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能力强化 / 初三 / 秋季
第 1 讲 矩形菱形综合
例题练习题答案
例1
(1)如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC = 4，BC = 3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于
E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值为_________．
(2)如图所示，在矩形ABCD中，AB = 6，AD = 8，P是AD上的一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于
F，则PE +PF的值为_____________．
(3) 如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE = 15∘ ，则下列结论：
①△ODC是等边三角形；
②BC = 2AB；
③∠AOE = 135∘ ；
④S = S ，
△AOE △COE
其中正确的结论有_________________．
1/181
(4)在矩形ABCD中，M是AD边上的一点，N是DC边上的中点，AN与MC交于点P，若
∠MCB = ∠NBC+33∘ ，则∠MPA = ___________．
(5)如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若CD = 2，AD = 3，则
边ED的长为_____________．
(6)如图，在矩形ABCD中，AB = 3，BC = 5，过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是
_____________．
练1.1
(1)如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AB = 10，BC = 6，P为AB上一动点，且PE⊥AC
于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值为__________．
2/181
(2)如图所示，在矩形ABCD中，AB = 3，BD = 5，P是AD上的一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于
F，则PE +PF的值为_____________．
(3) 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若∠CAE = 15∘ ，则∠BOE
的度数为________________．
(4)在矩形ABCD中，M是AD边上的一点，N是DC边上的中点，AN与MC交于点P，若
∠MCD = 66∘ −∠NBC，则∠MPA = ___________．
(5) ′
如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B 处，若AE = 2，DE = 6，
∠EFB = 60∘ ，则矩形ABCD的面积是____________．
3/181
(6)如图，在矩形ABCD中，AB = √2，BC = 2，过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长
是_____________．
例2 如图，P是□ABCD的边AD的中点，且PB = PC．求证：四边形ABCD是矩形．
练2.1 如图，P是□ABCD的边AD的中点，且PB = PC，则∠APB和∠DPC的大小关系是_____________．
例3
(1)如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，BE = 1，EF = 2，则矩形的面积是
________．
4/181
(2)如图，在矩形ABCD中，AB = 3，BC = 4，CF⊥BD，AG平分∠BAD，与FC的延长线交于点
E，求CE的长．
练3.1
(1)在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，BE = 1，EF = 2，则AE的长是________．
(2)在矩形ABCD中，AB = 1，AD = √3，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交
于点H，下列结论中：①AF = FH；②BO = BF；③CA = CH；④BE = 3ED，正确的个数是
（ ）
5/181
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
例4
(1) 菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC = 45∘ ，点A的坐标为 ( √2,0 ) ，则点
B的坐标为____________．
(2) 如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD = 120∘ ，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则
EF +BF的最小值是______________．
练4.1
(1) 菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC = 60∘ ，点A的坐标为(2,0)，则点B
的坐标为____________．
(2)如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE = 1，AF = 2，若P为对角线BD上一动点，则EP +FP
的最小值为___________．
6/181
例5 如图，菱形ABCD的较短对角线BD为5√3，∠ADB = 60∘ ，E、F分别在AD、CD上，且△BEF的一
个内角等于60∘ ，判断△BEF的形状，并求AE +CF的值．
练5.1 如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A = ∠EDF = 60∘ ，有下列结论：
①AE = BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE = ∠BEF．
其中结论正确的个数是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
例6 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若
∠BAD = ∠BCD，AM = AN，求证：四边形ABCD是菱形．
7/181
练6.1 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若
∠BAD = ∠BCD = 110∘ ，AM = AN，连接AC，则∠MAC的度数是（ ）
A： 20∘
B： 35∘
C： 55∘
D： 75∘
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第 1 讲 矩形菱形综合
自我巩固答案
1 如图，在 △ ABC中，AB = 3，AC = 4，BC = 5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC 于
F，M为EF的中点，则AM的最小值为（ ）
A： 5
4
B： 5
2
8/181
C： 5
3
D： 6
5
2 如图，在矩形ABCD中，AB = 5，BC = 12，P是AD上的一动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则
PE +PF的值为（ ）
A： 5
B： 12
C： 13
D： 60
13
3 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，若AC = 2AB，则∠OEA的度数
为（ ）
A： 15∘
B： 30∘
C： 45∘
D： 75∘
4 如图，P是□ABCD的边AD的中点，且PB = PC，BC = 2AB，则∠APB = （ ）
9/181
A： 30∘
B： 45∘
C： 60∘
D： 无法确定
5 在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE//BC交CD于E，若OE = 3，CE = 2，则矩形ABCD
的周长为（ ）
A： 10
B： 15
C： 20
D： 22
6 在矩形ABCD中，AB = 1，AD = √3，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点
H，则∠H的度数是（ ）
A： 15∘
10/181
B： 30∘
C： 45∘
D： 60∘
7 菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标为(4,3)，则点B的坐标为（ ）
A： (8,3)
B： (3,8)
C： (9,3)
D： (4,8)
8 如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD = 120∘ ，点E是AB的中点，点F是BD上的一动点，则
EF +AF的最小值是（ ）
A： 2
B： 2√3
C： 4
D： 4√3
9 如图，菱形ABCD的较短对角线BD为4，∠ADB = 60∘ ，E、F分别在AD、CD上，∠EBF = 60∘ ，
则AE +CF的值为（ ）
11/181
A： 4
B： 4√3
C： 6
D： 6√3
10 如图，四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，并且BE = BF，求证：
四边形ABCD是菱形．
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第 1 讲 矩形菱形综合
课堂落实答案
1 如图， △ ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC = 12，BC = 5，P为AB上一动点，且PE⊥AC于
E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值为（ ）
A： 12
5
12/181
B： 13
C： 60
13
D： 17
2 如图，矩形ABCD中，AB = 4，BC = 3，过对角线BD中点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．当
四边形BEDF是菱形时，EF = （ ）
A： 17
5
B： 15
4
C： 3√2
D： 9
2
3 如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD = 135∘ ，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点，则
EF +BF的最小值是____________．
4 如图，菱形ABCD的较短对角线BD为6，∠ADB = 60∘ ，E、F分别在AD、CD上，且 △ BEF的一
个内角等于60∘ ，则AE +CF的值为（ ）
13/181
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
5 如图，四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，并且DE = DF，求
证：四边形ABCD是菱形．
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第 1 讲 矩形菱形综合
精选精练
1 如 图 ， 矩 形 ABCD 中 ， 对 角 线 AC 与 BD 相 交 于 点 O ， P 为 AD 上 的 动 点 ， 过 点 P
作PM⊥AC，PN⊥BD，垂足分别为M、N，若AB = m，BC = n，则PM +PN = （ ）
A： m+n
2
14/181
B： mn
m+n
C： mn
√
2 2
m +n
D： n
m
2 如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点，且EF⊥AC，分别交DC于F，交AB于E，点G是AE
1
中点且∠AOG = 30∘ ，则下列结论：①DC = 3OG；②OG = BC；③△OGE是等边三角形；④
2
1
S = S ．正确的个数为（ ）
△AOE 矩形ABCD
6
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
3 如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8√3，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，
则EP+AP的最小值为_________．
15/181
4 菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2,0)，∠DOB = 60∘ ，点P是对角线OC上
一个动点，E(0, −1)，当EP +BP最短时，点P的坐标为___________．
5 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，
连接CF．
(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2) 若∠BAC = 90∘ ，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论；
(3)在（2）的情况下，点M在AC线段上移动，请直接回答：当点M移动到什么位置时，
MB +MD有最小值？
6 在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平
行四边形ECFG．
（1）如图1，求证：平行四边形ECFG为菱形；
（2）如图2，若∠ABC = 90∘ ，M是EF的中点，求∠BDM的度数；
（3）如图3，若∠ABC = 120∘ ，请直接写出∠BDG的度数．
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第 2 讲 一元二次方程的应用
例题练习题答案
例1 2
把一元二次方程(x−3) = 5化为一般形式为________，二次项为________，一次项系数为________，
常数项为________．
例2 2
m +1
若方程(m−1)x −2x−m = 0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A： −1
B： 1
C： 5
D： −1或1
例3 3
2
已知x = 2是方程 x −2a = 0的一个解，则2a−1的值是（ ）
2
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
练3.1 若关于x的一元二次方程ax 2 +bx+c = 0一个根是1，且a、b满足等式b = √a−3+√3−a+3，则
c = _____．
例4 2
若2n(n ≠ 0)是关于x的方程x −2mx+2n = 0的根，则m−n的值为_____．
例5 按要求解下列一元二次方程：
(1) 2
2x +4x−7 = 0（配方法）．
17/181
(2) 2
2x −3x+2 = 0（公式法）．
(3) 2
x −7x+10 = 0（用适当方法）．
(4) 2
5(x+1) = 7(x+1)（用适当方法）．
例6
(1)我省2016年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递
业务迅猛发展，2018年的快递业务量达到4.5亿件．设2017年与2018年这两年的平均增长率为x
，则下列方程正确的是（ ）
A： 1.4(1+x) = 4.5
B： 1.4(1+2x) = 4.5
C： 2
1.4(1+x) = 4.5
D： 2
1.4(1+x) +1.4(1+x) = 4.5
(2)市人民政府为了解决群众看病难的问题，决定下调某种药品的价格，经连续两次降价后，由
毎盒200元调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少?
练6.1 某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获
利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足
的方程为( )
A： 2
10(1+x) = 36.4
B： 2
10+10(1+x) = 36.4
C： 10+10(1+x) +10(1+2x) = 36.4
D： 2
10+10(1+x) +10(1+x) = 36.4
例7 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．
为了促销，同时又要使消费者得到更多实惠，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西
瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要
想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
18/181
练7.1 水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100
斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出
260斤，张阿姨决定降价销售．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是______斤(用含x的代数式表示)；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？此时的利润率是多
少？
例8
(1)如图，一块长5米宽4米的地毯，为了美观设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分)，已知
17
配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的 ．
80
①求配色条纹的宽度；
②如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造
价．
(2)将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为4cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，盒子的
3
容积是400cm ，求原铁皮的边长．
练8.1 如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地
面积需要551平方米，则修建的路宽应为多少米？
例9 某地有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了几个人？
例10
(1)要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排4天，每天安排7
场比赛．设比赛组织者应邀请x支队参赛，则x满足的关系式为（ ）
19/181
A： 1
x(x+1) = 28
2
B： 1
x(x−1) = 28
2
C： x(x+1) = 28
D： x(x−1) = 28
(2)元旦节，班上数学兴趣小组的同学，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计
出全组共互送了90张贺卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则
可列方程为（ ）
A： x(x−1) = 90
B： x(x−1) = 2×90
C： x(x−1) = 90÷ 2
D： x(x+1) = 90
练10.1 某生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他学生各赠送一件，全组共互赠了182件，如
果全组有x名学生，则根据题意列出的方程是（ ）
A： x(x+1) = 182
B： x(x−1) = 182
C： x(x−1) = 182×2
D： x(x+1) = 182×2
能力强化 / 初三 / 秋季
第 2 讲 一元二次方程的应用
自我巩固答案
1 关于x的一元二次方程 ( a−√3 ) x 2 +x+a 2 −3 = 0的一个根是0，则a的值为（ ）
20/181
A： −√3
B： √3
C： √3或−√3
D： 1.5
2 2 2
已知k是x −2017x+1 = 0的一个不为0的根，不解方程，请求出2k −4034k的值．
3 2
用配方法解方程3x −6x+1 = 0，则方程可变形为（ ）
A： 1
2
(x−3) =
3
B： 1
2
3(x−1) =
3
C： 2
(3x−1) = 1
D： 2
2
(x−1) =
3
4 2
解方程：x +x−3 = 0．
5 某钢铁厂1月份生产某种钢材5万吨，3月份生产这种钢材7.2万吨，设平均每月增长的百分率
为x，则根据题意可列方程为（ ）
A： 5(1+x) = 7.2
B： ( 2 )
5 1+x = 7.2
C： 2
5(1+x) = 7.2
D： 2
7.2(1+x) = 5
6 公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少
2
了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m ，求原正方形空地的边长．设原正方形的空
21/181
地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A： (x+1)(x+2) = 18
B： 2
x −3x+16 = 0
C： (x−1)(x−2) = 18
D： 2
x +3x+16 = 0
7 参加商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了45份合同．设共有x家公
司参加商品交易会，则x满足的关系式为（ ）
A： 1
x(x+1) = 45
2
B： 1
x(x−1) = 45
2
C： x(x+1) = 45
D： x(x−1) = 45
8 某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系，若每盆植
入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5
元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？
9 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建
筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分
22/181
2
别为多少时，猪舍面积为80m ？
10 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支
的总数是91，每个支干长出多少小分支？
能力强化 / 初三 / 秋季
第 2 讲 一元二次方程的应用
课堂落实答案
1 2
如果关于x的方程(m+3)x −mx+1 = 0是一元二次方程，则（ ）
A： m ≠ −3
B： m ≠ 3
C： m ≠ 0
D： m ≠ −3且m ≠ 0
2 用配方法解下列方程时，配方正确的是（ ）
A： 2 2
方程x −6x−5 = 0，可化为(x−3) = 4
B： 2 2
方程y −2y−2015 = 0，可化为(y−1) = 2015
C： 2 2
方程a +8a+9 = 0，可化为(a+4) = 25
D： 3 23
( )2
2
方程2x −6x−7 = 0，可化为 x− =
2 4
3 有4人患了流感，经过两轮传染后，共有100人患了流感，设每轮传染中平均每人传染了x个人，根
据题意可列方程为（ ）
23/181
A： 4+4(1+x) = 100
B： 2
4(1+x) = 100
C： 4+x+4(1+x) = 100
D： 2×4(1+x) = 100
4 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，
2
如果要使整个挂图的面积是5400cm ，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）
A： 2
x +130x−1400 = 0
B： 2
x +65x−350 = 0
C： 2
x −130x−1400 = 0
D： 2
x −65x−350 = 0
5 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，问应邀
请多少个球队参加比赛？
能力强化 / 初三 / 秋季
第 2 讲 一元二次方程的应用
精选精练
1 2 2
解方程：ax −2 = 2x ．
2 2 ( 2 )
解方程：x +x−2+k x +2x = 0．
3 若两个连续整数的积为56，则这两个连续整数的和为（ ）
24/181
A： 15
B： −15
C： ±15
D： −1
4 某两位数的十位数字与个位数字之和为5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得
的新两位数与原两位数的乘积为736，求原来的两位数．
5 子曰：“吾十有五而志于学，三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心
所欲，不逾矩．”——《论语∙第二章∙为政篇》
列方程解决下面问题：
• • •
读诗词解题：
大江东去浪淘尽，千古风流数人物；
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十位恰小个位三，个位平方与寿符；
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
6 某商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．由于换季问题，需要尽快减少库存，该
• •
商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2
件．据此规律，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
能力强化 / 初三 / 秋季
第 3 讲 判别式与韦达定理
例题练习题答案
例1 2
关于x的方程2x −kx−3 = 0的根的情况是（ ）
A： 有两个相等的实数根
B： 有两个不相等的实数根
C： 无实数根
25/181
D： 两根同号
例2 2 2
求证：关于x的方程2x +3(m−1)x+m −4m−7 = 0对于任何实数m，永远有两个不相等的实数
根．
练2.1 2
已知关于x的一元二次方程x −(k+1)x−6 = 0．
(1)求证：对于任意实数k，方程有两个不相等的实数根．
(2)若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根．
例3 2
已知关于x的方程(k+1)x +(3k−1)x+2k−2 = 0．证明：不论k为何值时，方程总有实数根．
例4 2
已知关于x的一元二次方程mx +4x+1 = 0（m为常数）有两个不相等的实数根，则m的取值范围
是_____．
练4.1 2
若关于x的一元二次方程kx −2x−1 = 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A： k > −1
B： k > −1且k ≠ 0
C： k < 1
D： k < 1且k ≠ 0
例5 2
已知关于x的一元二次方程x −4x+2m = 0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
练5.1 2
已知关于x的一元二次方程(m−1)x −(m+1)x+2 = 0，其中m ≠ 1．
（1）求证：此方程总有实根；
（2）如果该方程的根均为正整数，求整数m的值．
例6 2
等腰三角形的底和腰是方程x −6x+8 = 0的两根，则这个三角形的周长为_____．
26/181
练6.1 2
已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x −9x+20 = 0的一个根，求这个等腰三角形的腰长．
例7 x x
2 1
2
已知x ，x 是方程x +6x+3 = 0的两实数根，则 + 的值为_____．
1 2
x x
1 2
练7.1 2 2 2
已知关于x的一元二次方程x +(m+3)x+m+1 = 0的两个实数根为x ，x ，若x +x = 4，则m
1 2 1 2
的值为_____．
练7.2 2 2 2
已知关于x的一元二次方程x −(m+6)x+3m+9 = 0的两个实数根为x ，x ，若n = x +x −9，
1 2 1 2
判断动点P(m,n)所形成的函数图象是否经过点A(−1,4)，并说明理由．
例8 4 2
【问题背景】解方程：x −5x +4 = 0．
分析：这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，我们可以借助“换元法”将高次方程“降
次”，进而解得未知数的值．
2 4 2 2
解：设x = y，那么x = y ，于是原方程可变为y −5y+4 = 0，解得y = 1，y = 4．
1 2
2 2
当y = 1时，x = 1，x = ± 1；当y = 4时，x = 4，x = ± 2；
1 2
原方程有四个根：x = 1，x = −1，x = 2，x = −2．
1 2 3 4
( )2 ( )
2 2
【触类旁通】参照例题解方程： x +x −4 x +x −12 = 0；
【解决问题】已知实数x，y满足(2x+2y+3)(2x+2y−3) = 27，求x+y的值；
( )( )
2 2
【拓展迁移】分解因式： x +4x+3 x +4x+5 +1 = _____．
练8.1 若实数a，b满足(2a+2b)(2a+2b−2) −8 = 0，则a+b = _____．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 3 讲 判别式与韦达定理
自我巩固答案
1 2
一元二次方程5x −11x+4 = 0的根的情况是（ ）
A： 有两个相等的实数根
27/181
B： 有两个不相等的实数根
C： 只有一个实数根
D： 没有实数根
2 2 2 2
如果a、b、c是△ABC的三边长，且方程x −2cx+a +b = 0有两个相等的实数根，那么这个三角
形是（ ）
A： 等腰三角形
B： 等边三角形
C： 不等边三角形
D： 直角三角形
3 2
已知关于x的方程kx +(1−k)x−1 = 0，下列说法正确的是（ ）
A： 当k = 0时，方程无解
B： 当k = 1时，方程有一个实数解
C： 当k = −1时，方程有两个相等的实数解
D： 当k ≠ 0时，方程总有两个不相等的实数解
4 2
已知关于x的方程x −2x−2n = 0有两个不相等的实数根，若n < 5，且方程的两个实数根都是整
数，则n的值为（ ）
A： n = 2
B： n = 0或n = 1.5或n = 4
C： n = 4
D： n = 0或n = 1.5或n = 2
5 2
若关于x的一元二次方程x +2x+k−1 = 0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请你选取一个合适的k的值代入方程并求出这个方程的两根．
28/181
6 2
2
已知关于x的方程kx −x− = 0(k ≠ 0)．
k
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根都是整数，求整数k的值．
7 2
一元二次方程x −10x+21 = 0的两根恰好是等腰三角形的底边长和腰长，则该等腰三角形的周长
为（ ）
A： 13
B： 17
C： 13或17
D： 不能确定
8 2 2 2
关于x的一元二次方程x −mx+2m−1 = 0的两个实数根分别是x 、x ，且x +x = 7，则
1 2 1 2
( )2
x −x 的值是（ ）
1 2
A： 1
B： 12
C： 13
D： 25
9 2
定义：如果一元二次方程ax +bx+c = 0(a ≠ 0)满足a+b+c = 0，那么我们称这个方程为“凤
2
凰”方程．已知ax +bx+c = 0(a ≠ 0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确
的是（ ）
A： a = c
B： a = b
C： b = c
D： a = b = c
29/181
10 2
已知关于x的一元二次方程x +(4m+1)x+2m−1 = 0．
(1)求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2) 1 1 1
若方程的两根为x 、x 且满足 + = − ，求m的值．
1 2
x x 2
1 2
能力强化 / 初三 / 秋季
第 3 讲 判别式与韦达定理
课堂落实答案
1 1
2
关于x的方程 ax +(a−1)x+a−3 = 0有两个不同的实根，则实数a的取值范围为（ ）
4
A： a < −1
B： a < 1
C： a > 1
D： a > −1且a ≠ 0
2 下列方程没有实数根的是（ ）
A： 2
3x −2x = 0
B： 2
3x +2 = 4x
C： 2
(1−2x) −2 = 0
D： √2x 2 −3x−√3 = 0
3 2
已知关于x的一元二次方程mx −(m+2)x+2 = 0．
①证明：不论m为何值时，方程总有实数根；
②m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
30/181
4 已知x +x = −7，x x = 8，则x ，x 是下列哪个方程的两个实数根（ ）
1 2 1 2 1 2
A： 2
x −7x−8 = 0
B： 2
x −7x+8 = 0
C： 2
x +7x+8 = 0
D： 2
x +7x−8 = 0
5 ( 2 2 )( 2 2 ) 2 2
已知 x +y +1 x +y +3 = 8，则x +y 的值为（ ）
A： −5或1
B： 1
C： 5
D： 5或−1
能力强化 / 初三 / 秋季
第 3 讲 判别式与韦达定理
精选精练
1 2
若关于x的一元二次方程x −2x+kb+1 = 0有两个不相等的实数根，则一次函数y = kx+b的大致
图象可能是（ ）
A：
B：
31/181
C：
D：
2 2
已知关于x的一元二次方程mx −3(m+1)x+2m+3 = 0
(1)如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)在（1）的条件下，当该方程的根都是整数，且|x| < 4时，求m的整数值．
3 2
已知关于x的一元二次方程x −(2m+1)x+m(m+1) = 0．
(1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，且BC = 8，当△ABC为等腰三角形
时，求m的值．
4 2 2
已知关于x的一元二次方程x +(2m−1)x+m −4 = 0
(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
(2)若边长为√39的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．
5 2 2
已知关于x的一元二次方程x −(2k+1)x+k +k = 0
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2) 2 2
若x ，x 是上述方程的两个实数根，且满足x +x = 5，请求出k的值及相应的实数根．
1 2 1 2
6 如果关于x的一元二次方程ax 2 +bx+c = 0（a ≠ 0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2
2
倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x −6x+8 = 0的两个根是2和4，则
32/181
2
方程x −6x+8 = 0就是“倍根方程”．
(1) 2
若一元二次方程x −3x+c = 0是“倍根方程”，则c = _____；
(2) 2 2
若(x−2)(mx−n) = 0(m ≠ 0)是“倍根方程”，求代数式4m −5mn+n 的值；
(3) 2
若关于x的一元二次方程ax +bx+c = 0(a ≠ 0)是“倍根方程”，求a，b，c之间的关系．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 4 讲 相似经典模型（一）
例题练习题答案
例1
(1)如图，在△ABC中，AB = 9，AC = 6，BC = 12，点M在边AB上，AM = 3，过点M作直线MN
与边AC交于点N，使截得的三角形与原三角形ABC相似，则MN的长为____________．
(2)如图，在△ABC中，AB = 20，BC = 12，D是AC上一点，过点D作DE∥BC交AB于E，
作DF∥AB交BC于F，设四边形BEDF为菱形．
①求菱形的边长；
②求菱形BEDF的面积与△ABC的面积之比．
练1.1
33/181
(1)如图，已知在 △ ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE//BC，EF//AB ，
且AD:DB = 3:5，那么CF:CB等于（ ）
A： 5:8
B： 3:8
C： 3:5
D： 2:5
(2) 如图，在 △ ABC中，∠B = 90∘ ，AB = 12mm，BC = 24mm，动点P以2mm/s的速度从A
向B移动（不与B重合），动点Q以4mm/s的速度从B向C移动（不与C重合），若P、Q同时
出发，经过_______秒后， △ PBQ与 △ ABC相似．
例2 一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC = 120mm，高AD = 80mm，把它加工成正方形零件如
图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．
（1） 求证： △ AEF∽ △ ABC；
（2） 求这个正方形零件的边长；
（3） 如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？
练2.1 如图， △ ABC是一块锐角三角形材料，边BC=30cm，高AD=20cm，要把它加工成一个矩形零
件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，要使矩形EGHF的面积最大，EF的长
34/181
应为________cm．
例3
(1)如图，在□ABCD中，AB=4，BC=5，∠ABC、∠BCD的角平分线分别交AD于E、F两点，BE
与CF交于点G，则△EFG与△BCG面积之比是________．
(2)已知□ABCD，连接对角线BD，E、F是边BC的四等分点，连接AE、AF，与BD分别交于点
G、H，则BG:GH:HD的值为________．
练3.1 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC平分∠DAB，且∠DAC = ∠DBC，那
么下列结论不一定正确的是（ ）
A： △AOD∽△BOC
B： △AOB∽△DOC
C： CD=BC
D： BC⋅CD = AC⋅OA
35/181
例4 如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F在线段AE上，BF的延长线交射线CD于点
AF CD
G，若 = 3，求 的值．
EF CG
AB CG
（1）尝试探究：在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则易求 的值是______， 的值是
EH EH
CD
______，从而确定 的值是______；
CG
AF CD
（2）类比延伸：如图2，在原题的条件下，若 = m(m > 0)，则 的值是 （用含m的代数式表
EF CG
示），写出解答过程；
（3）拓展迁移：如图3，在梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC延长线上的一点，AE和BD相交于
AB BC AF
F，若 = a， = b(a > 0，b > 0)，则 的值是________（用含a、b的代数式表示），写出解
CD BE EF
答过程．
练4.1 阅读：如图1，在△ABC中，∠ACB = 90∘ ，BE是AC边上的中线，D是BC边上的一点，
AP
CD:BD = 1:2，AD与BE相交于点P，求 的值．小昊发现，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于
PD
点F，通过构造△AEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
36/181
(1) AP
的值为______；
PD
(2) 参考小昊思考问题的方法，解决问题：如图3，在△ABC中，∠ACB = 90∘ ．点D在BC的延长
线上．AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC:BC:AC = 1:2:3．
AP
①求 的值；
PD
②若CD = 2，求BP的长．
例5 如图，已知CD是△ABC的高，DE⊥CA，DF⊥CB，求证： △ CEF ∽△ CBA．
练5.1 如图，已知AB=AC，AD⊥AB．若CD = 7，AB = 15，求BC的长．
例6 如图，在△ABC中，∠ACB = 90∘ ，AD为边BC上的中线，CP⊥AD于点P，求证：
AD⋅PB = AB ⋅BD．
37/181
练6.1 已知，如图， △ ABC中，AB = 2，BC = 4，D为BC边上一点，BD = 1．
（1）求证： △ ABD∽ △ CBA；
（2）在原图上作DE∥AB交AC于点E，请直接写出另一个与 △ ABD相似的三角形，并求出DE的
长．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 4 讲 相似经典模型（一）
自我巩固答案
1 如图，点D在△ABC的边AB上，连接CD，若∠ADC = ∠ACB，BD = 1，AD = 2，则CA的值为
（ ）
A： 5
B： 4
C： 6
D： √6
38/181
2 如图，点D是△ABC的边AB上的一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，连接BE，过点D作BE的平
行线交AC于点F，则下列结论错误的是（ ）
A： AD AE
=
BD EC
B： AF DF
=
AE BE
C： AE AF
=
EC FE
D： DE AF
=
BC FE
3 如图，在△ABC中，EFGH是正方形，E、F在BC边上，H、G分别在AB、AC边上，BC = a，BC边
上的高为h，则正方形EFGH的边长为（ ）
A： ah
a+h
B： 2
h
a
C： 2
a
h
39/181
D： 2
ah
2
(a+h)
4 如图，□ABCD中，E、F是边BC的三等分点，AF交DE于点M，则AM:AF等于（ ）
A： 3:2
B： 2:3
C： 3:4
D： 4:3
5 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为BC、AB中点，连接FC、AE，且AE与FC交于点M，AE
的延长线与DC的延长线交于点N．若AB=2，BF = 2ME，线段AN的长为（ ）
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
6 如图，等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点E为△ABC内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点逆时针
旋转90∘ ，使BC与AC重合，得到△AFC，连接EF交AC于点M，已知BC=10，CF=6，则AM:MC的
40/181
值为（ ）
A： 4:3
B： 3:4
C： 5:3
D： 3:5
7 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且AE=3ED，连接CE并延长交AB于F，则
BF:AB=（ ）
A： 1:2
B： 1:3
C： 2:3
D： 2:5
8 如图，在Rt △ ABC中，∠ACB = 90∘ ，CD⊥AB，垂足为D，且AD:BD = 16:9，则CD:AC =
（ ）
A： 3:4
41/181
B： 3:5
C： 4:5
D： 2:3
9 已知M是菱形ABCD的对角线AC上一动点，连接BM并延长，交AD于点E，已知AB = 5，AC = 8．
则当AM的长为何值时，△BMC是直角三角形.
10 如图，在△ABC中，点E在中线BD上，∠DAE = ∠ABD．
2
求证：①AD = DE ⋅DB；
②∠DEC = ∠ACB．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 4 讲 相似经典模型（一）
课堂落实答案
1 如图，要在一块△ABC的纸片上截取正方形DEFG模型．其中，G、F在BC边上，D、E分别
在AB、AC边上，AH⊥BC交DE于M，若BC = 12cm，AH = 8cm，则正方形DEFG的边长是
（ ）
42/181
A： 24
cm
5
B： 4cm
C： 24
cm
7
D： 5cm
2 如图，已知平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点
E、F、G，若BE = 5，EF = 2，则FG的长为（ ）
A： 11
2
B： 15
2
C： 21
2
D： 23
2
3 AE 1 AF
如图△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD边上一点．射线CF交AB于点E， = ，则 =
EB 6 FD
（ ）
43/181
A： 1
2
B： 1
3
C： 1
4
D： 2
5
4 如图，在Rt △ ABC中，∠C = 90∘ ，CD⊥AB于点D，且BD = 4，CD = 6，那么AD的值为（ ）
A： 8
B： 9
C： 10
D： 12
44/181
5 如图，已知∠ACP = ∠B，AC = 5，AP = 3，求AB的值．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 4 讲 相似经典模型（一）
精选精练
1 如图，在锐角三角形ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，
∠EAF = ∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
AF
（2）若AE=2，AC=4，求 的值．
AG
2 如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别
在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积．
45/181
3 如图，点M是平行四边形ABCD边CD上的一点，BM的延长线交AD的延长线于点N，则图中相似
的三角形有（ ）
A： 3对
B： 2对
C： 1对
D： 0对
4 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，BA和CD的延长线交于P，AC和BD交于点O，连接PO并延长
分别交AD，BC于点M，N．求证：AM = DM．
5 如图：已知，在Rt △ ABC中，CD⊥AB于D．若AD、BD的长是关于x的方程x 2 −10x+m = 0的两
个根，且S = 20，求m的值．
△ABC
6 如图，△ABC中，D是BC上一点，∠DAC = ∠B，E为AB上一点．
（1）求证：△CAD∽△CBA；
（2）若BD = 10，DC = 8，求AC的长；
（3）在（2）的条件下，若DE//AC，AE = 4，求BE的长．
46/181
能力强化 / 初三 / 秋季
第 5 讲 相似经典模型（二）
例题练习题答案
例1
(1) 如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD = 3，∠ADE = 60 ∘ ，则AE的长为________．
(2)如图，在边长为9的正方形ABCD中，F为AB上一点，连接CF，过点F作FE⊥CF，交AD于点E
，若AF = 3，则AE等于（ ）
A： 1
B： 1.5
C： 2
D： 2.5
47/181
练1.1 如图，已知等边△ABC的边长为8，点D、P、E分别在边AB、BC、AC上，BD = 3，E为AC中点，
当△BPD与△PCE相似时，求BP的值．
例2 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AB = CD = BC = 6，AD = 3．点M为边BC的中点，以M为顶
点作∠EMF = ∠B，射线ME交AB于点E，射线MF交CD于点F，连接EF．
（1）求证： △ MEF ∽ △ BEM；
（2）若 △ BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长．
练2.1 如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF = ∠B，且
点D、F分别在边AB、AC上．
(1)求证：△BDE∽△CEF；
(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．
例3 AO 2
△ABC中，∠C = 90∘ ，AC = 3，BC = 4，O是AB上的一点，且 = ，点P是AC上的一个动点，
AB 5
PQ⊥OP交线段BC于点Q（不与点B、C重合），已知AP = 2，求CQ的长．
48/181
练3.1 如图，正方形ABCD的边长为25，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落
在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为（ ）
A： 6
B： 5
C： 2√7
D： √34
例4
(1) 如图，△ABC中，AC = 3，分别以BC、AB为底边作顶角为120∘ 的等腰△BDC和△AEB，D在△
ABC内，E在△ABC外，那么ED的长等于（ ）
A： 2
B： √3
C： √2
D： √3
2
49/181
(2) 如图，Rt△ABC中，∠BAC = 90∘ ，AB = AC，AC边上有点D，连接BD，以BD为腰作等腰直
角三角形BDE，DE交BC于F，那么下面结论：
①△ABD∽△CBE；
②∠BCE = 90∘ ；
③DF ⋅EF = BF ⋅CF；
④BC−CE = √2CD．
其中正确的有（ ）
A： ①②
B： ①②③
C： ②③④
D： ①②③④
练4.1 已知，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，且∠ABC = ∠DBE = 90∘ ，若∠BAD = 20∘ ，则
∠BCE的度数是（ ）
A： 15∘
B： 20∘
C： 30∘
D： 35∘
50/181
例5 如图，在平行四边形ABCD中，AC = CD，E、F分别为BC、CD上的点，且∠EAF = ∠CAD．
证明：(1) △ ACE∽ △ ADF；
(2)EA = EF．
练5.1 AB BC AC
如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且 = = ．
AE ED AD
（1）求证：∠BAE = ∠CAD；
（2）求证：△ABE∽△ACD．
例6 （1）如图①，正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD:GC:EB的结果（不
必写计算过程）；
（2）将图①中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图②，求HD:GC:EB；
（3）把图②中的正方形都换成矩形，如图③，且已知DA:AB = HA:AE = m:n，此时HD:GC:EB
的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过
程）．
练6.1 如图，四边形ABCD和BEFG均为正方形，求AG:DF:CE的值．
51/181
能力强化 / 初三 / 秋季
第 5 讲 相似经典模型（二）
自我巩固答案
1 如图所示，Rt△ABC中，∠BAC = 90∘ ，AB = AC = 2，点D在边BC上（不与B、C两点重合），且
∠ADE = 45∘ ，DE交AC于点E．若BD = x，则CE的长度为（ ）
A： 2√2x
B： 2√2x−x 2
2
C： √2x
2
D： 2
x−x
2
2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC = 90∘ ，E是AB上一点，且DE⊥CE．若AD = 1，
BC = 2，CD = 3，则CE与DE的数量关系正确的是（ ）
52/181
A： CE = √3DE
B： CE = √2DE
C： CE = 3DE
D： CE = 2DE
3 如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，G、F分别是AD、BC边上的点，若AG+BF = 5 ，
∠GEF = 90∘ ，则GF的长为（ ）
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
4 如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE．
⑴求证： △ ABE∽ △ ECD；
⑵若AB = 4，AE = BC = 5，求CD的长；
⑶当 △ AED∽ △ ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间的数量关系，并说明理由．
53/181
5 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB = 90∘ ，AC = 6，AB = 10，点E是AB边上的一点，∠ECF = 90∘ ，
75
∠CEF = ∠B，当△AEF的面积为 时，BE的长度为（ ）
8
A： 4
B： 5
C： 6
D： 7
6 如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC = ∠DAE = 90∘ ，四边形ACDE是平行四边
形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中：①CE = BD；②△ADC是等
腰直角三角形；③△AEC≌△AEB；④△CGD∽△CDF，一定正确的结论有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
7 EC AC √5
如图，已知∠ECA = ∠DCB， = = ，若AE = 2√5，则BD的长度为（ ）
CD BC 2
54/181
A： √5
B： 2
C： 4
D： 5
8 如图为两正方形ABCD、BEFG和矩形DGHI的位置图，其中G、F两点分别在BC、EH上．若AB = 5
，BG = 3，则△GFH的面积为（ ）
A： 10
B： 11
C： 15
2
D： 45
4
9 如图，四边形ABCD和AEFG均为正方形，当AB:AE = 3:1时，CF:DG的值为（ ）
55/181
A： 2
B： 3
C： √2
D： √3
10 已知四边形ABCD，AD∥BC，AD = √3AB，∠A = 90∘ ，∠C = 60∘ ，DH⊥BC于H 点 ， 作
∠EBF = 60∘ ，此角的两边分别交AD于E，交CD于F，求证：2AE +CF = 2CH．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 5 讲 相似经典模型（二）
课堂落实答案
1 如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF = ∠C = ∠B，DE = 3，BE = 4，
DF = 5，则CD = （ ）
A： 24
5
B： 15
4
56/181
C： 20
3
D： 28
5
2 如图，正方形ABCD的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在
边AD、AB、BC、CD上，则DE的长为__________．
3 如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A： ∠C=∠AED
B： AB AC
=
AD AE
C： ∠B=∠D
D： AB BC
=
AD DE
4 如图，△ABC中，ED=2，分别以BC、AB为底边作顶角为90∘
的等腰△BDC和△AEB，D在△ABC
内，E在△ABC外，那AC的长等于（ ）
57/181
A： √2
B： 2
C： 2√2
D： 4
5 如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．
（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；
（2）请分别说明两对三角形相似的理由．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 5 讲 相似经典模型（二）
精选精练
1 如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB = 12，
BM = 5，则DE的长为（ ）
58/181
A： 18
B： 109
5
C： 96
5
D： 25
3
2 如图，将矩形纸片ABCD(AD > DC)的一角沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为E，
折痕交AB边于点F，若BE:EC = m:n，则AF:FB = _____．（用含有m、n的代数式表示）．
3 如图，AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB = 6，CD = 4，BD = 14．则在DB上是否存在点P，使
得△CDP与△ABP相似，如果存在，求出DP的长，如果不存在，说明理由．
4 AE AB
如 图 ， = ， ∠1 = ∠2 ， 则 对 于 结 论 ： ① △ABE∽△ACF； ② △ABC∽△AEF； ③
AF AC
S S
△AEF △ABE EF BE
= ；④ = ．其中正确的结论的个数是（ ）
S S BC FC
△ABC △ACF
59/181
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
5 如图，已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC交于点F．
（1）写出图中的相似三角形；
2
（2）求证：AE = AF ⋅AC．
6 在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，过点B 的直线MN∥AC ，D 为BC 边上一点，连接 AD ，
作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．
（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；
（2）如图2，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并说明理由．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 6 讲 反比例函数综合
例题练习题答案
60/181
例1 b
若ab < 0，则正比例函数y = ax与反比例函数y = 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
x
A：
B：
C：
D：
练1.1
(1) 2
m +1
下列关于反比例函数y = 的图象的说法正确的是（ ）
x
A： 图象在第一、三象限
B： 图象在第二、四象限
C： 图象在第一、二象限
D： 图象在第三、四象限
61/181
(2) a
函数y = （a ≠ 0）与y = a(x+1)（a ≠ 0）在同一坐标系中的大致图象是（ ）
x
例2 k 1
( )
已知反比例函数y = 的图象经过点 −1, ，则反比例函数的解析式为______________．
x 2
练2.1 k
已知反比例函数y = 的图象经过点(−2, −3)，则反比例函数的解析式为______________．
x
例3
(1) 4
反比例函数y = − 的图象上一点A，过A点分别作x轴、y轴的垂线，垂足为B、C，求矩形
x
ABOC的面积．
(2) 2 4
反比例函数y = 与y = 在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交反比
x x
例函数于B、A两点，交x轴于点H，连结OA、OB，则△AOB的面积为____________．
练3.1
(1) 2
反比例函数y = − 的图象经过点A，过点A作AB⊥x轴于点B，则ΔAOB的面积为____．
x
62/181
(2) 5
如图，点A、B是反比例函数y = 上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若阴影
x
部分面积为2，则S +S = _________．
1 2
例4 k 1
( )
如图，反比例函数y = 与一次函数y = ax+b的图象交于点A(2,2)、B ,n ．
x 2
（1）求这两个函数解析式；
k
（2）将一次函数y = ax+b的图象沿y轴向下平移m个单位，使平移后的图象与反比例函数y = 的
x
图象有且只有一个交点，求m的值．
练4.1 1
直线y = x+b与反比例函数y = − 最多只有一个公共点，则b的取值范围是_______．
x
例5 k
如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A(2,5)在反比例函数y = 的图象上，一次函数
x
y = x+b的图象过点A，且与反比例函数图象的另一个交点为B．
63/181
（1）求k和b的值；
（2）设反比例函数值为y ，一次函数值为y ，求y > y 时，x的取值范围．
1 2 1 2
练5.1 k
如图，一次函数y = ax+b的图象与反比例函数y = 的图象交于A(−3,2)，B(2,n)．
x
k
（1）求反比例函数y = 的解析式；
x
（2）求一次函数y = ax+b的解析式；
k
（3）观察图象，直接写出不等式ax+b− < 0的解集．
x
例6 k
已知反比例函数y = 和一次函数y = 2x−1，其中一次函数的图象经过(a,b)、(a+k,b+k+2)两
2x
点．
64/181
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求反比例函数与一次函数两个交点A、B的坐标；
k
（3）根据函数图象，求不等式 > 2x−1的解集；
2x
（4）在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使ΔAOP是等腰三角形？若存在，把符合条件的点P
的坐标求出来；若不存在，请说明理由．
练6.1 k
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y = −2x的图象与反比例函数y = 的图象的一个交点为
x
A(−1,n)．
k
（1）求反比例函数y = 的解析式；
x
（2）若P是坐标轴上一点，且满足PA = OA，直接写出点P的坐标；
（3）若P是x轴上一点，且满足△APO为等腰三角形，直接写出点P的坐标．
例7 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y = ax−a（a为常数）的图象与y轴相交于点A，与函数
2
y = (x > 0)的图象相交于点B(m,1)．
x
（1）求点B的坐标及一次函数的解析式；
65/181
（2）若点P在y轴上，且△PAB为直角三角形，请直接写出点P的坐标．
练7.1 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y = kx+b的图象经过A(0, −2)，B(1,0)两点，与反比例
m
函数y = (m ≠ 0)的图象在第一象限内交于点M，若△OBM的面积是2．
x
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点P是x轴上一点，且满足△AMP是以AM为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 6 讲 反比例函数综合
自我巩固答案
1 2
m −2
函数y = (m−1)x 是反比例函数，则m的值是（ ）
A： m = ± 1
B： m = 1
C： m = ± √3
D： m = −1
66/181
2 1
( ) ( ) ( )
在反比例函数y = − 的图象上有三点 x ,y 、 x ,y 、 x ,y ．若x > x > 0 > x ，则下列各
1 1 2 2 3 3 1 2 3
x
式正确的是（ ）
A： y > y > y
3 1 2
B： y > y > y
3 2 1
C： y > y > y
1 2 3
D： y > y > y
1 3 2
3 k
如图，点P、Q是反比例函数y = 图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴
x
于点M，QB⊥y轴于点B，连接PB、QM，记S = S ，S = S ，则S 和S 的大小关
△ABP 1 △QMN 2 1 2
系（ ）
A： S > S
1 2
B： S < S
1 2
C： S = S
1 2
D： 无法判定
4 如图，在平面直角坐标系中，一个正方形的中心在原点O处，且一组对边与y轴平行，点
k
A(2a, −5a)是反比例函数y = 的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于25，
x
67/181
则k的值为（ ）
A： 5
B： −5
C： 10
D： −10
5 1
如图，A、B是函数y = 的图象上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴，BC平行于x轴．
x
1
( )
（1）已知A的坐标为(1,1)，写出点B的坐标，并求出此时△ABC的面积；点A的坐标为 2, ，写
2
出点B的坐标，并求出此时△ABC的面积；
1
( )
（2）已知点A的坐标为 a, ，求出点B的坐标，并求出此时△ABC的面积．
a
6 k
在同一直角坐标系中，一次函数y = 2x+1与反比例函数y = 的图象没有交点，则k的取值范围是
x
（ ）
A： k > 0
B： k < 0
68/181
C： 1
k > −
8
D： 1
k < −
8
7 4
已知直线y = −2x+6与双曲线y = 在同一坐标系的交点坐标是(1,4)和(2,2)，则当y > y 时，x
1 2 1 2
x
的取值范围是（ ）
A： x < 0或1 < x < 2
B： x < 1
C： 0 < x < 1或x < 0
D： x > 2
8 k k
如图，一次函数y = ax+b和反比例函数y = 的图象相交于A、B两点，使不等式ax+b− > 0成
x x
立的x的取值范围是（ ）
A： x < −1或x > 4
B： −1 < x < 4
C： x < −1或0 < x < 4
D： −1 < x < 0或x > 4
9 2
在平面直角坐标系中，一次函数y = x+1与y轴交于点A，与反比例函数y = (x > 0)交于点B，点C
x
在y轴上，且使得△ABC是直角三角形，则点C的坐标是（ ）
69/181
A： (0,2)
B： (0,3)
C： (0,2)或(0,3)
D： 以上都不对
10 k
如图1，已知，点A(−1,1)绕原点O顺时针旋转90°后刚好落在反比例函数y = 图象上点B处，如图
x
2，直线OB与反比例函数图象交于另一点C，在x轴上是否存在点D，使△DBC是等腰三角形，符合
条件的点D的坐标为（ ）
( ) ( )
A： −√7−1,0 或 √7−1,0
( ) ( )
B： −√7,0 或 √7,0
( ) ( ) ( ) ( )
C： −√7−1,0 或 √7−1,0 或 −√7+1,0 或 √7+1,0
( ) ( )
D： −√7+1,0 或 √7+1,0
能力强化 / 初三 / 秋季
第 6 讲 反比例函数综合
课堂落实答案
1 m−5
若y = 2x 为反比例函数，则m = （ ）
A： −4
B： −5
70/181
C： 4
D： 5
2 a
在同一直角坐标系中，函数y = 2x+a与y = （a ≠ 0）的图象可能是（ ）
x
A：
B：
C：
D：
3 如图所示，一个反比例函数的图象在第二象限内，点A是图象上的任意一点，AM⊥x轴于M，O是
原点，若S = 3，求该反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围．
△AOM
4 k
在同一平面直角坐标系中，函数y = kx+b与y = (k ≠ 0)的图象如图所示，则当y < y 时，x的取
1 2 1 2
x
值范围为（ ）
A．x < −3
71/181
B．x < −3或0 < x < 1
C．−3 < x < 0或x > 1
D．−3 < x < 1
5 2
如图，反比例函数y = 的图象与一次函数y = kx+b的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为
x
1，−2．
（1）求一次函数的解析式；
2
（2）对于反比例函数y = ，当y < −1时，写出x的取值范围．
x
能力强化 / 初三 / 秋季
第 6 讲 反比例函数综合
精选精练
1 a
函数y = ax−a与y = （a ≠ 0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
x
72/181
A：
B：
C：
D：
2 k
如图，反比例函数y= 的图象经过点M，则此反比例函数的解析式为（ ）
x
A： 1
y = −
2x
B： 1
y =
2x
C： 2
y = −
x
73/181
D： 2
y =
x
3 k
如图，A、B是双曲线y = 上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面
x
积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ）
A： 4
3
B： 8
3
C： 3
D： 4
4 m
已知A(−4,2)、B(n, −4)两点是一次函数y = kx+b和反比例函数y = 图象的两个交点．
x
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
m
（3）观察图象，直接写出不等式kx+b− > 0的解集．
x
74/181
5 k
如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y = 图
x
象的两支上，且PB⊥x于点C，PA⊥y于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点E、F，已知B（1，
3），回答下列问题．
（1）k=_______；
（2）试说明AE=BF；
21
（3）当四边形ABCD的面积为 时，求点P的坐标．
4
6 k
2
如图，一次函数y = k x+b（k ≠ 0）与反比例函数y = （k ≠ 0）的图象交于点A(−1,2)，
1 1 2
x
B(m, −1)．
（1）求这两个函数的表达式；
（2）在x轴上是否存在点P（n，0）（n>0），使△ABP为等腰三角形？若存在，求n的值；若不
存在，说明理由．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
75/181
1 2
关于x的一元二次方程x −2x−3 = 0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A： 1、2、3
B： 1、-2、-3
C： 1、-2、3
D： 1、2、-3
2 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A： 2
a(x+1) = 2(x+1)
B： 1 1
+ −2 = 0
2 x
x
C： 2 2
x +2x = x −1
D： 2
x +1 = 0
3 2
一元二次方程x +4x+a−1 = 0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A： a < 5
B： a > 5
C： a ≤ 5
D： a ≥ 5
4 如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得
AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE = 20m，CE = 10
m，CD = 20m，则河的宽度AB等于( )
76/181
A： 60m
B： 40m
C： 30m
D： 20m
5 如图，DE//BC，若S :S = 4:25，AD = 4，则BD的值为（ ）
△ADE △ABC
A： 5
B： 6
C： 7
D： 8
6 如图，△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP = ∠B；②∠APC = ∠ACB；③
2
AC = AP ⋅AB；④AB ⋅CP = AP ⋅CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是（ ）
A： ①③④
B： ①②③
C： ②③④
D： ①②④
7 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，AD∥BC，且AB = 3，BC = 4，
则AD的长为（ ）
77/181
A： 25
4
B： 25
8
C： 15
4
D： 15
8
8 2
( ) ( )
若双曲线y = 过两点 −1,y ， −3,y ，则y 与y 的大小关系为（ ）
1 2 1 2
x
A： y > y
1 2
B： y < y
1 2
C： y = y
1 2
D： y 与y 大小无法确定
1 2
9 已知三角形的面积一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是（ ）
A：
B：
78/181
C：
D：
10 k
如图，函数y = k(x+1)与y = 在同一坐标系中，图象只能是下图中的（ ）
x
A：
B：
C：
D：
11 2
方程x +8x−9 = 0的解为_________．
12 如图所示，在□ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于E，与DC交于F，则图中相似三角
形有_________对．
79/181
13 2
关于x的一元二次方程 x −3x+k = 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
14 如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD = 3，∠ADE = 60∘ ，则AE的长为_________．
15 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，连接OE交
BC于点F，AB = 2，BC = 3，CE = 1，则CF = _________．
16 k
已知点P是反比例函数y = (k ≠ 0)的图象上任意一点，过P点分别作x轴，y轴的平行线，若两平行
x
线与坐标轴围成矩形的面积为2，则k的值为________．
17 k
在同一平面直角坐标系xOy中，若函数y＝x与y = (k ≠ 0)的图象有两个交点，则k的取值范围是
x
_____．
18 如图，在平面直角坐标系xOy中， △ OAB的顶点A在x轴的正半轴上，BC = 2AC，点B、C在反比例
3
函数y = (x > 0)的图象上，则 △ OAB的面积为______．
x
19 2
解方程：2x +3x−1 = 0
80/181
20 2
已知关于x的方程x −(m+2)x+(2m−1) = 0．
(1)求证：无论m取何值方程恒有两个不相等的实数根；
(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的等腰三角形的周长．
21 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑
材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为
2
多少时，猪舍面积为80m ．
22 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90∘ ，CD⊥AB于D，CD = 3，BD = 4，求AD的长．
23 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以 3 元/千克的价格出售，每天可售出200千
克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多
售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．
(1)若将这种西瓜每千克的售价降低x元，则每天的销售量是____________________千克(用含x的代数
式表示)；
(2)销售这种水果要想每天盈利200元且使每天的销售量较大，需将每千克的售价降低多少元？
24 如图，边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点(点P与A、C不重合)，连接BP，
将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ；连接PQ，PQ与BC交于点E，QP延长线与AD(或AD延长线)交于
点F，连接CQ．
求证：(Ⅰ)CQ=AP；
(Ⅱ)△APB∽△CEP．
81/181
25 k
如图，在平面直角坐标系中，直线y = x+1与双曲线y = (k > 0)相交于点A、B，已知点A坐标
1 2
x
(2,m)．
（1）求k的值；
（2）求点B的坐标，并观察图象，写出当y < y 时，x的取值范围．
1 2
26 已知关于x的一元二次方程(1−2k)x 2 −2√k+1x−1 = 0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
2 2
(2)若该方程的两根为x ，x ，是否存在实数k，使x +x = 1，若存在，请求出k值，若不存在，
1 2 1 2
请说明理由．
27 如图，在Rt△ABC中，AB = 3，AC = 4，∠BAC = 90∘ ，AD⊥BC于点D，O为AC边中点，连接BO
OF
交AD于F，OE⊥OB交BC边于点E，求 的值．
OE
82/181
能力强化 / 初三 / 秋季
第 8 讲 三角函数综合
例题练习题答案
例1
(1) 在Rt △ ABC中，∠C = 90∘ ，AB = 5，AC = 4，则sinA的值为（ ）
A： 3
5
B： 4
5
C： 3
4
D： 4
3
(2) 3
在Rt △ ABC中，∠C = 90∘ ，cosB = ，则tanA = （ ）
5
A： 4
5
B： 3
5
C： 3
4
83/181
D： 4
3
练1.1 已知锐角α，且sinα=cos38∘ ，则α=（ ）
A： 38∘
B： 62∘
C： 52∘
D： 72∘
例2
(1)如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为M(√5,2)，那么cosα的值是（ ）
A： √5
2
B： 2
3
C： 2√5
5
D： √5
3
(2)如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠AOB的值是 ．
84/181
练2.1 如图，将 △ ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanC的值是
（ ）
A： 2
B： 4
3
C： 1
D： 3
4
例3
(1) 在 △ ABC中，∠C = 90∘ ，AB = √6，BC = √3，则∠A的度数为（ ）
A： 30∘
B： 45∘
C： 60∘
D： 75∘
(2) √2
在△ABC中，若sinA = ，tanB = √3，则这个三角形是（ ）
2
A： 锐角三角形
B： 直角三角形
C： 钝角三角形
D： 等腰三角形
85/181
练3.1 √2
在 △ ABC中，若tanA = 1，sinB = ，你认为最确切的判断是（ ）
2
A： △ ABC是等腰三角形
B： △ ABC是等腰直角三角形
C： △ ABC是直角三角形
D： △ ABC是锐角三角形
例4 计算：
1
( )−1
（1）tan60∘ −√8+ + | √3−2 | ；
3
（2）2sin30∘ +3cos60∘ −4tan45∘
．
练4.1 1
( )−1
计算： + | −√3 | −3tan30∘ +(3−π) 0
3
例5
(1) 如图，在Rt △ BCD中，∠BDC = 30∘ ，延长CD到点A，连接AB，∠A = 15∘ ，求tan15∘ 的
值．（结果保留根号）
(2) 如图，在Rt △ BCD中，∠BDC = 45∘ ，BD=DA，求tanA的值．（结果保留根号）
练5.1 如图，在 △ ABC中，AC⊥BC，∠ABC = 30∘ ，点D是CB延长线上的一点，且BD = BA，求∠DAC
的度数及其正切值．
86/181
例6 如图，在△ABC中，AB = 2，AC = 4，∠A = 120∘ ，求BC的长．
练6.1 1 5
如图，在Rt △ BAD中，延长斜边BD到点C，使DC = BD，连结AC，若tanB = ，求tan∠CAD的
2 3
值．
例7 2
如图，已知在 △ ABC中，∠B = 45∘ ，AB = 2√2，tanC = ．求BC和AC的长．
3
练7.1 1
如图，在 △ ABC中，CA = CB = 4，cosC = ，则sinB的值为（ ）
4
A： √10
2
87/181
B： √15
3
C： √6
4
D： √10
4
例8 1 √2
如图，AD是 △ ABC的中线，tanB = ，cosC = ，AC = √2．
5 2
求：（1）BC的长；（2）∠ADC的正弦值．
练8.1 3
如图，在 △ ABC中，∠C = 90∘ ，AB = 10，sinB = ，点D为边BC的中点．
5
（1）求BC的长；（2）求∠BAD的正切值．
例9
(1) 如图，一艘船由A港沿北偏东65∘ 方向航行30√2km至B港，然后再沿北偏西40∘ 方向航行至C
港，C港在A港北偏东20∘ 方向，则A，C两港之间的距离为（ ）km．
A： 30+30√3
88/181
B： 30+10√3
C： 10+30√3
D： 30√3
(2) 3
如图，小山岗的斜坡AC的坡度是tanα = ，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为
4
26.6∘ ，则小山岗的高AB是（ ）（结果取整数，参考数据：sin26.6∘ ≈ 0.45，
cos26.6∘ ≈ 0.89，tan26.6∘ ≈ 0.50）
A： 300米
B： 250米
C： 400米
D： 100米
练9.1 为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置
一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示，该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观
测到旗杆顶A（此时∠AEB = ∠FED)，在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3∘ ，平面镜E的俯角为45∘
，FD = 1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan39.3∘ ≈ 0.82，
tan84.3∘ ≈ 10.02）
例10 如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米
到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i = 1:0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水
平方向向右行走40米到达点E(A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角
89/181
为24∘ ，求建筑物AB的高度．（精确到百分位）（参考数据：sin24∘ ≈ 0.41，cos24∘ ≈ 0.91，
tan24∘ ≈ 0.45）
练10.1 重庆是一座美丽的山城，某中学依山而建，校门A处，有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教
学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=53°，离B点4米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角
∠CEF=63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD=5米．
4
（1）求斜坡AB的坡度i；（2）求DC的长．（参考数据：tan53∘ ≈ ，tan63.4∘ ≈ 2）
3
能力强化 / 初三 / 秋季
第 8 讲 三角函数综合
自我巩固答案
1 如图，在Rt △ ABC中，∠C = 90∘ ，AB = 5，BC = 4，则下列三角函数表示正确的是（ ）
A： 3
tanA =
4
90/181
B： 4
tanB =
3
C： 3
sinA =
5
D： 3
cosA =
5
2 5
在Rt △ ABC中，∠C = 90∘ ，若cosA = ，则sinA的值为（ ）
13
A： 5
12
B： 8
13
C： 2
3
D： 12
13
3 3
点A(t,2)在第二象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα = ，则t的值为（ ）
2
A： 4
−
3
B： −2
C： 2
D： 3
4 如图，A、B、C分别是小正方形的三个顶点，且每个小正方形的边长均为1，则sin∠BAC的值为（
）
91/181
A： 1
2
B： √2
2
C： 1
D： √3
5 已知∠A是锐角，且满足3tanA −√3 = 0，则∠A的大小为（ ）
A： 30∘
B： 45∘
C： 60∘
D： 无法确定
6 3
如图，在Rt △ ABC中，∠C = 90∘ ，D为BC上一点，AB = 5，BD = 1，tanB = ．求AD的长．
4
7 如图所示， △ ABC中，∠B = 45∘ ，∠C = 30∘ ，AB = 2√2．求BC的长．
8 如图，C地在B地的正东方向，因有大山阻隔，由B地到C地需绕行A地，已知A地位于B地北偏东
67∘ 方向，距离B地520km，C地位于A地南偏东30∘
方向．若准备打通穿山隧道，建成两地直达高
92/181
铁，求建成高铁后从B地前往C地的路程．(sin67∘ ≈ 0.92，cos67∘ ≈ 0.39，tan67∘ ≈ 2.36，结果保
留整数）
9 如图，两座建筑物DA与CB，其中CB的高为120米，从DA的顶点A测得CB顶部B的仰角为30∘
，
测得其底部C的俯角为45∘ ，则这两座建筑物的底部距离DC为多少米？（结果保留根号）
10 自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政
府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB = 200米，坡度为1:√3；
将斜坡AB的高度AE降低AC = 20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1:4．求斜坡CD的长．
（结果保留根号）
能力强化 / 初三 / 秋季
第 8 讲 三角函数综合
课堂落实答案
1 在 △ ABC中，∠ACB = 90∘ ，AC = 1，BC = 2，则sinB的值为（ ）
A： √5
5
93/181
B： 2√5
5
C： 1
2
D： √3
3
2 若sin28°=cosα，则α=___度．
3 1
cos30∘
的值是（ ）
3
A： 1
6
B： √2
6
C： √3
6
D： √3
3
4 计算：cos30∘tan60∘ +sin 2 45∘ ．
5 如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30∘
，已知地面上的这点与楼
的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为_____m（结果保留根号）．
94/181
能力强化 / 初三 / 秋季
第 8 讲 三角函数综合
精选精练
1 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、
CD相交于点P，则tan∠APD的值是（ ）
A： 0.5
B： 1
C： 2
D： 2.5
2 化简：cos 2 1∘ +cos 2 2∘ +cos 2 3∘ +⋯+cos 2 89∘ ．
3 如图，在 △ ABC中，AB = AC，BD是AC边上的中线，AE⊥BC，垂足为点E，交BD于F ，
5
cos∠ABC = ，AB = 13．
13
（1）求AE的长；（2）求tan∠DBC的值．
4 √2 1
如图，在 △ ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sinB = ，tanA = ，BC = 2√2，求
2 2
边AB的长和cos∠CDB的值．
95/181
5 为了方便学生在上下学期间安全过马路，南岸区政府决定在南开（融侨）中学校门口修建人行天
桥（如图1)，其平面图如图2所示，初三（8）班的学生小刘想利用所学知识测量天桥顶棚距地面
的高度．天桥入口A点有一台阶AB = 2m，其坡角为30∘ ，在AB上方有两段平层BC = DE = 1.5m，
且BC，DE与地面平行，BC，DE上方又紧接台阶CD，EF，其长度相等且坡度均为i = 4:3，顶棚
距天桥距离FG = 2m，且小刘从入口A点测得顶棚顶端G的仰角为37∘ ，请根据以上数据，帮小刘计
3
算出顶端G点距地面高度为（ ）m．（结果保留一位小数，参考数据：√3 ≈ 1.73，sin37∘ ≈ ，
5
4 3
cos37∘ ≈ ，tan37∘ ≈ )
5 4
A： 5.8 m
B： 5.0 m
C： 4.3 m
D： 3.9 m
6 周末小明和同学们去“绿博园”的枫湖坐船，观赏风景；如图，小明正在A处的小船上，B处小船
上的游客发现点A在点B的正西方向上，C处小船上的游客发现点A在点C的南偏东30∘
方向上，已知
点C在点B的北偏西60∘ 方向上，且B、C两地相距120米．
（1）求出此时点A到点C的距离；
（2）若小明从A处沿AC方向向C驶去，当到达点A ′ 时，测得点B在A ′ 的南偏东75∘ 的方向上，求此
时小明所乘坐的小船走的距离．（注:结果保留根号）
96/181
能力强化 / 初三 / 秋季
第 9 讲 二次函数的应用题
例题练习题答案
例1
(1) 2
2 2
抛物线y = ax 与y = x 的形状相同，则a的值为__________．
5
(2) 1
2
函数y = − x +1的图象是__________，开口__________，对称轴是直线__________，顶点坐标
3
是__________，它的图象有最__________点，这个点的坐标为__________．
(3) 2
函数y = −2(x+3) 的图象是__________，开口__________，对称轴是直线__________，顶点坐
标是__________，它的图象有最__________点，这个点的纵坐标是__________．
练1.1
(1) 2
对于二次函数y = (x−1) +2的图象，下列说法正确的是（ ）
A： 开口向下
B： 顶点坐标是(1,2)
C： 对称轴是直线x = −1
D： 与x轴有两个交点
97/181
(2) 2
函数y = 2x +12x+13的图象是__________，开口__________，对称轴是直线__________，顶点
坐标是__________，它的图象有最__________点，这个点的坐标为__________．
例2
(1) 1 5
( ) ( )
2
若二次函数y = ax +bx+c过点 1, 、 −2, − 、(3,5)，求二次函数的解析式．
3 3
(2) 2
若二次函数y = ax +bx+c过(−3,0)、(1,0)两点，与y轴的交点为(0,4)，求二次函数的解
析式．
练2.1
(1) 1 9
( )
2
已知顶点为 , − 的抛物线y = ax +bx+c过点M(2,0)，求抛物线的解析式．
2 4
(2) 抛物线过点(1,0)、(0,3)，且对称轴为直线x = 2，求其解析式．
例3 2
二次函数y = ax +bx+c(a ≠ 0)图象上的部分点的坐标(x,y)对应值列表如下：
x … −3 −2 −1 0 1 …
y … −3 −2 −3 −6 −11 …
则该函数图象的对称轴是（ ）
A： 直线x = −3
B： 直线x = −2
C： 直线x = −1
D： 直线x = 0
练3.1 2
抛物线y = ax +bx+c经过点A(−3,0)，对称轴是直线x = −1，则a+b+c = _____．
例4 某农场要建一个长方形的养鸡场，养鸡场的一边靠着长为25米的墙，另外三边用木栏围成，
木栏长40米．问养鸡场的面积能达到220平方米吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，
请说明理由．
98/181
练4.1 如图，有长为24m的护栏，一面利用墙（墙的最大可用长度为13m），围成中间隔有一道护栏的
2
矩形花园，设花园的宽AB为x（m），面积为S（m ）．
（1）求S与x之间的函数关系式；
2
（2）如果要围成面积为45m 的花园，AB的长是多少米？
2
（3）能围成面积比45m 更大的花园吗？如果能，请求出最大面积；如果不能，请说明理由．
例5 某超市购进一批牛肉销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这批牛肉32千克
的钱，现在可买33千克．
（1）现在实际购进这批牛肉每千克多少元？
（2）若这批牛肉的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足如图所示的一次函数关系．求y
与x之间的函数关系式；
（3）这批牛肉的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润 = 销售收入
−进货金额）
练5.1 某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件．商家
决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件．
（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？
（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多
少？
例6 如图1，皮皮小朋友燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2秒发射一发花弹，每一发花弹的飞行路
径、爆炸时的高度均相同．皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间的
函数图象如图2所示．
99/181
（1）求皮皮发射出的第一发花弹的飞行高度h（米)随飞行时间t（秒)的函数表达式．
（2）第一发花弹发射3秒后，第二发花弹达到的高度为多少米？
（3）为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于16米．皮皮发现在第一发花弹爆炸的同时，第二发
花弹与它处于同一高度，请通过计算说明花弹的爆炸高度是否符合安全要求．
练6.1 某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装
上喷头，由P处向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下(如图所示)．若已知
OP = 3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
能力强化 / 初三 / 秋季
第 9 讲 二次函数的应用题
自我巩固答案
1 2
将二次函数y = 3x −6x+1化成顶点式是（ ）
A： 2
y = 3(x−3) −26
B： 2
y = 3(x−3) −8
100/181
C： 2
y = 3(x−1) −2
D： 2
y = 3(x−1)
2 2
二次函数y = −x +2x+4的最大值为（ ）
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
3 若二次函数y=ax 2 +bx+c的x与y的部分对应值如下表，则当x=1时，y的值为（ ）
x −7 −6 −5 −4 −3 −2
y −27 −13 −3 3 5 3
A： 5
B： ﹣3
C： ﹣13
D： ﹣27
4 2
已知二次函数y = x +mx+n的图象经过点(2,4)，且其顶点在直线y = 2x+1上，则它的解析式为
（ ）
A： 2
y = x −x+2
B： 2
y = x −2x+3
C： 2
y = x −2x+5
D： 2
y = x −2x+4
5 2
若点A( −2,y )，B(1,y )，C(3,y )在二次函数y = 2x +4x−1的图象上，则y ，y ，y 的大小关系
1 2 3 1 2 3
是（ ）
101/181
A： y < y < y
1 2 3
B： y < y < y
2 3 1
C： y < y < y
3 2 1
D： y < y < y
2 1 3
6 某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y（件）与销售单价
x（元/件）之间的函数关系式为y = −4x+440，要获得最大利润，该商品的售价应定为（ ）
元．
A： 60
B： 70
C： 80
D： 90
7 某商人将进价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，已知这种商品每提高2元，其销
量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销售价（为偶数）提高（ ）元．
A： 8或10
B： 12
C： 8
D： 10
8 某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在
柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA的任一
平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式
2
是y = −x +2x+3，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m处达
到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m；（4）水池的半径至少要3m才能使喷
102/181
出的水流不至于落在池外．其中正确的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
9 如图，拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100
米，则拱门的最大高度为（ ）米．
A： 100
B： 150
C： 200
D： 300
10 某商店经营一种小商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时平均每天销售量是500件，
而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．
（1）设每件商品定价为x元时，销售量为y件，求出y与x的函数关系式；
（2）商店如何定价才能使每天销售这种小商品的利润最大？并求出这个最大利润．
能力强化 / 初三 / 秋季
103/181
第 9 讲 二次函数的应用题
课堂落实答案
1 2
对于抛物线y = (x4) +7，下列说法错误的是（ ）
A： 顶点坐标是(4,7)
B： 当x > 4时，y随x的增大而增大
C： 函数的对称轴为直线x = 4
D： 函数有最大值，最大值是4
2 若对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点(2,3)且抛物线经过点(3,1)，则抛物线解析式是（ ）
A： 2
y = −2x +8x+3
B： −2
y = −2x −8x+3
C： 2
y = −2x +8x−5
D： −2
y = −2x −8x+2
3 某商店对于某个商品的销售量与获利做了统计，得到下表：
销售量（件） 100 200 300
获利（万元） 7 9 9
若获利是销售量的二次函数，那么，该商店获利的最大值是（ ）
A： 9万元
B： 9.25万元
C： 9.5万元
D： 10万元
4 一种进价为每件40元的T恤，若销售单价为60元，则每周可以卖出300件，为提高利益，对该T恤
进行涨价销售，经过调查发现，每涨价1元，每周要少卖10件，则销售单件定为（ ）元时，每
104/181
周的销售利润最大．
A： 45
B： 55
C： 60
D： 65
5 图中是抛物线形拱桥，当水面宽AB = 4米时，拱顶到水面的距离CD = 2米．如果水面下降1米，那
么水面宽度为多少米？
能力强化 / 初三 / 秋季
第 9 讲 二次函数的应用题
精选精练
1 2
二次函数y = ax +bx+c的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc = 0；②a+b+c > 0；
2
③a > b；④4ac−b < 0，其中正确的结论有________________．
2 2
如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y = x −2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以
AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为_____．
105/181
3 2
已知当x = 2m+n+2和x = m+2n时，多项式x +4x+6的值相等，且m−n+2 ≠ 0，则当
2
x = 3(m+n+1)时，多项式x +4x+6的值等于_____．
4 2
在平面直角坐标系中，点A是抛物线y = a(x−3) +k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一
点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为_____．
5 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40
元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天
可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每
天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
6 如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴
2
上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y = at +5t+c，
已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．
（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已
知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球
直接射入球门？
106/181
能力强化 / 初三 / 秋季
第 10 讲 二次函数的交点问题
例题练习题答案
例1
(1) 2
已知抛物线y = ax +bx+c(a ≠ 0)与x轴的两个交点的坐标分别是(−3,0)、(2,0)，则方程
2
ax +bx+c = 0(a ≠ 0)的解是___________________．
( )
(2) 2 2
已知抛物线y = x −2023x+2024与x轴的交点为(m,0)、(n,0)，则 m −2023m+2024
( )
2
+ n −2023n+2024 的值是（ ）
A： 0
B： 2023
C： 2024
D： 2025
练1.1
(1) 2 2
如果二次函数y = ax +bx+c的图象与x轴交于点A(−1,0)、B(3,0)，那么方程ax +bx+c = 0
的根是_______________．
(2) 2 2
已知抛物线y = x −x−1与x轴的一个交点为(m,0)，则代数式m −m+2019的值为（ ）
A： 2018
B： 2019
107/181
C： 2020
D： 2021
例2 2
小颖用几何画板软件探索方程ax +bx+c = 0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一个近似
根为x = −4.5，则方程的另一个近似根为x = _________（精确到0.1）．
1 2
练2.1 2 2
已知二次函数y = −x +4x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程−x +4x+m = 0的
解是_________．
例3
(1) 2
已知抛物线y = x +bx+c的部分图象如图所示，若y > 0，则x的取值范围是（ ）
108/181
A： −1 < x < 4
B： −1 < x < 3
C： x < −1或x > 4
D： x < −1或x > 3
(2) 2
二次函数y = ax +bx+c(a ≠ 0)的图象如图所示，则下列说法：
①a > 0； ②2a+b = 0；
③a+b+c > 0； ④当−1 < x < 3时，y > 0；
⑤c > 0； ⑥4a−2b+c > 0；
⑦4a+2b+c > 0； ⑧b > 0；
⑨2a−b > 0； ⑩b = a+c．
其中正确的序号有_________________________．
练3.1 2 2
抛物线y = ax +bx+c(a < 0)如图所示，则关于x的不等式ax +bx+c > 0的解集是（ ）
A： x < 2
B： x > −3
C： −3 < x < 1
D： x < −3或x > 1
109/181
例4 2
如图，已知二次函数y = ax +bx+c(a ≠ 0)与一次函数y = kx+m(k ≠ 0)的图象相交于点A(−2,4)
1 2
2
、B(8,2)，则关于x的不等式ax +(b−k)x+c−m < 0的解集是（ ）
A： -2≤x≤8
B： 2＜x＜4
C： -2＜x＜8
D： -2＜x＜4
练4.1 2
如图，抛物线y = −x +4x和直线y = 2x，当y < y 时，x的取值范围是（ ）
1 2 1 2
A： 0＜x＜2
B： x＜0或x＞2
C： x＜0或x＞4
D： 0＜x＜4
例5
(1) 2
抛物线y = x −5x+6与x轴交于A、B两点，则AB的长为___________．
(2) 2
若函数y = mx +6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为（ ）
A： 0
B： 9
110/181
C： 0或9
D： ±3
练5.1
(1) 2
抛物线y = x −x−6与x轴的交点坐标为（ ）
A： (3,0)
B： (−2,0)
C： (0, −6)
D： (3,0)和(−2,0)
(2) 2
关于x的二次函数y = 2mx +(8m+1)x+8m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）
A： 1
m < −
16
B： 1
m ≥ − 且m ≠ 0
16
C： 1
m > − 且m ≠ 0
16
D： 1
m = −
16
例6
(1) 2
判断直线y = −x+1与抛物线y = x −3x+1是否有交点，如果有交点，求出交点坐标．
(2) 2
当b为何值时，直线y = 3x+b与抛物线y = x +2x−1只有一个交点．
练6.1
(1) 2
二次函数y = x +3x+1与一次函数y = 2x+3的交点坐标为______________．
111/181
(2) 2
若二次函数y = x +3x−2与一次函数y = 2x+b没有交点，则b的取值范围是___________．
例7 1
如图，一次函数y = x− 与x轴的交点A恰好是二次函数与x轴的其中一个交点，已知二次函数图象
2
的对称轴为直线x = 1，与y轴的交点为(0,1)．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设该二次函数与一次函数的另一个交点为C点，连接BC，求三角形ABC的面积．
练7.1 2
已知二次函数y = x −4x−5的图象与一次函数y = x+1的图象交于A、B两点（点A在点B的左
侧），C为抛物线的顶点．
（1）求点A、B、C的坐标．
（2）求△ABC的面积．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 10 讲 二次函数的交点问题
自我巩固答案
1 2 2
已知抛物线y = x −2x−1与x轴的一个交点为(m,0)，则代数式2m −4m+2017的值为（ ）
A： 2017
B： 2018
112/181
C： 2019
D： 2020
2 2 2
已知y = ax +bx+c(a ≠ 0)的图象经过(2,1)和(4,1)两点，则方程ax +bx+c−1 = 0的解是（ ）
A： x = x = 1
1 2
B： x = 1，x = 2
1 2
C： x = 2，x = 4
1 2
D： 无法确定
3 2
已知抛物线y = ax +bx+c的图象如图所示，若y > 0，则x的取值范围是（ ）
A： x > 3
B： 3
< x < 3
4
C： 3
x < −
2
D： 3
− < x < 3
2
4 2
二次函数 y = ax +bx+c 的图象如图所示 ， 对称轴是直线 x = −1 ， 有以下结论 ：① abc > 0
2
；② 4ac−b < 0 ；③ 2a+b = 0 ；④ a−b+c > 2 ．其中正确的结论的个数是（ ）
113/181
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
5 2
二次函数y = ax +bx+c与一次函数y = kx+b的交点的横坐标分别为4和−2，当y > y 时，x的取
1 2 1 2
值范围为（ ）
A： x > 4或x < −2
B： −2 < x < 4
C： x < 4
D： x > −2
6 2
二次函数y = ax +bx+c(a ≠ 0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
114/181
(1) 2
写出方程ax +bx+c = 0的两个根；
(2) 2
写出不等式ax +bx+c > 0的解集；
(3) 2
若方程ax +bx+c = k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
7 2
二次函数y = −x +2x+3的图象与x轴交于A，B两点，则AB = （ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
8 2
抛物线y = mx +(2m−1)x+m−1与x轴交点的个数是（ ）
A： 0个
B： 1个
C： 2个
D： 无法确定
9 一次函数y=x-5与二次函数y=-x²+2x-3的交点坐标是( )
A： （1,0）、（-2，-7）
B： （-1，-6）、（2，-3）
C： （0，-5）
D： 没有交点
10 2
二次函数y = x +3x−2与一次函数y = 2x+b只有一个交点，则b的值为（ ）
A： 9
−
4
115/181
B： 9
4
C： 3
−
2
D： 3
2
能力强化 / 初三 / 秋季
第 10 讲 二次函数的交点问题
课堂落实答案
1 2 2
已知抛物线y = x −x−1与x轴的一个交点为(m,0)，则代数式m −m+2016的值为（ ）
A： 2014
B： 2015
C： 2016
D： 2017
2 2
如图，以(1, −4)为顶点的二次函数y = ax +bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程
2
ax +bx+c = 0的正数解的范围是（ ）
A： 2 < x < 3
B： 3 < x < 4
116/181
C： 4 < x < 5
D： 5 < x < 6
3 2
二次函数y = ax +bx+c的图象如图所示，下列结论：①b < 0；②c > 0；③a+c < b； ④
2
b −4ac > 0，其中正确的个数是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
4 2
若二次函数的解析式为y = 2x −4x+3，则其函数图象与x轴交点的情况是（ ）
A： 没有交点
B： 有一个交点
C： 有两个交点
D： 以上都不对
5 2
抛物线y = x +bx+c与直线y = −2x+m相交于A(−2,n)、B(2, −3)两点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若y = 2x+b与抛物线没有交点，求b的取值范围．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 10 讲 二次函数的交点问题
117/181
精选精练
1 2
已知二次函数y = x +bx+c，b+c = 0，写出它的图象一定经过的一个定点的坐标_________．
2 2 ( ) ( ) 2
已知抛物线y = x +3x−4与x轴的两个交点为 x ,0 、 x ,0 ，则x −3x +15 = _________．
1 2 1 2
3 2
二次函数y = x +bx+c与直线y = x的图象如图所示，有以下结论：
2 2
① b −4c > 0； ② 3b+c+6 = 0； ③ 当 x +bx+c > 1 时 ， x < 1； ④ 当 1 < x < 3 时 ，
2
x +(b−1)x+c < 0．
其中正确结论的编号是____________．
4 2
已知二次函数y = (x−2a) +(a−1)（a为常数），当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线
系”．如图分别是当a = −1，a = 0，a = 1，a = 2时二次函数的图象．它们的顶点在一条直线
上，这条直线的解析式是y = _______________．
5 2 2
已知关于x的一元二次方程x −2(k+1)x+k −2k−3 = 0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
2 2
（2）当k取最小的整数时，求抛物线y = x −2(k+1)x+k −2k−3的顶点坐标以及它与x轴的交
点坐标；
118/181
（3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到
一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y = x+m有三个不同公共点时m的值．
6 2
平面直角坐标系xOy中，抛物线y = 2x +mx+n经过点A(0, −2)，B(3,4)．
（1）求抛物线的表达式及对称轴；
（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为
图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范
围．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 11 讲 二次函数综合（一）
例题练习题答案
例1 2
如图，已知抛物线y = ax +bx+c，过A(−1,0)、B(3,0)、C(0, −3)，M为顶点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若直线l经过点C、M两点，且与x轴交于点E．△AEC的面积与△BCM的面积是否相
等？如果相等，请证明；如果不相等，请说明理由．
练1.1 2
如图，已知抛物线y = ax +bx+c(a ≠ 0)交x轴于A(−1,0)、B(5,0)两点，与y轴交于点C(0,2)．
(1)求抛物线的解析式；
119/181
(2)若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM的面积．
例2 如图，已知抛物线的顶点为A(1,4)，抛物线与y轴交于点B(0,3)，与x轴交于C、D两点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求C、D两点坐标及△BCD的面积；
1
(3)若点P在x轴上方的抛物线上，满足S = S ，求点P的坐标．
ΔPCD ΔBCD
2
练2.1 如图，已知抛物线与x轴交于A(−1,0)、B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在x轴下方的抛物线上是否存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积？若存在，求出点
P的坐标；若不存在，请说明理由．
例3 2
如图，抛物线y = x −2x−3与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），直线l与抛物线交于A、C两
点，其中C点的横坐标为2．
120/181
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值．
练3.1 2
如图，抛物线y = −x +bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，点A的坐标为(−1,0)，与y轴
交于点C(0,3)，作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M，交直线BC
于点N，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
(2)当点P在线段OB上运动时，求线段MN长度的最大值．
例4 如图，已知抛物线经过点A(−1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段BC上的点（不与B、C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N点，若点M的横坐
标为m，请用含m的代数式表示MN的长；
（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，当m为何值时，△BNC的面积最大．
121/181
练4.1 2
已知：如图，抛物线y = ax +3ax+c（a > 0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左
侧．点B的坐标为(1,0)，OC = 3BO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 11 讲 二次函数综合（一）
自我巩固答案
1 2
如图，抛物线y = −x +2x+3的顶点为A，与y轴的交点为B，与x轴交于C、D两点，则三角
形ABD的面积为( )
A： 3
B： 4
C： 6
D： 8
122/181
2 2
如图，直线y = −x+5与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y = −x +4x+5经过点B，与x轴负
半轴相交于点A ，点P为抛物线第一象限函数图象上一点，设点P的横坐标为m，△PBC的面积
为S，则S与m的函数关系式为( )
A： 5 25
2
S = − m + m(0 < m < 5)
2 2
B： 5 25
2
S = m + m(0 < m < 5)
2 2
C： 5 25
2
S = − m − m(0 < m < 5)
2 2
D： 5 25
2
S = m − m(0 < m < 5)
2 2
3 如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(−1,0)、 ( 0,√3 ) ，点B在x轴上．已知二次函
√3 2√3
数y = x 2 − x−√3的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x = 1．点D为直线BC下
3 3
方的二次函数图象上的一个动点（点D与B、C不重合），过点D作y轴的平行线交BC于点E，设点
D的横坐标为m，DE = n，则n与m的函数关系式为( )
123/181
A： √3
n = m 2 √3m(0 < m < 3)
3
B： √3 √3
2
n = m + m(0 < m < 3)
3 3
C： √3
n = − m 2 +√3m(0 < m < 3)
3
D： √3 √3
2
n = m + m(0 < m < 3)
3 3
4 2
已知抛物线y = x −2x−3与x轴交于点A (−1,0)、B (3,0)，与y轴交于点C(0, −3)，若在B、C连线
的下方抛物线上存在一点Q，使得△QBC的面积是△ABC的面积的一半，则点Q的坐标为（ ）
A： (1, −4)
B： (2, −3)
C： (1, −4)或(2, −3)
D： 以上均不对
5 5
2
如图，抛物线y = x −3x+ 与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线
4
上一点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E，当线段DE的长度最大时，点D的坐标为（
）
124/181
A： 5
( )
,0
2
B： 3
( )
, −1
2
C： 5 15
( )
, −
4 16
D： 3
( )
2, −
4
6 1
2
如图，抛物线y = − x −x+4与x轴分别交于点A(−4,0)，B(2,0)，与y轴交于点C(0,4)，E是抛物
2
线上位于直线AC上方的一点，当△ACE的面积最大时，点E的坐标为( )
A： (−2,4)
B： 9
( )
−2,
2
C： (−2,3)
125/181
D： 7
( )
−2,
2
7 2
如图，已知抛物线y = x +bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线y = 2x−8经过B，C两
点，点D是线段BC上一动点，过点D作x轴的垂线交抛物线于点M，线段DM长度的最大值为( )
A： 4
B： 6
C： 8
D： 10
8 2
如图，抛物线y = x +3x过原点O和B(−4,4)，D是直线OB下方抛物线上的一动点，连接
OD，BD，在点D运动过程中，当△OBD面积最大时，△OBD的最大面积为( )
A： 4
B： 6
C： 8
D： 10
126/181
9 2
已知抛物线y = ax +bx+c交x轴于A(4,0)，C(−1,0)两点，交y轴于点B(0,3)．点P是抛物线（在点
A与点B之间的部分）上的点，则△ABP的面积最大值为( )
A： 4
B： 6
C： 8
D： 10
10 1
2
如图，在直角坐标系中，抛物线y = x −mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且对称轴
3
1
2
是直线x = 1．直线y = x−1与抛物线y = x −mx+n相交于C，D两点．点P是抛物线上的动点．
3
（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；
（2）在抛物线的CBD段上是否存在点P，使△CDP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存
在，说明理由．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 11 讲 二次函数综合（一）
课堂落实答案
1 2
抛物线y = x −2x−3与x轴交于A 、B两点，交y轴于点E，若直线y = x+1与抛物线交于A、D两
点，与y轴交于点F，连接DE，则△DEF的面积为（ ）
A： 6
B： 8
127/181
C： 10
D： 12
2 2
抛物线y = x −2x−3与x轴交于A 、B两点，抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什
么位置时，满足S = 8，此时P点的坐标为（ ）
ΔPAB
( )
A： 1+2√2,4
( )
B： 1−2√2,4
( ) ( )
C： 1−2√2,4 或 1+2√2,4 或(1, −4)
( ) ( )
D： 1−2√2,4 或 1+2√2,4 或(1,4)
3 2
抛物线y = x −2x过点A(−1,3)，与x轴的一交点C为(2,0)，点M是线段AC上的一个动点，过点M
作直线MN平行于y轴，交抛物线于点N，则线段MN长度的最大值为（ ）
A： 9
4
B： 3
C： 11
4
D： 4
4 2
如图，抛物线y = −x −2x+3与x轴交于A 、B两点，与y轴交于C点，抛物线在第二象限内是否存
在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，则△PBC的面积最大值为（ ）
A： 27
4
128/181
B： 27
8
C： 27
D： 以上均不对
5 2
如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y = −x +bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），
与y轴交于C点，直线y = −x+3经过B，C 两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上是否存在一动点P，使四边形PCOB的面积最大？如果存在，求出
最大面积．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 11 讲 二次函数综合（一）
精选精练
1 2
已知二次函数y = x −4x+3．
（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；
（2）求函数图象与x轴的交点A、B的坐标，及△ABC的面积．
2 2
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y = x +bx+c经过点(−1,8)并与x轴交于点A、B两点，且点B
坐标为(3,0)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若抛物线与y轴交于点C，顶点为点P，求△CPB的面积．
129/181
2
( b 4ac−b )
2
注：抛物线y = ax +bx+c（a ≠ 0）的顶点坐标是 − , ．
2a 4a
3 2
如图，抛物线y = −x −2x+3交x轴于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点A，C的
坐标分别为(−3,0)，(0,3)，对称轴直线x = −1交x轴于点E，点D为顶点，点K是直线AC下方的抛
物线上一点，且S = S ，则点K的坐标是( )
ΔKAC ΔDAC
A： (−3+√17 −1+√17)
,
2 2
B： (3−√17 1−√17)
,
2 2
C： (−3+√17 −1+√17) (−3−√17 −1−√17)
, 或 ,
2 2 2 2
D： (3−√17 1−√17) (3+√17 1+√17)
, 或 ,
2 2 2 2
4 2
已知：二次函数y = x +bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(−3,0)，与y轴交于点
C，点D(−2, −3)在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
130/181
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA +PD的最小值；
（3）若抛物线上有一动点P，使△ABP的面积为6，求P点坐标．
5 2
如图所示，二次函数y = −2x +4x+m的图象与x轴的一个交点为A(3,0)，另一个交点为B，且与y
轴交于点C．
（1）求m的值及点B的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）该二次函数图象上有一点D(x,y)（不与C点重合），使S =S ，请求出D点的坐标．
ΔABD ΔABC
6 2
如图，已知抛物线y = −x +mx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为(3,0)，抛
3
物线与直线y = − x+3交于C、D两点．连接BD、AD．
2
（1）求m的值．
（2）抛物线上有一点P，满足S = 4S ，求点P的坐标．
ΔABP ΔABD
131/181
能力强化 / 初三 / 秋季
第 12 讲 二次函数综合（二）
例题练习题答案
例1 25
( )
2
已知抛物线y = ax +bx+c的顶点坐标为P −4, − ，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其
2
中B点坐标为(1,0)．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x轴于点D，则在线段AC上是否存在这样的点Q使得 △ ADQ为等腰三角
形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
练1.1 2
已知抛物线y = ax +bx+c经过A(−1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当 △ PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使 △ MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M
的坐标；若不存在，请说明理由．
132/181
例2 2
如图，已知抛物线C :y = a(x+2) −5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），
1
点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；
（2）如图1，抛物线C 与抛物线C 关于x轴对称，将抛物线C 向右平移，平移后的抛物线记为C
2 1 2 3
，C 的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C 的解析式；
3 3
（3）如图2，点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C 绕点Q旋转180∘ 后得到抛物线C ．抛物线C 的
1 4 4
顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角
形时，求点Q的坐标．
练2.1 2
如图，直线y = −x−1与抛物线y = ax +bx−4都经过点A(−1,0)、C(3, −4)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度的最大值；
（3）当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使△PCQ是以PC为直角边的直角
三角形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
133/181
例3 在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点
2
A(0,2)，点C(−1,0)，如图所示，抛物线y = ax +ax−2经过点B．
(1)求点B的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？
若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
练3.1 如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x = 2与x轴交于点C，直线y = −2x−1
经过抛物线上一点B(−2,m)，且与y轴、直线x = 2分别交于点D、E．
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）判断直线BE与抛物线交点的个数；
（3）求证：CD垂直平分BE；
（4）若点P是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得△PBE是等腰直角三角形，且
∠PEB = 90∘ ？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
134/181
例4 2
如图，抛物线y = −x +bx+c与x轴分别交于A(−1,0)、B(5,0)两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，连接AC，且AD = 5，CD = 8，将Rt△ACD沿x
轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探
究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求
出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
练4.1 2
如图，已知抛物线y = x +bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，且AB = 2，抛物线的对称轴
为直线x = 2．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如果抛物线的对称轴上存在一点P，使得△APC的周长最小，求此时P点坐标及△APC周长；
（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边
形，求点D的坐标．（直接写出结果）
135/181
能力强化 / 初三 / 秋季
第 12 讲 二次函数综合（二）
自我巩固答案
1 如图，在直角坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC = 90∘ ，A(1,0)，B(0,2)，抛物线
1 1
2
y = x − x−2的图象经过C点，点P是抛物线上一动点，使四边形PACB为平行四边形，则P点的
2 2
坐标是（ ）
A： (1,2)
B： (1, −2)
C： (−2,1)
D： (2,1)
2 2
如图，抛物线y = x −4x+3与x轴交于A、B两点，B点坐标为(3,0)，与y轴交于点C(0,3)，点D为抛
物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，则点D的坐标为（ ）
136/181
A： (2,5)
B： (2,1)
C： (2, −5)或(2,1)
D： (2,5)或(2, −1)
3 2
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = x −2x−3（a > 0）与x轴相交于点A(−1,0)和点B，与
y轴交于点C，对称轴为直线x = 1，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C、点F与点A关于点Q成中心
对称，当△CGF为直角三角形时，点Q的坐标为（ ）
A： (4,0)
B： (8,0)
C： (4,0)或(9,0)
D： (4,0)或(8,0)
4 如图，Rt△OAB的顶点A(−2,4)在抛物线y = ax 2 上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90∘ ，得到
△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（ ）
137/181
( )
A： √2,√2
B： (2,2)
( )
C： √2,2
( )
D： 2,√2
5 1 5
2
如图，抛物线y = x − x−3与x轴交于A(−1,0)、B(6,0)两点，与y轴交于C点，已知点M(m,0)是
2 2
线段OB上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线BC和抛物线交于D、E两点，当△CDE恰好
是以DE为底边的等腰三角形时，m的值为（ ）
A： 2
B： 3
C： 4
D： 2或4
6 1 3
2
如图，抛物线y = − x + x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点
2 2
D，已知A(−1,0)、C(0,2)．若在抛物线的对称轴上存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形，
138/181
则P点的坐标为（ ）
A： 3
( )
, −4
2
B： 3 5
( )
,
2 2
C： 3 3 5 3 5
( ) ( ) ( )
,4 或 , 或 , −
2 2 2 2 2
D： 3 3 3 5 3 5
( ) ( ) ( ) ( )
,4 或 , −4 或 , 或 , −
2 2 2 2 2 2
7 2
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y = ax +mc(a ≠ 0)的图象经过正方形ABOC的三个顶点，且
ac = −2，则m的值为（ ）
A： 1
B： −1
C： 2
D： −2
139/181
8 √3
已知抛物线y = x 2 −4√3x+6√3经过A(2,0)，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．在x轴下
2
方的抛物线上存在点M，使△AMP≌△AMB，则点M为（ ）
A： ∠PAB的角平分线与抛物线的交点
B： ∠ABP的角平分线与抛物线的交点
C： ∠APB的角平分线与抛物线的交点
D： 线段PA的垂线与抛物线的交点
9 √3
已知抛物线y = x 2 −4√3x+6√3经过A(2,0)，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．如图，在
2
直线y = √3x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标（ ）
( )
A： −2,2√3
( )
B： 2,2√3
( )
C： −2,√3
( )
D： 2,√3
140/181
10 5
2
如图，抛物线y = ax +bx− 经过A(−1,0)、B(5,0)两点．
2
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使得PA +PC的值最小时，求△ABP的面积；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A、C、M、N四点构成的四边形为平
行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 12 讲 二次函数综合（二）
课堂落实答案
1 2
如图，抛物线y = −x +2x+3经过B(3,0)、C(0,3)两点，在抛物线的对称轴上存在点M，使
△MOB是等腰三角形，符合条件的点M的坐标有（ ）
A： 2个
B： 3个
141/181
C： 4个
D： 5个
2 2
如图，已知抛物线y = x +2x经过A(−2,0)、B(−3,3)及原点O，顶点为C，设点D在抛物线上，点E
在抛物线的对称轴上，若四边形AODE是平行四边形，则点E的坐标为（ ）
A： (1, −3)
B： (1,3)
C： (−1, −3)
D： (−1,3)
3 2
已知二次函数y = 2x +m，如图，此二次函数的图象经过点(0, −4)，正方形ABCD的顶点C、D在x
轴上，A、B恰好在二次函数的图象上，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A： 2
B： 4
C： 8
D： 18
142/181
4 1
2
如图，抛物线y = x +2x−6的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点D
2
是抛物线的顶点，且A(−6,0)，D(−2, −8)，在抛物线的对称轴上存在点M，使得△ACM为直角三
角形，AC为斜边，则点M的坐标为（ ）
A： (−2,4)
( )
B： −2, −3+√17
C： (−2,4)和(−2,8)
( ) ( )
D： −2, −3+√17 和 −2, −3−√17
5 如图在平面直角坐标系中，点A在抛物线y = x 2 −4x+6上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为
对角线作矩形ABCD，则对角线BD的最小值为______________．
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第 12 讲 二次函数综合（二）
精选精练
1 2
已知抛物线y = x −kx+k−5．
143/181
（1）求证：不论k为何实数，此抛物线与x轴一定有两个不同的交点；
（2）若此二次函数图象的对称轴为直线x = 1，求它的解析式；
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B，若P为x
轴上一点，且△PAB为等腰三角形，求点P的坐标．
2 2
如图，在平面直角坐标系中，二次函数y = ax +bx+c交x轴于点A( −4,0)、B(2,0)，交y轴于点
C(0,6)，在y轴上有一点E(0, −2)，连接AE．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐
标，若不存在，请说明理由．
3 2
如图，已知二次函数y = x −2x−1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点P，且经过点E(3,2)．
（1）抛物线上是否存在一点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出M点的坐标；若不存在，
请说明理由；
（2）抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点F的
坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由．
4 2
如图，抛物线y = −x +2x+3与y轴交于点C，已知点D的坐标为(0,1)，点P是抛物线上的动点，
若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为___________．
144/181
5 2
如图，抛物线y = −x +bx+c经过直线y = −x+3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另
一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点M为抛物线上一动点，是否存在点M，使△ACM与△ABC的面积相等？若存在，求点M的
坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在x轴上是否存在点N使△ADN为直角三角形？若存在，确定点N的坐标；若不存在，请说明理
由．
6 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，且OA = 4，
OC = 3，若抛物线经过O、A两点，且顶点在BC边上，对称轴交AC于点D，动点P在抛物线对称轴
上，动点Q在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当PO+PC的值最小时，求点P的坐标；
（3）是否存在以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P、Q的坐
标；若不存在，请说明理由．
145/181
能力强化 / 初三 / 秋季
第 13 讲 与圆有关的位置关系
例题练习题答案
例1
(1)求证：PA的长是点P到⊙O上的点的距离最大值；
(2)一个已知点到圆周上的点的最大距离为5cm，最小距离为1cm，则此圆的半径为
____________．
练1.1 已知圆内一点到圆周上的点的最大距离是7，最小距离是5，则该圆的半径是（ ）
A： 2
B： 6
C： 12
D： 7
例2
146/181
(1)已知在△ABC中，AC = 5，BC = 12，AB = 13．则△ABC的外接圆的半径为_______；
(2)如图，在等腰△ABC中，AB = AC = 13cm，BC = 10cm，求△ABC的外接圆的半径．
练2.1 三角形的一条边长为2，它的对角为30∘
，则这个三角形的外接圆的半径为_______．
例3
(1) 在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，AC = 3，BC = 4，以点C为圆心，2为半径的圆与AB的位置关系是
（ ）
A： 相交
B： 相切
C： 相离
D： 不能确定
(2)已知⊙O的半径为3，M为直线AB上一点，若MO = 3，则直线AB与⊙O的位置关系为（ ）
A： 相切
B： 相交
C： 相切或相离
D： 相切或相交
练3.1
(1) 58
在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，AC = 5，BC = 12，⊙C的半径为 ，则
13
⊙C与AB的位置关系是（ ）
147/181
A： 相切
B： 相交
C： 相离
D： 无法确定
(2) 已知∠AOB = 30∘ ，C为边OB上一点，且OC = 6，以点C为圆心，3为半径的圆与OA的位置关
系是（ ）
A： 相离
B： 相交
C： 相切
D： 无法确定
例4
(1) 如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120∘ ，⊙A与BC相切于点D，与AB相交于点E，求
证：BE = ED；
(2)如图，AB是半圆的直径，点O是圆心，点P在BA的延长线上，PD与半圆相切于点
C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．
①求证：BC平分∠PBD；
②若PA = 6，PC = 6√2，求AB的长．
练4.1
148/181
(1)如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO的延长线交⊙O于C点，连接BC，
若∠A = 30∘ ，AB = 2√3，则AC = （ ）
A： 4
B： 6
C： 4√3
D： 6√3
(2)如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．求证：AD⊥DC．
例5
(1)如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于P．
①若∠CAP = ∠P = 30∘ ，求证：PC是⊙O的切线；
②若∠COB = 2∠PCB，求证：PC是⊙O的切线．
(2)如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E是⊙O上一点，D是AM上一点，连
接DE并延长交BN于点C，且OD∥BE．求证：DE与⊙O相切．
149/181
练5.1
(1) 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，AD是∠BAC的平分线，经过A、D两点的圆的圆心O恰好落
在AB上，⊙O分别与AB、AC相交于点E、F．判断直线BC与⊙O的位置关系并证明；
(2)如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D，延长AO交⊙O于E
，连接CD，CE，若CE是⊙O的切线，求证：CD是⊙O的切线．
例6
(1) 如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直于点D，∠AOB = 60∘ ，BC = 4cm，则切线
长AB = _____cm．
(2)如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E，D，F，若AD = 20，求△ABC的周长．
150/181
练6.1 如图，PA､PB分别切⊙O于A､B，PO与⊙O相交于C，连接AC､BC，求证：AC = BC．
例7 如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝10，CD＝12，则四边形ABCD的周长为_____．
练7.1
(1)如果直角三角形的两条直角边长分别为5cm，12cm，则其内切圆半径为_____cm．
(2) 如图，Rt△ABC中，AC = 8，BC = 6，∠C = 90∘ ，⊙I分别切AC、BC、AB于D、E、F，
则Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离为_________．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 13 讲 与圆有关的位置关系
自我巩固答案
1 已知一个点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是4，则这个圆的半径是（ ）
A： 6
151/181
B： 2
C： 7或3
D： 4或7
2 如图，在正三角形网格中，△ABC的顶点都在格点上，点P，Q，M是AB与格线的交点，则△ABC
的外心是（ ）
A： P点
B： Q点
C： M点
D： N点
3 过A(2,2)，B(6,2)，C(4,5)三点的圆的圆心坐标为（ ）
A： 17
( )
4,
6
B： (4,3)
C： 17
( )
5,
6
D： (5,3)
4 ⊙O与直线l有两个交点，且⊙O的半径为3，则圆心O到直线l的距离不可能是（ ）
A： 0
B： 1
C： 2
D： 3
152/181
5 如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A、B，且与CD相切，若正方形ABCD的边长为2，则⊙O的半径
为（ ）
A： 1
B： √5
2
C： 4
3
D： 5
4
6 如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，切点为D，AD与CB的延长线交于点A，∠C = 30∘ ，
1
给出下列四个结论：①AD = DC；②AB = BD；③AB = BC；④BD = CD．其中正确的结论有
2
（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
153/181
7 如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、G、F，且AB∥CD，若OB = 6cm，OC = 8cm，则
BE +CG的长等于（ ）
A： 13cm
B： 12cm
C： 11cm
D： 10cm
8 如图，P为 ⊙O外一点，PA、PB分别切 ⊙O于A、B，CD切 ⊙O于点E，分别交PA、PB于点C
、D，若PA = 5，则△PCD的周长为（ ）
A： 5
B： 7
C： 8
D： 10
9 如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB//CD，OB = 12cm，OC = 16cm．
求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE +CG的长；
（3）⊙O的半径．
154/181
10 如图，AB是半圆O的直径，AD和BC是它的两条切线，切点分别为A、B，CO平分∠BCD．
（1）求证：CD是半圆O的切线；
（2）若AD = 2，CD = 5，求BC的长．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 13 讲 与圆有关的位置关系
课堂落实答案
1 已知⊙O的半径为1，圆心O的坐标为(0,0)，点P的坐标为(√2, −1)，则点P与⊙O的位置关系是
（ ）
A： 点P在⊙O内
B： 点P在⊙O上
C： 点P在⊙O外
D： 点P在⊙O上或⊙O外
2 如图，在平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为(3, −1)，AB＝2√3．将
⊙P沿着与y轴平行的方向平移（ ）个单位长度时，⊙P与x轴相切．
155/181
A： 1
B： 2
C： 3
D： 1或3
3 如图，已知AB为⊙O的直径，AB = 2，AD和BE是⊙O的两条切线，A、B为切点，过圆上一点C作
⊙O的切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB．若∠ABC = 30∘ ，则AM等于（ ）
A： 0.5
B： 1
C： √3
3
D： √3
2
4 如图所示，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论错误的是（ ）
156/181
A： ∠1 = ∠2
B： PB = PA
C： AB⊥OC
D： ∠PAB = ∠APB
5 以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O，过点D作直线切半圆于点F，交AB边于点E．则三角
形ADE和直角梯形EBCD的周长之比为（ ）
A： 3：4
B： 4：5
C： 5：6
D： 6：7
能力强化 / 初三 / 秋季
第 13 讲 与圆有关的位置关系
精选精练
1 若⊙O的半径为5cm，OA = 4cm，则点A与⊙O的位置关系是（ ）
A： 点A在⊙O内
B： 点A在⊙O上
C： 点A在⊙O外
D： 不能确定
2 如图，在平面直角坐标系中，⊙A的圆心在x轴上，半径为1，直线l的解析式为y = 2x−2，若⊙A
沿x轴向右运动，当⊙A与l有公共点时，点A移动的最大距离是（ ）
157/181
A： √5
B： 3
C： 2√5
D： 3√3
3 已知PA、PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB = 80∘ ，C为⊙O上一点．
(1)如图1，求∠ACB的大小；
(2)如图2，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D．若AB = AD，求∠EAC的大小．
4 如图，已知⊙O的直径AB = 10，弦AC = 6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC
的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求DE的长．
5 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径．
（1）若∠BAC = 25∘ ，求∠P的度数；
158/181
（2）若∠P = 60∘ ，PA = 2√3，求AC的长．
6 如图1，已知AB为⊙O的直径，∠A = ∠B = 90∘ ，DE与⊙O相切于E，⊙O的半径为√5，AD = 2
．
（1）求BC的长；
（2）连接AE并延长，交BC的延长线于点G，如图2所示．求EG的长．
能力强化 / 初三 / 秋季
第 14 讲 圆中的计算与证明
例题练习题答案
例1 （1）若弦AB的长为6，⊙O的半径为5，则圆心O到AB的距离为_________；
（2）如图1，已知半径OD垂直弦AB于C，AB = 8，CD = 2，则⊙O的半径为_____________；
（3）如图2，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE = 6cm，EB = 2cm，∠CEA = 30∘ ，则CD
的长为_________．
159/181
练1.1 已知在⊙O中：
（1）若弦AB的长为4，⊙O的半径为2√2，则圆心O到AB的距离为_________；
（2）如图1，已知半径OC垂直弦AB于E，若OC = 3，OE = 2，则AB的长为_____________；
（3）如图2，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知OE = √3，OB = 3，且CO⊥AB，则CD的长
为_________．
例2 已知AB是 ⊙O的直径，C为圆外一点，∠ACB = 60∘ ，CA、CB分别交 ⊙O于D、E．求证：
△ ODE是等边三角形．
练2.1
(1) 如图，在⊙O中，弦AC与半径OB平行，若∠BOC = 50∘ ，则∠B的大小为（ ）
A： 25∘
B： 30∘
160/181
C： 50∘
D： 60∘
(2) 如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD = 58∘ ，则
∠BCD的度数是__________．
(3) 如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD = 160∘ ，则∠BCD的度数为______．
(4) 如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，如果∠E = 60∘ ，那么∠P为（ ）
A： 60∘
B： 70∘
C： 80∘
D： 90∘
例3
(1)已知正六边形的边心距为√3，则它外接圆的半径为（ ）
A： 2
161/181
B： 4
C： 2√3
D： 4√3
(2) ⊙O的内接正三角形和外切正方形的边长之比是（ ）
A： √3:2
B： 1:1
C： 1:√2
D： √2:√3
练3.1
(1)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM的长为（ ）
A： 2
B： 2√3
C： √3
D： 4√3
(2)若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为（ ）
A： 6，3√2
B： 6，3
C： 3√2，3
D： 6√2，3√2
(3)以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的
面积是（ ）
162/181
A： √2
2
B： √3
2
C： √2
D： √3
例4 π
如果一个扇形的半径是1，弧长是 ，那么此扇形的圆心角的大小为（ ）
3
A： 30∘
B： 45∘
C： 60∘
D： 90∘
练4.1 ⌢
1
A、B是⊙O上的两点，OA = 1，AB的长是 π，则∠AOB的度数是（ ）
3
A： 30∘
B： 60∘
C： 90∘
D： 120∘
例5
(1) 2
若圆锥的底面半径为2cm，母线长是3cm，则它的侧面展开图的面积为_____cm ；
163/181
(2) 2
给一个圆锥形零件的侧面涂漆，零件的尺寸要求如图所示，则需要涂漆的面积为_____cm
（结果保留π）．
练5.1 2
已知一个圆锥的底面直径为20cm，母线长30cm，则这个圆锥的表面积是_____cm （结果保留π）．
例6
(1) 如图所示，菱形ABCD，∠ABC = 120∘ ，AD = 1，扇形BEF的半径为1，圆心角为60∘ ，则图
中阴影部分的面积是___________．
(2)如图，两个半圆如图放置，大半圆中长为8cm的弦AB平行于直径CD，且与小半圆相切，则图
2
中阴影部分的面积为____________cm ．
练6.1 如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC = CD，∠ACD = 120∘ ．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
164/181
能力强化 / 初三 / 秋季
第 14 讲 圆中的计算与证明
课堂落实答案
1 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB = 6cm，OD = 4cm，则DC的长为（ ）
A： 5cm
B： 2.5cm
C： 2cm
D： 1cm
2 ⌢
如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D为圆周上一点，若BC的度数为50∘ ，则∠ADC的度数为
（ ）
A： 20∘
B： 25∘
C： 30∘
D： 50∘
3 如图，等边三角形ABC内接于半径为4的⊙O，则三角形ABC的边长为（ ）
165/181
A： 2√3
B： 4
C： 4√3
D： 6
4 ⌢
已知圆O的半径是3，A，B，C三点在圆O上，∠ACB = 60∘ ，则AB的长是（ ）
A： 2π
B： π
C： 3
π
2
D： 1
π
2
5 如图，正六边形ABCDEF是半径为2的圆的内接六边形，则图中阴影部分的面积是（ ）
A： 4π −6√3
B： 2π −3√3
3
C： 4π −3√3
166/181
D： 4π −3√3
6
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第 14 讲 圆中的计算与证明
自我巩固答案
1 ⊙O的半径为5cm，弦AB∥弦CD，且AB = 8cm，CD = 6cm，则AB与CD之间的距离为（ ）
A： 1cm
B： 7cm
C： 3cm或4cm
D： 1cm或7cm
2 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB = CD，已知CE = 1，ED = 3，则⊙O的
半径为（ ）
A： √5
B： √6
C： 5
2
D： 9
4
3 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
167/181
A： AB = AD
B： BC = CD
C： ⌢ ⌢
AB = AD
D： ∠BCA = ∠DCA
4 从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（ ）
A：
B：
C：
D：
5 如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ =
（ ）
A： 60∘
B： 65∘
168/181
C： 72∘
D： 75∘
6 ⌢
如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB = AD，∠C = 120∘ ，点E在AD上．若AE恰好为⊙O的内
⌢
接正十边形的一边，DE的度数为（ ）
A： 75∘
B： 80∘
C： 84∘
D： 90∘
7 1
如图，在△ABC中，AC = BC = 4，∠ACB = 90∘ ，若点D是AB的中点，分别以点A、B为圆心，
2
AB长为半径画弧，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是（ ）
A： 16−2π
B： 16−π
C： 8−2π
D： 8−π
169/181
8 如图，在扇形OAB中，∠AOB = 110∘ ，半径OA = 18，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好
⌢ ⌢
落在AB上的点D处，折痕交OA于点C，则AD的长为（ ）
A： 2π
B： 3π
C： 4π
D： 5π
9 （1）从A地到B地，甲走直径AB上方的半圆途径，乙先走直径AC上方半圆的途径，再走直径CB下
方半
圆的途径，如图1，已知AB = 40米，AC = 30米，计算两人所走的路程，并比较两人所走路程的远
近；
（2）如果甲、乙走的路程图改成图2，两人走的路程远近相同吗？
10 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，AG交CD于K，E为CD延长线上一点，
且EK = EG，EG的延长线交AB的延长线于F．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若DK = 2HK = AK，CH = √15，求图中阴影部分的面积S．
170/181
能力强化 / 初三 / 秋季
第 14 讲 圆中的计算与证明
精选精练
1 点P是半径为5的⊙O内一点，且OP = 4，在过点P的所有弦中，长度为整数的弦共有（ ）
A： 5条
B： 6条
C： 7条
D： 8条
2 如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为17，OD⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD = 2，弦AB的长度
为（ ）
A： 13
B： 14
C： 15
D： 16
3 ⌢
如图，AB是⊙O的直径，AP、BP交⊙O于C、D两点，若∠P = 75∘ ，求CD所对的圆心角的度数．
171/181
4 小明家给新房窗户设计了两种装饰物如图所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成（半
径都分别相同），小明想选采光面积大些的装饰物（窗框面积不计），你觉得他应选用哪种？请
列式计算加以说明．
5 如图，已知正n边形边长为a，边心距为r，求正n边形的半径R、周长P和面积S．
6 如图， ⊙O半径为4cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以
1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t(s)．
（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；
（2）填空：
①当t = _______s时，四边形PBQE为菱形；
②当t = _______s时，四边形PBQE为矩形．
172/181
能力强化 / 初三 / 秋季
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A： 对角线互相平分
B： 对角线互相垂直
C： 对角线相等
D： 对角线平分一组对角
2 如图，点A、B、C是⊙O上的三点，已知∠AOB = 100∘ ，那么∠ACB的度数是（ ）
A： 30∘
B： 40∘
C： 50∘
D： 60∘
3 下列函数中，属于二次函数的是（ ）
173/181
A： y = 2x+1
B： 2 2
y = (x−1) −x
C： 2
y = 2x −7
D： 1
y = −
2
x
4 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，高CD=3，则sinA+sinB等于（ ）
A： 3
5
B： 4
5
C： 1
D： 7
5
5 EF
在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE = 2ED,EC交对角线BD于点F，则 等于
FC
（ ）
A： 1
3
174/181
B： 1
2
C： 2
3
D： 3
2
6 将二次函数y=5x 2 的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位后，所得的图象的函数表达式
是( )
A： y=5(x-3) 2 +4
B： y=5(x+3) 2 -4
C： y=5(x+3) 2 +4
D： y=5(x-3) 2 -4
7 k
如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y = 的图
x
象上，则k的值为（ ）
A： 12
B： −12
C： 6
D： −6
8 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD为直径，弦AC的长为3，∠B = 60∘ ，则⊙O的半径为（ ）
175/181
A： 4
B： √3
C： 3
D： 2√3
9 2
如图，一次函数y = mx+n(m ≠ 0)与二次函数y = ax +bx+c(a≠0)的图象相交于两点
1 2
A(-1,5)、B(9,3)，请你根据图象写出使y ≥ y 成立的x的取值范围（ ）
1 2
A： -1≤x≤9
B： -1≤x<9
C： -10)的图象经过点D，交BC边于点E．
x
若△BDE的面积为1，则k=______．
14 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB = 8，AE = 1，则弦CD的长是_______．
177/181
15 如图，A为上的一点⊙O，AD⊥AO，OD交⊙O于点B，点C在⊙O上，且∠ODA = 36∘ ，则∠ACB
的度数为________．
16 计算：√18+2 −1 −6sin45∘ = _____．
17 2
抛物线y = 2x −3x+1关于y轴对称的抛物线的解析式为____________．
18 2 2
二次函数y = ax +bx+c(a ≠ 0)的图象如图，给出下列四个结论:①4ac−b < 0；②4a+c < 2b；③
3b+2c < 0；
④m(am+b) +b < a(m ≠ −1)．其中结论正确的是________．
19 2
用配方法解方程：3x −6x+1 = 0
20 为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在
北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏
东45°的方向上，如图所示．求凉亭P到公路l的距离．(结果保留整数，参考数据:√2≈1.414，√3
≈1.732)
178/181
21 如图，△ABC中，PC平分∠ACB，PB = PC．
（1）求证：△APC∽△ACB；
（2）若AP = 3，PC = 6，求AC的长．
22 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC = CB，延长DA与⊙O的另一个交点
为E，连接AC、CE．
（1）求证：∠B = ∠D；
（2）若AB = 4，BC−AC = 2，求CE的长．
23 如图，在反比例函数的图象上有不重合的两点A、B，且A点的坐标是(4,2)，B点的横坐标为2，
BB 和AA 都垂直于x轴，垂足分别为B 和A ．
1 1 1 1
（1）求B点纵坐标；
（2）求△OBA的面积．
179/181
24 2 2
已知关于x的一元二次方程x −2(m−2)x+m = 0有实根．
(1)求m的取值范围；
2 2
(2)如果方程的两个实数根为x ，x ，且x +x = 56 ，求m的值．
1 2 1 2
25 2
如图，一次函数y = kx+b的图象与二次函数y = −x +c的图象相交于A(−1,2)，B(2,n)两点．
(1)求一次函数和二次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出使二次函数的值大于一次函数的值的x的取值范围；
2
(3)设二次函数y = −x +c的图象与y轴相交于点C，连接AC，BC，求△ABC的面积．
26 在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B．已知抛物线
2
y = −x +bx+c 经过A(3,0)，B(0,3) 两点．
(1)求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；
(2)如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F
从A点出发，沿着AB方向以√2个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点
时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF为直角三角形？
(3)如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A，B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB
上方的抛物线上移动，动点P与A，B两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面
积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；如果不存在，请简要说
明理由．
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27 无锡市灵山胜境公司厂生产一种新的大佛纪念品，每件纪念品制造成本为18元，试销过程发现，
每月销量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．
(1)写出公司每月的利润w(万元)与销售单价x(元)之间的函数解析式；
(2)当销售单价为多少元时，公司每月能够获得最大利润？最大利润是多少？
(3)根据工商部门规定，这种纪念品的销售单价不得高于32元．如果公司要获得每月不低于350万
元的利润，那么制造这种纪念品每月的最低制造成本需要多少万元？
181/181
