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能力强化 / 初二 / 寒假
第 1 讲 不等式初步与一元一次不等式
例题练习题答案
例1
(1)下列选项中是不等式2x+1 > 3的解的是（ ）
A： −4
B： −2
C： 0
D： 2
(2)在数轴上表示下列不等式的解集：
①x > 2.5；②x < −2.5； ③x ≥ 3．
练1.1
(1)下列数中哪些是不等式3x−5 ≥ 0的解：−1，0，1，2，3，4；
(2)不等式的解集在数轴上表示如下图所示，则该不等式可能是___________．
例2 若a < b，则下列各式中一定成立的是（ ）
A： a−1 < b−1
a b
B： >
3 3
C： −a < −b
D： ac < bc
练2.1 若b < a < 0，则下列不等式成立的是（ ）
1/61
A： −b < −a
B： ab < a2
C： b−1 < a−1
D： |b| < |a|
例3 设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图
所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为（ ）
A： ○□△
B： ○△□
C： □○△
D： △□○
练3.1 设“▲”、“■”和“●”分别表示三种不同的物体，现用同一天平称两次，如图，那
么“▲”、“■”、“●”三种物体按质量从小到大排列应该是（ ）
A： ■●▲
B： ▲■●
C： ■▲●
D： ●▲■
例4
1
(1) 下 列 式 子 ： ① x−7 ≥ −1， ② −5x > 0， ③ 1 < 9， ④ x2 −6x > 2， ⑤
x
a
−3(a−2) ≤ 2，⑥m−2n > 8，是一元一次不等式的有（ ）
2
A： 1个
2/61
B： 2个
C： 3个
D： 4个
(2)若不等式(m−3)x|m−2| +2 > 0是关于x的一元一次不等式，则m的值为_________．
练4.1
(1)下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A： 2x < y
x 1
B： − ≠ (x−1)
π 2
C： x2 +2x+1 > 0
3 1
D： − ≤ x−1
x 2
(2)若(m+1)x|m| +2 > 0是关于x的一元一次不等式，求m的值．
例5 解下列不等式：
（1）3(1 −x) ≥ 2x+9；
（2）x−3(x−1) < 8 −x．
练5.1 解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
x+3 2x−5
（1） < −1；
5 3
2x−1 9x+2
（2） − ≤ 1．
3 6
例6 不等式2(x−1)−3x ≤ 0的负整数解为________．
练6.1
x−2 x+2
(1)x的值适合不等式 +1 ≤ ，且x是正整数，则x的值是（ ）
3 4
A： 0，1
B： 0，1，2
C： 1，2
3/61
D： 1
x−1 2 2x+3
(2) 解不等式 − > x− ，把解集在数轴上表示出来，并写出它的最大整数
2 5 5
解．
能力强化 / 初二 / 寒假
第 1 讲 不等式初步与一元一次不等式
自我巩固答案
1 不等式在数轴上的表示如图所示，该不等式为（ ）
A： x < 3
B： x ≤ 3
C： x > 3
D： x ≥ 3
2 下列不等式的变形中：
①若a > b，则a−3 > b−3；②若a > b，则−3a > −3b；③若a > b，则(m2 +1)a
> (m2 +1)b；④若a > b且m ≠ 0，则−ma < −mb．正确的结论有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
3 （1）已知a > b，用“>”或“<”号填空：
①a−4_______b−4；
②a+c_______b+c；
③−6a_______−6b；
（2）已知a > b，要使−bm < −am成立，则m必须满足（ ）
4/61
A．m > 0 B．m = 0 C．m < 0 D．m为任意数
（3）当x < a < 0时，x2 与ax的大小关系是（ ）
A．x2 > ax B．x2 ≥ ax C．x2 < ax D．x2 ≤ ax
4 设“●”、“▲”、“■”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那
么“■”、“▲”、“●”这三种物体按质量从大到小的排列顺序为（ ）
A： ■●▲
B： ■▲●
C： ▲●■
D： ▲■●
5 下列不等式中，是一元一次不等式的有（ ）
3
①3x−7 > 0；②2x+y > 3；③2x2 −x > −1；④ +1 < 7．
x
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
6 若(m−2)x|3−m| +2 ≤ 7是关于x的一元一次不等式，则m =（ ）
A： 4
B： 2
C： 2或4
D： 1
x−1 x+3
7 对不等式 − > 1，给出了以下解答：
2 8
①去分母，得4(x−1)−(x+3) > 8；
②去括号，得4x−4 −x+3 > 8；
③移项、合并同类项，得3x > 9；
5/61
④两边都除以3，得x > 3．
其中错误开始的一步是（ ）
A： ①
B： ②
C： ③
D： ④
8 解不等式：
4 +x x
（1） > ；
3 2
2x−1 3x−4
（2） −1 ≤ ．
3 6
x+3 x−1 8
9 解不等式 − > ，并把解集在数轴上表示出来．
5 3 15
3
10 使代数式4x− 的值不大于3x+5的值的x的最大整数值是（ ）
2
A： 4
B： 6
C： 7
D： 8
能力强化 / 初二 / 寒假
第 1 讲 不等式初步与一元一次不等式
课堂落实答案
1 图中表示的不等式的解集是_________．
2 若a > b，则5 −2a______5 −2b（填“>”、“<”或“=”）．
1
3 若 x2m−1 −8 > 5是一元一次不等式，则m的值为（ ）
2
6/61
A： 0
B： 1
C： 2
D： 3
4 不等式2(x+1) < 3x的解集在数轴上表示出来应为（ ）
A：
B：
C：
D：
5 不等式2x > 5x−9的正整数解是________．
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第 1 讲 不等式初步与一元一次不等式
精选精练
1 把一些书分给几名同学，若________；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学，可列不等
式9x+7 < 11x，则横线上的信息可以是（ ）
A： 每人分7本，则可多分9个人
B： 每人分7本，则剩余9本
C： 每人分9本，则剩余7本
D： 其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本
2 （1）①如果a−b < 0，那么a___b；②如果a−b = 0，那么a___b；③如果a−b > 0，那么
a__b；
（2）由（1）你能归纳出比较a与b大小的方法吗？请用文字语言叙述出来；
7/61
（3）用（1）的方法你能否比较3x2 −3x+7与4x2 −3x+7的大小？如果能，请写出比较过
程．
3 根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两个数大小的方法：
若a−b > 0，则a > b；
若a−b = 0，则a = b；
若a−b < 0，则a < b；反之也成立．
这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”．请运用这种方法尝试比较4 +3a2 −2b+b2 与
3a2 −2b+1的大小．
4
若(m−2)xm2−3
−2 ≥ 7是关于x的一元一次不等式，则m =______．
3x+1 7x−3 2(x−2)
5
解不等式 − ≤ 2 + ，并在数轴上表示出不等式的解集．
3 5 15
x+1 1 3x−1
6 列式计算：求使 + 的值不小于 的值的非负整数x．
4 3 6
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第 2 讲 图形的平移与旋转
例题练习题答案
例1 如图，在△ABC中，∠BAC = 90∘ ，AB = 3，AC = 4，BC = 5，将△ABC沿直线BC向右
平移2个单位得到△DEF，连接AD，则下列结论①AC // DF；②ED⊥DF；③四边形
ABFD的周长是16．其中正确的个数为（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
8/61
D： 0
练1.1 将Rt△ABC沿CB方向平移BE长度的距离后，得到直角三角形DEF，已知AG = 4，BE = 6，
DE = 12，则阴影部分的面积为_________．
例2
(1)对于直线：y = −3x+2，
①将该直线向左平移1个单位后得到直线的解析式为_________________；
②将该直线向上平移5个单位后得到直线的解析式为_________________；
③将该直线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位后得到直线的解析式为_________．
(2)若直线y = mx+n的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的直线的函数
解析式为y = 3x−2，则m =_______，n =_______．
(3)若一次函数y = kx+1的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，平移后的图象与原
图象重合，则k =_______．
练2.1 一次函数y = kx+b的图象如图所示．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)如果这个一次函数的图象向上平移m个单位得到的图象恰与它向右平移n个单位得到的图象完
全相同，求m、n之间的关系．
例3 如图所示，不用量角器，将方格纸中的四边形绕着点O按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的图
形．（不用写过程，直接画出图形即可）
9/61
练3.1 如图，将正方形图案绕中心O旋转180∘ 后，得到的图案是（ ）
A：
B：
C：
D：
例4 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点
为E，连接BE，下列结论一定正确的是（ ）
A： AC = AD
10/61
B： AB⊥EB
C： BC = DE
D： ∠A = ∠EBC
练4.1 点E在正方形ABCD外，BE = 4，CE = 2，∠BEC = 135∘ ，将△BEC绕点B逆时针旋转
得到△BFA，求FE、FC的长．
例5 如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D(5,3)在边AB上，以C为中
心，把△CDB旋转90∘ ，则旋转后点D的对应点D′
的坐标是（ ）
A： (2,10)
B： (−2,0)
C： (2,10)或(−2,0)
D： (10,2)或(−2,0)
练5.1
(1)(1,2)绕坐标原点逆时针旋转90∘
得到的点的坐标是_____
(2)直线y = 2x−2绕坐标原点逆时针旋转90∘ 得到的直线解析式是_____，
(3)求直线y = x+2关于原点对称的直线的解析式．
例6 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
11/61
A：
B：
C：
D：
练6.1
(1)下列描述中心对称的特征的语句中，其中正确的是（ ）
A： 成中心对称的两个图形，连接对称点的线段不一定经过对称中心
B： 成中心对称的两个图形，对称中心不一定平分连接对称点的线段
C： 成中心对称的两个图形，对称点的连线一定经过对称中心，但不一定被对称中心平分
D： 成中心对称的两个图形，对称点的连线一定经过对称中心，且被对称中心平分
(2) 如图，△ABC与△DEF关于O点成中心对称．则AB =______，BC∥_____，AC = _______，
∠ABC =_______，∠ACO =________．
(3)作三角形关于点成中心对称图形：已知△ABC和点O，画出△DEF，使△ DEF与△ABC关于O
成中心对称．
12/61
练6.2 如图，△ABC与△A′B′C′ 关于某一个点成中心对称，点A、B的对称点分别为点A′ 、B′ ，请找出
对称中心O，并把图形补充完整．
例7 在平面直角坐标系中，若点P(m,m−n)与点Q(−2,3)关于原点对称，则点M(m,n)在（ ）
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
练7.1 如图，将三角形ABC绕点C (0,1)旋转180∘ 得到△DEC，若点A的坐标为(3,−1)，则点D的坐
标为（ ）
A： (−3,1)
B： (−2,2)
C： (−3,3)
D： (−3,2)
13/61
例8 【感知】如图①，∠MON = 90∘ ，OC平分∠MON，CD⊥OM于点D，CE⊥ON于点
E，可知OD = OE．（不要求证明）
【拓展】在图①中，作∠ACB = 90∘ ，CA，CB分别交射线OM，ON于A，B两点，求
证：AD = BE．
【应用】如图②，△OAB与△ABC均为直角三角形，OC平分∠AOB，O，C两点在AB的异侧．
已知∠AOB = ∠ACB = 90∘ ，OA = 5，OB = 3，求线段OC的长．
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第 2 讲 图形的平移与旋转
自我巩固答案
1 下列说法错误的是（ ）
A： 平移和旋转都不改变图形的形状和大小
B： 成中心对称的两个图形中，对应点连线的中点是对称中心
C： 在平移和旋转图形的过程中，对应角相等，对应线段相等且平行
D： 一个图形和它经过旋转后所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等
2 如图，A，B的坐标为(2,0)，(0,1)，若将线段AB平移至A B ，则a+b的值为（ ）
1 1
14/61
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
3 在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）
(1)①若△ABC和△A B C 关于原点O成中心对称，画出△A B C ；
1 1 1 1 1 1
②将△ABC绕着点A顺时针旋转90∘ ，画出旋转后得到的△AB C ；
2 2
(2)在x轴上找一点P，使PB +PC 最小，此时PB +PC 的值为 ．
1 1 1 1
4 如图，在△ABC中，∠CAB = 75∘ ，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′ 的位置，使
得CC′ // AB，则∠BAB′ =（ ）
A： 30∘
B： 35∘
C： 40∘
D： 50∘
15/61
5 已知直线l : y = 2x−4分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线l 绕点B顺时针旋转90∘ 得到
1 1
直 线l ，求直线l 的解析式．
2 2
6 如图1，在直角△ABC中，AB = AC，D，E是斜边BC上两动点，且∠DAE = 45∘ ，将
△ABE绕点A逆时针旋转90°后，得到△AFC，连接DF．
（1）试说明：△AED≌△AFD；
（2）当BE = 3，CE = 9时，求∠BCF的度数和DE的长；
（3）如图2，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC = ∠DAE = 90∘ ，D是斜边
BC所在直线上一点，BD = 3，BC = 8，求DE2 的长．
7 下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A：
B：
C：
D：
8 在平面直角坐标系中，将点A(a,b)纵坐标乘以−1，得到点A′ ，则点A与点A′ 的关系是（ ）
A： 关于x轴对称
B： 关于y轴对称
C： 关于原点对称
D： 将点A向x轴负方向平移一个单位得到点A′
9 已知点M (a,−2)，B(3,b)关于原点对称，则(a+b) 2017 的值为（ ）
A： −1
16/61
B： 0
C： 1
D： 3
10 如图，∠AOB = 90∘ ，OC平分∠AOB．将一块足够大的三角尺的直角顶点落在射线OC的任
意一点P上，并使三角尺的一条直角边与AO（或AO的延长线）交于点D，另一条直角边与
BO交于点E．
（1）如图1，当PD与边AO垂直时，证明：PD = PE；
（2）如图2，把三角尺绕点P旋转，三角尺的两条直角边分别交AO，BO于点D，E，在旋
转过程中，PD与PE相等吗？请直接写出结论：PD PE（填>，<，=)，
（3）如图3，三角尺绕点P继续旋转，三角尺的一条直角边与AO的延长线交于点D，另一条
直角边与BO交于点E．在旋转过程中，PD与PE相等吗？若相等，请给出证明；若不
相等，请说明理由．
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第 2 讲 图形的平移与旋转
课堂落实答案
1 点A(−3,−5)向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，则点B的坐标为（ ）
A： (1,−8)
B： (1,−2)
C： (−6,−1)
17/61
D： (0,−1)
2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90∘ ，∠B = 60∘ ，BC = 1，△A′B′C由△ABC绕点C顺时
针旋转得到，其中点A′ 与点A，点B′ 与点B是对应点，连接AB′ ，且A，B′ ，A′
在同一条直
线上，则AA′ 的长为( )
A．3
A： 3
–
B： 2√3
C： 4
–
D： 4√3
3 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A：
B：
C：
D：
4 在平面直角坐标系中，点P (−2,3)与点Q关于原点对称，则点Q的坐标为（ ）
A： (−2,−3)
B： (3,−2)
C： (2,3)
18/61
D： (2,−3)
5 如图，OC平分∠AOB，∠DOE +∠DPE = 180∘ ．求证：PD = PE．
能力强化 / 初二 / 寒假
第 2 讲 图形的平移与旋转
精选精练
1 如图，在△ ABC中，∠BAC = 60∘ ，将△ABC绕着点A顺时针旋转40∘ 后得到△ ADE，则
∠BAE =（ ）
A： 80∘
B： 90∘
C： 100∘
D： 110∘
2 如图所示，在平面直角坐标系中A(0,0)，B(2,0)，△AP B是等腰直角三角形，且
1
∠P = 90∘ ，把△AP B绕点B顺时针旋转180∘ ，得到△BP C；把△BP C绕点C顺时针旋转
1 1 2 2
180∘ ，得到△CP D，依此类推则旋转第2017次后，得到的等腰直角三角形的直角顶点P 的
3 2018
19/61
坐标为（ ）
A： (4030,1)
B： (4029,−1)
C： (4033,1)
D： (4035,−1)
3 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4)，△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′ ，点
4
A的对应点A′ 是直线y = x上一点，则点B与其对应点B′ 间的距离为 ．
5
4 如图，在△ABC中，AB = 4，BC = 6，∠B = 60∘ ，将△ABC沿射线BC的方向平移2个单位
后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为 ．
5 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A：
B：
C：
20/61
D：
6 已知：∠AOB = 90∘ ，OC平分∠AOB，点P在OC上．
（1）如图①，把三角尺的直角顶点放在点P处，三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点
E、F．求证：PE = PF；
（2）若将三角尺绕点P按逆时针方向旋转至如图②所示的位置，三角尺的两条直角边分别与
OA的反向延长线、OB相交于点E、F．试问PE与PF是否仍然相等？若相等，给出证明；若
不相等，说明理由．
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第 3 讲 因式分解
例题练习题答案
例1 若x2 +px+q＝(x+3)(x−5)，则p、q的值分别为（ ）
A： 15，2
B： −2，−15
C： 15，−2
D： 2，−15
练1.1 如果多项式mx2 −nx−2能因式分解为(3x+2)(x+p)，那么下列结论正确的是（ ）
A： m = 6
21/61
B： n = 1
C： p = −2
D： mnp = 3
例2
(1)多项式15m3n2 +5m2n −20m2n3
的公因式是（ ）
A： 5mn
B： 5m2n2
C： 5m2n
D： 5mn2
(2)将多项式−6a3b2 −3a2b2
因式分解时，应提取的公因式是（ ）
A： −3a2b2
B： −3ab
C： −3a2b
D： −3a3b3
练2.1
(1)多项式xy(x−y)与y(x−y) 2 的公因式是________．
(2)将3x(a−b)−9y(b−a)因式分解，应提的公因式是（ ）
A： 3x−9y
B： 3x+9y
C： a−b
D： 3(a−b)
例3
(1)分解因式：12x2y −15xy2 =__________．
22/61
(2)因式分解：6x(x−2)+3(x−2) =_________．
练3.1
1
(1)
将
m2a+ma分解因式的结果是__________．
5
(2)因式分解：(x+2)x−x−2 =_________．
例4
(1)分解因式：16 −a2 =__________．
(2)分解因式：9a2 −4b2 =__________．
9 16
(3) 分解因式：− x4 + y2 =____________．
4 81
(4)分解因式：81x4 −1 =__________________．
(5)用简便方法计算：1002 −992 =__________．
练4.1
(1)分解因式：(2x+3y) 2 −(2x−y) 2 =__________________．
1
(2)分解因式：(x−1) 2 − =_____________．
4
(3)分解因式：m4 −16n4 =_____________．
(4)计算：20192 −2020 ×2018 =_____．
例5 分解因式：
（1）a2 −2ab+b2 （2）a2b2 −6ab+9
（3）1 +2(2x−3y)+(2x−3y) 2
练5.1 用完全平方公式分解因式：
（1）x2 +2xy +y2 （2）m2 −10m+25
（3）4(x+y) 2 +25 −20(x+y)
例6 分解因式：
23/61
（1）2x2 −8；（2）a2 (x−y)−b2(x−y)；
（3）3ax2 +6axy +3ay2 ；（4）3x2y −18xy2 +27y3 ．
练6.1
(1)分解因式：9x2 (a−b)+y2(b−a)．
(2)若a+b = 4，ab = −6，求代数式a3b+2a2b2 +ab3 的值．
能力强化 / 初二 / 寒假
第 3 讲 因式分解
自我巩固答案
1 下列各式从左到右，不是因式分解的是（ ）
A： x2 +xy +1 = x(x+y)+1
B： a2 −b2 = (a+b)(a−b)
C： x2 −4xy +4y2 = (x−2y) 2
D： ma+mb+mc = m(a+b+c)
2 把多项式(m+1)(m−1)+(m−1)提取公因式(m−1)后，余下的部分是（ ）
A： m+1
B： 2m
C： 2
D： m+2
3 5m(a−b)−10n(b−a)的公因式是（ ）
A： 5(a−b)
B： m+n
C： 5(a+b)
24/61
D： 5m−10n
4 分解因式(2x+2) 2 −x2 的结果是（ ）
A： 2(x2 +4x+3)
B： 2(x2 +2x+3)
C： (2x+3)(x+1)
D： (3x+2)(x+2)
5 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a−b，x−y，x+y，
a+b，x2 −y2 ，a2 −b2
分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美，现将
(x2 −y2 )a2 −(x2 −y2 )b2
因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A： 我爱美
B： 中华游
C： 爱我中华
D： 美我中华
6 某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4 −■ = (x2 +4)(x+2)(x−▲中) 的两个数字弄
污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是（ ）
A： 8，1
B： 16，2
C： 24，3
D： 64，8
7 把4x2 −20xy +25y2 进行因式分解，结果为（ ）
A： (x−5y) 2
B： (2x−5y) 2
C： (3x−5y) 2
D： (4x−5y) 2
25/61
8 把8a3 −8a2 +2a进行因式分解，结果正确的是（ ）
A： 2a(4a2 +4a+1)
B： 8a2 (a−1)
C： 2a(2a−1) 2
D： 2a(2a+1) 2
9 分解因式：
（1）(2m−n) 2 −169(m+n) 2 ； （2）8(x2 −2y2 )−x(7x+y)+xy．
10 分解因式：
（1）3ax2 −6axy +3ay2 ； （2）−4abx2 +4abx−ab.
能力强化 / 初二 / 寒假
第 3 讲 因式分解
课堂落实答案
1 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A： ax−bx = x(a−b)
1 1 1
B： x2 − = x+ x−
x2 ( x)( x)
C： x+4x+4 = (x+2)
D： ax+bx+c = x(a+b)+c
2 将下列多项式因式分解后，结果不含因式x−1的是（ ）
A： x2 −1
B： x(x−2)+(2 −x) 2
C： x(x−1)+1 −x
D： x2 −2x
26/61
3 因式分解(a+b)(a+b−1)−a−b+1的结果为____________．
4 因式分解：
（1）2am2 −2an2 ； （2）(m+n) 2 −4(m−n) 2 ．
5 因式分解：a2 −10ab+25b2 ．
能力强化 / 初二 / 寒假
第 3 讲 因式分解
精选精练
1 判断下列由左到右的变形是不是因式分解．
（1）(x+1)(x−3) = x2 −2x−3 （ ）
（2）−15a2b6 = 3ab3 ⋅(−5ab3 ) （ ）
（3）9y2 −16x2 = (3y +4x)(3y −4x) （ ）
（4）6x2 −12x−5 = 6x(x−2)−5 （ ）
1
（5）x2y2 +xy −x = xy xy +1 − （ ）
( y)
2 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1) 2 = (1 +x)[1 +x+x(x+1)=] (1 +x) 2 (1 +x)
= (1 +x) 3
（1）上述分解因式的方法是________，共应用了_______次．
（2）若分解因式1 +x+x(x+1)+x(x+1) 2 +…+x(x+1) 201 ， 4 则需应用上述方
法_________次．
（3）分解因式：1 +x+x(x+1)+x(x+1) 2 +…+x(x+1) n （n为正整数）的结果
是________．
3 因式分解：
（1）3a(x−y)−5b(y −x)； （2）10a(x−y) 2 +5ax(y −x)；
（3）(x−y) 3 −(y −x) 2 ； （4）5a(a−2b) 2 −10b(2b−a) 2 ．
4 分解因式：9(a−b) 2 −(a+b) 2 =___________．
27/61
5 利 用 因 式 分 解 计 算 ：
1 1 1 1 1 1
1 − 1 − 1 − ⋯ 1 − 1 − ⋯ 1 − ．
( 22)( 32)( 42) ( 92)( 102) ( n2)
6 因式分解：x2 −2xy +y2 +4x−4y +4．
能力强化 / 初二 / 寒假
第 4 讲 分式与分式乘除
例题练习题答案
2
例1
（1）如果分式 有意义，那么x的取值范围是________．
x−1
1
（2）如果分式 有意义，那么x的取值范围是________．
x2 +1
练1.1 无论x取何值,总是有意义的分式是（ ）
x
A：
2x+1
2x
B：
x2 +1
3x
C：
x3 +1
x+1
D：
x2
例2
2 +x
(1)
若分式 有意义，则x的取值范围是（ ）
x2 −4
A： x ≠ 2
B： x ≠ ±2
C： x ≠ −2
D： x ≥ −2
x2 −4
(2)
在分式 中，当x =_______时，分式没有意义
(2 −x)(x+1)
28/61
练2.1
x−2
(1) 要使分式 有意义，x的取值应该满足（ ）
(x+1)(x−2)
A： x ≠ −1
B： x ≠ 2
C： x ≠ −1或x ≠ 2
D： x ≠ −1且x ≠ 2
x
(2)若分式 无意义，则x的值是（ ）
|x|−1
A： 0
B： 1
C： −1
D： ±1
例3
x−1
(1) 若分式 的值为0,则（ ）
x+2
A： x = −2
B： x = 0
C： x = 1
D： x = 1或x = −2
x2 −1
(2)
分式 的值为零，则x的值为（ ）
x+1
A： −1
B： 0
C： ±1
D： 1
练3.1 下列各式中，x满足什么条件时，分式的值为0？
29/61
2x+1
（1） ；
3x−2
x+1
（2） ；
x2
|x|−9
（3） ；
x+9
x2 +x
（4） ；
x2 −1
x2 +2x−3
（5） ；
x−1
25 −x2
（6） ．
x2 −6x+5
例4
1
(1)
若分式 的值是正数，则x的取值范围是________．
x+1
2x−4
(2) 如果分式 的值为正数，则x的取值范围是_________；
x2 +1
a2
(3)
若分式 的值为负，则a的取值范围为_______.
5a−20
A： a < 4
B： a > 4
C： a < 4 且a ≠ 0
D： a ≠ 0
练4.1
−1 −x2
(1)
若分式 的值为负数，则x的取值范围是_________；
2x+3
2x−1
(2) 若分式 的值为负，则x的范围是( )
x2
1
A： x <
2
1
B： x < 且x ≠ 0
2
1
C： x >
2
1
D： x > 0且x ≠
2
30/61
例5
(1)下列等式从左到右的变形正确的是（ ）
b b+1
A： =
a a+1
b bm
B： =
a am
ab b
C： =
a2 a
b b2
D：
=
a a2
(2)不改变分式的值，把下列分式中分子、分母的系数化为整数.
1x− 2y
2 3
① =__________；
1x+ 1y
3 4
0.2a−0.03b
② =___________；
0.04a+b
1x− 1y
5 7
③ =_____________
1x−0.2y
2
(3)不改变分式的值，把下列分式中分子、分母的首项符号变为正号．
−x+y
①
−x−y
−a
②−
a−b
−a−1
③
a2 −2
x
(4)把分式 (x ≠ 0,y ≠ 0)中的分子、分母的x、y同时扩大2倍，则分式的值（ ）
x+y
A： 扩大2倍
B： 缩小2倍
C： 改变
D： 不改变
练5.1
(1)下列等式从左到右的变形正确的是（ ）
b 1
A： =
a+2b a+2
31/61
b b+2
B： =
a a+2
a ab
C： =
c bc
a+2 a2 −4
D：
=
a−2 (a−2) 2
xy
(2)分式 中x，y都扩大2倍，则分式的值（ ）
x+y
A： 不变
B： 扩大2倍
C： 扩大4倍
D： 缩小2倍
1
(3) 下列各式中与 相等的是( )
a+1
2
A：
a+2
2
B：
2a+1
2
C：
2a+2
b2
D：
ab+b
(4)下列各式从左到右的变形错误的是（ ）
a2 −0.2a 10a2 −2a
A：
=
a2 −0.3a3 10a2 −3a3
B： 1 − 1a 6 −3a
2
=
a+ 1 6a+2
3
0.5a+b 5a+10b
C： =
0.2a−0.3b 2a−3b
D： 0.25− 1a 1 −a
4
=
a+0.5 2a+1
(5)下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
b+1 −b+1
A： − =
a a
32/61
x−y y −x
B： =
y +x x+y
x−1 1 −x
C： − =
x−y x−y
1 −y y −1
D： =
(x−1) 2 (1 −x) 2
例6 a2 −4
化简 的结果是（ ）
a2 +2a
2
A： −
a
a−2
B：
2a
a−2
C：
a
a−4
D：
a+2
练6.1 x2 −1
化简： =__________．
x2 −2x+1
例7 1 3a+1 x2 +y2 a2 −b2 (a+b) 2
在分式 、 、 、 、 中，最简分式的个数是（ ）
2a 3a x2 −y2 a−b a+b
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
练7.1 下列分式中，属于最简分式的是（ ）
34(x−y)
A：
85(x+y)
y2 −x2
B：
x+y
x2 +y2
C：
x2y +xy2
x2 −y2
D：
(x+y) 2
例8 计算：
33/61
4x y
（1） ⋅ ；
3y 2x3
a+2 1
（2） ⋅ ；
a−2 a2 +2a
ab3 5a2b2
（3） ÷ ；
2c2 4cd
a−1 a2 −1
（4） ÷ ．
a2 −4a+4 a2 −4
练8.1 计算：
2
a2
①
(3b3c)
3
−3x2
②
( 2y2z )
x+y
③ ⋅(−5xy) 2
x3y2
4
m 5 n2
④ ⋅ ÷(−mn) 4
( n ) ( m )
能力强化 / 初二 / 寒假
第 4 讲 分式与分式乘除
自我巩固答案
1 下列判断错误的是（ ）
a+3
A： 当a = −3时，分式 有意义
a2 −9
2
B： 当a ≠ 0时，分式 有意义
a
1 2a+1
C： 当a = − 时，分式 的值为0
2 a
2a−1
D： 当a = 1时，分式 的值为1
a
x2 −9
2
若分式 的值为0，则x的值为（ ）
x2 −4x+3
A： 3
B： 3或−3
34/61
C： −3
D： 0
|x−2|−1
3
若已知分式
的值为0，则x−2
的值为（ ）
x2 −6x+9
1
A： 或−1
9
1
B：
或1
9
C： −1
D： 1
x−2
4
如果代数式 的结果是负数，则实数x的取值范围是（ ）
x2 +1
A： x > 2
B： x < 2
C： x ≠ −1
D： x < 2且x ≠ −1
3x2y
5
如果把分式 中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（ ）
x+y
A： 扩大2倍
B： 缩小2倍
C： 缩小4倍
D： 扩大4倍
6 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ）
0.2a+b 2a+b
A： =
a+0.2b a+2b
a2 −4 a+2
B：
=
(a−2) 2 a−2
−a+b a+b
C： = −
c c
a ac
D： =
2b 2bc
35/61
7 下列式子中，错误的是（ ）
−n +m n −m
A： = −
m m
0.5+b 5 +10b
B： =
0.2a−0.3b 2a−3b
y y +1
C： =
x x+1
y (a2 +1)y
D：
=
x (a2 +1)x
8 约分：
2a(a−1)
(1)
；
8ab2(1 −a)
a2 −4ab+4b2
(2)
．
a2 −4b2
9 计算：
a2b 4 c2 3 ac 5
(1)
⋅ ÷ ；
( −c ) (ab) (−b)
3 4
b b
(2) 2
(ab3 ) × − ÷ − ．
( a2 ) ( a)
10 计算
x2 −1 1
(1)
⋅ ；
x2 −2x+1 x+1
x2 −4 x2 +2x
(2)
÷ ．
x2 −4x+4 2 −x
能力强化 / 初二 / 寒假
第 4 讲 分式与分式乘除
课堂落实答案
36/61
1
1 如果分式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
x+1
A： x ≠ −1
B： x > −1
C： 全体实数
D： x = −1
2 当x = 1时，下列分式中值为0的是（ ）
1
A：
x−1
2x−2
B：
x−2
x−3
C：
x+1
|x|−1
D：
x−1
a2 +3a
3
化简 的结果是（ ）
a+3
A： −3
B： 3
C： −a
D： a
3
b
4
计算 − 的结果是（ ）
( 2a)
b3
A：
−
2a3
b3
B：
−
6a3
b3
C：
−
8a3
b3
D：
8a3
3 4
b b
5 2
计算(ab3 ) × − ÷ − ．
( a2 ) ( a)
37/61
能力强化 / 初二 / 寒假
第 4 讲 分式与分式乘除
精选精练
x+2
1 在学习“分式”时，小明和小丽都遇到了“当x取何值时， 有意义？”这个问题．
x2 −4
x+2 x+2 1 1
小明的做法是：先化简， = = ，要使 有意义，必须
x2 −4 (x−2)(x+2) x−2 x−2
x−2 ≠ 0，即x ≠ 2；
x+2
小丽的做法是：要使 有意义，只须x2 −4 ≠ 0，即x2 ≠ 4，所以x ≠ ±2．
x2 −4
如果你与小明和小丽是同一个学习小组，请你发表一下自己的意见．
2
a2
(1)
若分式− 的值为正，则a的取值范围是_______．
2a−4
x+4
(2)若分式 的值为负，则x的取值范围是_______．
(x−5) 2
3 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数：
1x− 1y
3 5
（1） ；
2x+ 1y
6
0.2x− 1y
2
（2） ；
1x+ 1
3 4
0.8x−0.78y
（3） ；
0.5x+0.4y
a −0.4b
2
（4） ．
0.6a+ 3b
4
4 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐
分式”．
x−1 a−2b x+y a2 −b2
（1）下列分式：① ；② ；③ ；④ ．其中是“和谐分
x2 −1 a2 −b2 x2 −y2 (a+b) 2
式”的是_______（填写序号即可）；
x−1
（2）若a为正整数，且 为“和谐分式”，请写出a的值．
x2 +ax+4
38/61
x2 −y2 x+5y
5
计算： ⋅ ．
x2 +6xy +5y2 x2 −2x−y2 +2y
a4 −b4 b−a
6
当a = 2017，b = 2018时，求代数式 × 的值．
a2 −2ab+b2 a2 +b2
能力强化 / 初二 / 寒假
第 5 讲 分式的加减与化简求值
例题练习题答案
x+1 x x−1
例1
通分 ， ， 的结果为________．
3x 2x+6 x2 −9
y x
练1.1 通分： ， ．
4a(x+2) 6(x2 +4x+4)
3 2 2a 10
例2
计算：（1） + ； （2） − ．
a a a−5 a−5
a+3 a−2
练2.1
计算： − ．
a+2 a+2
例3
a 4
(1) 计算： − =________；
a+2 a2 +2a
x y
(2)化简 − 的结果为（ ）
x−y x+y
2xy
A：
x2 −y2
2xy
B： −
x2 −y2
x2 +y2
C：
x2 −y2
D： 1
练3.1
a 1
(1)计算： − ．
a2 −25b2 2a−10b
39/61
2x 2y
(2)计算: + =____________．
x−y y −x
例4 计算：
a2
（1） −a =__________；
a−b
m2
（2） −m−2 =____________；
m−2
1
（3）x+1 + =_____________．
1 −x
1
练4.1
（1）计算 −1的结果是__________．
x+1
a2
（2）计算 −a−1的结果为__________．
a−1
a
（3）化简：1 − =__________．
a+1
例5 计算：
3a a a2 −1
（1） − ⋅ ；
(b+1 a+1) a
x 2 y 2 2y2
（2） ⋅ − ÷ ．
(2y) 2x y2 x
练5.1 计算：
2 x2 −x
（1） 1 − ⋅ ；
( x−1) x2 −6x+9
5 m−3
（2） m+2 − ÷ ；
( m−2) 2m−4
例6
(x+2)(x2 −6x+9)
先化简，再求值： ，其中x = 3．
x2 −4
练6.1 a2 −9 a−3 a−a2
先化简分式 ÷ − ，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的
a2 +6a+9 a2 +3a a2 −1
a值，代入求值 ．
例7
a a2 −2ab+b2
如果 = 2，则 =__________．
b a2 −b2
x x2 +xy
练7.1
已知 = 3，则 的值为（ ）
y y2
A： 12
B： 9
40/61
C： 6
D： 3
能力强化 / 初二 / 寒假
第 5 讲 分式的加减与化简求值
自我巩固答案
1 下列各题中，所求的最简公分母，错误的是（ ）
1 a
A：
与
最简公分母是6x2
3x 6x2
1 1
B： 与 的最简公分母是(m+n)(m−n)
m+n m−n
1 1
C：
与
最简公分母是3a2b3c
3a2b3 3a2b3c
1 1
D： 与 的最简公分母是ab(x−y)(y −x)
a(x−y) b(y −x)
2 下列算式中，你认为正确的是（ ）
b a
A： − = −1
a−b b−a
b a
B： 1 ÷ × = 1
a b
1
C： 3a−1 =
3a
1 a2 −b2 1
D：
⋅ =
(a+b) 2 a−b a+b
1 1
3
计算 1 + ÷ 1 + 的结果为（ ）
( x−1) ( x2 −1)
A： 1
B： x+1
x+1
C：
x
1
D：
x−1
41/61
x−2 x+2
4 把分式 − 化简的正确结果为（ ）
x+2 x−2
−8x
A：
x2 −4
−8x
B：
x2 +4
8x
C：
x2 −4
2x2 +8
D：
x2 −4
a 4
5 化简 − 的结果是（ ）
a−2 a2 −2a
A： a+2
a
B：
a+2
C： a
a+2
D：
a
a2
6
计算：a+1 − ．
a−1
7 计算：
a+1 a 3a+1
（1） − ÷ ；
(a−1 a+1) a2 +a
4a−1 a2 −8a+16
（2） a−1 − ÷ ．
( a+1 ) a+1
a−4 7
8 先化简，再求值 ÷ a−3 − ，其中a = −1．
2a+6 ( a+3)
a−1 a+2 4
9 先化简，再求值： − ÷ −1 ，并选择一个合适的a的值代入
(a2 −4a+4 a2 −2a) (a )
求值．
m 5 m n n2
10
已知 = ，则 + − =（ ）
n 3 m+n m−n m2 −n2
23
A：
16
35
B：
13
42/61
25
C：
16
13
D： −
12
能力强化 / 初二 / 寒假
第 5 讲 分式的加减与化简求值
课堂落实答案
x+1 1
1 化简 − =__________．
x x
m2 n2
2
化简： − 的结果是（ ）
m−n m−n
A： m+n
B： m−n
C： n −m
D： −m−n
4
3 计算 +1的结果为（ ）
x−5
x+1
A：
x−5
x−1
B：
x−5
5
C：
x−5
4
D：
x−4
1
4 化简(a−1)÷ −1 ⋅a的结果是（ ）
(a )
A： −a2
B： 1
C： a2
43/61
D： −1
a 2 2a−5b
5 已知 = ，那么 =__________．
b 3 6a
能力强化 / 初二 / 寒假
第 5 讲 分式的加减与化简求值
精选精练
1 计算题：
a+2 a2 −4a+4
(1)
⋅ ；
a2 −2a a+2
x2 −4 x−2 x
(2)
− ÷ ；
(x2 −4x+4 x+2) x−2
2m−n m n
(3) + + ；
n −m m−n n −m
1 1
(4) 1 + ÷ 1 − ．
( x−1) ( x−1)
2 计算：
−a2b −6cd
（1） ；
3c ( 5ab2 )
x x2y
（2） ÷ ；
x2y −y x2 +x
3y 2xy
（3） + ；
2x+2y x2 +xy
2x 1
（4） − ．
x2 −64y2 x−8y
3 计算：
2
a2 c2 bc
（1） × ÷ ；
−b (−ab) a
16 −m2 m−4 m−2
（2） ÷ ⋅ ．
16 +8m+m2 2m+8 m+2
4
44/61
1 x
(1) 先化简，后求值： 1 + ÷ ，其中x = −4．
( x−1) x2 −1
x2 1 −2x
(2) 先化简，再求值： ÷ −x+1 ，其中x满足x(x+3) = 0．
x2 −1 ( x−1 )
1 1 a−2ab−b
5 已知 − = 4，则 的值等于（ ）
a b 2a−2b+7ab
A： 6
B： −6
2
C：
15
2
D： −
7
6
1 1 2x+3xy −2y
(1)已知 − = 3，求代数式 的值．
x y x−xy −y
1
(2) 已知x+ = 4．
x
1 1
①求x2 + 的值；②求x− 的值．
x2 x
能力强化 / 初二 / 寒假
第 6 讲 平行四边形初步
例题练习题答案
例1
(1)平行四边形的一边长为6，周长为28，则这边的邻边长为（ ）
A： 22
B： 16
C： 11
45/61
D： 8
(2)如图，在□ABCD中，AD = 8，AB = 12，AE平分∠BAD，交DC边于点E，则CE的
长为________．
(3)在□ABCD中，AB = 7cm，AD = 6cm，则AB边上的高与AD边上的高之比为
_______．
练1.1
(1)如图，将平行四边形OABC放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点C的坐标
是(1,3)，点A的坐标是(5,0)，则点B的坐标是_______．
(2)如图，在□ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，
AB = 6，EF = 2，则BC的长为（ ）
A： 8
B： 10
C： 12
D： 14
例2
46/61
(1)□ABCD中，∠A = 100∘ ，则∠B +∠D的度数是__________．
(2)□ABCD中，若∠C = ∠B +∠D，则∠A =______________．
(3)如图，在□ABCD中，∠C = 60∘ ，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．
①求∠EDF的度数；
②若AE = 4，CF = 7，求□ABCD的周长．
练2.1
(1)已知在□ABCD中，∠A +∠C = 140∘ ，则∠B的度数是（ ）
A： 110°
B： 120°
C： 140°
D： 160°
(2)如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AB于B，BE交对角线AC于点E，∠ACD = 15∘ ，求
∠BEC的度数．
例3
(1)平行四边形的一边长是10，一条对角线长是6，则它的另一条对角线a的取值范围为（ ）
A： 4 < a < 16
B： 14 < a < 26
C： 12 < a < 20
D： 8 < a < 32
47/61
(2)如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于O，过O作直线EF，与AD交于E，与BC交于F．求
证：AE = CF．
练3.1
(1)□ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长大8cm，
则AB =___________，BC =______________．
(2)如图，□ABCD中，AC、BD为对角线，BC = 3，BC边上的高为2，则阴影部分的面积
为（ ）
A： 3
B： 6
C： 12
D： 24
例4 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，且
AE = CF，BE = DF．求证：四边形ABCD是平行四边形．
练4.1 如图，在□ABCD中，E、F分别是AD，BC边上的点，且∠1 = ∠2，求证：四边形BEDF是平行四
边形．
48/61
例5 如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE = CF．求证：四边
形BFDE是平行四边形．
练5.1 如图，在□AECF中对角线相交于点O，BD经过点O，分别与AE，CF交于点B，D．连接AD，BC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
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第 6 讲 平行四边形初步
自我巩固答案
1 平行四边形ABCD的周长为34，两邻边之差为3，则两邻边长分别为（ ）
A： 10，7
B： 18.5，15.5
C： 11，6
D： 12，5
2 如图，□ABCD中，AD = 5，AB = 3，AE平分∠BAD且交BC于点E，则线段EC的长为
（ ）
49/61
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
3 平行四边形ABCD中，若∠A +∠C = 160∘ ，则∠D的度数是（ ）
A： 120°
B： 100°
C： 60°
D： 70°
4 如图，□ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，∠EAF = 45∘ ，则∠BAD的
度数为（ ）
A： 120°
B： 150°
C： 105°
D： 135°
5 如图，点O是□ABCD的对角线交点，AC = 38，BD = 24，AD = 14，那么△OBC的周长等
于（ ）
50/61
A： 40
B： 44
C： 45
D： 50
6 如图，已知□ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F．则下列结论中正确个数
有（ ）
①AB = CD；②∠B = ∠D；③CD = FA；④∠F = ∠BCF．
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
7 下面四个说法中：
①一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形；
②对角线相等的四边形是平行四边形；
③一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；
④一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形．
其中正确的个数是（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
8 在平面直角坐标系中，点O、B、D的坐标分别是(0,0)、(5,0)、(2,3)，若存在点C，使得以点
O、B、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则下列给出的C点坐标中，错误的是（ ）
51/61
A： (3,−3)
B： (−3,3)
C： (3,5)
D： (7,3)
9 如图，在四边形ABCD中，∠B = ∠D，AD∥BC，AD = 3，CD = 5，则四边形ABCD的周长
是（ ）
A： 12
B： 14
C： 16
D： 18
10 如图，O是平行四边形ABCD对角线的交点，过点O的直线EF分别交AD，BC于F，E两点．求证：
四边形AECF是平行四边形．
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第 6 讲 平行四边形初步
课堂落实答案
1 如图，□ABCD中，AB = 10，AD = 7，AE平分∠DAB交BC的延长线于点F，则CF的值为
（ ）
52/61
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
2 在□ABCD中，若∠A的补角与∠B互余，则∠D的度数为（ ）
A： 45∘
B： 60∘
C： 90∘
D： 135∘
3 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD的长度分别为10和6，则AB长度的最大整数值是
（ ）
A： 8
B： 5
C： 6
D： 7
4 下面给出四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四
边形的是（ ）
A： 3：4：4：3
B： 2：2：3：3
53/61
C： 4：3：2：1
D： 4：3：4：3
5 如图，△ABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，过D作DF∥BE交AC于O，EF∥AB．请猜想：DF
与AE之间的关系．
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第 6 讲 平行四边形初步
精选精练
1 如图，A，B，C，D为一个平行四边形的四个顶点，则点D的坐标不可能为（ ）
A： (3,0)
B： (5,4)
C： (−1,2)
D： (6,4)
2 如图，已知☐ABCD的顶点A是直线l上一定点，过点B作BM⊥l于点M，过点D作DN⊥l于点N，
AM = 1，MN = 3，则对角线AC长的最小值为______．
3 如图，在▱ABCD中，AD = 6，AD与BC的距离为4，则阴影部分的面积为________．
54/61
4 如图，已知：平行四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线交于点E，且点E刚好落在AD上，分别
延长BE、CD交于F．
（1）AB与AD之间有什么数量关系？并证明你的猜想；
（2）CE与BF之间有什么位置关系？并证明你的猜想．
5 如图所示，在☐ABCD中，点E，F在它的内部，且AE = CF，BE = DF，试指出AC与EF的
关系，并说明理由．
6 如图，□ABCD中，M，N分别在DA，DC的延长线上，且MN∥AC．
求证：MQ = NP．
能力强化 / 初二 / 寒假
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第 7 讲 阶段自检
期末试卷答案
1 下列图案是中心对称图形的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
2 x ≤ 4的非负整数解有（ ）
A： 4个
B： 5个
C： 6个
D： 无数个
3 若m > n，则下列不等式正确的是（ ）
A： m−2 < n −2
m n
B： >
4 4
C： 6m < 6n
D： −8m > −8n
4 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A： a(x+y) = ax+ay
B： x2 −2x+1 = x(x−2)+1
C： 6ab = 2a⋅3b
D： x2 −8x+16 = (x−4) 2
56/61
5 当x为任意有理数时，下列分式一定有意义的是（ ）
x+1
A：
|x|
x+1
B：
x2
x+1
C：
x2 −1
x+1
D：
x2 +1
6 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE = 65∘ ，∠E = 70∘ ，
且AD⊥BC，则∠BAC的度数为（ ）
A： 60∘
B： 85∘
C： 75∘
D： 90∘
7 如上图,将△ABC沿BC方向平移2 cm得到△DEF,若△ABC的周长为16 cm,则四边形
ABFD的周长为（ ）
A： 16 cm
B： 18 cm
C： 20 cm
D： 22 cm
8 如图，在平行四边形ABCD中，∠ADC的角平分线DE交边AB于点E，连接CE，若∠ADE
= 25∘ ，∠BCE = 15∘ ，则∠BEC的度数为（ ）
57/61
A： 115∘
B： 120∘
C： 125∘
D： 130∘
9 下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A： ∠A = ∠C，∠B = ∠D
B： AB∥CD，AB=CD
C： AB = CD，AD∥C
D： AB∥CD，AD∥BC
a2
10
化简 − (a+ 1)的结果是（ ）
a− 1
1
A：
a− 1
1
B： −
a− 1
2a− 1
C：
a− 1
2a− 1
D： −
a− 1
11 将x3 −xy2 分解因式的结果为_________________________．
x2 +xy
12
分式 的约分结果为____________．
x2 −y2
13 如图，将△ ABC绕着点C按逆时针方向旋转30∘ 后得到△ DEC，若AB⊥CE，则∠ABC的
度数是______________．
58/61
14 不等式5x−3 < 3x+5的最大整数解是________．
15 将一次函数y = −2x+6的图象向左平移2个单位长度，所得图象的函数表达式为_____．
16 已知直线l : y = 2x−4分别与x轴、y轴相交于A、B两点，直线l 绕点B顺时针旋转90∘ 得到
1 1
直线l ，则直线l 的解析式为 ．
2 2
17 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O，EF过点O与AD，BC分别交于E，F，若
AB = 4，BC = 5，OE = 1.5，则四边形EFCD的周长____．
18 如图，把一块等腰直角三角板△ABC，∠C = 90∘ ，BC = 5，AC = 5．现将△ABC沿CB方向
平移到△A′B′C′ 的位置，若平移距离为x(0 ≤ x ≤ 5)，△ABC与△A′B′C′ 的重叠部分的面积
y，则y =_____（用含x的代数式表示y）．
19 因式分解：
（1）abc+c2 −ac
（2）x2 −4x+4
（3）x2y −2xy +y
（4）a(a−b) 2 −b(a−b) 2
20 解下列一元一次不等式：
（1）3x−1 < 2x+5
x+1 x
（2） ≤ +1
4 3
59/61
x2 −1
21
如果分式 的值为0，求x的值是多少？
2x+2
22 已知a−b = 1且ab = 2，求代数式a3b−2a2b2 +ab3 的值．
23 如图，□ABCD中，M，N分别在DA，DC的延长线上，且MN∥AC．
求证：MQ = NP．
24 在□ABCD中，∠DAB与∠DCB的角平分线AE，CF分别与对角线BD交于点E与点F，连接
AF，CE．求证：四边形AECF是平行四边形．
25 我区某校为了更好地开展学生课外体育运动，学校决定用1600元购进排球8个，篮球14个，已知
每个篮球的售价比排球的售价多20元．
①每个排球、篮球的售价分别为多少元；
②若学校打算再次购进两种球共30个，且购买的30个球中排球的总金额不低于篮球的总金额，若
排球、篮球的进价分别为50元、65元，则在第二次购买活动中，商家最多能获利多少？
26 如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD = ∠BCE = 90∘ ，AE交DC于F，BD分别
交CE、AE于点G、H，试猜测线段AE与BD的数量关系和位置关系，并说明理由．
27 阅读材料1：
对于两个正实数a、b，由于(√ −− a −√b) 2 ≥ 0，所以(√ −− a) 2 −2√ −− a√b+(√b) 2 ≥ 0，
−− −− −−
则a−2√ab +b ≥ 0，所以得到a+b ≥ 2√ab，并且当a = b时，a+b = 2√ab；
60/61
阅读材料2：
x2 +1 x2 1 1 1
若x > 0，则 = + = x+ ，因为x > 0， > 0，所以由阅读材料1可得：
x x x x x
−−−−
1 1
x+ ≥ 2 x⋅ = 2，
x √ x
x2 +1 1
即 的最小值是2，只有x = 时，即x = 1时取得最小值．
x x
根据以上阅读材料，请回答以下问题：
（1）比较大小：x2 +1___2x（其中x ≥ 1）；
1
x+ ___−2（其中x < −1）
x
x2 +3x+3 1
（2）已知代数式 变形为x+n + ，则常数n的值是____；
x+1 x+1
−−
x+3 +3√x
（3）当x =___时， −− 有最小值，最小值为____．（直接写出答案）
√x +1
61/61
