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能力强化 / 初一 / 秋季
第 1 讲 有理数
例题练习题答案
例1
(1)一种巧克力的质量标识为“100±0.5克”，则下列质量合格的是（ ）
A： 95克
B： 99.8克
C： 100.6克
D： 101克
(2)下列说法中，正确的是（ ）
A： 0是最小的整数
B： 1是最小的正整数
C： 1是最小的整数
D： 一个有理数不是正数就是负数
(3)把下列各数填在相应的横线上：
⋅
1 1 1
−16，0.04，+ ，−0.45，π ，0，−1 ，88， ，−50，0.15．
2 8 7
自然数：________________________________________；
正整数：________________________________________；
有理数：________________________________________；
非正数：________________________________________；
非负整数：______________________________________．
例2
1/121-
(1)大于−2.5而小于3.5的整数共有_____个．
(2)数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的数是整数时，我们称它是整点，如果一条数轴
的单位长度是1cm，有一支长2013cm的毛毛虫队伍在数轴上沿数轴爬动，则这支队伍爬动过
程中，它所盖住的整点有多少个？
练2.1
(1)小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据下图，判定墨迹盖住部分的整数的和是______．
(2)在单位长度是1厘米的数轴上随意画出一条长为1000厘米的线段AB，求线段AB盖住的整点的
个数．
例3 下列说法正确的是（ ）
A： 和为0，商为−1的两个数必互为相反数
B： 互为相反数的两个数和为0，商为−1
C： 若a表示有理数，则−a表示负数
D： 符号不同的两个数互为相反数
练3.1
(1) 2 11
[ ( )] ( )
在−(−2)，−(−7)，−(+1)，− − − ，− + 中，负数有（ ）
3 5
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
(2)实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把−a，b，0按照从小到大的顺序排列，正确的
是（ ）
2/121-
A： −a < b < 0
B： 0 < −a < b
C： b < 0 < −a
D： 0 < b < −a
例4 有理数a，b在数轴上的位置如图，则下面的关系式中正确的有（ ）
1 1 a
①a−b > 0；②a+b > 0；③ab > 0；④|a|−|b| > 0；⑤ > ；⑥− > 0．
a b b
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
练4.1 有理数a，b在数轴上位置如图，下列结论正确的有______________（填序号）．
a 1 1
2
①a+b > 0；②a+b < 0；③a b > 0；④ < 0；⑤ < ．
a−b a b
例5 若|a−4| = 4−a，则a的取值范围是_________．
例6
(1)若|x−3|+|y+2| = 0，则3xy = _________．
(2)若|m+1|和|n−2|互为相反数，求3m+n的值．
例7 |a| |b|
若ab ≠ 0，则 − = （ ）
a b
A： 0
B： −2
3/121-
C： 2或−2
D： 2或−2或0
练7.1 |a| |b|
若ab ≠ 0，则 − = ____________．
2a 2b
能力强化 / 初一 / 秋季
第 1 讲 有理数
自我巩固答案
1 7
在−2.5，+ ，−3，2，0，4，5，−1中，负分数有（ ）
10
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 0个
2 2 1 1
下列各数：3，−7，− ，5.6，0，−8 ，15， ，非正数有（ ）
3 4 9
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
3 如图，a，b两个数在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（ ）
A： a+b < 0
4/121-
B： ab < 0
C： b−a < 0
D： a
> 0
b
4 在数轴上，表示−2015和2015的两个点之间有（ ）个整数．（含−2015和2015）
A： 4028
B： 4029
C： 4030
D： 4031
5 下列说法中正确的是（ ）
A： 正数和负数互为相反数
B： 数轴上，原点两旁的两个点所表示的数互为相反数
C： 除0以外的数都有相反数
D： 任何一个数都有相反数
6 下列说法错误的是（ ）
A： 一个正数的绝对值一定是正数
B： 一个负数的绝对值一定是正数
C： 任何数的绝对值都不是负数
D： 任何数的绝对值一定是正数
7 若−(+a) = +(−2)，则a的值是（ ）
A： 1
2
B： 1
−
2
5/121-
C： 2
D： −2
8 a是有理数，它在数轴上的对应点的位置如图所示，把a，−a，0，1按照从小到大的顺序排列，正
确的是（ ）
A： 0 < −a < a < 1
B： −a < 0 < a < 1
C： a < 0 < 1 < −a
D： −a < 0 < 1 < a
9 已知|a|+|b| = |a+b|，则a，b的关系是（ ）
A： a，b的绝对值相等
B： a，b异号
C： a+b的和是非负数
D： a，b同号或其中至少一个为零
10 已知|a−2|+|b−3|+|c−4| = 0，则a+2b+3c的值为（ ）
A： 12
B： 16
C： 18
D： 20
能力强化 / 初一 / 秋季
第 1 讲 有理数
课堂落实答案
6/121-
1 下列说法中，正确的是（ ）
A： 有理数就是正数和负数的统称
B： 零不是自然数，但是正数
C： 一个有理数不是整数就是分数
D： 正分数、零、负分数统称分数
2 有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（ ）
①b < 0 < a；②|b| < |a|；③ab > 0；④a−b > a+b．
A： ①②
B： ①④
C： ②③
D： ③④
3 下列叙述中正确的有（ ）
①表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等；②互为相反数的两个数和为0；③互为相反数
的两个数积为1；④任何数都不等于它的相反数．
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
4 绝对值小于2020的整数有_______个．
5 若|x−3|与|y+7|互为相反数，求3x+y的值．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 1 讲 有理数
7/121-
精选精练
1 在数轴上，坐标是整数的点称为“整点”．设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出
一条长2020厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点至少有________个，至多有_________个．
2 如图，点A，B，C，D四个点在数轴上表示的数分别为a，b，c，d，则下列结论中，错误的是
（ ）
A： a+b < 0
B： c−b > 0
C： ac > 0
D： b
< 0
d
3 下列说法正确的是（ ）
A： 一个数的绝对值一定比0大
B： 一个数的相反数一定比它本身小
C： 绝对值等于它本身的数一定是正数
D： 最小的正整数是1
4 已知a，b为有理数，且a < 0，b > 0，|b| <|a|，则a，b，−a，−b的大小关系是（ ）
A： −b < a < b < −a
B： −b < b < −a < a
C： a < −b < b < −a
D： −a < b < −b < a
5 若|a+2|+|b+3|+|c−4| = 0，求2a−3b−5c的值．
6 a b c
若abc ≠ 0，则 + + 的所有可能值是____________________________．
|a| |b| |c|
8/121-
能力强化 / 初一 / 秋季
第 2 讲 有理数运算
例题练习题答案
例1 计算：
11 1
( ) ( )
（1）0.75+ − +0.125+ −4 ；
4 8
1 1 1 1 2
{ [ ]}
（2）2 −(+2 )− −2 + 5−(2 +3 ) ．
3 2 4 2 3
练1.1 已知蜗牛从A点出发，在一条数轴上来回爬行，规定：向正半轴运动记作“+”，向负半轴运动记
作“−”，从开始到结束爬行的各段路程（单位：cm）依次为：+7，−5，−10，−8，+9，−6，
+12，+4．
（1）若A点在数轴上表示的数为−3，则蜗牛停在数轴上何处，请通过计算加以说明；
1
（2）若蜗牛的爬行速度为每秒 cm，请问蜗牛一共爬行了多少秒？
2
例2 计算：
5 3
( ) ( )
（1）3× − ÷ −1 ；
6 4
5
（2） ×13÷5×(−8)．
8
例3
(1)下列各式中，不相等的是（ ）
A： 2 2
(−3) 与−3
B： 3 3
(−2) 与−2
C： 2 2
(−3) 与3
9/121-
D： 3 | 3 |
|−2| 与 −2
(2) 2 2 2 3 | 3 | 2 | 2 |
当a < 0时，下列结论：①a > 0；②a = (−a) ；③−a = a ；④−a = −a ；⑤|a|+a = 0
．其中一定正确的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
练3.1 对于任意有理数a，下列各式一定成立的是（ ）
A： 2 2
a = (−a)
B： 3 3
a = (−a)
C： 2 2
−a = |a|
D： 3 3
|a| = a
例4 计算：
2 1
( ) ( )2
( )
5 4
（1）(−2) ÷ −16× − − × −3 ；
5 3
13 1 2
( )2
| |
3 3 3
（2） 3 −(−3) ×2 − ÷ ×2 ；
27 2 3
1
[ ]
4 2
（3）−1 − × 2−(−3) ；
6
6 3
（4）−1 +16÷(−2) ×|−3−1|．
例5 计算：
1 3 1
( )
（1）48× − + − ；
6 4 12
6 6 6
( ) ( ) ( )
（2）4× −3 −3× −3 +6× −3 ．
7 7 7
10/121-
例6 1 1 1 1 1 1 1 1
观察式子的变形规律： = 1− ； = − ； = − ；⋯
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
解答下列问题：
(1) 1
若n为正整数，请你猜测 = _____．
n(n+1)
(2) 1 1 1 1
计算： + + +⋯+ ．
1×2 2×3 3×4 2019×2020
例7 2 1 2 1 1 2 1 1
已知： = 1− ， = − ， = − ．
1×3 3 3×5 3 5 5×7 5 7
(1) 2
照上面算式，你能猜出 = _____；
2005×2007
(2)利用上面的规律计算：
1 1 1 1 1
+ + + +⋯+ ．
1×4 4×7 7×10 10×13 301×304
能力强化 / 初一 / 秋季
第 2 讲 有理数运算
自我巩固答案
1 1 1
| | | |
计算： −1 −(−2.5)+1− 1−2 = （ ）
2 2
A： 1
2
2
B： 3
11/121-
C： 3.5
D： 2
2 为了有效控制酒后驾驶，石家庄市某交警驾驶的汽车在一条南北方向的大街上巡逻，规定向北为
正，向南为负，已知从出发点开始所行驶的路程（单位：千米）为：+3，−2，+1，+2，−3，−1
，+2．
（1）若此时遇到紧急情况要求这辆汽车回到出发点，请问司机该如何行驶？
（2）当该辆汽车回到出发点时，一共行驶了多少千米？
3 计算：
3 5 2
( ) ( ) ( )
（1）0.6× − × − × −2 ；
4 6 3
2 8 1
( ) ( )
（2） − ÷ − ÷(−0.25)÷ ．
3 5 6
4 下列计算正确的是（ ）
A： 2 4
( )2
=
5 5
B： 1 8
( )2
2015
(−1) − =
3 9
C： 3 3 9
( )2 ( )2
− − =
4 4 8
D： 6 6 7
2 +2 = 2
5 1 2
( )3
2 2 5
计算：−1 ×(−3) + − ×(−2) ÷ = （ ）
2 9
A： −4
B： 4
C： −9
12/121-
D： 9
6 3 4
( )
| |
2018 2
计算：(−1) + 3−(−2) + − ×12．
4 3
7 11 7 3 13
( )
计算： − + − ×(−48)．
12 6 4 24
8 15 15 15
( ) ( ) ( )
计算：−8× − +12× − −4× − ．
29 29 29
9 1 1 1 1 1 99
( ) [ ( )]
计算： + + + +⋯⋯+ ÷ − − = （ ）
1×2 2×3 3×4 4×5 99×100 100
A： 100
99
B： 99
100
C： −1
D： 1
10 1 1 1 1
计算： + + +⋯+ ．
1×4 4×7 7×10 58×61
能力强化 / 初一 / 秋季
第 2 讲 有理数运算
课堂落实答案
1 计算：
13/121-
1 10
( )
（1）(−1.75)− +6 −2.25+ ；
3 3
5 7 5 3
( ) ( )
（2） − − ÷4 − − ．
8 12 6 4
2 下列各组数中，数值相等的是（ ）
A： 2 2
−1 与(−1)
B： 3
2 2
( )3
与
3 3
C： 9 9
−(−2) 与−2
D： 5 5
(−3) 与−3
3 1
( )3
2018
计算：(−1) ÷2+ − ×16−|−2|．
2
4 1 3 1 2 1 1
( ) ( )
计算： − + ×24+36× + − = （ ）
2 4 8 3 4 12
A： 24
B： 27
C： 28
D： 32
5 1 1 1 1 1
计算 + + + +⋯⋯+ = （ ）
1×2 2×3 3×4 4×5 99×100
A： 1
B： −1
14/121-
C： 99
100
D： 98
−
99
能力强化 / 初一 / 秋季
第 2 讲 有理数运算
精选精练
1 计算：
（1）(−61)−(−71)−|−8|；
（2）3−[(−3)−(+12)]．
2 检修组乘汽车，沿公路检修线路，约定向东为正，向西为负，某天自A地出发，到收工时，行走记
录为（单位：千米）：
+8，−9，+4，+7，−2，−10，+18，−3，+7，+5，−4．
回答下列问题：
（1）收工时在A地的哪边？距A地多少千米？
（2）若每千米耗油0.3升，问从A地出发到收工时，共耗油多少升？
3 如图是某种细胞分裂示意图，这种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．根据此规律可得：
(1)这样的一个细胞经过第四个30分钟后可分裂成__________个细胞；
(2)这样的一个细胞经过3小时后可分裂成__________个细胞；
(3)这样的一个细胞经过n(n为正整数)小时后可分裂成__________个细胞．
4 [ 2 3 ] | 1 |
( )2 ( )2
3 2015 2016 3
计算： (−1) + +1 ×(−1) −2 × − ÷ −4÷2× − ．
9 2 2
15/121-
5 1 1 1 1 1 1 1 1
观察下列等式： = 1− ， = − ， = − ．
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
可得： + + = 1− + − + − = 1− = ．
1×2 2×3 3×4 2 2 3 3 4 4 4
1
（1）猜想并写出： = ________．
100×101
1 1 1 1
（2）利用上述猜想计算： + + +⋯+ ．
1×2 2×3 3×4 100×101
1 1 1 1
（3）探究并计算： + + +⋯+ ．
2×4 4×6 6×8 2018×2020
6 5 7 9 11 13 15 17 19
计算：1− + − + − + − + ．
6 12 20 30 42 56 72 90
能力强化 / 初一 / 秋季
第 3 讲 数轴与绝对值
例题练习题答案
例1 数轴上有A、B两点，点A表示的数是2，点B与点A之间的距离为4，则点B表示的数是________.
练1.1
(1)在数轴上A点表示3，B点表示−2，那么A，B两点之间的距离是_____．
(2)在数轴上与−3距离等于4个单位长度的点表示的数是_____．
例2
(1)如图，数轴上线段AB的中点表示的数是_____．
(2)一条数轴由点A处对折，表示−50的点恰好与表示5的点重合，则点A表示的数是_____．
16/121-
练2.1
(1)若数轴上点A表示6，点B表示−2，则AB中点表示的数是（ ）
A： 2
B： −3
C： 3
D： −2
(2)在纸上画一个数轴，将纸对折后，若表示4的点与表示−3的点恰好重合，则此时数轴上折痕经
过的点所表示的数是______．
(3)数轴上，表示数2，−6的点分别为点B，A，已知点B是A，C的中点，则点C对应的数是
______．
例3 已知在纸面上有一数轴，折叠纸面：
（1）若表示3的点与表示−3的点重合，则表示−4的点与表示______的点重合；
（2）若表示−1的点与表示5的点重合，则表示6的点与表示______的点重合；
（3）在（1）的条件下，若重合的两点之间的距离为2016，则这两点表示的数分别为________，
________．
练3.1 若数轴经过折叠，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−2016的点与表示_____的点重合．
例4 若a > 5，则−|5−a| = ________．
练4.1 若1 < a < 3，则代数式|1−a|+|a−4| = （ ）
A： 5
B： −3
C： 3
D： 2a−5
例5 有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|a−b|−2|a+b|的结果为（ ）
17/121-
A： a+3b
B： −3a−b
C： 3a+b
D： −a−3b
练5.1 有理数m，n在数轴上的位置如图所示，则化简|m−n| + |m+n|的结果为（ ）
A： 2n
B： −2n
C： 2m
D： −2m
例6 求|x−2| + |x−7|的最小值．
练6.1 已知n = |x+5|+|x−2|，则n的最小值为（ ）
A： 7
B： 3
C： 5
D： 8
能力强化 / 初一 / 秋季
第 3 讲 数轴与绝对值
自我巩固答案
1 如果数轴上表示数a和−5的两点之间的距离是2，那么a的值为（ ）
A： −3或7
B： −7或−3
18/121-
C： 3
D： −7或3
2 在数轴上距离原点2个单位长度的点所表示的数是（ ）
A： 2
B： −2
C： 2或−2
D： 1或−1
3 若数轴上点A表示8，点B表示−2，则AB中点表示的数是（ ）
A： 2
B： −3
C： 3
D： −2
4 操作探究：
已知在纸面上有一数轴（如图所示）．
(1) 操作一：
折叠纸面，使表示2的点与表示−2的点重合，则表示3的点与表示_____的点重合．
(2) 操作二：
折叠纸面，使表示−3的点与表示1的点重合，回答以下问题：
①表示3的点与表示_____的点重合；
②若数轴上A，B两点之间距离为7（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后重合，则A，B
两点表示的数分别是：A：_____；B：_____．
5 当1 < x < 2时，代数式|1−x|+|x−2|的值是（ ）
A： 1
B： −1
19/121-
C： 3
D： −3
6 有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|a+b|+|a−b|的结果为________．
7 有理数a，b，c在数轴上位置如图，则|c−a|−|a−b|−|b+c|的值为________．
8 已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列代数式的值最大的是（ ）
A： a+b
B： a−b
C： |a+b|
D： |a−b|
9 已知n = |x−6|+|x−3|，则n的最小值为（ ）
A： 3
B： −3
C： −6
D： 6
10 求下列式子的最小值，并说明取得最小值时x的取值范围：
（1）|x−2|+|x−1|； （2）|−x−5|+|−x+3|．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 3 讲 数轴与绝对值
课堂落实答案
20/121-
1 在数轴上与−3的距离等于5的点表示的数是（ ）
A： 2
B： −8
C： 2或−8
D： 无法确定
2 若数轴上点A表示5，点B表示−7，则AB中点表示的数是（ ）
A： −2
B： 1
C： −1
D： −6
3 若数轴经过折叠，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−2020的点与表示_____的点重合．
4 实数a、b、c在数轴上位置如图，化简|a|+|b−c|的结果为______．
5 已知n = |x+1|+|x−2|，则n的最小值为（ ）
A： 7
B： 3
C： 5
D： 8
能力强化 / 初一 / 秋季
第 3 讲 数轴与绝对值
精选精练
21/121-
1 如图，M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且
MN = NP = PR = 1．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若|a|+|b| = 3，则原
点是（ ）
A： M或N
B： M或R
C： N或P
D： P或R
2 如图，在数轴上有三个点A，B，C，完成下列问题：
(1)将点B向右移动四个单位长度到点D，在数轴上表示出点D．
(2)在数轴上找到点E，使点E为CA的中点（E到A，C两点的距离相等），求出BE的长．
(3)若O为原点，取OC的中点M，将OC分为两段，记为第一次操作，取这两段OM、CM的中
点分别为N 、N ，将OC分为4段，记为第二次操作，再取这四段的中点将OC分为8段，记
1 2
为第三次操作，第五次操作后，OC之间共有多少个点（包含端点）？求出这些点所表示的数
的和．
3 2
已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且|a+2|+(b−1) = 0，A，B之间的距离记作
|AB|，定义：|AB| = |a−b|．
①线段AB的长|AB| = 3；
②设点P在数轴上对应的数为x，当|PA|−|PB| = 2时，x = 0.5；
③若点P在A的左侧，M，N分别是PA，PB的中点，当P在A的左侧移动时|PM|+|PN|的值不变；
④在③的条件下，|PN|−|PM|的值不变．
以上①②③④结论中正确的是_________（填上所有正确结论的序号）．
4 阅读下面材料：点A，B在数轴上分别表示实数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|．当A，B
两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB| = |OB| = |b| = |a−b|．
（1）当A，B两点都不在原点时，
22/121-
①如图2，点A，B都在原点的右边，|AB| = |OB|−|OA| = |b|−|a| = b−a = |a−b|；
②如图3，点A，B都在原点的左边，|AB| = |OB|−|OA| = |b|−|a| = −b+a = |a−b|；
③如图4，点A，B在原点的两边，|AB| = |OB|+|OA| = |b|+|a| = −b+a = |a−b|；
综上，数轴上A，B两点之间的距离|AB| = |a−b|．
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示−2和−5的两点之间的距离是______，数
轴上表示1和−3的两点之间的距离是_____；
②数轴上表示x和−1的两点A和B之间的距离是_____________，如果|AB| = 2，那么x为
________________；
③当代数式|x+1|+|x−2|取最小值时，相应的x的取值范围是_______________________．
5 同学们都知道，|5−(−2)|表示5与−2之差的绝对值，实际上也可理解为5与−2两数在数轴上所对应
的两点之间的距离．
（1）求|5−(−2)| = _______．
（2）找出所有符合条件的整数，使得|x+5|+|x−2| = 7成立．
（3）找出符合条件的x，使得|x+5|+|x−2|+|x−4|的和最小．
6 计算下列式子的最值，并说明取得最值时x的取值范围：
（1）2|x+3|+|x−1| （2）|4x+2|+|4x−1|
能力强化 / 初一 / 秋季
第 4 讲 整式
例题练习题答案
例1 下列说法正确的是( )
23/121-
A： 3
单项式− xy的系数是−3
4
B： 3
单项式2πa 的次数是4
C： 2 2 2
多项式x y −2x +3是四次三项式
D： 2 2
多项式x −2x+6的项分别是x ，2x，6
练1.1 −3+x x−y 6m+3
代数式√x+2， ， ，t， ，m 3 +2m 2 −m中，多项式有( )
a 2 π
A： 4个
B： 3个
C： 2个
D： 1个
例2 1
2 4 2 m+2
已知单项式6x y 与− y z 的次数相同，求−6m+2的值．
3
练2.1 若代数式(a+2)x |a−1| y 2 −3xy 3 是关于x，y的五次二项式，则a的值为( )
A： −2
B： −2或4
C： 4
D： 不确定
例3 对2x 3 y 2 −3x 2 y 3 −5x 4 y+6xy 4 −5按x进行升幂排列．
练3.1 对2x 3 y 2 −3x 2 y 3 −5x 4 y+6xy 4 −5按y进行降幂排列．
例4 a+1 3 3 b−1 a
如果单项式x y 与2x y 是同类项，那么-b =___．
24/121-
练4.1 5 7
2 n+1 m 4
若单项式 ax y 与− ax y 的差仍是单项式，则m−n = （ ）
7 5
A： 5
B： −1
C： 1
D： 4
例5 去括号：
(1)a+(a−5b)
(2)x+[−x−2(x−2)]
练5.1 去括号：
(1)5m+2(m−2n)
(2) 2 [ 2 ]
4x − x−(x−1)+x
例6 3 2 2 2
如果多项式x −6x −7与多项式3x +mx −5x+3的和不含x的二次项，则常数m = _____．
练6.1
(1) 2 ( 2 )
若多项式2x +3x+2 x −2mx+1 不含x的一次项，则m = _____；
(2) 已知A = 2x 2 +3xy−2x−1，B = x 2 +xy−1，且3A−6B的值与x的取值无关，则常数y =
_____．
例7 互联网技术的广泛应用促进了快递行业的高速发展．小明打算给朋友快递一些重要物品，经了解
甲快递公司比较合适．甲快递公司规定：如果快递物品的重量不超过1千克，按每千克22元收费；
如果超过1千克，超过的部分按每千克15元收费．设小明快递物品的重量为x(x > 1)千克．
（1）用含有x的代数式表示小明应付的快递费；
（2）如果小明快递物品的重量为3千克，那么他应付快递费多少元？
25/121-
练7.1 制作一种如图所示的无盖长方体铁盒，已知底面是边长为x的正方形，铁盒的高度为y．
(1)铁盒的体积可表示为________，铁盒的表面积可表示为________；
(2)若铁盒的高度为10，即________ = 10（填“x”或“y”），则此时铁盒的体积可表示为
________，铁盒的表面积可表示为________．
例8 如图，点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两
点的距离是15个单位长度，已知点B的速度是点A的速度的4倍（速度单位：单位长度/秒）．
(1)求出点A，点B的速度，并在数轴上标出A，B两点从原点出发运动3秒时的位置；
(2)若A，B两点从（1）中的位置开始，仍以原来的速度同时沿数轴向左运动，几秒时，原点恰
好处在点A、点B的正中间？
练8.1 如图，动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动5秒后，
两点相距20个单位长度．已知动点A，B的速度比是1:3（速度单位：1个单位长度/秒）．
(1)求两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动5秒时的位置；
(2)若A、B两点分别从（1）中标出的位置同时向数轴的负方向运动，问经过几秒原点恰好处在
两个动点的正中间？
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第 4 讲 整式
自我巩固答案
26/121-
1 1
a+1 3
已知单项式 x y 的次数是5，那么a的值是（ ）
2
A： −1
B： 4
C： −4
D： 1
2 1
|m|
若多项式− x +(m−2)x+1是关于x的二次三项式，则m的值是（ ）
5
A： 2或−2
B： 2
C： −2
D： −4
3 5 3 m+5 n+3 n
若−3x y 和2y x 是同类项，则m 的值为（ ）
A： 2
B： −4
C： 4
D： −2
4 下列去括号正确的是（ ）
A： −(2x+5) = −2x+5
B： 1
− (4x−2) = −2x+2
2
C： 1 2
(2m−3n) = m+n
3 3
27/121-
D： 2 2
( )
− m−2x = − m+2x
3 3
5 化简：
( )
2
（1）(5a−3b)−3 a −2b ；
1
[ ( ) ]
2 2
（2）3a − 5a− a−3 +2a +4．
2
6 1
多项式x 2 −3kxy−3y 2 + xy−8合并同类项后不含xy项，则k的值是（ ）
3
A： 1
3
B： 1
6
C： 1
9
D： 0
7 3 5 2 2 3 7
把多项式−2a b−6a b +3a b −2 按a的次数降幂排列．
8 已知多项式3x 2 +my−8与多项式−nx 2 +2y+7的差中，不含有x的二次项和y的一次项，求n m +mn
的值．
9 某校的初一学生在5名教师的带领下去公园秋游，公园的门票为每人30元．现有甲、乙两种优惠方
案，甲方案：带队教师免费，学生按8折收费；乙方案：师生都按7.5折收费．
(1)若有m名初一学生，甲、乙两种优惠方案分别应付门票费多少元？
(2)若有50名初一学生，采用哪种方案更优惠？
(3)若有100名初一学生，采用哪种方案更优惠？
28/121-
10 如图，已知数轴上有A，B两点（点A在点B的左侧），且两点距离为8个单位长度，动点P从点A出
发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t(t > 0)秒．
(1)图中如果点A，B表示的数是互为相反数，那么点A表示的数是 ；
(2)当t = 3秒时，点A与点P之间的距离是 个长度单位；
(3)当点A表示的数是−3时，用含t的代数式表示点P表示的数；
(4)若点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，请直接写出t的值．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 4 讲 整式
课堂落实答案
1 1
|n|
多项式 x −(n+2)x+7是关于x的二次三项式，则n的值是（ ）
2
A： 2
B： −2
C： 2或−2
D： 3
2 ( 2 2 ) ( 2 2 )
计算： 2mn−m +n + m −n +mn ．
3 2 2
已知关于x的多项式3x +ax+bx −8x−5的值与x的取值无关，求a−2b的值．
4 某住宅的平面结构示意图如图所示，图中标注了有关尺寸（墙体厚度忽略不计，单位：米）．该
住宅的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，如果他选用地砖的价格是a元/平方米，则买砖至少
需用________元（用含a、x、y的代数式表示）．
29/121-
5 已知数轴上两点A、B对应的数分别为−3，5，点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向右运动，
多少秒后点P到点A、点B的距离相等？
能力强化 / 初一 / 秋季
第 4 讲 整式
精选精练
1 |m+1|
多项式x −(m−2)x+6是关于x的三次二项式，则m的值是_________．
2 下列各式由等号左边到右边变形错误的有（ ）
①a−(b−c) = a−b−c；
( ) ( )
2 2 2 2
② x +y −2 x−y = x +y−2x+y ；
③−(a+b)−(−x+y) = −a+b+x−y；
④−3(x−y)+(a−b) = −3x−3y+a−b．
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
3 计算：
30/121-
( ) [ ( )]
2 2 2 2
（1）x − 3xy−4y − xy− x +5y ；
[ ( )]
2 2 2
（2）7x − −2x −3 −6x+8x −4 ．
4 2 2
已知A = x +ax，B = 2bx −4x−1，且多项式2A+B的值与字母x的取值无关，求a，b的值．
5 某市区自今年1月起，居民生活用水开始实行阶梯式计量水价，该阶梯式计量水价分为三级（如下
表所示）：
月用水量（吨） 水价（元/吨）
第一级 20吨以下（含20吨） 1.6
第二级 20吨~30吨（含30吨） 2.4
第三级 30吨以上 3.2
例：某用户的月用水量为32吨，按三级计量应缴的水费为：1.6×20+2.4×10+3.2×2 = 62.4
（元）．
（1）如果甲用户的月用水量为12吨，则甲应缴的水费为______元；
（2）如果乙用户应缴的水费为39.2元，则乙的月用水量为_______吨；
（3）如果丙用户的月用水量为a吨，则丙用户该月应缴水费多少元？（用含a的代数式表示，并化
简）
6 已知点A，B在数轴上表示的数分别为a，b，且|a+6|+(b−18) 2 = 0（规定：数轴上A，B两点之
间的距离记为AB）．
(1)求b−a的值；
(2)数轴上是否存在点C，使得CA = 3CB？若存在，请求出点C所表示的数；若不存在，请说明理
由；
(3)动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每
秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且P比Q先出发2秒．问点Q出发多少秒后，P，
Q相距4个单位长度？
31/121-
能力强化 / 初一 / 秋季
第 5 讲 整式化简求值
例题练习题答案
例1 已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简|a+b|−|b−c|的结果是（ ）
A： a+c
B： c−a
C： −a−c
D： a+2b−c
练1.1 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简−2|a+b|+|b+c|−3|a−c|+2|c−b|．
例2 2 2
求代数式−3x +5x−0.5x +x−1的值，其中x = 2．
练2.1 1
( )
3 2 2 3
先化简，再求值：2x +4x− x − x+3x −2x ，其中x = −3．
3
例3 1 1 3 1
2 2 2
先化简，再求值： x−2(x− y )+(− x+ y )，其中x，y满足|x−2| +(y+1) = 0．
2 3 2 3
练3.1 1
2
2 2 2 2
已知|a+1|+(1− b) = 0，A = 4a −ab+4b ，B = 3a −ab+3b ，求3A−2(A−B)的值．
2
例4 2 1
a+1 b−1 2 2 2 2 2
已知3x y 与 x y 是同类项，求2a b+3a b− a b的值．
5 2
练4.1 2
2m−n 3 5 m
若单项式−x y 与单项式 x y 可以合并，求多项式4m−2n+5(−m−n)−2(n−2m)的值．
3
32/121-
例5
(1) 2 2
若代数式y +2y+7的值是6，则代数式4y +8y−5的值是________；
(2)若2x−y = 2，则2y−4x+5的值为________；
(3) 3
2 2
若代数式2x −3x+2的值为7，则x − x−1的值是________；
2
(4) 2 ( 2 ) ( 2 )
先化简，再求值：已知x −2y−5 = 0，求3 x −2xy − x −6xy −4y的值．
例6
(1)已知a−b = −4，c+d = 3，则(3b+c)−(3a−d)的值是________；
(2) cd
已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，|m| = 1，则2(a+b)− 的值是_______；
2
m
(3) 2 2 2 2 2 2
化简求值：4a −4ab+2b −2(a −ab+3b )，其中a +ab = 5，b +ab = 3．
例7 3 3
当x = −1时，ax +bx+1 = −2019，则当x = 1时，ax +bx+1 = ______．
练7.1 3 3
当x = 3时，代数式ax +bx+7的值为5，则当x = −3时，代数式ax +bx+7的值为_______．
例8 2 3 2
若x满足x −2x−1 = 0，则2x −7x +4x−2017 = （ ）
A： −2017
B： −2018
C： −2019
D： −2020
练8.1 2 3 2
已知：x −x−1 = 0，求−x +2x +2018的值．
例9 3 5 15 14 13 12 2
代数式(x −3x−1) 展开后等于a x +a x +a x +a x +…+a x +a x+a ．
15 14 13 12 2 1 0
（1）求a 的值；
0
33/121-
（2）求a +a +a +…+a +a +a 的值．
15 14 13 2 1 0
能力强化 / 初一 / 秋季
第 5 讲 整式化简求值
自我巩固答案
1 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，试化简|a+c|+|a−b−c|−|b−a|+|b+c|．
2 2 2 2
已知x = 3，y = −2，求−2xy+4x y+xy −x y+6xy的值．
3 2 2 ( 2 ) 2
若(a+2) +|b−1| = 0，计算a b+3 ab−a b −2ab+ab 的值．
4 先化简，再求值：4x−3 ( x−2y 2 ) +2 ( 5x−y 2 ) ，其中x，y满足|x−6|+(y+2) 2 = 0．
5 已知x−3y = −2，则5−x+3y的值是（ ）
A： 7
B： 6
C： 3
D： −7
6 已知a−b = 1，则代数式2a−2b−3的值是（ ）
A： −1
B： 1
C： −5
D： 5
7 2 2
代数式2x +3x+7的值是6，则代数式4x +6x−5的值是（ ）
34/121-
A： −7
B： 7
C： 14
D： −14
8 2
已知x−2y = −3，则5(x−2y) −3(x−2y)+40的值是（ ）
A： 5
B： 94
C： 45
D： −4
9 a+b
若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是1，求 +(a+b+cd)m−|m|的值．
m
10 7 7 6 5 2
二项式(x−1) 的展开式为a x +a x +a x +⋯+a x +a x+a ，
7 6 5 2 1 0
（1）求各项系数之和；
（2）求奇数项系数之和．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 5 讲 整式化简求值
课堂落实答案
1 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式|a−b|+|a−c|+|b−c|．
2 1
2 2 2 2 2 2
已知|a−2|+(b+1) = 0，求3a b+ab −3a b+5ab+ab −4ab+ a b的值．
2
3 2 a b 2 [ 2 ( 2 )]
如果3x y 与−2x y是同类项，则5a b− 2ab +3 −ab+ab 的值为________．
35/121-
4 2 2
代数式2x +6x−1的值为7，则代数式x +3x−7的值为 ．
5 5 5 4 3 2
已知(x+1) = a x +a x +a x +a x +a x+a ，则a +a +a −a −a −a = ________．
5 4 3 2 1 0 4 2 0 5 3 1
能力强化 / 初一 / 秋季
第 5 讲 整式化简求值
精选精练
1 已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|a| = |b|，化简|a|−|a+b|−|c−a|+|c−b|+
|ac|−|−2b|．
2 2
已 知 |a−2| = 4 ， |b−5| 与 (c+3) 互 为 相 反 数 ， 且 a > b ， 求 代 数 式 (5a+4c+7b)+
(5c−3b−6a)−(2a−b+c−abc)的值．
3 2a 4 2+b 2 2 2 2
已知8x y与−3x y 是同类项，且A = a +ab−2b ，B = 3a −ab−6b ，求3A−B的值．
4 2 2 2 2 2 2
已知：a −ab = 26，ab−b = −18，求代数式a −b 与a −2ab+b 的值．
5 2 2 2
已知a+b+c = 0，a +b +c = 0，求a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)的值．
6 5 5 4 3 2
若(2x+1) = a x +a x +a x +a x +a x+a ，求a +a 的值．
5 4 3 2 1 0 4 2
能力强化 / 初一 / 秋季
第 6 讲 定义新运算和找规律
例题练习题答案
36/121-
例1 1 1 1 1 1
⨂ ⨂
定义新运算：对任意有理数a、b，都有a b = a( − )，例如3 4 = 3×( − ) = ，那么
a b 3 4 4
⨂
(−2) 5的值是( )
A： 3
−
5
B： 3
5
C： 7
−
5
D： 7
5
练1.1 2
定义运算“∗”：对于任意有理数a和b，规定a∗b = b −ab−3．
2
如：2∗3 = 3 −2×3−3 = 0．
(1)求−5∗(−3)的值；
(2) 3
若(a−3)∗(− ) = a−1，求a的值．
4
例2 根据如图所示的计算程序，若输入的值x = −1，则输出的值y = ______．
练2.1 一台整式转化器原理如图，开始时输入关于x的整式M，当M = x+1时，第一次输出3x+1，继续
下去，则第3次输出的结果是（ ）
A： 7x+1
37/121-
B： 15x+1
C： 31x+1
D： 15x+15
例3 给出定义如下：
若有理数a，b满足等式a+b = ab−1，则我们称a，b为一对“伴生有理数”，记为(a,b)．例如：
2+3 = 2×3−1，则称2，3是一对“伴生有理数”，记为(2,3)．
(1) 1 3
( ) ( )
判断 −3 ， 7 是否为“伴生有理数”，请说明理由；
2 4
(2)若(4,m)为“伴生有理数”，求m的值．
例4 下列是一组按一定规律组成的点阵图，第①个图由4个点组成，第②个图由7个点组成，第③个图
由10个点组成，则第n个图由（ ）个点组成．
A： n+3
B： 2n+3
C： 4n−2
D： 3n+1
练4.1 如图所示，在由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案中，第5个图形中阴
影小三角形的个数是________，第n个图形中阴影小三角形的个数是________．
练4.2 将正整数按如图所示的规律排列下去,若有序实数对(n,m)表示第n排,从左到右第m个数,如(4,2)表示
9,则表示58的有序数对是(___,___)
38/121-
例5 1 1 1 1 1 1
按一定规律排列的一列数依次为 ，− ， ，− ， ，− ，……，按此规律排列下去，这列
2 5 10 17 26 37
数中第8个数是________．
练5.1 如图所示，把黑色棋子按如图的规律摆放，那么第4个图摆放了________枚棋子．那么第n个图应摆
放的棋子数为________枚．
例6 拓展探索：有若干个数，第一个数记为a ，第二个数记为a ，第三个数记为a ，…，第n个数记为
1 2 3
a ，若a = −2，从第二个数起，每个数都等于1与它前面那个数的差的倒数，如：
n 1
1 1 1
a = = = ，…如此计算，则a = ________．
2 2019
1−a 1−(−2) 3
1
练6.1 如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针
方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编
号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3 → 4 → 5 → 1为第一次“移位”，这时他到达编
号为1的顶点；然后从1 → 2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，则第2018次“移
位”后，他所处顶点的编号为（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
例7 把2020个正整数1，2，3，4，…，2020按如图的方式排列成一个表．
39/121-
(1)如上图，用一个正方形框在表中任意框住4个数，记左上角的一个数为x，则另外三个数用含
x的式子从小到大依次表示为________，________，________．
(2)当（1）中被框住的4个数的和等于416时，x的值为多少？
(3)在（1）中能否框住4个数，使它们的和等于324？如果能，求出x的值；如果不能，请说出理
由．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 6 讲 定义新运算和找规律
自我巩固答案
1 定义新运算为a△b = (a−1)÷b，则5△1 = （ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
2 对自然数a，b，规定a※b = a+b+1，(2※3)※4=（ ）
A： 9
B： 10
C： 11
D： 12
40/121-
3 a b 2 3
| | | |
已知a，b，c，d为实数，规定一种运算 = ad+bc，则 = （ ）
c d −2 4
A： 2
B： −4
C： −6
D： 8
4 a+1
定义新运算为aϕb = ，则5ϕ2的值为（ ）
b
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
5 根据如图所示的运算程序计算，当输出为4200时，输入的数值为（ ）
A： 2
B： −2
C： 3
D： −3
6 按下列程序来计算：如果x = 3，求应该输出的值．
7 观察下列图形：
41/121-
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第16个图形共有（ ）个★．
A： 45
B： 49
C： 60
D： 72
8 在下面各正方形中的四个数都有一定的规律，按此规律得出a+b+c = （ ）
A： 100
B： 110
C： 99
D： 88
9 有一列数1，−3，9，−27，81，−243……，求这列数的第n项．
10 1 2 3 4
有一列数− ， ，− ， ……，那第6个数是多少？
2 5 10 17
能力强化 / 初一 / 秋季
第 6 讲 定义新运算和找规律
课堂落实答案
1 定义新运算为a △ b = (a+1)÷b，则5 △ 2 = （ ）
42/121-
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
2 ab 2 4
| | | |
已知a、b、c、d为实数，规定一种运算 = ad−bc，若 = x，则x = （ ）
c d −2 5
A： 6
B： 18
C： 16
D： 8
3 如图是一个运算程序，
（1）当输入−2时，求输出的数值是多少？
（2）当输入3时，求输出的数值是多少？
4 3 5 7 9
已知下列一组数：1， ， ， ， ……；用代数式表示第n个数，则第n个数是（ ）
4 9 16 25
A： 2n−1
3n−2
B： 2n−1
2
n
C： 2n+1
3n−2
43/121-
D： 2n+1
2
n
5 观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a+b的值为（ ）
A： 32
B： 33
C： 34
D： 35
能力强化 / 初一 / 秋季
第 6 讲 定义新运算和找规律
精选精练
1
规定图形 表示运算a−b+c，图形 表示运算x+z−y−w．则
+ = _________（直接写出答案）．
2 小明编制了一个计算程序，当输入任一个非负数时，显示屏的结果等于所输入数据的平方与1之
差；而当输入一个负数时，显示屏的结果等于所输入数据的相反数，若小明开始输入数据−1，并
把每次计算的输出结果作为下一次的输入数据，那么计算机经过二十次运算后的输出结果是
（ ）
A： 1
B： −1
C： 0
44/121-
D： 无法确定
3 如图是一个数表，现用一个长方形在数表中任意框出4个数，则当a+b+c+d = 32时，a =
_____．
4 将正偶数按后面表格排成5列若干行后，根据图中的排列规律，2016应为（ ）
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 2 4 6 8
第2行 16 14 12 10
第3行 18 20 22 24
第4行 32 30 28 26
… … … … …
A： 第251行，第1列
B： 第251行，第2列
C： 第252行，第1列
D： 第252行，第2列
5 1 1 1 1 1 5
( )
对于正数x规定f(x) = ，例如：f(3) = = ，f = = ，则f(2019)+f(2018)+
x+1 1+3 4 5 1 6
1+
5
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
…+f(2)+f(1)+f +f +…+f +f = ＿＿＿＿．
2 3 2018 2019
45/121-
6 数学是一门充满乐趣的学科，某校七年级小凯同学所在的数学学习小组遇到一个富有挑战性的探
究问题，请你帮助他们完成整个探究过程；
【问题背景】
对于一个正整数n，我们进行如下操作：
（1）将n拆分为两个正整数m ，m 的和，并计算乘积m ×m ；
1 2 1 2
（2）对于正整数m ，m ，分别重复此操作，得到另外两个乘积；
1 2
（3）重复上述过程，直至不能再拆分为止（即拆分到正整数1）；
（4）将所有的乘积求和，并将所得的数值称为该正整数的“神秘值”．
请探究不同的拆分方式是否影响正整数n的“神秘值”，并说明理由．
【尝试探究】
（1）正整数1和2的“神秘值”分别是_______．
（2）为了研究一般的规律，小凯所在的学习小组通过讨论，决定再选择两个具体的正整数6和
7，重复上述过程．
探究结论：
如图1所示，是小凯选择的一种拆分方式，通过该拆分方法得到正整数6的“神秘值”为15．
请模仿小凯的计算方式，在图2中，选择另外一种拆分方式，给出计算正整数6的“神秘值”的过
程；对于
正整数7，请选择一种拆分方式，在图3中给出计算正整数7的“神秘值”的过程．
【结论猜想】
46/121-
结合上面的实践活动，进行更多的尝试后，小凯所在的学习小组猜测，正整数n的“神秘值”与其
拆分方法
无关．请帮助小凯，利用尝试成果，猜想正整数n的“神秘值”的表达式为_______．（用含字母n
的代数
式表示，直接写出结果）
能力强化 / 初一 / 秋季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 |−2|的相反数是（ ）
A： 2
B： −2
C： 1
2
D： 1
−
2
2 绝对值最小的有理数是（ ）
A： 1
B： 0
C： −1
D： 不存在
3 下列各数表示正数的是（ ）
A： 2
(a−1)
B： |a+1|
47/121-
C： 1
| |
a
D： −(−a)
4 下列合并同类项，结果正确的是（ ）
A： 2 3 5
3x +2x = 5x
B： 2 2 2
4ab +3a b = 7a b
C： 2 2 2
3m −m = 2m
D： 2xy−xy = 2
5 下列去括号正确的是（ ）
A： −3a−(2b−c) = −3a+2b−c
B： −3a−(2b−c) = −3a−2b−c
C： −3a−(2b−c) = −3a+2b+c
D： −3a−(2b−c) = −3a−2b+c
6 已知2x+3y = −5，则4x+6y+3的值是（ ）
A： −7
B： 7
C： −10
D： 10
7 1
+1
如果单项式−xy b 与 x a+2 y 3 是同类项，那么关于x的方程ax+b = 0的解为（ ）
2
A： x = 1
B： x = −1
C： x = 2
48/121-
D： x = −2
8 如图，数轴上的A、B、C三点所表示的数分别是a、b、c（均不为0），其中AB = BC，如果|a| >
|b| > |c|，
那么该数轴的原点O的位置应该在（ ）
A： 点A的左边
B： 点A与点B之间
C： 点B与点C之间
D： 点B与点C之间(靠近点C)，或者点C的右边
9 a |b|
已知ab ≠ 0,则 + 的值不可能的是（ ）
|a| b
A： 0
B： 1
C： 2
D： −2
10 3 5 9 17 33
观察这一列数：− , , − , , − ，依此规律下一个数是（ ）
4 7 10 13 16
A： 45
21
B： 45
19
C： 65
19
D： 65
21
49/121-
11 3
− 的相反数是___________；比较大小：−π _______−3.14 .
4
12 2011年安徽省棉花产量约378 000吨，将378 000用科学记数法表示应是____________．
13 2
2ab c
单项式− 的系数是_______，次数是_______．
5
14 1 1
数轴上有A、B两个点，若A点所对应的数为− ，AB的中点所对应的数为 ，则B点所对应的数
2 4
为_______________．
15 ( 2 ) ( 2 )
已知2x+y = −1 ，则代数式 2y+y −3 − y −4x 的值为_____________．
16 若3x 2 −2x+b+(−x−bx+1)中不存在x的一次项，则b = __________．
17 ab
定义新运算：aΔb = ，那么2Δ10Δ10 = _____________．
a+b
18 |2x−1|+|2x−4|的 最 小 值 为___________．
19 计算：
（1）−19+(−42)−|−8|+91
2 5 7 1
( )
（2） − − + ÷
3 9 18 27
6 6 6
( ) ( ) ( )
（3）(−5)× −3 +(−7)× −3 +12× −3
7 7 7
3
( 4 ) 4 3
( )3 ( )4
2
（4）−(−2) −|−3|× − + − × −
3 3 2
20 已知有理数在数轴上的位置如图所示，化简|c|+|b−c|+|a−b|．
50/121-
21 若|x−1|+|y+2| = 0，求x、y的值
22 3 3 2 3 2
先化简,再求值:3y −[y +(6y −7y)]−2(y −3y −4y),其中y = −1.
23 已知m、n都不为零且互为相反数，a、b互为倒数，x的绝对值等于1．
m
( )
3 2014 2015 2016
求x − 1+ +ab x +(m+n)x +(−ab) 的值．
n
24 观察下面三行数:
−1，2，−4， 8，−16，32，……；①
−2，4，−8，16，−32，64，……；②
0， 6，−6，18，−30，66，……； ③
（1）第①行数按什么规律排列？
（2）第②、③行数与第①行数分别有什么关系？
（3）取每行数的第n个数，这三个数的和能否等于−1278？如果能，指出是每行的第几个数，并求
出这三个数；如果不能，请说明理由．
25 【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，
(−3)÷(−3)÷(−3)÷(−3)等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2，读作“2的圈3次方”，
(−3)÷(−3)÷(−3)÷(−3)记作(−3)，读作“−3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷a÷⋯÷ana(a ≠ 0)
记作a，读作“a的圈n次方”．
(1) 1
( )⑤
③
直接写出计算结果：2 = _____， − = _____；
2
(2)关于除方，下列说法错误的是_____
A： 任何非零数的圈2次方都等于1；
B： 对于任何正整数n，1 ⓝ = 1；
C： ④ ③
3 = 4 ；
D： 负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
51/121-
(3)【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数
的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
1
( )
(−3)④＝ ；5⑥＝ ； ⑩＝ ．
2
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于 ；
1 1
( )④ ( )⑥
2 ⑤ 3
（3）算一算：12 ÷ − ×(−2) − − ÷3 ．
3 3
26 把一根起点为0的数轴弯折成如图所示的样子，虚线最下面第1个数字是0，往上第2个数字是6，
第3个数字是21，…，则第5个数字是______________．
27 若a、b、c为整数，且|a−b| 2015 +|c−a| 2016 = 1，试计算|a−b|+|c−a|+|b−c|的值．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 8 讲 线段计算
例题练习题答案
例1 下列说法正确的是（ ）
A： 线段AB和线段BA表示的不是同一条线段
52/121-
B： 射线AB和射线BA表示的是同一条射线
C： 1
若点P是线段AB的中点，则PA = AB
2
D： 线段AB叫做A、B两点间的距离
练1.1 下列日常现象：①用两根钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能够缩短
路程；③体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩；④建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉
线，然后沿着线砌墙．其中，可以用“两点确定一条直线”来解释的现象是（ ）
A： ①④
B： ②③
C： ③
D： ④
例2 如图，已知四个点A，B，C，D．
（1）作下列图形：①线段AB；②射线CD；③直线AC．
（2）在直线AC上画出符合条件的点Q，使BQ+DQ最小，并说明理由．
例3
(1)一条直线上有4个点，那么它有____条线段，有____条射线；一条直线上有n个点，那么它有
____条线段，有____条射线．
(2)如图，图中有_______条直线，有______条射线，有_______条线段．
53/121-
(3)2条直线最多有1个交点，3条直线最多有3个交点，4条直线最多有6个交点，那么5条直线最
多有____个交点，n条直线最多有__________个交点．
例4 直线l上有A，B，C三点，已知AB = 6，AC = 2BC，则BC的长是 ．
练4.1 已知线段AB = 10cm，直线AB上有一点C，BC = 4cm，点D是线段AC的中点，试求线段AD的长．
例5 1
如图，已知，点C是线段AB的中点，AC = 6．点D在线段AB上，且BD = AD，求线段CD的长．
2
练5.1 AD 2
如图，C、D是线段AB上的两点，D是AC中点，若BC＝2cm， = ，求AB长度．
BD 3
例6 已知C、D两点将线段AB分为三部分：且AC:CD:DB = 2:3:4．若AB的中点为M，BD的中点为N，
且MN = 5cm，求AB的长______________
练6.1 如图，将一根绳子对折后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为
2
30cm，若AP = PB，则这条绳子的原长为________cm．
3
能力强化 / 初一 / 秋季
第 8 讲 线段计算
自我巩固答案
1 在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（ ）
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一
条直线上．
54/121-
A： ①③
B： ②④
C： ①④
D： ②③
2 作图题：如图，已知平面上四点A，B，C，D．
（1）画直线AD；
（2）画射线BC，与直线AD相交于O；
（3）连结AC，BD相交于点F．
3 下列说法正确的是（ ）
①直线L、M相交于点N；
②直线a、b相交于点M；
③直线ab、cd相交于点M；
④直线a、b相交于点m；
⑤直线AB、CD相交于点M；
A： ①②
B： ②③
C： ④⑤
D： ②⑤
4 如图所示，点A、B、C在直线l上，则下列说法正确的是（ ）
A： 图中有2条线段
B： 图中有6条射线
C： 点C在直线AB的延长线上
D： A、B两点之间的距离是线段AB
55/121-
5 如图，点A、B、C、D、E、F在同一条直线上，则图中线段和射线的条数分别为（ ）
A： 10，10
B： 12，15
C： 15，12
D： 15，15
6 线段AB = 5cm，BC = 4cm，那么A、C两点的距离是（ ）
A： 1cm
B： 9cm
C： 1cm或9cm
D： 以上答案都不对
7 如图：已知AB＝9cm，BD＝3cm，C为AB的中点，求线段DC的长．
8 如图，点C是AB的中点，D是AB上的一点，AB = 3DB，已知AB = 12，则CD的长是（ ）
A： 6
B： 4
C： 3
D： 2
9 如图，点C是AB上一点，点D是AC的中点，若AB＝12，BD＝7，求CB的长．
10 5 3
如图，已知线段AB，点C在AB的延长线上，AC= BC，D在AB的反向延长线上，BD = DC.
3 5
（1）设线段AB长为x，则BC = _______；AD = ________；（用含x的代数式表示）
（2）若AB = 12cm，求线段CD的长．
56/121-
能力强化 / 初一 / 秋季
第 8 讲 线段计算
课堂落实答案
1 把一段弯曲的公路改成直道可以缩短路程，理由是（ ）
A： 两点之间，直线最短
B： 线段比曲线短
C： 两点之间，线段最短
D： 两点确定一条直线
2 按要求画图：
（1）画直线AC；
（2）画线段AB；
（3）画射线BC．
3 “植树时只要定出两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线”，用数学知识解释其道理应是
（ ）
A： 两点之间，线段最短
B： 两点确定一条直线
C： 直线可以向两边延长
D： 两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离
4 如图，图中线段、射线、直线的条数分别为（ ）
57/121-
A： 5，4，1
B： 8，12，1
C： 5，12，3
D： 8，10，3
5 已知线段AB = 5cm，点C在直线AB上，且BC = 3cm，则线段AC = _________cm．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 8 讲 线段计算
精选精练
1 如图，小明的家在A处，砖厂在B处，星期日小明到砖厂去搬砖，他想尽快的赶到砖厂，请你帮助
他选择一条最近的路线（ ）
A： A→C→D→B
B： A→C→F→B
C： A→C→E→F→B
D： A→C→M→B
2 如图，平面内有A、B、C、D四点，按照下列要求画图：
（1）顺次连接A、B、C、D四点，画出四边形ABCD；
（2）连接AC、BD相交于点O；
（3）分别延长线段AD、BC相交于点P；
58/121-
（4）以点C为一个端点的线段有_________条；
（5）在线段BC上截取线段BM=AD+CD，保留作图痕迹．
3 将线段AB延长到C，再将线段AB反向延长到D，则新形成的图中共有线段（ ）
A： 5条
B： 6条
C： 7条
D： 8条
4 下表反映了平面直线条数与它们最多交点个数的对应关系：
图形 …
直线条数 2 3 4 …
最多交点个数 1 3 = 1+2 6 = 1+2+3 …
按此规律，20条直线相交，最多有_____个交点。
5 直线上有A，B，C三点，点M是线段AB的中点，点N是线段BC的一个三等分点，如果AB = 6，
BC = 12，求线段MN的长度．
6 如图1，已知点A、C、F、E、B为直线上的点，且AB = 12，CE = 6，F为AE的中点．
（1）如图1，若CF = 2，则BE = _________；若CF = m，则BE = _________．由此可猜测BE与CF的
数量关系是_________．
59/121-
（2）当点E沿直线向左运动至图2的位置时，（1）中BE与CF的数量关系是否仍然成立？请说明理
由．
（3）如图3，在（2）的条件下，在线段BE上，是否存在点D，使得BD = 7，且DF = 3DE？若存
10DF
在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
CF
能力强化 / 初一 / 秋季
第 9 讲 角度计算
例题练习题答案
例1 计算：
（1）90∘ −36∘12 ′ 15 ″ （2）32∘17 ′ 53 ″ +42∘42 ′ 7 ″
（3）25∘12 ′ 35 ″ ×5 （4）53∘ ÷6（结果用度分秒的形式表示）
例2 如图，已知∠AOC = ∠BOD = 90∘，∠AOD = 3∠BOC，求∠BOC的度数．
练2.1 如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠AOF=3∠BOF，∠AOC=90°，那么∠COE=_____．
60/121-
例3 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠A = 60 ∘ ，
∠D = 30 ∘ ；∠E = ∠B = 45 ∘ ）
若∠DCE = 40 ∘ ，则∠ACB的度数为__________．
若∠ACB = 128 ∘ ，则∠DCE的度数为__________．
练3.1 如图，是一副特制的三角板，用它们可以画出一些特殊角，下列角度中不能使用这一副特制的三
角板画出的是（ ）
A： 54°
B： 72°
C： 150°
D： 171°
61/121-
例4 如图，已知∠COB = 2∠AOC，OD平分∠AOB，∠COD = 10∘，求∠AOB的度数．
练4.1 如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB，若∠COB = 35∘，则∠AOD = _______．
例5 如图，已知∠AOC = 90 ∘ ，∠BOD = 90 ∘ ，∠3 = 24∘，求：∠1、∠2的度数．
练5.1 如图，三条直线相交于点O．若∠BOC = 90 ∘ ，∠1 = 56 ∘ ，则∠2等于（ ）
A： ∘
30
B： ∘
34
C： ∘
45
D： ∘
56
62/121-
例6 2
一个角的余角比它的补角的 多1∘，则这个角的度数为_____度．
9
练6.1 一个角补角比它的余角的2倍多30∘，这个角的度数为_____．
例7 在同一平面内，若∠AOB＝50∘，∠AOC＝40∘，∠BOD＝30∘，则∠DOC的度数是_______∘．
练7.1 已知∠AOB＝48∘，∠BOC＝20∘，则∠AOC＝_________．
例8 已知∠AOB = 60∘，从点O引射线OC，使∠AOC = 40∘，作∠AOC的角平分线OD．
(1)依题意画出图形；
(2)求∠BOD的度数．
练8.1 已知∠AOB＝3∠BOC，射线OD平分∠AOC，若∠BOD＝30∘，则∠BOC的度数为_________．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 9 讲 角度计算
自我巩固答案
1 计算：
(1) 90∘ −78∘19 ′ 40 ′′ ；
(2) 11∘23 ′ 26 ″ ×3．
2 如图，已知∠AOB：∠BOC：∠COD = 2：1：3，且∠AOC+∠DOB = 150∘，求∠AOD的度数．
63/121-
3 1
如图，OC是∠AOB的平分线，∠BOD = ∠DOC，∠BOD = 10∘，则∠AOD的度数为（ ）
4
A： 50∘
B： 60∘
C： 70∘
D： 80∘
4 如图，∠AOC = ∠BOD，∠AOD = 120∘，∠BOC = 70∘，求∠AOB的度数．
5 如图，已知∠AOC = 90∘，∠COB = 50∘，OD平分∠AOB，求∠COD的度数？
6 如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC = 100∘，则∠BOD的度数是（ ）
A： 20∘
B： 40∘
64/121-
C： 50∘
D： 80∘
7 一个角和它的余角的比是5:4，则这个角的补角是（ ）
A： 130∘
B： 50∘
C： 80∘
D： 100∘
8 已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β与∠γ的关系式为（ ）
A： ∠β−∠γ = 90∘
B： ∠β+∠γ = 90∘
C： ∠β+∠γ = 80∘
D： ∠β−∠γ = 180∘
9 在同一平面内，已知∠AOB = 50∘，∠COB = 30∘，则∠AOC等于（ ）
A： 80∘
B： 20∘
C： 80∘或20∘
D： 10∘
10 已知∠AOB＝70∘，以O端点作射线OC，使∠AOC＝28∘，则∠BOC的度数为（ ）
A： 42∘
B： 98∘
C： 42∘或98∘
65/121-
D： 82∘
能力强化 / 初一 / 秋季
第 9 讲 角度计算
课堂落实答案
1 计算：
( )
（1）85∘16 ′ −18∘47 ′ − 35∘22 ′ −26∘52 ′ = __________________；
（2）360∘ ÷7 = __________________．（用度、分、秒表示）
2 如图，∠AOC = ∠DOE = 90∘．如果∠AOE = 65∘，那么∠COD的度数是（ ）
A： 90∘
B： 115∘
C： 120∘
D： 135∘
3 如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD．下列说法错误的是（ ）
A： ∠AOD = ∠BOC
B： ∠AOE+∠BOD = 90∘
C： ∠AOC = ∠AOE
66/121-
D： ∠AOD+∠BOD = 180∘
4 若∠AOB = 40∘，∠BOC = 30∘，则∠AOC的度数为__________.
5 4
已知∠AOB = 27∘，∠AOC = ∠BOC，则∠AOC的度数为__________．
5
能力强化 / 初一 / 秋季
第 9 讲 角度计算
精选精练
1 如图，OE、OD、OC是∠AOB的四等分线，根据图形回答：
（1）图中哪些角是∠3的3倍？
1
（2）图中哪些角是∠AOD的 ？
2
（3）射线OC是哪个角的三等分线？
（4）若∠AOB=80∘，求∠1的度数．
2 如图，已知∠AOB＝40∘，∠BOC＝3∠AOB，OD平分∠AOC，求∠COD的度数．
解：因为∠BOC＝3∠_____，∠AOB＝_____∘．
所以∠BOC＝_____∘．
所以∠AOC＝_____+_____．
＝_____∘ +_____∘．
＝_____∘
因为OD平分∠AOC
67/121-
1
所以∠COD = _____＝_____∘．
2
3 如图，已知ΔABC为直角三角形，∠C = 90∘，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2 = （ ）
A： 90∘
B： 135∘
C： 270∘
D： 315∘
4 如图，∠AOD = 90∘，∠AOB:∠BOC = 1:3，OD平分∠BOC，则∠AOC = ______．
5 如图，已知O为直线AB上一点，射线OC平分∠AOD，∠BOD = 3∠BOE，∠AOC = α，则∠COE
的度数为( )
A： 1
120∘ − α
3
68/121-
B： 5
240∘ − α
3
C： 1 5
120∘ − α或240∘ − α
3 3
D： 5
α−60∘
3
6 从点O引出三条射线OA，OB，OC，已知∠AOB＝30∘，在这三条射线中，当其中一条射线是另两
条射线所组成角的平分线时，则∠AOC＝_____∘
能力强化 / 初一 / 秋季
第 10 讲 线，角综合
例题练习题答案
例1 （1）如图，已知点C在线段AB上，且AC = 6cm，BC = 4cm，点M，N分别是AC，BC的中点，求
线段MN的长度．
（2）如果AC = acm，BC = bcm，其它条件不变，你能猜出MN的长度吗？请你用一句简洁的话表
述你发现的规律．
（3）如果我们这样叙述它：“已知线段AC = 6cm，BC = 4cm，点C在直线AB上，点M，N分别是
AC，BC的中点，求MN的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果．
练1.1 2
如图，已知点C为AB上一点，AC = 15cm，CB = AC，若D，E分别为AC，AB的中点，求DE的
3
长．
例2 如图，已知原点为O的数轴上，点A表示的数为−7，点B表示的数为5．
69/121-
(1)若数轴上点C到点A，点B的距离相等，求点C表示的数．
(2)若数轴上点D到点A，到点B的距离之比为1:2，求点D表示的数；
(3)若一动点P从点A以每秒1个单位长度沿数轴向左匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒3
个单位长度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为t秒(t > 0)，PQ之间的距离为8个单位长度
时，求t的值．
例3 如图，将一张长方形纸片的角A、E分别沿着BC、BD折叠，点A落在A ′ 处，点E落在边BA ′ 上的E ′
处，则∠CBD的度数是（ ）
A： 85∘
B： 90∘
C： 95∘
D： 100∘
练3.1 如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
(1) 如图1，当∠AOB是直角，∠BOC = 60∘时，∠MON的度数是多少？
(2) 如图2，当∠AOB =α ，∠BOC = 60∘时，猜想∠MON与α 的数量关系；
(3)如图3，当∠AOB =α ，∠BOC =β 时，猜想：∠MON与α 、β 有数量关系吗？如果有，指
出结论并说明理由．
70/121-
例4 如图①，O为直线AB上一点，作射线OC，使∠AOC＝120°，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶
点在点O处，一条直角边OP在射线OA上，将图①中的三角尺绕点O以每秒5°的速度按逆时针方向
旋转（如图②所示），在旋转一周的过程中第t秒时，OQ所在直线恰好平分∠BOC，则t的值为
__________．
练4.1 如图，直线EF与MN相交于点O，∠MOE = 30∘，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA
与MN重合，OB在∠NOE内部．操作：将三角尺绕点O以每秒3∘的速度沿顺时针方向旋转一周，设
运动时间为t(s)．
(1)当t为何值时，直角边OB恰好平分∠NOE？此时OA是否平分∠MOE？请说明理由；
(2) 若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒9∘的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完
成旋转一周时，另一方同时停止转动．
①当t为何值时，EF平分∠AOB？
②EF能否平分∠NOB？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．
能力强化 / 初一 / 秋季
71/121-
第 10 讲 线，角综合
自我巩固答案
1 如图，C是AB的中点，D是BC的中点，下列等式不正确的是（ ）
A： CD = AD−BC
B： CD = AC−DB
C： 1
CD = AB
3
D： 1
CD = AB−DB
2
2 如图，已知C、D为线段AB上顺次两点，点M、N分别为AC与BD的中点，若AB=12，CD=5．
（1）求线段AC与DB的和；
（2）求线段MN的长．
3 如图，线段AB = 8，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，C为线段AB上一点，且AC = 3.2，求
M，N两点间的距离．
4 如图，已知M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s，3cm/s的速度沿直线
BA向左运动，运动方向如箭头所示．
（1）若AB = 10cm，当C、D运动2s时，求AC+MD的值；
（2）若C、D运动时，总有MD=3AC，直接填空：AM=_________AB；
MN
（3）在（2）的条件下，若N是直线AB上一点，且AB−BN = MN，求 的值．
AB
5 如图，C是线段AB上一点，AB = 20cm，BC = 8cm，点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB向右运动，
终点为B；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A已知P、Q同时出发，当其中一
72/121-
点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动时间为x秒．
（1）AC = _________cm；
（2）当x = _________s时，P、Q重合；
（3）是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若
存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
6 如图，O是直线AB上的一点，过点O任意作射线OC，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE
（ ）
A： 一定是钝角
B： 一定是锐角
C： 一定是直角
D： 都有可能
7 已知：如图，∠AOB是直角，∠AOC = 40∘，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线．
(1)求∠MON的大小；
(2)当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小是否发生改变？为什么？
8 把一张长方形纸条按图中那样折叠后，若得到∠AOB ′ = 70∘，则∠OGC＝（ ）．
73/121-
A： 125°
B： 115°
C： 105°
D： 95°
9 如图①，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE＝30°，分别以BE、CE为折痕进行折叠并压
平，如图②，若图②中∠AED＝n°，则∠BCE的度数为（ ）度．
A： n
60+
2
B： 60+n
C： n
30+
2
D： 30+n
10 如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC = 70∘，将一个直角三角形的直角顶点放在
点O处．（注：∠DOE = 90∘）
（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE = ____________；
（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求
∠COD的度数；
（3）如图3，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和
∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．
74/121-
能力强化 / 初一 / 秋季
第 10 讲 线，角综合
课堂落实答案
1 如图，已知线段AB = 10cm，点C在线段AB上，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，那
么线段MN的长为（ ）
A： 6cm
B： 5cm
C： 4cm
D： 不能确定
2 如图，点C是线段AB上一点，D为BC的中点，且AB = 12cm，BD = 5cm.若点E在直线AB上，且
AE = 3cm，则DE的长为（ ）
A： 4cm
B： 15cm
C： 3cm或15cm
D： 4cm或10cm
3 如图，点O是直线AD上一点，射线OC、OE分别是∠AOB，∠BOD的平分线，若∠AOC = 28∘，
则∠COD = _____，∠BOE = _____．
4 如图：∠AOB＝80°，OC是∠AOB内的任一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠COB，则∠DOE＝
（ ）
75/121-
A： 30°
B： 45°
C： 40°
D： 60°
5 如图，∠AOB是直角，∠AOC＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠AOC，则∠EOF的度数是（ ）
A： 150°
B： 75°
C： 45°
D： 30°
能力强化 / 初一 / 秋季
第 10 讲 线，角综合
精选精练
1 如图，点C在线段AB上，AC = 8cm，CB = 6cm，点M、N分别是AC、BC的中点
(1)求线段MN的长；
76/121-
(2)若C为线段AB上任意一点，满足AC+CB = acm，其他条件不变，你能猜出线段MN的长度
吗？并说明理由．
2 如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点．
(1)若AM = 1，BC = 4，求MN的长度．
(2)若AB = 6，求MN的长度．
3 如图，点P在定长线段AB上，C点从P点出发，D点从B点出发分别以1cm/秒、2cm/秒的速度沿直线
AB向左运动（C在线段AP上，D在线段BP上），且C、D运动到任一时刻，总有PD = 2AC．如果
在C、D运动过程中，M、N分别是CD、PB的中点，运动时间t秒时，恰好有3AC＝2MN，那么此
AB
时 的值是________．
CD
4 已知，∠AOD＝160∘，OB、OM、ON是∠AOD内的射线．
（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，∠AOB＝40∘，则∠BON＝_____∘；
（2）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠MON的度数；
（3）如图2，OC是∠AOD内的射线，若∠BOC＝20∘，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当射线
OB在∠AOC内时，求∠MON的度数．
5 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，若∠CBD＝66°，则∠ABE为（ ）
A： 20°
B： 24°
77/121-
C： 40°
D： 50°
6 如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC = 60∘，将一把直角三角尺的直角顶
点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
(1)将图1中的三角尺绕点O逆时针旋转至图2，使点N在OC的反向延长线上，请直接写出图中
∠MOB的度数，∠MOB = _______．
(2)将图1中的三角尺绕点O逆时针旋转至图3，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，
求∠CON的度数．
(3)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图4，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC
之间的数量关系，并说明理由．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 11 讲 一元一次方程综合
例题练习题答案
例1 根据等式的性质填空．
（1）若b = a，则2b = ________；
a
（2）若a = −2，则 =________；
3
（3）若−3x = 5，则x = ________；
（4）若x = y，则−3x+________ = −3y+9．
例2
78/121-
(1) 2m−1
若x +8 = 0是一个关于x的一元一次方程，则m等于____．
(2) |a|−2
若(a−3)x −7 = 0是一个关于x的一元一次方程，则a等于____．
例3 解方程：
（1）4x+3(2x−3) = 12−(x−4)；
2
（2）2x− (x+3) = −x+3；
3
2x−1 10x+1 2x+1 1
（3） − = −2 ．
3 6 4 4
练3.1 解方程：
1
（1） (x−2)+1 = x；
2
3x−7 5x+8
（2） − = 1．
4 2
例4 0.04x+0.09 0.3+0.2x x−5
解方程： − =
0.05 0.3 2
练4.1 0.1x−0.2 x+1
小明解一元一次方程 − = 3的过程如下：
0.02 0.5
10x−20 10x+10
第一步：将原方程化为 − = 3．
2 5
x−2 x+1 3
第二步：将原方程化为 − = ．
2 5 10
第三步：去分母…
（1）第一步方程变形的依据是________；第二步方程变形的依据是________；第三步去分母的依据
是________；
（2）请把以上解方程的过程补充完整．
79/121-
例5 小华同学在解方程5x−1 = ()x+11时，把“()”处的数字看成了它的相反数，解得x = 2，则该方程
的正确解应为x = _____．
练5.1 小慧在解方程2a−2x = 5（x为未知数）时，误将“−2x”写成了“+2x”，得到方程的解为x = −5
，则原方程的解为（ ）
A： x = −3
B： x = 3
C： x = 5
D： x = −5
能力强化 / 初一 / 秋季
第 11 讲 一元一次方程综合
自我巩固答案
1 如果am = an，那么下列等式不一定成立的是（ ）
A： am−3 = an−3
B： 5+am = an+5
C： m = n
D： −2am = −2an
2 x y
下列等式变形：①如果x = y ，那么ax = ay；②如果x = y，那么 = ；③如果ax = ay，那么
a a
x y
x = y；④如果 = ，那么x = y．其中正确的是（ ）
a a
A： ①④
B： ③④
80/121-
C： ①②
D： ②③
3 下列等式变形正确的是（ ）
A： 2
若3x+2 = 0，则x =
3
B： 1
若− y = −1，则y = 2
2
C： 若ax = ay，则x = y
D： 若x = y，则x−3 = 3−y
4 方程3(x−1)−2(x−2) = 5(x+1)去括号后得（ ）
A： 3x−1−2x−4 = 5x+5
B： 3x−3−2x+4 = 5x+5
C： 3x−3−2x+4 = 5x+1
D： 3x−3−2x+2 = 5x+5
5 2x−1 1+3x
解方程 − = 4，去分母后得到的方程是（ ）
2 4
A： 2(2x−1)−(1+3x) = 4
B： 2(2x−1)−(1+3x) = 16
C： 2(2x−1)−1+3x = 16
D： 2(2x−1)−[1−(−3x)] = 4
6 下列过程中，去分母正确的是（ ）
A： x 1−x
由 −1 = ，得2x−1 = 3−3x
3 2
81/121-
B： x−2 x
由 − = −1，得2x−2−x = −4
2 4
C： y y
由 −1 = ，得2y−15 = 3y
3 5
D： y+1 y
由 = +1，得3(y+1) = 2y+6
2 3
7 |2m−3|
若(m−1)x = 6是关于x的一元一次方程，则m等于（ ）
A： 1
B： 2
C： 1或2
D： 任何数
8 解方程：
2x−1 3−x
（1） = 1− ；
4 8
2x−1 3x+2
（2） +1 = −2；
3 4
3−x x+4
（3） = ；
2 3
7x−1 5x+1
（4） − = 2．
3 2
9 解方程：
x+1 0.2x−1
（1） − = 1；
0.4 0.7
0.08y−0.03 2.5y−0.4 1.2−y
（2） − = +3．
0.01 0.1 0.1
82/121-
10 小李在解方程5a−x = 13（x为未知数）时，误将−x看作+x，得方程的解为x = −2，则原方程的解
为（ ）
A： x = 0
B： x = 1
C： x = 2
D： x = 3
能力强化 / 初一 / 秋季
第 11 讲 一元一次方程综合
课堂落实答案
1 下列结论错误的是（ ）
A： 若a = b，则a−c = b−c
B： 若a = b，则ax = bx
C： 2
若x = 2，则x = 2x
D： 若ax = bx，则a = b
2 已知ax = bx，下列结论错误的是（ ）
A： a = b
B： ax+c = bx+c
C： (a−b)x = 0
D： ax bx
=
π π
3 解方程3−(x+2) = 1，下列去括号正确的是（ ）
A： 3−x+2 = 1
83/121-
B： 3+x+2 = 1
C： 3+x−2 = 1
D： 3−x−2 = 1
4 先阅读下列解题过程，再回答问题：
3x+5 5x−2
解方程：2x− = 0.4−
0.2 0.5
30x+5 50x−2
解：原方程可化为2x− = 0.4− ①
2 5
去分母，得10x−150x−5 = 4−100x+2，②
合并同类项得−40x = 11，③
11
系数化成1，得x = − ④
40
问题：
(1)指出解题过程中的错误的步骤是（ ）
A： ①②
B： ①③
C： ②③
D： ③④
(2)请给出正确解法．
5 1
小马虎在计算16− x时，不慎将“−”看成了“+”，计算的结果是17，那么正确的计算结果应
3
该是（ ）
A： 15
B： 13
C： 7
84/121-
D： −1
能力强化 / 初一 / 秋季
第 11 讲 一元一次方程综合
精选精练
1 设x，y，c表示有理数，下列结论始终成立的是（ ）
A： 若x = y，则x+c = y−c
B： 若x = y，则xc = yc
C： x y
若x = y，则 =
c c
D： x y
若 = ，则2x = 3y
2c 3c
2 下列说法中，正确的是（ ）
A： 若ac = bc，则a = b
B： a b
若 = ，则a = b
c c
C： 2 2
若a = b ，则a = b
D： 若|a| = |b|，则a = b
3 解方程：
3 4 1 1 3
[ ( ) ]
（1） x− −8 = x+1；
4 3 2 4 2
2 1 2 1
[ ( ) ]
（2）5 x−1 − x = − x−7．
5 4 5 2
4 解方程：
85/121-
（1）2x−3(6−x) = 3x−4(5−x)；
2x+1 x−2
（2） = −2；
4 3
x−1 2x+1 x−1
（3） + − = 2；
2 6 3
9y−1.8 5y−1.2 1.4−2y
（4） − = +5．
0.6 0.2 0.1
5 解方程：
x 0.17−0.2x
（1） − = 1；
0.7 0.03
0.8x+0.3 0.04+0.05x x−7
（2） − = ．
0.5 0.03 2
6 某同学在计算11+x的值时，误将“＋”看成了“−”，计算结果为20，那么11+x的值应为
______．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 12 讲 一元一次方程高阶
例题练习题答案
例1 2x−a x−a
已知关于x的方程 − = x−1与方程3(x−2) = 4x−5的解相同，求a的值．
3 2
练1.1 1
如果方程 (x+3) = 0与方程6a(x+3) = 3a−2x的解相同，求a的值．
2
例2 4−x x+a
关于x的方程2(−2x+a) = 3x的解和方程x− = 的解互为相反数，求a的值．
3 6
86/121-
练2.1 已知关于x的方程x−2m+1=0与2−m−x=0的解互为相反数，试求m的值．
例3 解关于x的方程：
（1）ax = 2015； （2）ax = 1+x； （3）mx+4 = 3x−n．
练3.1 解关于x的方程：ax−4 = 4x+b．
例4 1 6
( )
若k为整数，则使得方程 k− x = 6− x的解也是整数的k值有几个？
5 5
练4.1 已知关于x的方程9x−3 = kx+14有整数解，那么满足条件的所有整数k = ________．
例5 已知，如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为−20，B点对应的数为100．
(1)请写出AB中点M对应的数．
(2)现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A
点出发，以4单位/秒的速度向右运动．设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应
的数是多少吗？
(3)若电子蚂蚁P从B点出发时，以6单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出
发，以4单位/秒的速度也向左运动.设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，你知道D点对应的数
是多少吗？
练5.1 如图，已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数−26、−10、10，动点P从点A出发，以每秒1
个单位的速度向终点C移动，当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运
动，问当点Q从A点出发几秒钟时，点P和点Q相距2个单位长度？直接写出此时点Q在数轴上表示
的有理数．
能力强化 / 初一 / 秋季
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第 12 讲 一元一次方程高阶
自我巩固答案
1 1 1 1
如果方程 (x+6) = 2与方程a(x+3) = a− x的解相同，求a的值．
2 2 3
2 3 5 1 1.7−2x 0.8+x
[( ) ]
方程 a− x+ = 1和方程 −1 = 的解相同，求a的值．
2 2 2 0.3 0.6
3 已知关于x的方程3x−2m+1 = 0与2−m = 2x的解互为相反数，试求这两个方程的解及m的值．
4 1
( )3
已知关于x的方程3(x−1) = 3m−6与2x−5＝−1的解互为相反数，求 m+ 的值．
2
5 关于x的方程x−2m = −3x+4与2−m = x的解互为相反数．
(1)求m的值；
(2)求这两个方程的解．
6 关于x的方程3(x−2m) = 9和关于y的方程2y−m = 4．若两个方程的解互为相反数，求m的值．
7 解方程：
a
（1） x+1 = 9； （2）(a−1)x−2 = 2015．
2
8 关于x的方程ax+3 = 4x+1的解为非负整数，则整数a的值为（ ）
A： -3
B： 3
C： 1或2
D： 2或3
9 x−4 kx−1 1
已知方程 − = 是关于x的一元一次方程．
6 3 3
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（1）当方程有解时，求k的取值范围；
（2）当k取什么整数值时，方程的解是正整数．
10 如图，在数轴上有两点A、B，对应的实数分别为−5，3．
(1)若点A以每秒3个单位的速度沿数轴向正方向移动，点B不动，则多长时间两点相遇？
(2)若点A以每秒3个单位，点B以每秒1个单位的速度同时沿数轴运动．
问题1：若相向移动，A、B两点多长时间相遇？
问题2：若都沿数轴正方向移动，则多长时间两点到原点的距离相等？
能力强化 / 初一 / 秋季
第 12 讲 一元一次方程高阶
课堂落实答案
1 已知关于x的方程2x−7 = 3x+a的解与方程4x+2 = 7−x的解相同，求a的值．
2 若关于x的方程2m+x = 1和方程3x−1 = 2x+1的解互为相反数，则m的值为（ ）
A： 1
−
2
B： 3
2
C： 0
D： −2
3 关于x的方程ax+3 = 4x+1的解为正整数，则整数a的值为（ ）
A： 1
B： 3
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C： 1或2
D： 2或3
4 关于x的方程−2ax+3 = 6x−b，分别求出当a、b为何值时，原方程：
（1）有唯一解；
（2）有无数个解；
（3）无解．
5 如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14，动点P从点A出发，以每秒5个
单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t(t > 0)秒．
(1)写出数轴上点B表示的数____，点P表示的数______（用含t的代数式表示）；
(2)动点H从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、H同时出发，问
点P运动多少秒时追上点H？
能力强化 / 初一 / 秋季
第 12 讲 一元一次方程高阶
精选精练
1 1−2x x+1 2x+1 6x−a a
若方程 + = 1− 的解与关于x的方程x+ = −3x的解相同，求a的值．
6 3 4 3 6
2 (4a+1)x a(3x−4)
若关于x的方程3(x+4) = 2a+5的解与关于x的方程 = 的解相同，求a的值．
4 3
3 1 3 2 k 3(x−1)
已知关于x的方程 (1−x) = 1+k的解与方程 (x−1)− (3x+2) = − 的解互为相反数，
2 4 5 10 2
求k的值．
4 已知关于x的方程kx+1 = 3x+2k．
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(1)当k满足什么条件时，方程有解？
(2)若方程有整数解，求正整数k的值．
5 已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，−8，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发速度
为每秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位．
(1)若点M向右运动，同时点N向左运动，求多长时间点M与点N相距54个单位？
(2)若点M、N、P同时都向右运动，求多长时间点P到点M，N的距离相等？
6 已知数轴上有两点M，N对应的数分别为−2，4，点A为数轴上一动点，对应点的数为a．
(1)若点A到点M、点N的距离相等，则点A对应的数为___；
(2)数轴上是否存在点A，使点A到点M、点N的距离之和为9？若存在，请求出a的值；若不存
在，请说明理由；
(3)若点A在点M左边，请化简：|a+2|−|a−4|；
(4)点A以每秒2个单位长度的速度从0（原点）向左运动，点M以每秒10个单位长度的速度向左
运动，点N以每秒40个单位长度的速度向左运动，问它们同时出发，几秒后点A到点M、点N
的距离相等？
能力强化 / 初一 / 秋季
第 13 讲 一元一次方程应用
例题练习题答案
例1 课外活动时李老师来教室布置作业，有一道题只写到“A、B两地相距180km，甲的速度是
50km/h，乙的速度是40km/h”时，李老师因有急事而离开教室．
(1)调皮的小强接着上来添上“甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，几小时相遇？”
小强的添法能解答吗？若能，请解出来；若不能，说说理由；
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(2)数学科代表小娟上去添了“现甲从A向B出发48min后，乙同时从B向A出发，则乙出发后几小
时两人相遇？”请你就小娟的添法解答.
练1.1
(1)某校七年级同学步行到崂山去旅游，1班同学组成前队，速度为4千米/时，2班同学组成后
队，速度为6千米/时，前队出发2小时后，后队才出发，当后队追上前队时，后队用了多少时
间？
(2)某人从A地去B地，如果他以4千米/时的速度前进，正好在预定的时间内到达，他用这个速度
步行了全程的一半后，其余路程乘速度为20千米/时的公共汽车，结果比预定时间早到27分
钟，求两地的路程．
例2 某工程交由甲、乙两个工程队来完成，已知甲工程队单独完成需60天，乙工程队单独完成需40
天．若甲先做20天，剩余部分甲、乙合作，求总共需要多少天？
练2.1 某工程，甲单独完成需4天，乙单独完成需8天，现甲先工作1天后和乙加入合作，问甲、乙合作几
天才能完成这项工程．设甲、乙合做x天才能完成这项工程，列一元一次方程________．
例3 某家商店因换季准备将某种服装打折销售，每件服装如果按标价的五折出售将亏20元，而按标价
的八折出售将赚40元．问：
(1)每件服装的标价是多少？
(2)每件服装的成本是多少？
(3)为保证不亏本，最多能打几折？
练3.1 某商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售，将赔25元，而按定价的九折出售，将赚
20元，这种商品的定价为多少元？
例4 将一堆糖果分给幼儿园某班的小朋友，如果每人2颗，那么就多8颗；如果每人3颗，那么就少12
颗．这个班共有多少名小朋友？这堆糖果有多少颗？
练4.1 某班图书柜里有书若干本，该班阅读兴趣小组有x人，若每人4本还余9本，若每人5本还差3本，依
题意列方程为______________．
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A： 4x−9 = 5x+3
B： 4x−9 = 5x−3
C： 4x+9 = 5x+3
D： 4x+9 = 5x−3
例5 某服装厂生产一种夹克和T恤，夹克每件定价200元，T恤每件定价40元，厂方在开展促销活动期
间，向客户提供两种优惠方案：
①买一件夹克送一件T恤；
②夹克和T恤都按定价的9折付款．
现某客户要到该服装厂购买夹克20件，T恤x件（x>20）．
（1）若该客户按方案①购买，需付款________元（用含x的代数式表示）；若该客户按方案②购
买，需付款_________元（用含x的代数式表示）；
（2）若x=40，通过计算说明按哪种方案购买较为合算？
（3）问购买T恤多少件时，两种方案付款金额相同？
练5.1 在“五⋅一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸
爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：
(1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？
(2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由．
能力强化 / 初一 / 秋季
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第 13 讲 一元一次方程应用
自我巩固答案
1 一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的
行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过B地，A、B两地间的路程是（ ）
A： 360km
B： 400km
C： 420km
D： 450km
2 粉刷一个房间甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，丙单独做12天完成．甲先单独做2天后有事
离开，接下来乙、丙共同完成，则乙、丙合作所需要的天数为（ ）天．
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
3 运一批货物，如果单独由一个车队完成，第一车队10天运完，第二车队15天运完，第三车队20天
运完，现在三个车队合运，第一车队因工作需要中途调走，结果任务完成共用了6天．问第一车队
实际工作了多少天？
4 互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品进价为200元，按标价的五折
销售，仍可获利10%，设这件商品的标价为x元，根据题意列出方程（ ）
A： 0.5x−200 = 10%×200
B： 0.5x−200 = 10%×0.5x
C： 200 = (1−10%)×0.5x
D： 0.5x = (1−10%)×200
5 把一些图书分给某些学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分5本，则还缺26本，若
设学生有x名，则图书的数量可表示为（ ）
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A： 3x+20
B： 3x−20
C： 5x−26
D： 3x+20或5x−26
6 某种商品每件的进价为210元，按标价的8折销售时，利润率为15％，设这种商品的标价为每件x
元，根据题意列方程正确的是（ ）
A： 210−0.8x = 210×0.8
B： 0.8x = 210×0.15
C： 0.15x = 210×0.8
D： 0.8x−210 = 210×0.15
7 假期张老师和王老师带学生乘车外出参加实践活动，甲车主说“每人8折”，乙车主说“学生9
折，老师减半”，已知甲、乙两车单人的票价相同．张老师计算了一下，不论坐谁的车，费用都
一样，则张老师和王老师带的学生人数为（ ）
A： 6名
B： 7名
C： 8名
D： 9名
8 将一堆糖果分给幼儿园某班的小朋友，如果每人3颗，那么就多11颗；如果每人4颗，那么就少14
颗．这个班共有多少名小朋友？这堆糖果有多少颗？
9 某地上网有两种收费方式，用户可以任选其中一种：
方式一，记时制：2.5元/小时；方式二，包月制：60元/月．此外，每一种上网方式都加收通信费1
元/小时．
（1）某用户上网20小时，选用哪种上网方式比较合算？说明你的理由；
（2）某用户有140元钱用于上网（一个月），选用哪种方式比较合算？说明你的理由；
（3）请你为用户设计一个方案，使用户能合理地选择上网方式．
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10 甲乙两家批发商出售同样品牌的茶壶和茶杯，售价相同，茶壶每把28元，茶杯每只4元，两家都进
行优惠销售．甲店：买一送一大酬宾（买一把茶壶赠送茶杯一只）．乙店：全场9折优惠．
某茶具店需茶壶5把，茶杯若干只（不少于5只）．
(1)若购买茶杯x(x > 5)只，回答下列问题：
①在甲店购买需付多少元；（用含x的代数式表示并化简）
②在乙店购买需付多少元；（用含x的代数式表示并化简）
(2)当茶具店需购买10只茶杯时，到哪家商店购买较便宜？试说明理由；
(3)试求出当茶具店购买多少只茶杯时，在两家商店购买所需付的款一样多？
能力强化 / 初一 / 秋季
第 13 讲 一元一次方程应用
课堂落实答案
1 两地相距600千米，甲乙两车分别从两地同时出发相向而行，甲车比乙车每小时多走10千米，4小
时后两车相遇，则乙车的速度是（ ）
A： 70千米/小时
B： 75千米/小时
C： 80千米/小时
D： 85千米/小时
2 某地修一条公路，若甲工程队单独承包要80天完成，乙工程队单独承包要120天完成．现在由甲、
乙工程队合作承包，完成任务需要（ ）
A： 48天
B： 60天
C： 80天
D： 100天
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3 一家商店一月份把某种商品按进货价提高60%出售，到三月份再声称以8折大甩卖，那么该商品三
月份的价格比进货价（ ）
A： 高12.8%
B： 低12.8%
C： 高28%
D： 高40%
4 七年级学生计划乘客车去春游，如果减少一辆客车，每辆车正好坐60人；如果增加一辆客车，每
辆车正好坐45人，若设每辆车正好坐60人时，需要x辆客车，则七年级的学生人数可表示为（ ）
A： 60(x−1)
B： 45(x+2)
C： 45(x+1)
D： 60x或45(x+2)
5 请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？
（2）甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯．为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动．甲
商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯．若某单位想要买4个暖
瓶和15个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由．
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第 13 讲 一元一次方程应用
精选精练
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1 从少先队夏令营到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以每小时12千米的速度下山，以
每小时9千米的速度通过平路，到学校共用了55分钟，回来时，通过平路时的速度不变，但以每小
时6千米的速度上山，回到营地共花去了1小时10分钟，问夏令营到学校有多少千米？
2 现有6000米的公路需要翻修，由某个工程小队来施工．该工程小队施工4天后，调来了一辆重型挖
掘机，因此之后的10天，平均每天要比前4天的平均进度多翻修40米．若该工程小队完成工程共用
了两周时间，问挖掘机调来前，工程小队平均每天翻修多少米？
3 请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦数不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲
了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”诗句中谈到的鸦为_____只，树为_____棵．
4 某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在六一期间举行文具优惠售卖活
动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖岀60支，卖得金额87元，
求卖出的铅笔和圆珠笔的数量．（列方程解决问题）
5 新华书店推出售书优惠方案：一次性购书不超过100元，不享受优惠；一次性购书超过100元但不
超过200元一律打九折；一次性购书200元以上一律打八折．
（1）如果小明一次性购书的原价为250元，那么他实际付款_________元；
（2）如果小华同学一次性购书付款162元，那么小华所购书的原价为多少元？
6 某校计划购买20张书柜和一批书架（书架不少于20只），现从A、B两家超市了解到：同型号的产
品价格相同，书柜每张210元，书架每只70元，A超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一只书架，B
超市的优惠政策为所有商品八折．
（1）若在同一超市购买所有的产品，购买多少只书架时所付的费用相等？
（2）在（1）的基础上，若规定只能到其中一个超市购买所有物品，什么情况下到A超市购买合
算？
（3）若学校想购买20张书柜和100只书架，分别求出在A超市和B超市购买所有产品所付的费用；
（4）若学校想购买20张书柜和100只书架，且可到两家超市自由选购．你认为至少要准备多少货
款，请用计算说明．
能力强化 / 初一 / 秋季
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第 14 讲 数据的收集与整理
例题练习题答案
例1
(1)为了解某校初一400名学生的体重情况，从中抽查了50名学生的体重进行统计分析，这个问题
中的总体是指（ ）
A： 初一400名学生
B： 被抽取的50名学生
C： 初一400名学生的体重情况
D： 被抽取的50名学生的体重
(2)为了检查一批零件的长度，从中取50个进行检测，在这个问题中个体是（ ）
A： 零件长度的全体
B： 50
C： 50个零件
D： 每个零件的长度
(3)每年的4月23日是“世界读书日”，为了解某校八年级500名学生对“世界读书日”的知晓情
况，从中随机抽取了50名学生进行调查．在这次调查中，样本是（ ）
A： 500名学生
B： 所抽取的50名学生对“世界读书日”的知晓情况
C： 50名学生
D： 每一名学生对“世界读书日”的知晓情况
(4)学校以年级为单位开展广播操比赛，全年级有13个班级，每个班级有50名学生，规定每班抽
25名学生参加比赛，这时样本容量是（ ）
A： 13
B： 50
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C： 650
D： 325
练1.1 为检测某型号电池的使用寿命，从中抽取10块电池进行测试，在这个问题中，所抽取的10块电池
的使用寿命是（ ）
A： 总体
B： 个体
C： 总体的一个样本
D： 样本容量
例2 质检部门为了检测某品牌电器的质量，从同一批次共10000件产品中随机柚取100件进行检测，检
测出次品5件，由此估计这一批产品中的次品件数是_____．
练2.1 吴京导演的《战狼2》票房已经突破50亿，其中的一句“犯我中华者，虽远必诛”更是传遍大江南
北！为估计单县8000名九年级学生看过《战狼2》的人数，随机抽取400名九年级学生，发现其中
有150名学生看过，由此估计全县九年级学生中有_____名学生看过《战狼2》．
例3 如图是甲、乙两公司近年销售收入情况的折线统计图，根据统计图得出下列结论，其中正确的是
（ ）
A： 甲公司近年的销售收入增长速度比乙公司快
B： 乙公司近年的销售收入增长速度比甲公司快
C： 甲、乙两公司近年的销售收入增长速度一样快
D： 不能确定甲、乙两公司近年销售收入增长速度的快慢
练3.1 如图为某产品产量增长情况统计图，下列说法正确的是( )
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A： 产量持续增长
B： 产量有增有减
C： 开始产量不变
D： 条件不足，无法判断
例4
(1)如图是某校学生到校方式的条形图，根据图形可得出步行人数占总人数的（ ）
A： 20%
B： 30%
C： 50%
D： 60%
(2)如图，这是某地2014年和2015年粮食作物产量的条形统计图，请你根据此图判断下列说法合
理的是（ ）
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A： 2015年三类农作物的产量比2014年都有增加
B： 玉米产量和杂粮产量增长率相当
C： 2014年杂粮产量是玉米产量的约七分之一
D： 2014年和2015年的小麦产量基本持平
例5 如图，这是小新在询问了父母后绘制的去年全家的开支情况扇形统计图，如果他家去年总开支为6
万元，那么用于教育的支出为_____万元．
练5.1 某校学生到校方式的统计图如图所示，若该校步行到校的学生有100人，则乘公共汽车到校的学生
有（ ）
A： 75人
102/121-
B： 100人
C： 125人
D： 200人
例6 为了了解本校七年级学生的身体素质情况，体育老师随机抽取了本校50名七年级学生进行一分钟
跳绳次数测试，测试所得样本数据（单位：次）如下：
88 90 92 96 99 102 106 108 110 112
113 115 115 117 118 120 120 123 125 127
130 132 134 134 134 135 136 137 138 138
139 141 142 142 143 144 145 146 148 149
150 152 153 157 160 162 162 165 168 172
(1) 记跳绳次数为x，补全下面的样本频数分布表与频数分布直方图：
组别 次数（x） 频数（人数）
1 80≤x<100 5
2 100≤x＜120
3 120≤x＜140
4 140≤x＜160
5 160≤x＜180
(2)若该年级有300名学生，请根据样本数据估计该校七年级学生中一分钟跳绳次数不低于120次
的学生大约有多少人？
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练6.1 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．为传承中华优秀传统文化，某校团委组织了一次全
校3000名学生参加的“汉字听写”大赛．为了解本次大赛的成绩，校团委随机抽取了其中200名
学生的成绩作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表：
频数频率分布表
成绩x（分） 频数（人） 频率
50 ≤ x < 60 10 0.05
60 ≤ x < 70 30 0.15
70 ≤ x < 80 40 n
80 ≤ x < 90 m 0.35
90 ≤ x ≤ 100 50 0.25
根据所给信息，解答下列问题：
(1)m = ________，n = ________；
(2)补全频数分布直方图；
(3)若成绩在90分以上（包括90分）为“优”等，请你估计该校参加本次比赛的3000名学生中成
绩是“优”等的约有多少人？
例7 某校七年级共有800名学生，准备调查他们对“低碳”知识的了解程度．
(1)在确定调查方式时，团委设计了以下三种方案：
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方案一：调查七年级部分女生；
方案二：调查七年级部分男生；
方案三：到七年级每个班去随机调查一定数量的学生．
请问其中最具有代表性的一个方案是_____；
(2)团委采用了最具有代表性的调查方案，并用收集到的数据绘制出两幅不完整的统计图（如图
1、图2所示），请你根据图中信息，将两个统计图补充完整；
(3)在扇形统计图中，“比较了解”所在扇形的圆心角的度数是_____；
(4)请你估计该校七年级约有_____名学生比较了解“低碳”知识．
练7.1 为了解某地区30万电视观众对新闻、动画、娱乐三类节目的喜爱情况，按照老年人、成年人、青
少年各年龄段实际人口3∶5∶2的比例，随机抽取一定数量的观众进行调查，得到如下统计图：
（1）上面所用的调查方法是______(填“全面调查”或“抽样调查”)；
（2）写出折线统计图中A、B所代表的值；
A：_________ B：__________
（3）求该地区喜爱娱乐节目的成年人的人数．
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例8 某汽车交易市场为了解二手轿车的交易情况，将本市场去年成交的二手轿车的全部数据，以二手
轿车交易前的使用时间为标准分为A、B、C、D、E五类，并根据这些数据由甲，乙两人分别绘制
了下面的两幅统计图(图都不完整)．
请根据以上信息，解答下列问题:
(1)该汽车交易市场去年共交易二手轿车____________辆．
(2)把这幅条形统计图补充完整．(画图后请标注相应的数据)
(3)在扇形统计图中，D类二手轿车交易辆数所对应扇形的圆心角为________度．
练8.1 为了让更多的失学儿童重返校园，某社区组织“献爱心手拉手”捐款活动．对社区部分捐款户数
进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）．已知A、B两组捐
款户数的比为1：5．请结合图中相关数据回答下列问题．
捐款分组统计表
组别 捐款额（x）元
A 10 ≤ x < 100
B 100 ≤ x < 200
C 200 ≤ x < 300
D 300 ≤ x < 400
E x ≥ 400
106/121-
请结合以上信息解答下列问题．
(1)A组捐款户数为________，本次调查样本的容量________；
(2)C组捐款户数为________，请补全“捐款户数直方图”；
(3)若该社区有500户住户，请根据以上信息估计，全社区捐款不少于300元的户数是多少？
能力强化 / 初一 / 秋季
第 14 讲 数据的收集与整理
课堂落实答案
1 下列调查中，不适合采用抽样调查的是（ ）
A： 了解全国中小学生的睡眠时间
B： 了解全国初中生的兴趣爱好
C： 了解江苏省中学教师的健康状况
D： 了解航天飞机各零部件的质量
2 徐州市今年约20000名初三学生参加数学中考，从中抽取300名考生的数学成绩进行分析，则在该
调查中，样本指的是（ ）
A： 300
B： 300名
C： 20000名考生的数学成绩
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D： 300名考生的数学成绩
3 蜀山区三月中旬每天平均空气质量指数（AQI）分别为：118，96，60，82，56，69，86，
112，108，94，为了描述这十天空气质量的变化情况，最适合用的统计图是（ ）
A： 折线统计图
B： 频数分布直方图
C： 条形统计图
D： 扇形统计图
4 某校为开展第二课堂，组织调查了本校150名学生各自最喜爱的一项体育活动，制成了如下扇形统
计图，则在被调查的学生中，跑步和打羽毛球的学生人数分别是（ ）人．
A： 30，40
B： 45，60
C： 30，60
D： 45，40
5 学校为了调查学生对教学的满意度，随机抽取了部分学生填写问卷调查：“A”表示“很满意”，
“B”表示“满意”，“C”表示“比较满意”，“D”表示“不满意”，如图甲、乙是工作人员
根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）本次问卷调查，共调查了多少名学生？
（2）将图甲中“B”部分的图形补充完整；
（3）求出图乙中扇形“D”的圆心角的度数；
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（4）如果该校有学生800人，请你估计该校学生中有多少人对教学感到“不满意”？
能力强化 / 初一 / 秋季
第 14 讲 数据的收集与整理
自我巩固答案
1 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ）
A： 对华为某型号手机电池待机时间的调查
B： 对全国中学生观看电影《流浪地球》情况的调查
C： 对中央电视台2019年春节联欢晚会满意度的调查
D： 对“长征五号B”运载火箭零部件安全性的调查
2 为调查班级中学生对新班主任老师的印象，下列更具代表性的样本是（ ）
A： 前十名学生的印象
B： 后十名学生的印象
C： 全体男学生的印象
D： 单号学号学生的印象
3 当前，“低头族”已成为热门话题之一，小颖为了了解路边行人边走路边低头看手机的情况，她
应采用的收集数据的方式是（ ）
A： 对学校的同学发放问卷进行调查
B： 对在路边行走的学生随机发放问卷进行调查
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C： 对在图书馆里看书的人发放问卷进行调查
D： 对在路边行走的路人随机发放问卷进行调查
4 一中学有学生3000名，2019年母亲节，晓彤为了调查本校大约有多少学生知道自己母亲的生
日，随机调查了200名学生，有20名同学不知道自己母亲的生日，关于这个数据收集和处理的问
题，下列说法错误的是（ ）
A： 个体是该校每一位学生
B： 本校约有300名学生不知道自己母亲的生日
C： 调查的方式是抽样调查
D： 样本是随机调查的200名学生是否知道自己母亲的生日
5 期中考试结束后，学校为了了解七年级968名学生的数学成绩情况，随机抽取了50名学生的数学
成绩进行分析，对这个问题的说法正确的是（ ）
A： 采取了抽样调查的方式
B： 这次调查的样本容量是968
C： 抽取的这50名学生组成总体的一个样本
D： 每名学生的成绩都是这次调查的一个个体
6 为了反映某种股票的涨跌情况，应选择（ ）
A： 扇形统计图
B： 条形统计图
C： 折线统计图
D： 以上三种都一样
7 对赵中、安中的最近的联考的数学测试成绩（得分为整数）进行统计，将所有成绩由低到高分成
五组，并绘制成如图所示的频数分布直方图，根据直方图提供的信息，在这次测试中，成绩为A等
（80分以上，不含80分）的百分率为（ ）
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A： 24%
B： 40%
C： 42%
D： 50%
8 2019年3月25日是全国中小学生安全教育日，某学校为加强学生的安全意识，组织了全校1500名
学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计．请
根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：
频率分布表
这次抽取了___名学生的竞赛成绩进行统计，其中：m =___，n =___.
9 为了解某地区七年级学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，从该地区
随机抽取部分七年级学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名同学只
能选择其中一类节目），并调查得到的数据用下面的表和扇形图来表示（表、图都没制作完
成）．
节目类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲
人数 36 90 a b 27
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根据表、图提供的信息，解决以下问题：
（1）计算出表中a、b的值；
（2）求扇形统计图中表示“动画”部分所对应的扇形的圆心角度数；
（3）若该地区七年级学生共有47500人，试估计该地区七年级学生中喜爱“新闻”类电视节目的
学生有多少人？
10 为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天户外活动的平均时间不少于1小时，为了解学
生参加户外活动的情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如
图所示的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
(1)在这次调查中共调查了多少名学生？
(2)求户外活动时间为0.5小时的人数，并补充频数分布直方图；
(3)求表示户外活动时间为2小时的扇形圆心角的度数．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 14 讲 数据的收集与整理
精选精练
1 为了估计某鱼塘里鱼的条数，先捕捞30条鱼，给它们分别做上标记，然后放回鱼塘中，待有标记
的鱼完全混合于鱼群后，第二次捕捞出80条鱼，发现其中2条有标记，从而估计这个鱼塘中有鱼
_____条．
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2 为了估计该地区黄羊的数量，先捕捉20只黄羊给它们分别做上标记，然后放回，待有标记的黄羊
完全混合于黄羊群后，第二次捕捉60只黄羊，发现其中2只有标记．从而估计该地区有黄羊_____
只．
3 近一个月来某地区遭受暴雨袭击，水位上涨，小明以警戒水位为0点，用折线图表示某一天河水水
位的情况，如图所示，请你结合图形判断下列叙述不正确的有（ ）
①8时水位最高；
②这一天水位均高于警戒水位；
③8时到16时水位都在下降；
④点P表示12时水位高于警戒水位0.6米．
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
4 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程数．“燃油效率”越高表示汽车每消耗1
升汽油行驶的里程数越多；“燃油效率”越低表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越少．如图描
述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列说法中，正确的是（ ）
A： 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
B： 以低于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，三辆车中，乙车消耗汽油最少
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C： 以高于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，丙车比乙车省油
D： 以80km/h的速度行驶时，行驶100公里，甲车消耗的汽油量约为10升
5 体育课的一个项目是排球30秒对墙垫球，为了解某校七年级学生此项目平时的训练情况，随机抽
取了该校部分七年级学生进行测试，根据测试结果，制作了如下尚不完整的频数分布表，其中第1
组垫球个数在10 ≤ x < 20的人数占被调查人数的10%．
组别 垫球个数x（个） 频数（人数）
1 10 ≤ x < 20 5
2 20 ≤ x < 30 a
3 30 ≤ x < 40 20
4 40 ≤ x < 50 16
（1）表中a = ___________；
（2）补全频数分布直方图；
（3）求第四组垫球个数在40≤x＜50的人数占被调查人数的百分比；
（4）若垫球个数在20个以上（含20个）算合格，该校七年级有400名学生，请你估计该校七年级
学生在这一项目中合格的学生约有多少人？
6 某校为了更好地开展“阳光体育一小时”活动，围绕着“你最喜欢的体育活动项目是什么（只写
一项）？”的问题，对本校学生进行了随机抽样调查，以下是根据得到的相关数据绘制的统计图
的一部分．
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各年级学生人数统计表：
年级 七年级 八年级 九年级
学生人数/人 180 120
请根据以上信息解答下列问题：
（1）该校对多少名学生进行了抽样调查？
（2）请将图1和图2补充完整；
（3）已知该校七年级学生比九年级学生少20人，请你补全上表，并利用样本数据估计全校学生中
最喜欢踢毽子运动的人数．
能力强化 / 初一 / 秋季
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 3的相反数是（ ）
A： 1
−
3
B： 1
3
C： −3
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D： 3
2 2015年全世界人口超过1370000000，1370000000用科学记数法表示为（ ）
A： 2
1.37×10
B： 9
1.37×10
C： 7
1.37×10
D： 8
1.37×10
3 2
单项式−ab 的系数是（ ）．
A： 1
B： −1
C： 2
D： 3
4 把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的道理是（ ）
A： 两点之间，射线最短
B： 两点确定一条直线
C： 两点之间，直线最短
D： 两点之间，线段最短
5 5x+7 x+17
解方程3− = − ，去分母正确的是（ ）
2 4
A： 12−2(5x+7) = −(x+17)
B： 12−2(5x+7) = −x+17
C： 3−2(5x+7) = −(x+17)
D： 12−10x+14 = −(x+17)
6 2 2 2 2
已知x +xy = 3，y +2xy = 4，则2x +8xy+3y = （ ）
16/121-
A： 14
B： 17
C： 21
D： 18
7 若∠A = 136.54∘，则它用度、分、秒表示为（ ）
A： 136∘50 ′ 40 ″
B： 136∘32 ′ 40 ″
C： 136∘50 ′ 24 ″
D： 136∘32 ′ 24 ″
8 有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式成立的是（ ）
A： b−a > 0
B： −b > 0
C： a > −b
D： −ab < 0
9 为了考查一批日光灯管的使用寿命，从中抽取了30只进行试验，在这个问题中，下列说法正确的
有( )
①总体是指这批日光灯管的全体；
②个体是指每只日光灯管的使用寿命；
③样本是指从中抽取的30只日光灯管的使用寿命；
④样本容量是30只．
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
17/121-
10 已知m、n为两个不相等的有理数，根据流程图中的程序，当输出数值y为48时，所输入的m、n中
较大的数为（ ）
A： 48
B： 24
C： 16
D： 8
11 古代名著《算学启蒙》中有一题:良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十
二日，问良马几何追及之．意思是:跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马
先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，则由题意，可列方程为
_______________________．
12 若x = 1是方程2kx−5 = 0的解，则k = ___________．
13 如图，点C是线段AB上的点，M是AC的中点，N是BC中点，如果AB = 8cm，那么MN的长是
________．
14 若多项式2 ( x 2 −xy−3y 2 ) − ( 3x 2 −axy+y 2 ) 中不含xy项，则该式子化简结果为________．
15 将一副三角板如图摆放，若∠BAC = 29∘，则∠EAD = __________∘．
18/121-
16 2 n
若|m+3|+(n−2) = 0，则m 的值为____________．
17 如图，AO⊥BO，垂足为O，射线OD平分∠AOC，∠BOC = 20∘，则
∠AOD的度数为________．
18 x m
已知关于x的方程 + = x−4与方程2x+5 = 3(x−1)的解相同，则m = ______．
2 3
19 1
( )
2 2
计算：（1）11−(−12)+(−15)（2）−5 +2×(−3) +(−2)÷ −
3
20 解方程：
（1）3x+7 = 5x−3；
x−3 2x−1
（2） + = x−1．
2 3
21 先化简，再求值：
19/121-
2
( ) ( )
2 2
2x− x−y +8 −3x+y ，其中x = −2，y = ．
3
22 列方程解应用题：
入冬以来，某家电销售部以150元/台的价格购进一款烤火器，很快售完，又用相同的货款再次购
进这款烤火器，因单价提高了30元，进货量比第一次少了10台．
(1)家电销售部两次各购进烤火器多少台？
(2)若以250元/台的售价卖完这两批烤火器，家电销售部共获利多少元？
23 已知线段AB的长为10cm，C是直线AB上一动点，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点.
（1）若点C恰好为线段AB上一点，则MN = ___________cm；
（2）猜想线段MN与线段AB长度的关系，即MN = ________AB，并说明理由．
24 某汽车交易市场为了解二手轿车的交易情况，将本市场去年成交的二手轿车的全部数据，以二手
轿车交易前的使用时间为标准分为A、B、C、D、E五类，并根据这些数据由甲，乙两人分别绘制
了下面的两幅统计图(图都不完整)．
请根据以上信息，解答下列问题:
(1)该汽车交易市场去年共交易二手轿车____________辆．
(2)把这幅条形统计图补充完整．(画图后请标注相应的数据)
(3)在扇形统计图中，D类二手轿车交易辆数所对应扇形的圆心角为________度．
25 如图1，∠AOB = α，∠COD = β，OM、ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线．
（1）若∠AOB = 50∘，∠COD = 30∘，当∠COD绕着点O逆时针旋转至射线OB与OC重合时（如
图2），则∠MON的大小为__________；
（2）在（1）的条件下，继续绕着点O逆时针旋转∠COD，当∠BOC = 10∘时（如图3），求
∠MON的大小并说明理由；
（3）在∠COD绕点O逆时针旋转过程中，∠MON = ________________．（用含α、β的式子表示）
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26 现在，红旗商场进行促销活动，出售一种优惠购物卡(注：此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货
款)，花300元买这种卡后，凭卡可在这家商场按标价的8折购物．
(1)顾客购买多少元金额的商品时，买卡与不买卡花钱相等？在什么情况下购物合算？
(2)小张要买一台标价为3500元的冰箱，如何购买合算？小张能节省多少元钱？
(3)小张按合算的方案，把这台冰箱买下，如果红旗商场还能盈利25%，这台冰箱的进价是多少
元？
27 如图，C是线段AB上一点，AB = 20cm，BC = 8cm，点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB向右运动，
终点为B；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A已知P、Q同时出发，当其中一
点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P运动时间为x秒．
（1）AC = _________cm；
（2）当x = _________s时，P、Q重合；
（3）是否存在某一时刻，使得C、P、Q这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若
存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
121/121
