 开口向上
B： 对称轴都是y轴
C： 都有最高点
D： 顶点都是原点
7 2
抛物线y = 2(x−3) 的顶点坐标是（ ）
106/165
A： (2,3)
B： (−3,0)
C： (2, −3)
D： (3,0)
8 2
抛物线y = 2(x+m) （m是常数，m < 0）的顶点坐标在（ ）
A： x轴正半轴
B： x轴负半轴
C： y轴正半轴
D： y轴负半轴
9 在下列函数中，其图象对称轴为x = −2的是（ ）
A： 2
y = (x+2)
B： 2
y = 2x −2
C： 2
y = −2x −2
D： 2
y = 2(x−2)
10 1 1
2 2
在同一直角坐标系内，画出y = x −3与y = x 的图象，并写出它们的对称轴与顶点坐标．
3 3
能力强化 / 初三 / 暑假
107/165
第 10 讲 二次函数的图象与性质（一）
课堂落实答案
1 2
m +2m+2
已知y = mx 是二次函数，则m的值为（ ）
A： 0，−2
B： 0，2
C： 0
D： −2
2 2
二次函数y = (3.14−π)x 的开口方向是（ ）
A： 向上
B： 向下
C： 向左
D： 向右
3 2
抛物线y = 2x +1的对称轴是（ ）
A： 1
直线x =
4
B： 1
直线x = −
4
C： y轴
D： x轴
4 2
下列关于抛物线y = −x +2的说法正确的是（ ）
A： 抛物线开口向上
B： 顶点坐标为( −1,2)
C： 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
108/165
D： 抛物线与x轴有两个交点
5 2
对于抛物线y = (x−2) ，下列说法正确的是（ ）
A： 顶点坐标是(2,0)
B： 顶点坐标是(0,2)
C： 顶点坐标是(−2,0)
D： 顶点坐标是(0, −2)
能力强化 / 初三 / 暑假
第 10 讲 二次函数的图象与性质（一）
精选精练
1 ( ) 2
（k 3k+2）
如果函数y = k 3 x +kx+1是二次函数,那么k的值一定是___.
2 2
m −m
若抛物线y = (m−1)x 开口向下，则m = _____．
3 2
如图，当ab > 0时，函数y = ax 与函数y = bx+a的图象大致是（ ）
A：
B：
109/165
C：
D：
4 2
在同一坐标系中，一次函数y = ax+2与二次函数y = x +a的图象可能是（ ）
A：
B：
C：
D：
5 2 2
在同一坐标系中，一次函数y = −mx+n 与二次函数y = x +m的图象可能是（ ）
110/165
A：
B：
C：
D：
6 2
在同一直角坐标系中，一次函数y = ax+c和二次函数y = ax +c的图象大致为（ ）
A：
B：
C：
111/165
D：
能力强化 / 初三 / 暑假
第 11 讲 二次函数的图象与性质（二）
例题练习题答案
例1 2
画出y = 2(x−1) +2的图象，并指出它的开口方向、对称轴、顶点及增减性．
练1.1 2
二次函数y = 2(x+2) −1的图象是（ ）
A：
B：
112/165
C：
D：
例2 2
对于抛物线y = −(x+8) +3的图象说法：①抛物线开口向下；②对称轴是直线x = 8；③顶点坐标
为(−8,3)；④x > 8时，y随x的增大而减小，其中正确的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
练2.1 2
由二次函数y = 3(x−4) −2可知（ ）
A： 其图象的开口向下
B： 其图象的对称轴为直线x = 4
C： 其最小值为2
D： 当x > 3时，y随x的增大而减小
例3 2 2
函数y = 2x −4x−1写成y = a(x−h) +k的形式是_________，
2
抛物线y = 2x −4x−1的顶点坐标是_________，对称轴是_________．
练3.1 2
抛物线y = x −4x+7的顶点坐标为（ ）
113/165
A： (−2,3)
B： (−2, −3)
C： (2, −3)
D： (2,3)
例4 2
已知二次函数y = 4x +24x+26，
（1）写出它的开口方向、对称轴及顶点坐标．
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？
（3）当x取何值时，函数y有最值？其最值是多少？
练4.1 1
2
二次函数y = − x +x+2，
4
写出抛物线的开口方向_________，该图象的对称轴是____________，
顶点坐标是___________，当y随x的增大而增大时，求x的取值范围__________．
例5
(1) 2
抛物线y = ax +bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（ ）
A： a > 0，b > 0，c = 0
B： a > 0，b < 0，c = 0
C： a < 0，b > 0，c = 0
D： a < 0，b < 0，c = 0
(2) c
2
如图所示为二次函数y = ax +bx+c的图象，则一次函数y = ax+ 的图象不经过（ ）
b
A： 第一象限
B： 第二象限
114/165
C： 第三象限
D： 第四象限
(3) 2
二次函数y = ax +bx+c与一次函数y = ax+c的图象大致可能是（ ）
A：
B：
C：
D：
练5.1
(1) 2
二次函数y = ax +bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A： a > 0，b < 0，c > 0
B： a < 0，b < 0，c > 0
C： a < 0，b > 0，c < 0
D： a < 0，b > 0，c > 0
(2) 2
已知y = ax +bx+c的图象如图所示，则y = ax+b的图象可能是（ ）
115/165
A：
B：
C：
D：
(3) 2
二次函数y = ax +bx+c和一次函数y = ax+bc在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A：
B：
C：
116/165
D：
能力强化 / 初三 / 暑假
第 11 讲 二次函数的图象与性质（二）
自我巩固答案
1 2
抛物线y = −2(x−2) +1的顶点坐标是（ ）
A： (−2, −1)
B： (−2,1)
C： (2, −1)
D： (2,1)
2 2
抛物线y = 2(x−3) +1的顶点坐标是（ ）
A： (3,1)
B： (3, −1)
C： (−3,1)
D： (−3, −1)
3 2
对于二次函数y = 2(x−1) −3的图象性质，下列说法不正确的是（ ）
A： 开口向上
B： 对称轴为直线x = 1
C： 顶点坐标为(1, −3)
D： 最小值为3
117/165
4 2
已知二次函数y = 2(x−3) −2，下列说法：①其图象开口向上；②顶点坐标为(3, −2)；③其图象
与y轴的交点坐标为(0, −2)；④当x ≤ 3时，y随x的增大而减小．其中正确的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
5 2
抛物线一般式y = x −4x+3化为顶点式正确的是（ ）
A： 2
y = (x−2) +5
B： 2
y = (x−2) −1
C： 2
y = (x−2) −3
D： 2
y = (x−2) +7
6 2
抛物线y = 2x −12x+19的顶点坐标是（ ）
A： (3,1)
B： (3, −1)
C： (−3,1)
D： (−3, −1)
7 2
抛物线y = x −kx+1的顶点在x轴上，则k的值为（ ）
A： 2
B： −2
C： ±2
D： 以上都不对
118/165
8 1
2 2
用配方法把二次函数y = x −4x+5化为y = a(x+m) +k的形式，再指出该函数图象的开口方
2
向、对称轴和顶点坐标．
9 2
已知y = ax +bx+c的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A： ac > 0
B： b > 0
C： ab < 0
D： bc < 0
10 2
已知y = ax +bx+c的图象如图所示，则y = ax−bc的图象一定不经过（ ）
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
能力强化 / 初三 / 暑假
第 11 讲 二次函数的图象与性质（二）
课堂落实答案
1 2
二次函数y = (x−1) +1的图象顶点坐标是（ ）
119/165
A： (1, −1)
B： (−1,1)
C： (1,1)
D： (−1, −1)
2 2
对于抛物线y = (x−2) ，下列说法错误的是（ ）
A： 顶点坐标是(2,0)
B： 当x > 2时，y随x的增大而增大
C： 函数的对称轴为直线x = 2
D： 函数有最小值，最小值是2
3 2
二次函数y = x +4x−5的图象的对称轴为直线（ ）
A： x = 4
B： x = −4
C： x = 2
D： x = −2
4 2
求抛物线y = −2x +8x−8的开口方向、对称轴及顶点坐标．
5 2
已知二次函数y = ax +bx+c(a ≠ 0)的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（ ）
A： a < 0，b > 0，c > 0
B： a < 0，b > 0，c < 0
C： a < 0，b < 0，c > 0
120/165
D： a < 0，b < 0，c < 0
能力强化 / 初三 / 暑假
第 11 讲 二次函数的图象与性质（二）
精选精练
1 2
若二次函数y = (m−2)(x−m) +(m−3)的顶点在第四象限，则m的取值范围是（ ）
A： m > 0且m ≠ 2
B： m < 3且m ≠ 2
C： 0 < m < 3
D： 0 < m < 3且m ≠ 2
2 图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是（ ）
A： h = m
B： k > n
C： k = n
D： h > 0，k > 0
3 2
如图是二次函数y = ax +bx+c的图象，则一次函数y = ax+bc的图象不经过（ ）
121/165
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
4 2
在同一平面直角坐标系中，一次函数y = ax+b和二次函数y = ax +bx+c的图象可能为（ ）
A：
B：
C：
D：
5 2
已知二次函数y = ax +bx+c(a ≠ 0)的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为(−1,0)，(3,0)．
对于下列命题：①b−2a = 0；②abc < 0；③4a−2b+c < 0．其中正确的有（ ）
122/165
A： 3个
B： 2个
C： 1个
D： 0个
6 2
已知二次函数y = ax +bx+c(a ≠ 0)的图象如图所示，有下列4个结论：①abc > 0；②b < a+c；
③4a+2b+c > 0；④a+b > m(am+b)（m ≠ 1）．其中正确结论的个数为（ ）
A： 0
B： 1
C： 2
D： 3
能力强化 / 初三 / 暑假
第 12 讲 二次函数求解析式及图象变换
例题练习题答案
123/165
例1
(1) 2
已知点(3,0)在抛物线y = −3x +(k+3)x−k的图象上，求抛物线的解析式及对称轴．
(2)已知一个二次函数图象经过(−1,10)、(2,7)和(1,4)三点，求这个函数的解析式．
练1.1 已知二次函数的图象经过(0,0)、(1, −1)、(−2,14)三点，求这个二次函数的解析式及顶点坐标．
例2
(1)已知关于x的二次函数的图象的顶点坐标为(−1,2)，且图象过点(1, −3)．求这个二次函数的解
析式．
(2)已知二次函数当x = 4时有最小值−3，且它的图象与x轴两交点之间的距离为6，求这个二次函
数的解析式．
练2.1 已知二次函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为x = −3，此二次函数的解
析式为______________．
例3 已知二次函数与x轴交于两点(−4,0)和(5,0)，且经过点(6,10)．求这个二次函数的解析式及顶点坐
标．
练3.1 2
已知二次函数y = 2x +bx+c与x轴的两个交点的坐标为(−3,0)和(4,0)．则此抛物线的解析式为
（ ）
A： 2
y = 2x −2x−24
B： 2
y = x −x−12
C： 2
y = 2x −x−12
D： 2
y = 2x +2x−12
例4
(1) 2
将抛物线y = (x−1) +3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为
（ ）
124/165
A： 2
y = (x−2)
B： 2
y = (x−2) +6
C： 2
y = x +6
D： 2
y = x
(2) 2
抛物线y = x +bx+c向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为
2
y = x −2x−3，求b、c的值．
练4.1
(1) 2 2
抛物线y = (x+2) −1可以由抛物线y = x 平移得到，下列平移方法中正确的是（ ）
A： 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
B： 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
C： 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
D： 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
(2) 2
把抛物线y = −2x +4x+1向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关
系式是（ ）
A： 2
y = −2(x−1) +6
B： 2
y = −2(x−1) −6
C： 2
y = −2(x+1) +6
D： 2
y = −2(x+1) −6
例5
(1) 2
求抛物线y = 2(x−1) +1关于y轴对称的抛物线的解析式．
(2) 2
求抛物线y = 2x −4x+5关于x轴对称的抛物线的解析式．
练5.1
125/165
(1) 2
抛物线y = x +2x−7关于y轴对称的抛物线的解析式为______________．
(2) 2
抛物线y = −2x −12x−19关于x轴对称的抛物线的解析式为_____________．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 12 讲 二次函数求解析式及图象变换
自我巩固答案
1 2
函数y = ax (a ≠ 0)的图象经过点(a,8)，则a的值为（ ）
A： ±2
B： −2
C： 2
D： 3
2 已知二次函数的图象经过点(−1, −5),(0, −4)和(1,1)，则这个二次函数的表达式为（ ）
A： 2
y = −6x +3x+4
B： 2
y = −2x +3x−4
C： 2
y = x +2x−4
D： 2
y = 2x +3x−4
3 一个二次函数的图象的顶点坐标为(3, −1)，与y轴交于点(0, −4)，这个二次函数的解析式为
（ ）
A： 1
2
y = x −2x+4
3
B： 1
2
y = − x +2x−4
3
126/165
C： 1
2
y = − (x+3) −1
3
D： 2
y = −x +6x−12
4 某抛物线的顶点坐标为(1, −2)，且经过(2,1)，则抛物线的解析式为（ ）
A： 2
y = 3x −6x−5
B： 2
y = 3x −6x+1
C： 2
y = 3x +6x+1
D： 2
y = 3x +6x+5
5 二次函数的图象如图所示，则其解析式是（ ）
A： 2
y = −x +2x+3
B： 2
y = x −2x−3
C： 2
y = −x −2x+3
D： 2
y = −x −2x−3
6 若抛物线经过(−1,0)，(3,0)，(1,5)三点，求此抛物线的解析式．
7 2
将抛物线y = x −4x−3向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（ ）
A： 2
y = (x+1) −2
B： 2
y = (x−5) −2
C： 2
y = (x−5) −12
127/165
D： 2
y = (x+1) −12
8 2 2
抛物线y = x +mx+n可以由抛物线y = x 向上平移2个单位，再向左平移3个单位得到，则mn的值
为（ ）
A： 6
B： 12
C： 54
D： 66
9 2
与抛物线y = x −6x−1关于y轴对称的抛物线的解析式为（ ）
A： 2
y = x −6x+1
B： 2
y = x −6x−1
C： 2
y = x +6x+1
D： 2
y = x +6x−1
10 2
与抛物线y = 2(x+1) +3关于x轴对称的抛物线的解析式是（ ）
A： 2
y = −2(x+1) −3
B： 2
y = 2(x−1) −3
C： 2
y = 2(x−1) +3
D： 2
y = −2(x−1) +3
能力强化 / 初三 / 暑假
第 12 讲 二次函数求解析式及图象变换
课堂落实答案
1 已知二次函数的图象经过点(1,10)，顶点坐标为(−1, −2)，则此二次函数的解析式为（ ）
128/165
A： 2
y = 3(x−1) −2
B： 2
y = 3(x+1) +2
C： 2
y = 3(x+1) −2
D： 2
y = −3(x+1) −2
2 已知二次函数的图象经过(1,0)、(2,0)和(0,2)三点，则该二次函数的解析式为（ ）
A： 2
y = 2x +x+2
B： 2
y = x +3x+2
C： 2
y = x −2x+3
D： 2
y = x −3x+2
3 如果抛物线经过点(−1,12)，(0,5)和(2, −3)三点，求该二次函数的解析式．
4 2
将二次函数y = x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是
（ ）
A： 2
y = (x−1) +2
B： 2
y = (x+1) +2
C： 2
y = (x−1) −2
D： 2
y = (x+1) −2
5 2
抛物线y = 2x −12x+19关于y轴对称后的解析式为（ ）
A： 2
y = −2x +12x−19
B： 2
y = 2x +12x+19
C： 2
y = 2x +12x−19
D： 2
y = −2x +12x+19
129/165
能力强化 / 初三 / 暑假
第 12 讲 二次函数求解析式及图象变换
精选精练
1 2
设抛物线y = ax +bx+c(a ≠ 0)过点A(0 , 2)、B(4 , 3)、C三点，其中点C在直线x = 2上，且点C到
抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为______________________．
2
(1) 2
已知抛物线y = ax +bx+c与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)．求抛物线的
解析式．
(2)已知二次函数的图象经过点A(3, −2)和B(1,0)，且对称轴是直线x = 3．求这个二次函数的解
析式．
3 2
已知，抛物线y = ax +bx+c(a ≠ 0)经过原点，顶点为A(h,k)(h ≠ 0)．
（1）当h = 1，k = 2时，求抛物线的解析式；
2
（2）若抛物线y = tx (t ≠ 0)也经过点A(h,k)，求a与t之间的关系式．
4 2
已知抛物线y = x +bx+c的对称轴为y轴，且过点C(0, −4)．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点( −2,y )与(3,y )都在此抛物线上，则y ___y （填“ > ”、“ = ”或“ < ”）．
1 2 1 2
5 2
如图，抛物线C :y = a(x+2) −5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B
1
的横坐标是1．
（1）求a的值；
（2）如图，抛物线C 与抛物线C 关于x轴对称，将抛物线C 向右平移，平移后的抛物线记为
2 1 2
C ，抛物线C 的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C 的解析式．
3 3 3
130/165
6 2
已知二次函数y = x +bx+c的图象经过点(4,3)，(3,0)．
(1)求b、c的值；
(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴，并在所给坐标系中画出该函数的图象；
(3) 2
该函数的图象经过怎样的平移得到y = x 的图象？
能力强化 / 初三 / 暑假
第 13 讲 圆的认识与垂径定理
例题练习题答案
例1
(1)下列说法正确的有_________________（填序号）；
①直径是弦；
②半圆是弧；
③长度相等的两条弧是等弧；
④所对圆心角相等的两条弧是等弧；
131/165
⑤半径相等的两个圆是等圆（圆心不同）；
⑥两个半圆是等弧．
(2)下列结论错误的是（ ）
A： 圆是轴对称图形
B： 圆是中心对称图形
C： 半圆不是弧
D： 顶点在圆心的角叫做圆心角
练1.1
(1)下列说法正确的个数是（ ）
①直径是圆中最长的弦；②弧是半圆；③过圆心的直线是直径；④半圆不是弧．
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
(2)下列说法错误的是（ ）
A： 直径是圆中最长的弦
B： 长度相等的两条弧是等弧
C： 面积相等的两个圆是等圆
D： 半径相等的两个半圆是等弧
例2
(1) 如图所示，MN为⊙O的弦，∠N = 50∘ ，则∠MON的度数为（ ）
132/165
A： 40∘
B： 50∘
C： 80∘
D： 100∘
(2)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E，若AB = 2DE，
∠E = 18∘ ，则∠C = ________°，∠AOC = ________°．
练2.1
(1) 如图所示，MN为⊙O的弦，∠MON = 70∘ ，则∠N的度数为（ ）
A： 40∘
B： 50∘
C： 55∘
D： 60∘
(2) 如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE = OB，∠AOC = 87∘ ，则∠E =
________，∠C = ________．
133/165
例3 如图，已知⊙O的直径AB⊥CD于点E，则下列结论不一定正确的是（ ）
A： CE = DE
B： AE = OE
C： ⌢ ⌢
BC = BD
D： △OCE≌△ODE
练3.1 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A： CE = DE
B： ⌢ ⌢
BC=BD
C： ∠BAC = ∠BAD
D： OE = BE
例4
(1)如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB = 6cm，OD = 4cm，则DC的长为（ ）
134/165
A： 5cm
B： 2.5cm
C： 2cm
D： 1cm
(2)如图，⊙O的直径CD=10，弦AB=8，AB⊥CD，垂足为E，则DE的长为（ ）
A： 5
B： 6
C： 7
D： 8
练4.1
(1)如图，⊙O的半径为5,AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若OE = 3，则AB的长为（ ）
A： 4
135/165
B： 6
C： 8
D： 10
(2)如图所示，在⊙O中，OD⊥AB，垂足为C，AB = 16，OA = 10，则AD = （ ）
A： 2
B： 2√5
C： 4
D： 4√5
例5
(1)如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB = √6，则⊙O的半径为（ ）
A： √2
B： 2√2
C： √2
2
D： √6
2
136/165
(2)如图，已知⊙O的半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB = 8，CD = 3，则⊙O的半径
为（ ）
A： 4
B： 5
C： 25
6
D： 19
6
练5.1 如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD = 12，BE = 2，则⊙O的直径为（ ）
A： 8
B： 10
C： 16
D： 20
例6 ⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB = 8cm，CD = 6cm，则AB与CD之间的距离为（ ）
A： 1cm
B： 7cm
C： 3cm或4cm
137/165
D： 1cm或7cm
练6.1 如图，⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，两弦位于圆心O的两侧，AB = 24cm，CD = 10cm，
求AB与CD之间的距离．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 13 讲 圆的认识与垂径定理
自我巩固答案
1 下列说法正确的是（ ）
A： 半圆是弧，弧也是半圆
B： 过圆上任意一点只能作一条弦，且这条弦是直径
C： 弦是直径
D： 直径是同一圆中最长的弦
2 如图，EF为⊙O的弦，∠E=30°，则∠EOF等于（ ）
A： 90∘
B： 100∘
C： 110∘
138/165
D： 120∘
3 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于点E，若AB = 8，∠E = 24∘ ，
∠AOC = 72∘ ，则DE = （ ）
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
4 如图，两只蚂蚁从A爬到B，一只沿图中最大的半圆的弧长爬行，另一只沿两个较小的半圆的弧长
爬行，下面的说法正确的是（ ）
A： 沿大半圆爬行的蚂蚁爬的路程长
B： 沿小半圆爬行的蚂蚁爬的路程长
C： 两只蚂蚁爬行的路程一样长
D： 无法确定
5 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，则AC与BD的数量关系
是（ ）
139/165
A： AC > BD
B： AC < BD
C： AC = BD
D： 无法确定
6 如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为17，OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD = 2，弦AB的长度
为（ ）
A： 13
B： 14
C： 15
D： 16
7 如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=1，⊙O的半径为5，则弦AB的长度为（ ）
A： 6
B： 4
C： 2√3
D： 4√3
8 如图，AB是⊙O的弦，AB = 12，⊙O的半径为10，点P是弦AB上任意一点，则OP的长度不可能
是（ ）
140/165
A： 9
B： 7
C： 8.5
D： 10
9 点P是半径为5的⊙O内一点，且OP = 4，在过点P的所有弦中，长度为整数的弦共有（ ）
A： 5条
B： 6条
C： 7条
D： 8条
10 已知在半径为10cm的⊙O中，弦AB∥CD，且AB = 16cm，CD = 12cm，求AB与CD之间的距离．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 13 讲 圆的认识与垂径定理
课堂落实答案
1 下列说法正确的是（ ）
A： 长度相等的两条弧是等弧
B： 优弧一定大于劣弧
141/165
C： 不同的圆中不可能有相等的弦
D： 直径是弦且是同一个圆中最长的弦
2 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB = 2DE，若△COD
为直角三角形，则∠E的度数为（ ）
A： 20∘
B： 22.5∘
C： 25∘
D： 30∘
3 如图，在⊙O中，弦AB的长为16cm，圆心O到AB的距离为6cm，则⊙O的半径是（ ）
A： 6cm
B： 8cm
C： 10cm
D： 20cm
4 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A = 22.5∘ ，OC = 4，则CD的长为（ ）
142/165
A： 2√2
B： 4
C： 4√2
D： 8
5 已知⊙O的半径为17cm，弦AB∥弦CD，AB = 30cm，圆心O位于AB、CD的同侧，CD = 16cm，
求AB与CD之间的距离．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 13 讲 圆的认识与垂径定理
精选精练
1 如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形（即矩形的4个顶点在扇形的圆弧或半径上），顶点P
⌢ ⌢
在MN上，且不与M、N重合，当P点在MN上移动时，矩形PAOB的形状、大小随之变化，则AB的
长度（ ）
A： 不变
B： 变小
C： 变大
D： 不能确定
2 下列语句中正确的是（ ）
A： 形状相同的两条弧是等弧
B： 平分弦的直径垂直于弦
143/165
C： 相等的圆心角所对的弧相等
D： 经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
3 如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A： 2√3cm
B： 4√3cm
C： √3cm
D： √2cm
4 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接BO并延长交⊙O于点E，连接AE，若AB = 6，CD = 1，
则AE的长为（ ）
A： 3√3
B： 8
C： 12
D： 8√3
5 据史料记载，雎水太平桥建于清嘉庆年间，已有200余年历史．桥身为一巨型单孔圆弧，既没有用
钢筋，也没有用水泥，全部由石块砌成，犹如一道彩虹横卧在河面上，桥拱半径OC为13m，河面
宽AB为24m，则桥高CD为（ ）
144/165
A： 15m
B： 17m
C： 18m
D： 20m
6 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF = CD = 4cm，则球的
半径为________cm．
能力强化 / 初三 / 暑假
第 14 讲 圆中的角
例题练习题答案
例1
(1) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B = 60∘ ，则∠ACO = _________；
145/165
(2) 如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥OC，∠OAB = 25∘ ，则∠B = _________；
(3) 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OCB = 60∘ ，则∠BAC = _________；
(4) ⌢
如图，在△ABC中，AB = AC，以AB为直径的半圆交BC、AC于D、E，若DE的度数为40∘ ，则
∠A = _________．
练1.1
(1) 如图，A、B均为⊙O上一点，若∠AOB = 80∘ ，则∠ACB = （ ）
146/165
A： 80∘
B： 70∘
C： 60∘
D： 40∘
(2) 如图，点A、B、C在⊙O上，AB∥CO，∠B = 22∘ ，则∠A = ________；
(3) 如图所示，AB是⊙O的直径，弦DC与AB相交于点E，若∠ACD = 50∘ ，则∠DAB = _______
；
(4)如图，⊙A经过坐标系的原点，与x轴交于点B(8,0)，与y轴交于点C(0,6)，则⊙A的半径为
_________．
例2
(1) 如图，已知A、B、C为⊙O上三点，∠AOC = 150∘ ，则∠ABC = （ ）
A： 105∘
147/165
B： 120∘
C： 135∘
D： 150∘
(2)在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为2:3:7，则∠D的度数为________；
(3) 已知A、B、C为⊙O上三点，∠AOB = 60∘ ，则∠ACB = ________．
练2.1
(1) 如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠B = 60∘ ，则∠ADC = ________；
(2)在圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数之比为3:4:6，则∠D的度数为________；
(3) 已知A、B、C为⊙O上三点，∠AOC = 120∘ ，则∠ABC = ________．
例3 如图，正方形ABCD的外接圆为⊙O，点P在劣弧CD上（不与C点重合）．
（1）求∠BPC的度数；
（2）若⊙O的半径为8，求正方形ABCD的边长．
练3.1 如图，已知△ABC内接于⊙O，∠C = 45∘ ，AB = 2，求⊙O的半径．
148/165
例4
(1) ⌢ ⌢
如图，在⊙O中，AB = AC，∠A = 40∘ ，则∠B的度数为___________；
(2)已知六边形ABCDEF是⊙O的内接六边形，且AB = BC = CD，DE = EF = FA．
求证：∠BAF = ∠CDE = 120∘ ．
练4.1
(1) ⌢ ⌢
如图，在⊙O中，AB = AC，∠AOB = 40∘ ，则∠ADC的度数是（ ）
A： 40∘
B： 30∘
C： 20∘
D： 15∘
149/165
(2)如图，A、B、C、D为⊙O上的点，DC = AB，则AD与BC的大小关系为_______．
例5 如图，已知BC为半圆O的直径，AD⊥BC，垂足为D，过B点作弦BF交AD于E点，交半圆O于F点，
⌢ ⌢
且AE = BE，求证：AB = AF．
练5.1 ⌢ ⌢
如图，已知BC为半圆O的直径，AB = AF，AC与BF交于点M．若∠FBC = α，则∠ACB =
______．（用含α的式子表示）
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第 14 讲 圆中的角
课堂落实答案
150/165
1 ⌢
如图，等边三角形ABC的外接圆为⊙O，点P在劣弧AC上（不与C点重合），则∠BPC = （ ）
A： 30∘
B： 45∘
C： 60∘
D： 75∘
2 如图，⊙A经过坐标系的原点，与x轴交于点B(4,0)，与y轴交于点C(0,3)，则⊙A的直径为（ ）
A： 5
B： 6
C： 6.5
D： 7
3 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，若∠BAD = 110∘ ，则∠BCD = （ ）
A： 110∘
151/165
B： 90∘
C： 70∘
D： 20∘
4 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A： AB = AD
B： BC = CD
C： ⌢ ⌢
AB = AD
D： ∠BCA = ∠DCA
5 如图，已知⊙O中，AB为直径，AB = 10，AC = 6，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求线段
BC，AD，BD的长．
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第 14 讲 圆中的角
自我巩固答案
1 如图，OA、OB均为⊙O的半径，若∠OBA = 40∘ ，则∠ACB = （ ）
152/165
A： 40∘
B： 50∘
C： 60∘
D： 80∘
2 如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A = 40∘ ，则∠OBC = （ ）
A： 30∘
B： 40∘
C： 50∘
D： 60∘
3 如图，⊙A经过坐标系的原点，与x轴交于点B(12,0)，与y轴交于点C(0,5)，则⊙A的半径为（ ）
A： 5
B： 6
153/165
C： 6.5
D： 7
4 如图，在圆内接四边形ABCD中，∠D = 65∘ ，则∠B = （ ）
A： 90∘
B： 100∘
C： 115∘
D： 120∘
5 已知A、B、C为⊙O上三点，∠AOC = 90∘ ，则∠ABC=（ ）
A： 45∘
B： 90∘
C： 135∘
D： 45∘ 或135∘
6 如图，等边三角形ABC内接于半径为4的⊙O，则三角形ABC的边长为（ ）
A： 2√3
B： 4
C： 4√3
D： 6
154/165
7 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90∘ ，∠A = 56∘ ，以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一
⌢ ⌢
点，且CE = CD，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F = （ ）
A： 112∘
B： 108∘
C： 92∘
D： 124∘
8 ⌢
如图，BC为半圆的直径，点O是圆心，A、D为半圆上的两点，若A为BAC的中点，则∠ADC =
（ ）
A： 105°
B： 120°
C： 135°
D： 150°
9 如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的外接圆与y轴交于点D(0,4)，线段AD经过外接圆的圆
心，若∠ABO = 60∘ ，∠BOA = 45∘ ，则OB的长为（ ）
155/165
A： 2√6+2√2
B： √6+√2
C： √3+1
D： √6+√3
10 ⌢ ⌢
如图，在⊙O中，AC = CB，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD = BE．
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第 14 讲 圆中的角
精选精练
1 如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC，若∠BAC = 35∘ ，∠ACB = 40∘ ，则∠ADC = _________
°．
2 如图，A，B，C是⊙O上的三点，且∠ABC = 70∘ ，则∠AOC的度数是（ ）
156/165
A： 35∘
B： 140∘
C： 70∘
D： 70∘ 或140∘
3 如图，OA、OB分别为 ⊙O的半径，若CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，∠P = 70∘ ，则
∠DCE的度数为（ ）
A： 70∘
B： 60∘
C： 50∘
D： 40∘
4 如图，AB是 ⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB = 30∘ ，点E，F分别是AC，BC的中
点，直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径为6，则GE +FH的最大值为（ ）
A： 6
157/165
B： 9
C： 10
D： 12
5 ⌢
如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若BC的度数为50∘ ，则∠ADC的度数为
（ ）
A： 20∘
B： 25∘
C： 30∘
D： 50∘
6 ⌢ ⌢
如图，在⊙O中，AB = CD，则∠AOB与∠COD的大小关系是_____________．
7 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB ≠ AC，∠ABC和∠ACB的角平分线分别交 ⊙O于点D，
E，且BD = CE，则∠A等于（ ）
158/165
A： 90∘
B： 60∘
C： 45∘
D： 30∘
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第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 下列说法，正确的是（ ）
A： 弦是直径
B： 弧是半圆
C： 半圆是弧
D： 过圆心的线段是直径
2 半径为5的圆的一条弦的长不可能是（ ）
A： 3
B： 5
C： 10
D： 12
3 如图所示，MN是⊙O的弦，∠N = 50∘ ，则∠MON的度数为（ ）
159/165
A： 40∘
B： 50∘
C： 80∘
D： 100∘
4 如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠AOB = 100∘ ，那么∠ACB的度数是（ ）
A： 30∘
B： 40∘
C： 50∘
D： 60∘
5 y 3 x+y
若 = ，则 的值为（ ）
x 4 x
A： 1
B： 4
7
C： 4
5
D： 7
4
6 已知线段a = 1，c = 5，线段b是线段a、c的比例中项，线段b的值为（ ）
160/165
A： 2.5
B： √5
C： ±2.5
D： ±√5
7 如图，△ABC中，D、E两点分别在BC、AD上，且AD为∠BAC的角平分线．若∠ABE = ∠C，
AE:ED = 2:1，则△BDE与△ABC的面积比为（ ）
A： 1:6
B： 1:9
C： 2:13
D： 2:15
8 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E，∠AEC = 45∘ ，AB = 2．设AE = x，CE 2 +DE 2 = y．下
列图象中，能表示y与x的函数关系的是（ ）
A：
161/165
B：
C：
D：
9 1
若∠A是锐角，且sin∠A = ，则∠A = __________．
2
10 如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，AB = 4，OC = 1，则OB的长是_________．
11 如图，AB∥CD，AC与BD相交于点O，AB = 3，若BO:BD = 1:3，则CD等于_______．
12 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC = 50∘ ，则∠CAD = ______．
162/165
13 2
二次函数y = 2x +4x−3的顶点坐标是____________．
14 2 5 2
已知x ，x 是方程x −x−5 = 0的两根，则x +41x = __________．
1 2 1 2
15 计算：
（1）sin30∘ +cos60∘ − | tan60∘ −1 |
（2）tan 2 45∘ +sin45∘ ⋅cos60∘ −√2
16 解一元二次方程：(x−2)(x+3) = 6．
17 如图，CD是⊙O的弦，点A、B在CD所在的直线上，且OA = OB．求证：AC = BD．
18 ⌢
如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D为AC上一点，∠ABC = ∠BDC = 60∘ ，AC = 3，求△ABC的周
长．
19 已知：如图，DE∥BC，AD = 4，BD = 8，DE = 5，求线段BC的长．
163/165
20 如图，在△ABC中，D为AB上一点，且∠ACD = ∠B．
（1）求证：△ADC∽△ACB；
（2）若AD = 2，BD = 3，求AC的长．
21 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC = BC = DC．
（1）若∠CBD = 39∘ ，求∠BAD的度数；
（2）求证：∠1 = ∠2．
22 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且
∠AFE = ∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB = 8，AD = 6√3，AF = 4√3，求AE的长．
23 ⌢
如图1，以点O为圆心，半径为4的圆交x轴于点A、B两点，交y轴于C、D两点，点P为AC上的一动
点，延长CP交x轴于点E，连接PB，交OC于点F．
164/165
（1）若点F为OC的中点，求PB的长；
（2）求CP ⋅CE的值；
⌢
AP
（3）如图2，过点O作OH∥AP交PD于点H，当点P在AC上运动时，试问 的值是否保持不变；
DH
若不变，求出它的值；若发生变化，请说明理由．
165/165
