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能力强化 / 初三 / 寒假
第 1 讲 一轮复习之三角形
例题练习题答案
例1 如图，△ ABC、△ ADE中，C、D两点分别在AE、AB上，BC与DE相交于F点．若
BD=CD=C，E∠ADC +∠ACD=，11则4∠∘ DFC为（ ）
A： 114∘
B： 123∘
C： 132∘
D： 147∘
例2 在△ ABC中，AD=B，F点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行
四边形．求证：AB =A．C
例3 如图，已知∠MON =6，0∘ OP是∠MON的角平分线，点A是OP上一点，过点A作ON的平行线交
OM于点B，AB =，4则直线AB与ON之间的距离是（ ）
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–
A： √3
B： 2
–
C： 2√3
D： 4
例4 已知在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三
角形）△ABC的顶点A、B的坐标分别为（0，0）、（2，-2），是否存在等腰三角形△ABC，且点
C在坐标轴上，若存在请在图中标注符合条件的点C，并写出点C的坐标；若不存在请说明理由．
例5 在△ ABC中，AB =AC =，6由作图痕迹可得DE的长为（ ）
A： 2
B： 3
C： 4
D： 6
例6 已知△ABC，AB =A，CD为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=，α
∠CDE =，β
（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC =6，0∘∠ADE =7，0∘ 则α=
∘ ；β = ∘ ．
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（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．
例7 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分别以点A，C为圆心，大于
1
AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，
2
则CD的长为（ ）
–
A： 2√2
B： 4
C： 3
−−
D： √10
例8 如图所示：CE，BF是ΔABC的两条高，M是BC的中点， 连ME，MF，∠BAC =5，0∘ 则
∠EMF的大小是( )
A： 50∘
B： 60∘
C： 70∘
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D： 80∘
例9 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,0)，点B的坐标为(4,10，) 点C在y轴上，且△ ABC是直角
三角形，则满足条件的C点的坐标为 ．
——
例10 如图，△ABC中，AB =A，C∠BAC =4，5∘BC =，2 D是线段BC上的一个动点，点D关于直线
AB、AC的对称点分别为M、N，则线段MN长的最小值是______．
–
例11 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=√2 +，1点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿
MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′ 始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的
长为______．
例12 如图，点M是直线y =2x+上3的动点，过点M作MN垂直于x轴于点N，y轴上是否存在点P，使
得ΔMNP为等腰直角三角形，则符合条件的点P有（提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一半）( )
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
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第 1 讲 一轮复习之三角形
自我巩固答案
–
1 如图，底边BC为4√3，顶角A为120∘ 的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为
（ ）
–
A： 5√3
–
B： 4 +4√3
–
C： 4 +2√3
–
D： 8 +4√3
2 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A、B是两格点，如果C也是图中的格
点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A： 6 个
B： 7 个
C： 8 个
D： 9个
3 如图，小军，小珠之间的距离为2.7m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m，1.5m．已知小
军、小珠的身高分别为1.8m，1.5m．则路灯的高是多少？
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4 如图，在△ABC中，AB =A，C∠A =36， ∘BD平分∠ABC交AC于点D，求证：AD=B．C
5 如图，点O(0,0，) A(2,2，) 若存在格点P，使△APO为等腰直角三角形，则点P的个数为( )
A： 4
B： 5
C： 6
D： 8
6 如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
1
①分别以B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
2
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（ ）
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A： 90°
B： 95°
C： 100°
D： 105°
7 如图，在四边形ABCD中，∠ABC =9，0∘AC =AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接
BM，MN，BN．
（1）求证：BM =M；N
（2）若∠BAD=6，0∘AC平分∠BAD，AC =，2求BN的长．
8 如图，△ABC中，AB =AC =，13BC =1，0D为BC中点，DE⊥AB于E，求DE的长度．
9 如图，在Rt△ABC中，∠ACB =9，0∘AC =，6BC =，8则Rt△ABC的中线CD的长为( )
A： 5
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B： 6
C： 8
D： 10
10 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(3,3，) B(0,5，) 若在坐标轴上找一点C，使得△ABC是等腰
三角形，则这样的点C有（ ）
A： 4个
B： 5个
C： 6个
D： 7个
能力强化 / 初三 / 寒假
第 1 讲 一轮复习之三角形
课堂落实答案
1 如图，在△ABC中，AB =A，CAD、CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD=2，0∘ 则
∠ACE的度数是( )
A： 20°
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B： 35°
C： 40°
D： 70°
2 如图，在小长方形组成的网格中，每个小长方形的长为2，宽为1，A、B两点在网格的格点上，若
点C也在网格的格点上，且△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是( )
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
3 如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即CA =C．B若n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在
同一条直线上如图2所示，其张角度数变化如下：∠A C A =16，0∘∠A C A =8，0∘
1 1 2 2 2 3
∠A
3
C
3
A
4
=4，0∠∘ A
4
C
4
A
5
=2…0∘ 根据上述规律请你写出∠A
n+1
A
n
C
n
= °．（用含n的
代数式表示）
4 如图，△ABC中，AB =AC =，6BC =，8AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接
DE，则△BDE的周长是( )
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–
A： 7+√5
B： 10
–
C： 4+2√5
D： 12
5 如图:在△ABC中,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,且EF //BC交AC于M,若CM =,5则
CE2 +CF等2于（ ）
A： 75
B： 100
C： 120
D： 125
能力强化 / 初三 / 寒假
第 1 讲 一轮复习之三角形
精选精练
1 在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的
点Q共有（ ）
A： 5个
B： 4个
C： 3个
D： 2个
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2 如图，△ABC中，有一点P在AC上移动．若AB =AC =，5BC =，6则AP +BP +的CP最小值为
（ ）
A： 8
B： 8.8
C： 9.8
D： 10
3 如图，在四边形ABCD中，AD// B，CDE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的
中点，∠ACD=2∠AC．B若DG=，3EC =，1则DE的长为（ ）
–
A： 2√3
−−
B： √10
–
C： 2√2
–
D： √6
4 如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，BM为∠ABC的角平分线，l与BM相交于P点，若
∠A =60， ∘∠ACP =2，4∘ 则∠ABP的度数为（ ）
A： 24°
B： 30°
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C： 32°
D： 36°
5 如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD=C，B点E为BD的中点，点F为AC的中点，连接EF交CD
于点M，连接AM．
1
（1）求证：EF = A；C
2
（2）若∠BAC =4，5∘ 求线段AM、DM、BC之间的数量关系．
6 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，
且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．（图2，图3备用）
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第 2 讲 一轮复习之全等与相似
例题练习题答案
例1 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO，下列结论：①AC⊥BD；②
CB =C；D③△ABC≌△ABD；④DA =D．C其中所有正确结论的序号是__________．
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例2 如图，在△ABC中，∠B =∠C =4，0点 ∘ D、点E分别从点B、点C同时出发，在线段BC上做等速运
动，到达C点、B点后运动停止．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AB =B，E求∠DAE的度数；
拓展：若△ABD的外心在其内部，求∠BDA的取值范围．
例3 如图1，在等边△ABC和等边△ADP中，AB =，2点P在△ABC的高CE上（点P与点C不重合），点D
在点P的左侧，连接BD，ED．
（1）求证：BD=C；P
（2）当点P与点E重合时，延长CE交BD于点F，请你在图2中作出图形，并求出BF的长；
（3）直接写出线段DE长度的最小值．
–
例4 如图，在△ABC中，AB =AC =2，√∠2BAC 9=0∘ ，点D，E都在边BC上，且∠DAE 4=5∘ ．若
BD=2C，E则DE的长为__________．
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例5 如图，在长方形ABCD中，AB =CD=厘6米，BC =1厘0米，点P从点B出发，以2厘米/秒的速
度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒：
（1）PC =_____厘米；（用含t的代数式表示）
（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？
（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以v厘米/秒的速度沿CD向点D运动，是否存
在这样的v值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
例6
AE 3 AC
(1)如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果 = ，那么 等于( )
EC 5 AB
3
A：
5
5
B：
3
8
C：
5
3
D：
2
(2)如图，已知点P是Rt△ABC的斜边BC上任意一点，若过点P作直线PD与直角边AB或AC相交
于点D，截得的小三角形与△ABC相似，那么D点的位置最多有( )
A： 2处
B： 3处
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C： 4处
D： 5处
(3)如图是用杠杆撬石头的示意图，C是支点，当用力压杠杆的A端时，杠杆绕C点转动，另一端
B向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B端必须向上翘起10cm，
已知杠杆的动力臂AC与阻力臂BC之比为5 :1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A端向下
压____cm．
例7 （1）问题
如图1， 在 四 边 形 ABCD中 ， 点 P为 AB上 一 点 ， ∠DPC =∠A =∠B =．90求 ∘ 证 ：
AD⋅BC =AP ⋅；BP
（2）探究
如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC =∠A =∠B时=，θ上述结论是否依然
成立？说明理由；
（3）应用
请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB =，6AD=BD=．5点P以每
秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC =∠．A设点P的运动时
间为t（秒），当DC与△ABD的边AB上的高相等时，求t的值．
例8 （1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA =O，BOC =OD，∠AOB =∠COD=，4连0∘ 接AC，BD交
于点M．
填空：
AC
① 的值为____；
BD
②∠AMB的度数为____．
（2）类比探究
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如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB =∠COD=，9∠0∘OAB =∠OCD=，3连0∘ 接AC交BD的
AC
延长线于点M．请判断 的值及∠AMB的度数，并说明理由．
BD
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=，1
–
OB =√，7请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
例9 我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的
高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷
达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30∘ ．火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处
的雷达测得B处的仰角增加15∘ ，求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离．（结果精确到
– –
0.1千米）(参考数据：√2 ≈1.4，1√3 ≈1.73)
例10 如图，大楼AC的一侧有一个斜坡，斜坡的坡角为30∘ ．小明在大楼的B处测得坡面底部E处的俯角
为33∘ ，在楼顶A处测得坡面D处的俯角为30∘ ．已知坡面DE =20，mCE =30，m点C，D，E在
–
同一平面内，求A，B两点之间的距离．（结果精确到1m，参考数据：√3 ≈1.73，
sin33∘ ≈0.，54cos33∘ ≈0.，84tan33∘ ≈0.65)
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第 2 讲 一轮复习之全等与相似
自我巩固答案
1 如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AD=，2DB =，3BC =，6 则DE的
长为（ ）
A： 4
B： 2.5
12
C：
5
D： 10
EF
2
如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，DE、AC交于点F，则 的值为（ ）
DF
1
A：
2
1
B：
3
1
C：
4
D： 3
3 如图，平面上有△ACD与△BCE，其中AD与BE相交于P点，若AC =B，CAD=BE，CD=C，E
∠ACE=5，5∘∠BCD=15，5∘ 则∠BPD的度数为（ ）
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A： 110°
B： 125°
C： 130°
D： 155°
4 如图，已知Rt△ABC中，∠BAC =9，0∘AD⊥B，C下列选项中正确的是（ ）
A： AB2 =AC ⋅AD
B： AB2 =BD⋅AC
C： AC2 =CD⋅AB
D： AD2 =BD⋅CD
2
5 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=6，0∘BP =，1CD= ，
3
则△ABC的边长为（ ）
A： 3
B： 4
C： 5
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D： 6
6 已知△ABC和△DCE是等边三角形，点B，C，E在同一直线上，AE与CD交于点F，AC与BD交于点
G，连接GF．下列结论：①AE =BD；②AG=D；F③GF // B；E④CF =G，F其中正确的
个数是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
7 如图，广场上空有一个气球A，地面上点B，C，D在一条直线上，BC =2米0．在点B，C分别测得
气球A的仰角∠ABD=4，5∘∠ACD=6．0∘ 则气球A离地面的高度为（ ）
–
A： (30 −10√米3)
–
B： 20√3米
–
C： (30 +10√米3)
–
D： 40√3米
8 如图，把一块等腰直角三角形零件（△ABC，其中∠ACB =9）0∘ 放置在一凹槽内，三个顶点
A，B，C分别落在凹槽内壁上，已知∠ADE =∠BED=，9测0∘ 得AD=5c，mBE =7c，m求该
三角形零件的面积．
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9 如图，在△ABC中，AD⊥B于CD，BE⊥AC于E，DF⊥A于BF，交BE于G，FD、AC的延长线交于
点H．
求证：（1）△FBG∽△FHA；
（2）DF2 =FG⋅F．H
10 如图1，在△ABC中，∠ACB =9，0∘BC =，2∠A =30， ∘ 点E，F分别是线段BC，AC的中点，连
接EF．
AF
（1）线段BE与AF的位置关系是__________， =________．
BE
（2）如图2，当△CEF绕点C顺时针旋转α时(0∘ <α<180， ∘ 连) 接AF，BE，（1）中的结论是否
仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，当△CEF绕点C顺时针旋转α时(0∘ <α<180， ∘)延长FC交AB于点D，如果
–
AD=6 −2√，求3 旋转角α的度数．
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第 2 讲 一轮复习之全等与相似
课堂落实答案
1 如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC =∠BDC =，9B0∘C =，8AB =A，C∠CBD=3，0∘
–
BD=4√，3M，N分别在BD，CD上，∠MAN =4，5∘ 则△DMN的周长为____________．
2 如图，在平行四边形ABCD中，AB =，4BC =，6 ∠ABC、∠BCD的角平分线分别交AD于E、F
两点，BE与CF交于点G，则△EFG与△BCG的面积之比是（ ）
A： 1：3
B： 1：4
C： 1：8
D： 1：9
3 如图，点O为线段AB上的任意一点（不与A，B重合），分别以AO，BO为一腰在AB的同侧作等腰
△AOC和△BOD，OA =OC，OB =OD，∠AOC与∠BOD都是锐角，且∠AOC =∠BO，DAD
与BC相交于点P，∠COD=11，0∘ 则∠APB（= ）
A： 125 ∘
B： 135 ∘
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C： 145 ∘
D： 155 ∘
4 从一栋两层楼的楼顶点A处看对面的教学楼，探测器显示，看到教学楼底部点C处的俯角为45∘ ，看
到楼顶部点D处的仰角为60∘
，已知两栋楼之间的水平距离为6米，则教学楼的高CD是（ ）
–
A： (6 +6√米3)
–
B： (6 +3√米3)
–
C： (6 +2√米3)
D： 12米
5 如图，在△PAB中，∠APB =12，0∘ M，N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，求证：
BM ⋅PA =PN ⋅．BP
能力强化 / 初三 / 寒假
第 2 讲 一轮复习之全等与相似
精选精练
1 如图，已知在△ABC中，AB =AC =厘12米，∠B =∠，CBC =厘8米，点D为AB的中点．如果点
P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点
Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为（ ）
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A： 2
B： 3
C： 2或3
D： 1或5
2 （1）如图1，在Rt△ACB中，∠BAC =9，0∘AB =A，C分别过B、C两点作过点A的直线l的垂
线，垂足为D、E．当D、E两点在直线BC的同侧时，猜想，BD、CE、DE三条线段有怎样的数量关
系？并说明理由；
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB =A，CD、A、E三点都在直线l上，并且
有∠BDA =∠AEC =∠BAC，其=中αα为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD+C是E否成
立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
3 如图，在△ABC中，点D，F在边AB上，点E在边AC上，如果DE∥BC，EF∥CD，那么一定有（ ）
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A： DE2 =AD⋅AE
B： AD2 =AF ⋅AB
C： AE2 =AF ⋅AD
D： AD2 =AE ⋅AC
4 如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =，9四0∘ 边形ACDE是平行四边形，
连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中：①CE =BD；②△ADC是等腰直
角三角形；③△AEC≌△AEB；④△CGD∽△CDF，一定正确的结论有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
5 如图，在△ABC中，AB =AC =，5BC =，8 点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，
∠ADE =∠B =，αDE交AC于点E，下列结论：①AD2 =AE ⋅A；B②1.8≤AE <；5③当
−−
AD=√1时0，△ABD≌△DCE．其中正确的结论有（ ）
A： 0个
B： 1个
C： 2个
D： 3个
24/86
6 已知，点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分
别为E、F，Q为斜边AB的中点．
（1）如图1，当点P与点Q重合时，求证：QE =Q；F
（2）如图2，若AC =B，C求证：BF =AE +E；F
–
（3）在（2）的条件下，若AE =，6QE =√，2求线段AC的长．
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第 3 讲 一轮复习之四边形
例题练习题答案
例1 如图，在□ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE、BE，若AE、BE分别是∠DAB、∠CBA的
角平分线，且AB =，4则□ABCD的周长为（ ）
A： 10
–
B： 8√2
–
C： 5√5
D： 12
例2 如图，在□ABCD中，∠BAC =9，0∘∠ABC =6，0∘E是AD的中点，连接BE交对角线AC于点
F，连接DF，则tan∠DF的E值为（ ）
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–
√3
A：
4
–
√3
B：
5
–
√3
C：
6
–
√3
D：
7
例3 如图，在矩形ABCD中，AB =，5BC =，7点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折
叠，当点A的对应点A′ 恰好在∠BCD的平分线上时，CA的 ′ 长为（ ）
–
A： 3或4√2
– –
B： 3√2或4√2
C： 3或4
–
D： 4或3√2
例4 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，延长AE至
G，使EG=A，E连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
例5 如图，已知菱形ABCD的周长为16，∠ABC =6，0∘ 点E为AB的中点，若P为对角线BD上一动
点，则EP +A的P最小值为（ ）
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A： 2
–
B： 2√3
C： 4
–
D： 4√3
例6 如图，在面积为24的□ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点
E，DE =，6则sin∠DC的E值为（ ）
24
A：
25
4
B：
5
3
C：
4
12
D：
25
例7 如图，在四边形ABCD中，∠BAC =9，0∘E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点
F．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB =，6BC =1，0求EF的长．
例8 如图，正方形ABCD中，AB =，6E是CD的中点，将△ADE沿AE翻折至△AFE，连接CF，则
CF的长度是________．
27/86
例9 如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于
点H．连接HF、AF，其中AF交EC于点M．
（1）求证：△AHF为等腰直角三角形；
（2）若AB =，3EC =，5求EM的长．
例10 如图，在△ABC中，∠ACB =12，0∘BC =，4 D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积
是______．
例11 如图，已知△ABC中，点M是BC边上的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，若AB =，7
MN =，3则AC的长为（ ）
A： 14
B： 13
C： 12
D： 11
28/86
例12 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的点，某同学探索出如
下结论，其中不正确的是（ ）
A： 当E、F、G、H是各边中点且AC =B时D，四边形EFGH为菱形
B： 当E、F、G、H是各边中点且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形
C： 当E、F、G、H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形
D： 当E、F、G、H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形
例13 如图，在△ABC中，∠ACB =9，0∘M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D， 使
1
CD= B，D连接DM、DN、MN、CM．若AB =，6则DN的值为（ ）
3
A： 6
B： 3
C： 2
D： 4
能力强化 / 初三 / 寒假
第 3 讲 一轮复习之四边形
自我巩固答案
29/86
1 如图，在平行四边形ABCD中，∠ADC的角平分线DE交边AB于点E，连接CE，若∠ADE=25， ∘
∠BCE =1，5∘ 则∠BEC的度数为（ ）
A： 115∘
B： 120∘
C： 125∘
D： 130∘
2 如图，在矩形ABCD中，AB =，2BC =．3若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE
于点F，则BF的长为（ ）
−−
3√10
A：
2
−−
3√10
B：
5
−−
√10
C：
5
–
3√5
D：
5
3 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边上的一个动点，∠BAD=12，0∘ 菱
形ABCD的周长为24，则OE的最小值为（ ）
–
2√3
A：
3
B： 3
–
30/86
–
3√3
C：
2
–
4√3
D：
3
4 如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若
BE :EC =2，:1则线段CH的长是（ ）
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
5 如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：
①若AC =B，D则四边形EFGH为矩形；
②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；
③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．
其中正确的个数是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
31/86
6 如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，过A点作AF⊥BF，垂足为F，延长AF交BC于点G，点D为
AB中点，连接DF并延长交AC于点E．若AB =1，2BC =2，0则线段EF的长为（ ）
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
7 如图，已知在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，连结DF、EF、BF．
（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；
（2）若∠AFB =9，0∘AB =，6求四边形BEFD的周长．
8 在△ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠BCA的平分线于点E，交
∠DCA的平分线于点F．
（1）求证：EO=F；O
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
9 在Rt△ABC中，∠BAC =9，0∘ 点D是BC的中点，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延
长线于点F．
32/86
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC =，4AB =，5求菱形ADCF的面积．
10 如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且
∠CEF =9，0∘ FG⊥AD，垂足为点C．
（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；
（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．
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第 3 讲 一轮复习之四边形
课堂落实答案
1 如图，□ABCD的周长为22m，对角线AC、BD交于点O，过点O且与AC垂直的直线交边AD于点
E，则△CDE的周长为（ ）
A： 8cm
B： 9cm
33/86
C： 10cm
D： 11cm
2 如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是(−1,0，) 点C的坐标是(2,4)，则BD的长是（ ）
A： 6
B： 5
–
C： 3√3
–
D： 4√2
3 如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是（ ）
A： 2.5
B： 3
C： 4
D： 5
4 如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=7，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别
是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）
34/86
A： 12
B： 14
C： 24
D： 21
5 如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE =D，F连接
AE、AF、EF．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若AE =，5请求出EF的长．
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第 3 讲 一轮复习之四边形
精选精练
1 已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，
CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
（1）求证：AB =A；F
（2）若AG=A，B∠BCD=12，0∘ 判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
35/86
2 在矩形ABCD中，AB =，5BC =，7点P是直线BC一动点，若将△ABP沿AP折叠，使点B落在平
面上的点E处，连接AE、PE．若P、E、D三点在同一直线上，则BP =________．
3 如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若
∠DHO=2，0∘ 则∠ADC的度数是（ ）
A： 120∘
B： 130∘
C： 140∘
D： 150∘
4 如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，AE与BD交于点P，F是CD上一点，连接
AF分别交BD、DE于点M、N，且AF⊥DE，连接PN，则以下结论中：①S △ABM =4S △FD；M②
−−
2√65 3
PN = ；③tan∠EAF =；④△PMN∽△DPE，正确的是（ ）
15 4
A： ①②③
B： ①②④
C： ①③④
D： ②③④
36/86
5 如图，在四边形ABCD中，已知AB =CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∠ABD=2，0∘∠BDC =7，0∘ 则∠NMP的度数为（ ）
A： 50°
B： 25°
C： 15°
D： 20°
6 如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB =AD，CB =CD，问四边形ABCD是垂美四
边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．
试证明：AB2 +CD2 =AD2 +；BC2
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方
形ABDE，连接CE、BG、GE．已知AC =，4AB =，5求GE的长．
能力强化 / 初三 / 寒假
37/86
第 4 讲 一轮复习之圆
例题练习题答案
例1
(1)如图，在△ ABC中，已知∠ACB =13，0∘∠BAC =2，0∘BC =，2以点C为圆心、CB为半径
的圆交AB于点D，则BD的长为（ ）
–
A： √3
–
B： 2√3
–
√3
C：
3
D： 4
⌢
(2)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AB），点O是这段弧所在圆的圆心，AB =4m0，点C
⌢
是AB的中点，点D是AB的中点，且CD=1m0，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A： 25m
B： 24m
C： 30m
D： 60m
(3)如图，在⊙O中，弦AB =，1点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥O交C⊙O于点D，
则CD的最大值为________．
38/86
(4)如图，AB是⊙O的弦，C是AB的三等分点，连接OC并延长交⊙O于点D，若OC =，3
CD=，2则圆心O到弦AB的距离是（ ）
–
A： 6√2
–
B： 9 −√ 2
–
C： √7
–
D： 25 −3√2
例2
⌢ ⌢
(1)如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB =CD，∠CAD=3，0∘∠ACD=5，0∘ 则∠ADB＝
_____．
(2)如图，AB是⊙O的弦，∠OAB =3，0∘ OC⊥OA，交AB于点C，若OC =，6则AB的长等于
____．
(3)如图，B、C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E、F两点，与线段AC交于D点，若
∠BFC =2，0∘ 则∠DBC （= ）
39/86
A： 30∘
B： 29∘
C： 28∘
D： 20∘
例3
⌢
(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(1,0、) O(0,0、) B(0,1作) 圆，若点C在劣弧OB上，
则∠BCO的度数为（ ）
A： 125∘
B： 150∘
C： 105∘
D： 135∘
(2)如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=12，0∘∠APD=3，0∘
则
∠ADP的度数为（ ）
A： 45∘
B： 40∘
40/86
C： 35∘
D： 30∘
⌢ ⌢
(3)如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC =C．B若∠C =110， ∘ 则
∠ABC的度数等于（ ）
A： 55∘
B： 60∘
C： 65∘
D： 70∘
例4
(1)如图，从一个直径为4的圆形铁皮中剪下一个圆心角为60∘ 的扇形ABC，将剪下来的扇形围成
一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为（ ）
2
A：
3
–
√3
B：
3
–
2√3
C：
3
–
√3
D：
2
(2)已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（ ）
A： 60π cm2
B： 65π cm2
41/86
C： 120π cm2
D： 130π cm2
例5
(1)如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB =A，C∠A =40， ∘BD// A，C若⊙O的半径为2．则
图中阴影部分的面积是（ ）
–
2π √3
A：
−
3 2
2π –
B： −√3
3
–
4π √3
C：
−
3 2
4π –
D： −√3
3
–
(2)如图，在△ABC中，AC =A，B∠CAB =3，0∘AC =2√．3以AB的中点O为圆心、AB的长为
直径，在AB的上方作半圆，再以点A为圆心、AC的长为半径，作扇形DAC，且
∠DAC =3，0∘ 则图中阴影部分的面积为________．
–
(3)如图，在扇形AOB中，∠AOB =12，0∘ 半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA =2√，3
则阴影部分的面积为_____．
例6 如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上，若∠P =102， ∘ 则
∠A +∠C_=_______．
42/86
例7 如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，连接OD、OC，下
列结论：①∠DOC =9，0∘ ②AD+BC =A，B③S
ABCD
=CD⋅，O④A
BO2 ⋅S △AOD =BC2 ⋅S， △ 其BO中C正确的有_____（填序号）．
例8 如图，在Rt△ AB中C，∠C =90， ∘ 以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A =∠AD；E
（2）若AD=，8DE =，5求BC的长．
例9 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆⊙O相交于点D，过D作直线DG∥BC．
（1）求证：DG是⊙O的切线；
– ⌢
（2）若DE =，6BC =6√，3求优弧BAC的长．
3
例10 如图，直径为10的半圆O，tan∠DBC =，∠BCD的平分线交⊙O于F，E为CF延长线上一点，
4
且∠EBF =∠GB．F
（1）求证：BE为⊙O切线；
43/86
（2）求证：BG2 =FG⋅C；E
（3）求OG的值．
能力强化 / 初三 / 寒假
第 4 讲 一轮复习之圆
自我巩固答案
1 已知⊙O的半径为5，P为⊙O内一点，且OP =，3则过点P的所有弦中，弦长是整数的共有（ ）
A： 4条
B： 3条
C： 2条
D： 1条
–
2 已知在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直且相等的两条弦，垂足为点P，且OP =3√，2则
弦AB的长为（ ）
A： 4
B： 6
C： 8
D： 10
44/86
3 如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若AC =C，D且∠ACD=5，0∘ 则∠BAC的度数为
（ ）
A： 20∘
B： 35∘
C： 25∘
D： 30∘
4 如图，AB为⊙O的直径，∠CAB =3，0∘CB =，3∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，则弦AD的长
为（ ）
–
A： 2√3
–
B： 2√2
–
C： 3√3
–
D： 3√2
5 如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA =D，C∠CBE =5，0∘ 则∠DAC的大小为（ ）
A： 130∘
45/86
B： 100∘
C： 65∘
D： 50∘
6 如图，正方形ABCD的边长AB =，4分别以点A、B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，则
⌢
CE的长是（ ）
2
A： π
3
B： π
4
C： π
3
8
D： π
3
7 如图，PA和PB是⊙O的切线，点A和B是切点，AC是⊙O的直径，已知∠P =50， ∘ 则∠ACB 的大
小是（ ）
A： 65∘
B： 60∘
C： 55∘
D： 50∘
8 如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，且顶点C在⊙O上，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E
是BD中点，连接CE．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
46/86
（2）若AC =，8BC =，6求BD和CE的长．
9 如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过
点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P =30时 ∘ ，
（1）求弦AC的长；
（2）求证：BC∥PA．
10 如图，在△ABC中，AB =A，C以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D、E，过点D作⊙O的切
线DF，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF =22，.5求 ∘ 阴影部分的面积．
能力强化 / 初三 / 寒假
第 4 讲 一轮复习之圆
课堂落实答案
1 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC =c5m，CD=c8m，则AE =（ ）
47/86
A： 8cm
B： 5cm
C： 3cm
D： 2cm
2 如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC =12，6∘ 则∠CDB（= ）
A： 54∘
B： 64∘
C： 27∘
D： 37∘
⌢
3 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA =4，0∘AB =，6则BC的长为（ ）
8π
A：
3
10π
B：
3
5π
C：
3
4π
D：
3
48/86
4 如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB＝50∘ ，则∠BOD等于
（ ）
A： 40∘
B： 50∘
C： 60∘
D： 80∘
5 如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA =∠．C
（1）求证：PB是⊙O的切线；
–
（2）连接OP，若OP // B，C且OP =，8⊙O的半径为2√2，求BC的长．
能力强化 / 初三 / 寒假
第 4 讲 一轮复习之圆
精选精练
1 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP =，2 BP =，6 ∠APC =3，0∘ 则CD的长为
（ ）
49/86
−−
A： √15
–
B： 2√5
−−
C： 2√15
D： 8
2 如图，AB为半圆的直径，且AB =，4半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴
影部分的面积为_________．
–
3 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PA =√3O，A阴影部分的面积为6π，则⊙O的
半径长为_____．
4 如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为直径，则∠A +∠B +∠（C =）度．
A： 30
B： 45
C： 60
50/86
D： 90
5 如图，AB是⊙O的直径，DO⊥A于B点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点
E，连接BC交DO于点F．
（1）求证：CE =E；F
（2）连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：
①当∠D的度数为_______时，四边形ECFG为菱形；
②当∠D的度数为_______时，四边形ECOG为正方形．
6 如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，点E在AB上，且
AE =C．E
（1）求证：AC2 =AE ⋅A；B
（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，试判断PB与PE是否相等，并说明理由；
（3）设⊙O半径为4，点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最小值．
能力强化 / 初三 / 寒假
第 5 讲 一轮复习之代数式与方程不等式
例题练习题答案
51/86
例1
2 4
(1)−0.25的倒数是______，−1 的绝对值是______， 的相反数是______．
3 5
(2)已知|a|=，1 b是2的相反数，则a+的b 值为（ ）
A： −3
B： −1
C： −1或−3
D： 1或−3
(3)计算3.8×107 −3.7×，1结0果 7 用科学记数法表示为______．
(4)已知a、b两数在数轴上的位置如图所示，将0、−a、−b用“<”连接，其中正确的是（ ）
A： −a<0 <−b
B： −b<−a<0
C： 0 <−a<−b
D： −b<0 <−a
例2
(1)如图，点A在数轴上表示的数是−8，点B在数轴上表示的数是16．若点A以6个单位长度/秒的
速度向右匀速运动，同时点B以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．问：当AB＝8时，运动
时间为多少秒？（ ）
A： 2秒
B： 13.4秒
C： 2秒或4秒
D： 2秒或6秒
(2)下列实数中最大的是（ ）
3
52/86
3
A：
2
B： π
−−
C： √15
D： |−4|
−−−−
−−−−
(3)若|x+2|+√y −3，=则0 (xy)的 2 值为（ ）
√
A： 5
B： −6
C： 6
D： 36
– – –
(4)2√3 ×√6 +在√哪2两个整数之间（ ）
A： 7和8
B： 8和9
C： 9和10
D： 10和11
例3
x
(1)若代数式 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
x−4
A： x=0
B： x=4
C： x≠0
D： x≠4
−−−−−
√2x−1
(2) 若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
x−3
A： x≠3
1
B： x> 且x≠3
2
53/86
C： x≥2
1
D： x≥ 且x≠3
2
x−2
(3)当分式 的值为0时，x的值为________．
2x+1
例4
4 a2
(1) 如果a2 +2a−1 =，那0么代数式 a− ⋅ 的值是（ ）
( a) a−2
A： −3
B： −1
C： 1
D： 3
1 1 x2 −2xy +y2
(2) 已知x=2，y 求代数式 − ÷ 的值．
(y x) x2y
1 a+2
例5 关于x的方程x2 −ax+a=有两0个相等的实数根，求代数式 ⋅ 的值．
a2 −4 a−2
例6
(1)分解因式：5x3 −10x2 +5_x__=_________．
(2)分解因式：ax2 −4ay2 __=__________．
(3)图中的四边形均为矩形，根据图形，写出一个正确的等式：__________________．
2x+1 5x−1
例7
解不等式 − ≥，−并1把它的解集在数轴上表示出来．
3 2
2(x+1)>5x−7
例8
解不等式组： ⎧ x+10 ．
>2x
⎨
⎩ 3
例9 已知关于x的方程x2 −4mx+4m2 −．9 =0
54/86
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为x ，x ，其中x −2
B： k<−2
C： k<2
D： k>2
−−−−−−
8 若x2 +bx+c=的两0个实数根中较小的一个根是m(m≠0，)则b+√b2 −4c（= ）
A： m
B： −m
C： 2m
D： −2m
9 某学校食堂需采购部分餐桌，现有A、B两个商家，A商家每张餐桌的售价比B商家的优惠13元．若
该校花费2万元采购款在B商家购买餐桌的张数等于花费1.8万元采购款在A商家购买餐桌的张数，
则A商家每张餐桌的售价为（ ）
A： 117元
B： 118元
C： 119元
D： 120元
10
4(x+1)≤7x+10
（1）解不等式组
x−5 < x−8
{
3
（2）分解因式(x−1)(x−3)−8
x−2 x+2 16
（3）解方程： = +
x+2 x−2 x2 −4
能力强化 / 初三 / 寒假
57/86
第 5 讲 一轮复习之代数式与方程不等式
课堂落实答案
3x
1
使分式 有意义的x的取值范围为（ ）
x+2
A： x≠−2
B： x≠2
C： x≠0
D： x≠±2
2 若x=2时，代数式ax4 +bx2 +的值5是3，则当x=−时2 ，代数式ax4 +bx2 +的值7为（ ）
A： -3
B： 3
C： 5
D： 7
3 下列多项式中，不能进行因式分解的是（ ）
A： −a2 +b2
B： −a2 −b2
C： a3 −3a2 +2a
D： a2 −2ab+b2 −1
5x−3 >3x+5
4
若关于x的不等式组 有解，则a的取值范围为（ ）
{ x4
58/86
5 关于x的一元二次方程kx2 +2(k−2)x+有k两=个0不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，说明理
由．
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第 5 讲 一轮复习之代数式与方程不等式
精选精练
−−−−− −−−−−
1 已知√a−17 +√17 −a =b+8
（1）求a的值；
（2）求a2 −b的 2 平方根．
2 若关于x的方程x2 +2(m−1)x+m2 −2m（−m3为=实0数）．
（1）求证：不论m为何值，该方程均有两个不等的实根；
（2）解方程求出两个根x ，x (x >x，)并求w=x (x +x )+的最x2 值．
1 2 1 2 1 1 2 1
2x+y =1 −m
3 在关于x，y的方程组 中，若未知数x，y满足x+y >，0求m的取值范围，并在数
{ x+2y =2
轴上表示出来．
4 先仔细阅读材料，再尝试解决问题：通过对有理数的学习，我们知道x2 ≥，0 本学期学习了完全平
方公式后，我们知道a2 ±2ab+b2 =(a．±所b)以 2 完全平方式(a±b)的 2 值为非负数，这一性质在
数学中有着广泛的应用．比如探求多项式2x2 +4x−的5最大（小）值时，我们可以这样处理：
解：原式=2(x2 +2x)=−25(x2 +2x+12 −1=2 )2−(5x+1) 2 −12=−2(5x+1) 2 −7
[ ]
因为(x+1) 2 ≥，0所以2(x+1) 2 −7 ≥0．−当7x=−时1 ，2(x+1) 2 −取7得最小值，最小值是
−7
请根据上面的解题思路，解答下列问题：
（1）求多项式3x2 −12x+的最2小值是多少，并写出对应的x的取值；
（2）求多项式x2 +4x+y2 −2的y +最小8值．
5 观察下列式子，并探索它们的规律：
1 1
59/86
1 1
=1 −，
1 ×2 2
1 1 1
= −，
2 ×3 2 3
1 1 1
= −
3 ×4 3 4
………
（1）尝试写出第四个式子：__________
（2）通过以上式子，你发现了什么规律，试用正整数n表示出该规律：__________
2 2 2 2
（3）借助以上规律，化简式子： + + +⋯+
1 ×2 2 ×3 3 ×4 n(n +1)
6 某社区去年购买了A、B两种型号的共享单车，购买A种单车共花费15000元，购买B种单车共花费
14000元，购买A种单车的数量是购买B种单车数量的1.5倍，且购买一辆A种单车比购买一辆B种单
车少200元．
（1）求去年购买一辆A种和一辆B种单车各需要多少元？
（2）为积极响应政府提出的“绿色发展⋅低碳出行”号召，该社区决定今年再买A、B两种型号的
单车共60辆，恰逢厂家对A、B两种型号单车的售价进行调整，A种单车售价比去年购买时提高了
10%，B种单车售价比去年购买时降低了10%，如果今年购买A、B两种单车的总费用不超过34000
元，那么该社区今年最多购买多少辆B种单车？
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第 6 讲 一轮复习之函数初步
例题练习题答案
例1
(1)已知一次函数y =ax+和by =bx+a(a≠，函b)数y 和y 的图象可能是（ ）
1 2 1 2
A：
B：
60/86
C：
D：
(2)若一次函数y =kx+b，(kb为常数，且k≠0的) 图象经过点A(0,−1，) B(1,1，) 则不等式
kx+b>的1解为（ ）
A： x<0
B： x>0
C： x<1
D： x>1
(3)函数y =x+的1图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在x轴上．若△ABC为等腰三角形，
则满足条件的点C共有 个．
例2 快车从甲地驶向乙地，慢车从乙地驶向甲地，两车同时出发并且在同一条公路上匀速行驶，途中
快车休息1.5小时，慢车没有休息．设慢车行驶的时间为x小时，快车行驶的路程为y 千米，慢车
1
行驶的路程为y 千米．如图中折线OAEC表示y 与x之间的函数关系，线段OD表示y 与x之间的函
2 1 2
数关系．
请解答下列问题：
（1）求快车和慢车的速度；
（2）求图中线段EC所表示的y 与x之间的函数表达式；
1
（3）线段OD与线段EC相交于点F，直接写出点F的坐标，并解释点F的实际意义．
3 3
例3 已知某函数的图象C与函数y = 的图象关于直线y =2对称．下列命题：①图象C与函数y = 的
x x
3 1
图象交于点( ，2)；②点( ，−2)在图象C上；③图象C上的点的纵坐标都小于4；④A(x，y )，
1 1
2 2
61/86
B(x，y )是图象C上任意两点，若x >x，则y >y．其中真命题是（ ）
2 2 1 2 1 2
A： ①②
B： ①③④
C： ②③④
D： ①②③④
例4
1 3
(1)如图，点A、B分别在双曲线y = 和y = 上，点C、D在x轴上，且四边形ABCD为矩形，则
x x
矩形ABCD的面积为（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
k
(2)如图，P是反比例函数y = 图象上的一点，过点P向x轴作垂线交于点A，连接OP．若图中阴
x
影部分的面积是1，则此反比例函数的解析式为______________．
k
例5 如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y = (k≠的0)图象经过等边三角形BOC的顶点B，
x
OC =，2点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．
k
（1）求反比例函数y = (k≠的0)表达式；
x
62/86
–
（2）若四边形ACBO的面积是3√3，求点A的坐标．
例6
k
(1)函数y = 和y =kx+2(k≠在0同)一直角坐标系中的大致图象是（ ）
x
A：
B：
C：
D：
k
(2)若函数y = 与y =ax2 +bx的+图c象如图所示，则函数y =kx+的b大致图象为（ ）
x
63/86
A：
B：
C：
D：
例7
(1)已知正比例函数y 的图象与反比例函数y 的图象相交于点A(2,4，) 下列说法正确的是
1 2
（ ）
8
A： 反比例函数y 的解析式是y =−
2 2 x
B： 两个函数图象的另一交点坐标为(2,−4)
C： 当x<−或2 0 0
2 如图，直线y =x+和by =kx+与2x轴分别交于点A(−2,0，)点B(3,0，) 则 解集为
{kx+2 >0
（ ）
A： x<−2
B： x>3
C： x<−或2 x>3
D： −2 经0)过圆心M．
x
k
（1）求反比例函数y = 的解析式；
x
（2）求直线BC的解析式．
k
5 如图，A为反比例函数y = （其中x>0图) 象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB =．4 连
x
−−
接OA，AB，且OA =AB =2√．10
（1）求k的值；
k
（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y = （其中x>0的) 图象于点C，连接OC交AB于点D，
x
AD
求 的值．
DB
k
6 如图，一直线经过原点O，且与反比例函数y = (k>相0)交于点A、点B，过点A作AC⊥轴y ，垂
x
足为C，连接BC．若△ABC面积为8，则k= ．
68/86
a
7 函数y =−ax+与ay = (a≠在0)同一坐标系中的图象可能是（ ）
x
A：
B：
C：
D：
c
8 已知y =ax2 +bx+c(a的≠图0象)如图，则y =ax+和by = 的图象为（ ）
x
A：
69/86
B：
C：
D：
k
9 如图，一次函数y =k x+的b图象与反比例函数y = 2 的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标
1
x
为(−1,4，) 点B的坐标为(4,n．)
k
2
（1）根据图象，直接写出满足k x+b> 的x的取值范围；
1
x
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点P在线段AB上，且S
△AOP
:S
△BOP
=，1 :求2点P的坐标．
4
10 如图，一次函数y =kx+与b反比例函数y = 的图象交于A(m,4、)B(2,n两) 点，与坐标轴分别交
x
于M、N两点．
70/86
（1）求一次函数的解析式；
4
（2）根据图象直接写出kx+b− >中x0的取值范围；
x
（3）求△AOB的面积．
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第 6 讲 一轮复习之函数初步
课堂落实答案
1 大家知道乌鸦喝水的故事，如图，它看到一个水位较低的瓶子，喝不着水，沉思一会后聪明的乌
鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计
时，设时间变量为x，水位高度变量为y，下列图象中最符合故事情景的大致图象是（ ）
A：
B：
71/86
C：
D：
1
2 将y = 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图，则所得图象的解
x
析式为（ ）
1
A： y = +1
x+1
1
B： y = −1
x+1
1
C： y = +1
x−1
1
D： y = −1
x−1
3 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，
k
∠ABC =9，0∘CA⊥轴x，点C在函数y = (x>的0)图象上，若AB =，1则k的值为（ ）
x
A： 1
–
√2
B：
2
72/86
–
C： √2
D： 2
4
4 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A(10,0，) sin∠COA =．若反比
5
k
例函数y = (k>0,x>经0过)点C，则k的值等于（ ）
x
A： 10
B： 24
C： 48
D： 50
k
5 在同一平面直角坐标系中，函数y =kx+1(k≠和0y)= (k≠的0)图象大致是（ ）
x
A：
B：
C：
D：
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能力强化 / 初三 / 寒假
第 6 讲 一轮复习之函数初步
精选精练
1 如图是王阿姨晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段
AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法正确的是（ ）
~
A： 25min 50min，王阿姨步行的路程为800m
B： 线段CD的函数解析式为s=32t+400(25 ≤t≤50)
~
C： 5min 20min，王阿姨步行速度由快到慢
D： 曲线段AB的函数解析式为s=−3(t−20) 2 +1200(5 ≤t≤20)
ab
2 已知反比例函数y = 的图象如图所示，则二次函数y =ax2 −和2x一次函数y =bx+在a同一平
x
面直角坐标系中的图象可能是（ ）
74/86
A：
B：
C：
D：
3 边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线y =k 平x分这8个正方形所组成的图形的面
1
k
2
积，交其中两个正方形的边于A，B两点，过B点的双曲线y = 的一支交其中两个正方形的边于
x
C，D两点，连接OC，OD，CD，则S △OCD = ．
k
4 如图，过点C(3,4的) 直线y =2x+交bx轴于点A，∠ABC =9，0∘AB =CB，曲线y = (x>过0)
x
点B，将点A沿y轴正方向平移a个单位长度恰好落在该曲线上，则a的值为 ．
75/86
k
5 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y =−2与x 反比例函数y = 的图象交于
x
k
A(a,−4，)B两点，过原点O的另一条直线l与双曲线y = 交于P，Q两点（P点在第二象限），若
x
以点A，B，P，Q为顶点的四边形面积为24，则点P的坐标是________________．
6 如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平
9
分线交于点P，P在反比例函数y = 的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于
x
点D，连接CD．
（1）求∠P的度数及点P的坐标；
（2）求△OCD的面积；
（3）△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
76/86
能力强化 / 初三 / 寒假
第 7 讲 一轮复习之二次函数
例题练习题答案
例1 小轩从如图所示的二次函数y =ax2 +bx+c(a的≠图0)象中，观察得出了下面五条信息：①
3
abc<；0②a+b+c<；0③b+2c>；0④4ac−b2 >；0⑤a= ．b 你认为其中正确信息的个数
2
有（ ）
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
例2 函数y =2x2 −8x+的图m象上有两点A(x ,y，)B(x ,y，)且|x −2|>|x −，则2|（ ）
1 1 2 2 1 2
A： y y
1 2
D： y 、y 的大小不确定
1 2
例3 当a≤x≤a+时1，函数y =x2 −2x+的最1小值为1，则a的值为( )
A： −1
B： 2
C： 0或2
77/86
D： −1或2
例4 某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某种苹果，到了收获季节，投入市场销售时，
调查市场行情，发现该苹果的销售不会亏本，且该产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）
之间满足一次函数关系，关于销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如表：
销售单价x(元) 10 15 23 28
日销售量y(千克) 200 150 70 m
日销售利润w(元) 400 1050 1050 400
（注：日销售利润=日销售量×（销售单价−成本单价）
(1)求y关于x的函数解析式（要写出x的取值范围）及m的值；
(2)根据以上信息，填空：
产品的成本单价是______元，当销售单价x=______元时，日销售利润w最大，最大值是______
元；
(3)某农户今年共采摘苹果4800千克，该品种苹果的保质期为40天，根据（2）中获得最大利润
的方式进行销售，能否销售完这批苹果？请说明理由．
1 b
例5 在一次高尔夫球的联赛中，高欣在距球洞10m处击球，其飞行路线满足抛物线y =− x2 +，x
5 5
其中y(m)是球的飞行高度，x(m)是球飞行的水平距离，结果球落地离球洞的水平距离还有2m．
（1）求b的值；
（2）若高欣再一次从此处击球，要想让球的飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应
满足怎样的抛物线，求出解析式；
1 b
（3）若离球洞4m处有一横放的1.2m高的球网，球的飞行路线仍满足抛物线y =− x2 +，要x
5 5
使球越过球网，又不越过球洞（最好进洞），求b的取值范围．
78/86
例6 将抛物线y =2(x−1) 2 向+左2平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，那么得到的抛物线的
表达式为________________________．
1
例7 已知抛物线y = x2 +(m−2)x+2的m对−称轴6 为直线x=1，与x轴交于A，B两点（点A在点
2
B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求m的值；
（2）求A，B，C三点的坐标；
（3）过点C作直线l// x轴，将该抛物线在y轴左侧的部分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不
1
变，得到一个新的图象，记为G．请你结合图象回答：当直线y = x+与b图象G只有一个公共点
2
时，求b的取值范围．
例8 已知P(−3,m和)Q(1,m是)抛物线y =x2 +bx−上的3两点．
（1）求b的值；
（2）将抛物线y =x2 +bx−的图3象向上平移k（是正整数）个单位长度，使平移后的图象与x轴
无交点，求k的最小值；
（3）将抛物线y =x2 +bx−的图3象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得
到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y =x+与n这个新图象有两个公共点时，求n的取
值范围．
79/86
例9 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y =a(x+1)(x−与x3轴) 交于A，B两点，点A在点B的左侧，
抛物线的顶点为P，规定：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区域”（不包含边界）．
（1）如果该抛物线经过点(1,3)，则a的值为________，并指出此时“G区域”有______个整数点；
（整数点就是横纵坐标均为整数的点）
（2）求抛物线y =a(x+1)(x−的顶3)点P的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，如果G区域中仅有4个整数点，直接写出a的取值范围．
能力强化 / 初三 / 寒假
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第 7 讲 一轮复习之二次函数
自我巩固答案
1 抛物线y =−3x向 2 左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线解析式为（ ）
A： y =−3(x−2) 2 +5
B： y =−3(x−2) 2 −5
C： y =−3(x+2) 2 −5
D： y =−3(x+2) 2 +5
2 如图是抛物线形拱桥的剖面图，拱底宽12m，拱高8m，设计警戒水位为6m，当拱桥内水位达到
警戒水位时，拱桥内的水面宽度是（ ）
A： 3m
B： 6m
–
C： 3√3m
–
D： 6√3m
3 若二次函数y =ax2 +bx的+部c分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A： a>0
B： a−b+c>0
C： 不等式ax2 +bx+c的>解0集是−1 2时，y随x的增大而增大
4 已知二次函数y =ax2 +bx+c(a的≠图0象) 的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m,0和) 点
B，且m<4，那么AB的长是（ ）
81/86
A： 8 −2m
B： m
C： 2m−8
D： 4 +m
5 已知二次函数y =2x2 −和4x一次函数y =−2，x规定：当x任取一个值时，x对应的函数值分别
1 2
为y 、y ，若y ≠y，取y 、y 中的较大值为M；若y =y，则M =y =，y 下列说法错误的是
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
（ ）
A： 当x>2时，M =y
1
B： 当x<0时，M随x的增大而减小
C： M的最小值为−2
1
D： 若M =−，1则x=
2
1
6 如图，在直角坐标系xOy中，若抛物线l:y =− x2 +bx+，cc为(b常数）的顶点D位于直线
2
y =−与2 x轴之间的区域（不包括直线y =−和2 x轴），则l与直线y =−交1 点的个数是( )
A： 0个
B： 1个或2个
C： 0个、1个或2个
D： 只有1个
3
7 对于题目“二次函数y = (x−m)2 +，m当2m−3 ⩽ x ⩽时2m，y的最小值是1，求m的
4
值．”甲的结果是m=1，乙的结果是m=−，2则( )
A： 甲的结果正确
B： 乙的结果正确
82/86
C： 甲、乙的结果合在一起才正确
D： 甲、乙的结果合在一起也不正确
8 已知抛物线y =ax2 +bx在+坐3标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其
对称轴x=1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a+b=，0②x=3是
−− –
ax2 +bx+3的=一0个根，③ΔPAB周长的最小值是√10 +3√．2其中正确的是( )
A： ①②③
B： 仅有①②
C： 仅有①③
D： 仅有②③
9 如图，一条抛物线与x轴相交于A(x ,0、) B(x ,0两)点（点B在点A的右侧），其顶点P在线段MN
1 2
上移动．M、N的坐标分别为(−1,2、) (1,2)．x 的最小值为−3，则x 的最大值为（ ）
1 2
A： −1
B： 1
C： 3
D： 5
10 如图，已知抛物线的顶点为A(1,4，) 抛物线与y轴交于点B(0,3，) 与x轴交于C，D两点．点P是x轴
上的一个动点．
83/86
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当PA +P的B值最小时，求点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在一点Q（Q与B不重合），使△CDQ的面积等于△BCD的面积？若存在，直
接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
能力强化 / 初三 / 寒假
第 7 讲 一轮复习之二次函数
精选精练
1 如图是二次函数y =ax2 +bx的+图c象，由图象得到的信息有：①a<0；②b<0；③c<0；
④abc<；0⑤a−b+c>；0⑥a+b+c>；0⑦2a−b=．0其中正确的个数有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
2 如图，在△ABC中，∠C =90， ∘AB =10c，mBC =8c，m点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运
动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边
形PABQ的面积的最小值为（ ）
84/86
A： 19cm2
B： 16cm2
C： 12cm2
D： 15cm2
3 如图，已知抛物线y =−x2 +mx与+x3轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3,0)．
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA +P的C值最小时，求点P的坐标．
4 每年5月的第二个星期日即为母亲节，“父母恩深重，恩怜无歇时”，许多市民喜欢在母亲节为母
亲送花，感恩母亲，祝福母亲．今年节日前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，经分析上一年的销
售情况，发现该鲜花礼盒的该周销售量y（盒)是销售单价x（元)的一次函数，已知销售单价为70
元/盒时，销售量为160盒；销售单价为80元/盒时，销售量为140盒．
（1）求该周销售量y（盒)关于销售单价x（元)的一次函数解析式；
（2）若按去年方式销售，已知今年该鲜花礼盒的进价是每盒50元，商家要求该周至少要卖110
盒，请你帮店长算一算，要完成商家的销售任务，销售单价不能超过多少元？
（3）在（2）的条件下，试确定销售单价x为何值时，花店该周销售鲜花礼盒获得的利润最大？并
求出获得的最大利润．
5 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y =mx2 −(2m+1)x+的m图−象与5x轴有两个公共点．
（1）求m的取值范围；
（2）若m取满足条件的最小的整数，
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①写出这个二次函数的解析式；
②当n ≤x≤时1，函数值y的取值范围是−6 ≤y ≤4 −，n求n的值；
③将此二次函数平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为
y =a(x−h) 2 ，+当kx<2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．
6 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y =mx2 −4mx+4m+4(的m顶≠点0为)P．P，M两点关于原
点O成中心对称．
（1）求点P，M的坐标；
（2）若该抛物线经过原点，求抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿x轴翻折，翻折后的图象在0 ≤x≤的5部分记为图象H，点N
为抛物线对称轴上的一个动点，经过M，N的直线与图象H有两个公共点，结合图象求出点N的纵
坐标n的取值范围．
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