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能力强化 / 初三 / 春季
第 1 讲 应用题综合
例题练习题答案
例1 某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x
（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品
每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元，则每天的销售量最少应为多少件？
例2 如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千
米）的函数图象．
（1）根据图象，直接写出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程．
当0≤x≤150时，求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程．
（2）当150≤x≤200时，求y关于x的函数表达式，并计算当汽车已行驶180千米时，蓄电池的剩余
电量．
例3 某厂按用户的月需求量x（件）完成一种产品的生产，其中x＞0，每件的售价为18万元，每件的成
本y（万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量x（件）成反比，
经市场调研发现，月需求量x与月份n（n为整数，1≤n≤12），符合关系式x＝2n2﹣2kn+9
（k+3）（k为常数），且得到了表中的数据．
月份n（月） 1 2
成本y（万元/件） 11 12
需求量x（件/月） 120 100
（1）求y与x满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是12万元；
（2）求k，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；
（3）在这一年12个月中，若第m个月和第（m+1）个月的利润相差最大，求m．
例4 为提高市民的环保意识，某市发出“节能减排，绿色出行”的倡导，某企业抓住机遇投资20万元
购买并投放一批A型“共享单车”，因为单车需求量增加，计划继续投放B型单车，B型单车的投
放数量与A型单车的投放数量相同，投资总费用减少20%，购买B型单车的单价比购买A型单车的
单价少50元，则A型单车每辆车的价格是多少元？设A型单车每辆车的价格为x元，根据题意，列
方程正确的是（ ）
127829053,1… 1/73-
A： 200000 200000(1−20％)
=
x x−50
B： 200000 200000(1+20％)
=
x x−50
C： 200000 200000(1−20％)
=
x x+50
D： 200000 200000(1+20％)
=
x x+50
例5 斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如
图，某路口的斑马线路段A﹣B﹣C横穿双向行驶车道，其中AB＝BC＝6米，在绿灯亮时，小明共
用11秒通过AC，其中通过BC的速度是通过AB速度的1.2倍，求小明通过AB时的速度．设小明通过
AB时的速度是x米/秒，根据题意列方程得：______________．
例6 为了对学生进行革命传统教育，红旗中学开展了“清明节祭扫”活动．全校学生从学校同时出
发，步行4000米到达烈士纪念馆．学校要求九（1）班提前到达目的地，做好活动的准备工作．
行走过程中，九（1）班步行的平均速度是其他班的1.25倍，结果比其他班提前10分钟到达．分别
求九（1）班、其他班步行的平均速度．
例7 某景区内的环形路是边长为800米的正方形ABCD，如图1和图2．现有1号、2号两游览车分别从出
口A和景点C同时出发，1号车顺时针、2号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车
（上、下车的时间忽略不计），两车速度均为200米/分．
探究：设行驶吋间为t分．
（1）当0≤t≤8时，分别写出1号车、2号车在左半环线离出口A的路程y1，y2（米） 与t（分）的
函数关系式，并求出当两车相距的路程是400米时t的值；
（2）t为何值时，1号车第三次恰好经过景点C？并直接写出这一段时间内它与2号车相遇过的次
数．
发现：如图2，游客甲在BC上的一点K（不与点B，C重合）处候车，准备乘车到出口A，设CK=x
米．
情况一：若他刚好错过2号车，便搭乘即将到来的1号车；
情况二：若他刚好错过1号车，便搭乘即将到来的2号车．
比较哪种情况用时较多？（含候车时间）
决策：己知游客乙在DA上从D向出口A走去．步行的速度是50米/分．当行进到DA上一点P （不与
点D，A重合）时，刚好与2号车迎面相遇．
（1）他发现，乘1号车会比乘2号车到出口A用时少，请你简要说明理由：____________
（2）设PA=s（0<s<800）米．若他想尽快到达出口A，根据s的大小，在等候乘1号车还是步
行这两种方式中．他该如何选择？
例8 某菜市场有2.5平方米和4平方米两种摊位，2.5平方米的摊位数是4平方米摊位数的2倍．管理单位
每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴
纳管理费．
（1）菜市场毎月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4平方米的摊位？
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（2）为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一：“使用环保袋送礼物”，2.5平方米和
4平方米两种摊位的商户分别有40%和20%参加了此项活动．为提高大家使用环保袋的积极性，6
月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一．经调査与测
算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动
二的2.5平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加2a%，毎个摊位的
3
管理费将会减少 a%；6月份参加活动二的4平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积
10
1
个数的基础上增加6a%，每个摊位的管理费将会减少 a%．这样，参加活动二的这部分商户6月份
4
5
总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少 a%，求a的值．
18
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第 1 讲 应用题综合
自我巩固答案
1 某校暑假准备组织该校的“三好学生”参加夏令营，由1名老师带队．
甲旅行社说：“若老师买全票一张，则学生可享受半价优惠．”
乙旅行社说：“包括老师在内都6折优惠”
若全票价是1200元，则：
（1）设三好学生人数为x人，则参加甲旅行社的费用是_________元；参加乙旅行社的费用是
________元．
（2）当学生人数取何值时，选择参加甲旅行社比较合算？
2 某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表．若工厂计划投入资金成本不超
过35万元，且获利不低于16万元．设生产A产品x件，总获利为y万元．
A种产品 B种产品
成本（万元/件） 2 5
利润（万元/件） 1 3
（1）求出y与x的关系式，并求出自变量x的取值范围．
（2）如何安排生产获利最大？并求出最大利润．
3 某商店经销《超能陆战队》超萌“小白”玩具，“小白”玩具每个进价60元．为进行促销，商店
制定如下“优惠”方案：如果一次销售数量不超过10个，则销售单价为100元/个；如果一次销售
数量超过10个，每增加一个，所有“小白”玩具销售单价降低1元/个，但单价不得低于80元/个．
一次销售“小白”玩具的单价y（元/个）与销售数量x（个）之间的函数关系如图所示．
（1）求m的值并解释射线BC所表示的实际意义；
（2）写出该店当一次销售x个时，所获利润w（元）与x（个）之间的函数关系式；
（3）店长经过一段时间的销售发现：即并不是销量越大利润越大（比如，卖25个赚的钱反而比卖
30个赚的钱多）．为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把原来的最低单价80
（元/个）至少提高到多少元/个？
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能力强化 / 初三 / 春季
第 1 讲 应用题综合
课堂落实答案
1 某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销
点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为10元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，
并将记录情况绘制成图象，图中的折线ABC表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数
关系．
（1）求y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围；
（2）若该节能产品的日销售利润为w（元），求w与x之间的函数表达式，并求出日销售利润不超
过1040元的天数共有多少天？
（3）若5≤x≤17，直接写出第几天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少元（不用说明理
由）
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第 1 讲 应用题综合
精选精练
1 在“国庆节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得
利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/
个）之间的对应关系满足关系式：y= −30x+600，许愿瓶的进价为6元/个．
（1）按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系
式；
（2）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大的利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，
并求出此时的最大利润．
2 “十一”黄金周期间，朱老师组织朋友去某影视城旅游．现有两家旅行社．报价都为520元．且提
供服务完全相同．但针对组团游的游客，甲旅行社表示，每人都按八折收费； 乙旅行社表示，若
人数不超过18人，每人都按八折收费．若超过18人，则超出部分按七五折收费，假设组团参加甲
乙两家旅行社旅游的人数均为x人．
（1）请分别写出甲，乙两家旅行社收取组团游的总费用y（元）与x（人）之间的函数关系式．
（2）如果朱老师和朋友一共有30人去旅游．那你计算下，在甲、乙两家旅行社中，朱老师应选择
哪家？
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3 方成同学看到一则材料，甲开汽车，乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地，设乙行驶的
时间为t(h)，甲乙两人之间的距离为y(km)，y与t的函数关系如图1所示，方成思考后发现了图1的
部分正确信息，乙先出发1h，甲出发0.5小时与乙相遇，请你帮助方成同学解决以下问题：
(1)分别求出线段BC，CD所在直线的函数表达式．
(2)当20<y<30时，求t的取值范围．
(3)分别求出甲、乙行驶的路程S甲、S乙与时间t的函数表达式，并在图2所给的直角坐标系中分别
画出它们的图象．
(4) 4
丙骑摩托车与乙同时出发，从N地沿同一条公路匀速前往M地，若丙经过 h与乙相遇，问丙
3
出发后多少时间与甲相遇．
4 国庆期间，为了满足百姓的消费需求，某商店计划用170000元购进一批家电，这批家电的进价和
售价如表：
类别 彩电 冰箱 洗衣机
进价（元/台） 2000 1600 1000
售价（元/台） 2300 1800 1100
若在现有资金允许的范围内，购买表中三类家电共100台，其中彩电台数是冰箱台数的2倍，设该
商店购买冰箱x台．
(1)商店至多可以购买冰箱多少台？
(2)购买冰箱多少台时，能使商店销售完这批家电后获得的利润最大？最大利润为多少元？
5 某商店销售一种水产品，其成本价为40元⁄千克，若按50元⁄千克销售，一个月可售出500千克，市
场调查发现，销售价每涨1元，月销售量将减少10千克．
（1）设月销售量为y（单位：千克），销售单价为x（单位：元⁄千克），月销售利润为w（单位：
元），分别写出y与x的函数关系式和w与x的函数关系式；
（2）当销售单价定为55元时，计算月销售量和销售利润；
（3）商店想使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
（4）当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
6 某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准．按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与
每月用水量x（m3）之间的关系如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若某用户二、三月份共用水40m3（二月份用水量不超过25m3），缴纳水费79.8元，则该用
户二、三月份的用水量各是多少m3？
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能力强化 / 初三 / 春季
第 2 讲 解三角形
例题练习题答案
例1 (1)如图，△ABC中，∠B=60∘，∠C=75∘，AC=3√2，求AB的长．
(2)已知：如图，在△ABC，BC=2，S△ABC＝3，∠ABC=135∘，求AC和AB的长．
(3)△ABC中，AB=12，AC=√39，∠B=30∘，则△ABC的面积是__________．
例2 (1)如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，∠A=30∘，D是边AB上一点，∠BDC=45∘，AD=4，
求BC的长．（结果保留根号）
(2)如图，河流两岸a、b互相平行，点A、B是河岸a上的两座建筑物，点C、D是河岸b上的两
点，点A、B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC=75∘，∠BPD=30∘，
则河流的宽度约为________米．
例3 1
如图，在△ABC中，∠C=150∘，AC=4，tanB= ．
8
（1）求BC的长；
（2）利用此图形求tan15∘的值．（精确到0.1，参考数据：√2=1.4，√3=1.7，√5=2.2）
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例4 (1) 4 1
已知：如图，△ABC中，AC=10，sinC= ，sinB= ，求AB．
5 3
(2) 1 √2
如图，AD是△ABC的中线，tanB= ，cosC= ，AC=√2．求：
3 2
①BC的长；
②sin∠ADC的值．
例5 如图所示，我国两艘海监船A、B在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援
遇险抛锚的渔船C．此时，B船在A船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东45∘方向，B
船测得渔船C在其南偏东53∘方向，已知A船的航速为30海里/小时，B船的航速为25海里/小时，问
4 3 4
C船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53∘≈ ，cos53∘≈ ，tan53∘≈ ，
5 5 3
√2≈1.41）
例6 某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1:1，文化墙PM在天桥底部正前方
8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1:√3
．（参考数据：√2=1.414，√3=1.732）
(1)若新坡面坡角为α，求坡角α度数；
(2)有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM是否需要拆
除？请说明理由．
例7 黄河三峡是小浪底与王屋山所孕育的精华，位于小浪底水库大坝上，是我国北方少有的山水景
观，有“北方千岛湖”“中原北戴河”的美誉，五一期间王老师带数学兴趣小组来小浪底，通过
观测，在坡顶A处的同一水平面上有一个电视塔BC，在观景台的P处测得该电视塔顶B的仰角为
45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔顶B的仰角为
76°．
求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）电视塔BC的高度（结果精确到1米）．
（参考数据：sin76∘≈0.97，cos76∘≈0.24，tan76∘≈4.01）
例8 如图，高铁列车座位后面的小桌板收起时可以近似地看作与地面垂直，展开小桌板后，桌面会保
持水平，其中图1、图2分别是小桌板收起时和展开时的实物，图3中的实线是小桌板展开后的示意
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图，其中OB表示小桌板桌面的宽度，BC表示小桌板的支架，连接OA，此时OA=75厘米，
∠AOB=∠ACB=37∘，且支架长BC与桌面宽OB的长度之和等于OA的长度，求点B到AC的距
离．（参考数据sin37∘≈0.6，cos37∘≈0.8，tan37∘≈0.75）
例9 襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一．某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面
以上的部分（上塔柱BC和塔冠BE）进行了测量．如图所示，最外端的拉索AB的底端A到塔柱底端
C的距离为121m，拉索AB与桥面AC的夹角为37°，从点A出发沿AC方向前进23.5m，在D处测得塔
冠顶端E的仰角为45°．请你求出塔冠BE的高度．（结果精确到0.1m．参考数据sin37°≈0.60，
cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，√2≈1.41）
例10 车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是：车辆是否可以行驶到和路的边界夹角是45°的位置
（如图1中②的位置），例如，图2是某巷子的俯视图，巷子路面宽4m，转弯处为直角，车辆的车
身为矩形ABCD，CD与DE、CE的夹角都是45°时，连接EF，交CD于点G，若GF的长度至少能达到
车身宽度，则车辆就能通过．
（1）试说明长8m，宽3m的消防车不能通过该直角转弯；
（2）为了能使长8m，宽3m的消防车通过该弯道，可以将转弯处改为圆弧（分别是以O为圆心，
以OM和ON为半径的弧），具体方案如图3，其中OM⊥OM′，请你求出ON的最小值．
能力强化 / 初三 / 春季
第 2 讲 解三角形
自我巩固答案
1 3
如图，在△ABC中，∠C=90∘，AM是BC边上的中线，sin∠CAM= ，求tanB的值．
5
2 为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置
一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示，该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观
127829053,1… 8/73-
测到旗杆顶A（此时∠AEB=∠FED)，在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3∘，平面镜E的俯角为45∘，
FD=1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan39.3∘≈0.82，
tan84.3∘≈10.02）
3 如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，
该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向
正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．（参考数据：√3=1.73）
4 钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．一
日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛（设M，N为该岛的东西两端点）最
近距离为14.4km（即MC=14.4km）．在A点测得岛屿的西端点M在点A的北偏东42∘方向；航行
4km后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东56∘方向，（其中N，M，C在同一条直线
上），求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离（结果精确到0.1km）．（参考数据：sin42∘≈0.67，
cos42∘≈0.74，tan42∘≈0.90，sin56∘≈0.83，cos56∘≈0.56，tan56∘≈1.48）
5 小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45∘，35∘．
已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100m，请求出热气球离地面的高度．（结果保留整
7 5 7
数）（参考数据：sin35∘≈ ，cos35∘≈ ，tan35∘≈ ）
12 6 10
6 如图，在一斜坡坡顶A处的同一水平线上有一古塔，为测量塔高BC，数学老师带领同学在坡脚P处
7
测得斜坡的坡角为α，且tanα= ，塔顶C处的仰角为30∘，他们沿着斜坡攀行了50米，到达坡顶
24
A处，在A处测得塔顶C的仰角为60∘．
（1）求斜坡的高度AD；
（2）求塔高BC．
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能力强化 / 初三 / 春季
第 2 讲 解三角形
课堂落实答案
1 1
如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90∘，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA= ，则AD
5
的长为_________．
2 在中俄“海上联合2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30∘，位于军舰A正上方1000
米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68∘，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．
（结果保留整数，参考数据：sin68∘≈0.9，cos68∘≈0.4，tan68∘≈2.5，√3≈1.7)
能力强化 / 初三 / 春季
第 2 讲 解三角形
精选精练
1 如图，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名小组成员站在距离树10米的点E处，测
得树顶A的仰角为54°．已知测角仪的架高CE=1.5米，则这棵树的高度为______米．（结果保留一
位小数．参考数据：sin54∘=0.8090，cos54∘=0.5878，tan54∘=1.3764）
2 AB
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，点D是BC边上一点．若∠B=α，∠ADC=β，则 为
AD
（ ）
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A： sinα
sinβ
B： cosα
cosβ
C： sinβ
sinα
D： cosβ
cosα
3 如图，一架木梯AB的长为2.8米，梯子靠在竖直的墙上，测得木梯与地面的夹角∠ABC=70∘，求
这架木梯的顶端离地面的距离AC是多少米？（结果精确到0.1，已知sin70∘≈0.94，cos70∘≈0.34
，tan70∘≈2.75，cos20∘≈0.94．）
4 重庆是一座美丽的山城，某中学依山而建，校门A处，有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教
学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=53°，离B点4米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角
∠CEF=63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD=5米．
4
（1）求斜坡AB的坡度i；（2）求DC的长．（参考数据：tan53∘≈ ，tan63.4∘≈2）
3
5 为方便市民通行，某广场计划对坡角为30∘，坡长为60米的斜坡AB进行改造，在斜坡中点D处挖去
部分坡体( 阴影表示)，修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．
(1) 若修建的斜坡BE的坡角为36∘，则平台DE的长约为多少米？
(2) 在距离坡角A点27米远的G处是商场主楼，小明在D点测得主楼顶部H 的仰角为30∘，那么主楼
GH高约为多少米？(参考数据：sin36∘=0.6，cos36∘=0.8，tan36∘=0.7，√3=1.7)
6 如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC=17.2米，设太阳光线与水平
地面的夹角为α，当α=60∘时，测得楼房在地面上的影长AE=10米，现有一只小猫睡在台阶的
MN这层上晒太阳．（√3取1.73）
（1）求楼房的高度约为多少米？
（2）过了一会儿，当α=45∘时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由．
127829053,… 11/73-
能力强化 / 初三 / 春季
第 3 讲 函数综合
例题练习题答案
例1 (1)如图1，在等边△ABC中，点E、D分别是AC、BC边的中点，点P为AB边上的一个动点，连接
PE，PD，PC，DE．设AP=x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致
如图2所示，则这条线段可能是图1中的（ ）
A：线段PD
B：线段PC
C：线段PE
D：线段DE
(2)如图，等边△ABC边长为2，四边形DEFG是平行四边形，DG=2，DE=3，∠GDE=60∘，
BC和DE在同一条直线上，且点C与点D重合，现将△ABC沿D→E的方向以每秒1个单位的速度
匀速运动，当点B与点E重合时停止，则在这个运动过程中，△ABC与四边形DEFG的重合部分
的面积S与运动时间t之间的函数关系图象大致是（ ）
例2 (1)一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA，OB，OC
组成．为记录寻宝者的行进路线，在BC的中点M处放置了一台定位仪器．设寻宝者行进的时
间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图
象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（ ）
A：A→O→B
B：B→A→C
C：B→O→C
127829053,… 12/73-
D：C→B→O
(2)如图，△ABC是边长为4cm的等边三角形，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿A→C→B运
动，到达B点停止运动，过点P作PD⊥AB于点D，设运动时间为x(s)，△ADP的面积为y
( cm2)
，则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（ ）
A：
B：
C：
D：
例3 1 k 1
如图，点P是直线y= x+2与双曲线y= 在第一象限内的一个交点，直线y= x+2与x轴、y轴
2 x 2
的交点分别为A、C，过P作PB垂直于x轴，若AB+PB=9，则ΔPBC的面积为（ ）
A：1
B：2
C：3
D：6
例4 k
如图，反比例函数y= (x<0)的图象经过点A(−1,1)，过点A作AB⊥y 轴，垂足为B，在y轴的正半
x
轴上取一点P(0,t)，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此
反比例函数的图象上，则t的值是（ ）
127829053,… 13/73-
A： 1+√5
2
B： 3
2
C： 4
3
D： −1+√5
2
例5 如图，矩形ABOC的顶点O在坐标原点，顶点B，C分别在x，y轴的正半轴上，顶点A在反比例函数
k
y= （k为常数，k>0，x>0）的图象上，将矩形ABOC绕点A按逆时针方向旋转90∘得到矩形
x
OB
AB′O′C′，若点O的对应点O′恰好落在此反比例函数图象上，则 的值是________．
OC
例6 8
如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y= (x>0)的图象交于A、B两点，与x轴交
x
2
于点C，且点B是AC的中点，分别过A、B两点作x轴的平行线，与反比例函数y= (x>0)的图象交
x
于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为________．
例7 如图，点A(m,6)，B(n,1)在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．
（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；
1
（2）连接AB，E是线段AB上一点，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，若EF= AD，
3
求出点E的坐标．
127829053,… 14/73-
例8 如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．
9
△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y= 的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB
x
的延长线交y轴于点D，连接CD．
（1）求∠P的度数及点P的坐标；
（2）求△OCD的面积；
（3）△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，说明理由．
例9 k
如图1，点A(0,8)、点B(2,a)在直线y= −2x+b上，反比例函数y= (x>0)的图象经过点B．
x
（1）求a和k的值；
（2）将线段AB向右平移m个单位长度(m>0)，得到对应线段CD，连接AC、BD．
DE
①如图2，当m=3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求 的值；
EF
②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m的
值．
能力强化 / 初三 / 春季
第 3 讲 函数综合
自我巩固答案
1 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60∘，垂直于x
轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC
的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t秒
(0≤t≤4)，则能大致反映S与t的函数关系的图象是（ ）
127829053,… 15/73-
A：
B：
C：
D：
2 在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发，沿路线B→C→D 做匀速运动，那么
△ABP 的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致为（ ）
A：
B：
C：
D：
127829053,… 16/73-
3 如图，在直角坐标系中，有菱形OABC，A点的坐标为(10,0)，对角线OB、AC相交于D点，双曲线
k
y= (x>0)经过D点，交BC的延长线于E点，且OB⋅AC=160，有下列四个结论：
x
40 4
①双曲线的解析式为y= (x>0)；②E点的坐标是(5,8)；③sin∠COA= ；④AC+OB=12√5．
x 5
其中正确的结论有（ ）
A：1个
B：2个
C：3个
D：4个
4 如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反
k
比例函数y= (x>0)与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE 的面积是9，
x
则k=（ ）
A： 9
2
B： 27
4
C： 24
5
D：12
5 k
在平面直角坐标系中，点A(−3,4)关于y轴的对称点为点B，连接AB，反比例函数y= (x>0)的图
x
象经过点B，过点B作BC⊥x轴于点C，点P是该反比例函数图象上任意一点，过点P作PD⊥x 轴于
点D，点Q是线段AB上任意一点，连接OQ、CQ．
（1）求k的值；
（2）判断△QOC 与△POD 的面积是否相等，并说明理由．
能力强化 / 初三 / 春季
127829053,… 17/73-
第 3 讲 函数综合
课堂落实答案
1 如图，平面直角坐标系中，在边长为1的菱形ABCD的边上有一动点P从点A出发沿
A→B→C→D→A匀速运动一周，则点P的纵坐标y与点P走过的路程S之间的函数关系用图象表示大
致是（ ）
A：
B：
C：
D：
2 k
如图，点A、B在反比例函数y= (k>0,x>0)的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为
x
M、N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC，△AOC的面积为6，则k的值为_______．
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127829053,… 18/73-
第 3 讲 函数综合
精选精练
1 如图，正方形ABCD中，AB=8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出
发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面
积为s
( cm2)
，则s
( cm2)
与t（s）的函数关系可用图象表示为（ ）
A：
B：
C：
D：
2 如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=2√3cm，E为CD边上的中点，点P从点A沿折线AE-EC运
动到点C时停止，点Q从点A沿折线AB-BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．如
果点P，Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△APQ的面积为y
( cm2)
，则y与t的函数关系式
的图象可能是（ ）
A：
127829053,… 19/73-
B：
C：
D：
3 如图，在△ABC中，∠B=90∘，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s
的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不与点C重
合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过_______秒，四边形APQC的面积最小．
4 1 m
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A( ,2)，B(3,n)在反比例函数y= （m为常数）的图象G
2 x
上，连接AO并延长与图象G交于点C，过点A的直线l 与x轴的交点为点D(1,0)，过点C作CE//x 轴
交直线l于点E．
（1）求m的值及直线l对应的函数表达式；
（2）求点E的坐标；
（3）求证：∠BAE=∠ACB．
5 −k2−1
已知反比例函数y= （k为常数）．
x
(1−√3 ) ( 1 )
（1）若点P1 ,y1 和点P2 − ,y2 是该反比例函数图象上的两点，试利用反比例函数的性
2 2
质比较y1和y2的大小；
（2）设点P(m,n)(m>0)是其图象上的一点，过点P作PM⊥x轴于点M．若tan∠POM=2，
k2+1
PO=√5（O为坐标原点），求k的值，并直接写出不等式kx+ >0的解集．
x
6 如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，其边长为2，点A、点C分别
k
在x轴、y轴的正半轴上，函数y=2x的图象与CB交于点D，函数y= （k为常数，k≠0）的图象经
x
127829053,… 20/73-
过点D，与AB交于点E，与函数y=2x的图象在第三象限内交于点F，连接AF、EF．
k
（1）求函数y= 的表达式，并直接写出E、F两点的坐标；
x
（2）求△AEF 的面积．
能力强化 / 初三 / 春季
第 4 讲 三角形与四边形
例题练习题答案
例1 (1)如图，B、C、D在同一直线上，△ABC和△DCE都是等边三角形，且在直线BD的同侧，
BE交AD于F，BE交AC于M，AD交CE于N．
①求证：AD=BE；
②求证：△ABF∼△ADB．
(2)如图，在△ABC中，∠ABC=45∘，AD⊥BC于点D，点E在AD上，且DE=DC．
①求证：△BDE≌△ADC；
5
②若BC=8.4，tanC= ，求DE的长．
2
例2 如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．
求证：
（1）∠ECB＝∠FCG；
（2）△EBC≌△FGC．
例3 小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．
127829053,… 21/73-
(1)（一）猜测探究
在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相
等的角度，得到线段AN，连接NB．
（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是 ，
NB与MC的数量关系是 ；
（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）
中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
(2)（二）拓展应用
如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意
点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q
长度的最小值．
例4 如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD
上，MN，EF交于点P，记k＝MN：EF．
(1)若a：b的值为1，当MN⊥EF时，求k的值．
(2) 1
若a：b的值为 ，求k的最大值和最小值．
2
(3)若k的值为3，当点N是矩形的顶点，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE时，求a：b的值．
例5 如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点
O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长．
例6 如图，已知四边形ABCD和四边形DEFG为正方形，点E在线段DC上，点A，D，G在同一直线上，
且AD=3，DE=1，连接AC，CG，AE，并延长AE交CG于点H．
（1）求sin∠EAC的值．
（2）求线段AH的长．
例7 已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．
127829053,… 22/73-
（1）如图1，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F．若DF⊥CE ，求证：
OE=OG；
（2）如图2，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC， 交线段OB于点E，连结DH交CE于点F，交OC于
点G．若OE=OG，
①求证：∠ODG=∠OCE；
②当AB=1时，求HC的长．
例8 小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．
(1)温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别
在AB，AC上，若BC＝6，AD＝4，求正方形PQMN的边长．
(2)操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图
2，任意画△ABC，在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC边上，N'在
△ABC内，连结BN'并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC
于点Q，得到四边形PQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”．
(3)推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．
(4)拓展：在（2）的条件下，在射线BN上截取NE＝NM，连结EQ，EM（如图3）．当
3
tan∠NBM＝ 时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．
4
请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．
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第 4 讲 三角形与四边形
自我巩固答案
1 如图，在等腰ΔABC中， AB=AC，ΔADE是等边三角形，且DE//BC，AD，AE分别交BC于点M，
N．求证：BM=CN．
2 如图，在ΔABC 中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．
（1）求证：AC⋅CD=CP⋅BP；
（2）若AB=10，BC=12，当PD//AB时，求BP的长．
127829053,… 23/73-
3 1
如图，在□ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE= BC，连接DE，CF．
2
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60∘，求DE的长．
4 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与
BF交于点P，连接EF、PD．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60∘，求tan∠ADP的值．
5 如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC
于点M，交AD于点N．
（1）求证：CM=CN；
MN
（2）若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3:1，求 的值．
DN
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第 4 讲 三角形与四边形
课堂落实答案
1 如图，锐角△ABC中，∠BAC=60∘，O是BC边上的一点，连接AO，以AO为边向两侧作等边
△AOD和等边△AOE，分别与边AB，AC交于点F，G．求证：AF=AG．
2 如图1，在△OAB 中，∠OAB=90∘，∠AOB=30∘，OB=8．以OB为边，在△OAB 外作等边
△OBC ，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
127829053,… 24/73-
能力强化 / 初三 / 春季
第 4 讲 三角形与四边形
精选精练
1 如图，已知在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB边上的高，P为BE上一点，D为CF延长线上一
点，且BP=AC，CD=AB，求证：
（1）AD=AP；
（2）DA⊥PA．
2 如图，△ABC是等边三角形，∠DAE=120∘，求证：AD⋅AE=AB⋅DE．
3 如图，菱形ABCD中，E、F分别为AD、AB上的点，且AE=AF，连接EF并延长交CB的延长线于点
G，连接BD．
（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；
（2）连结AG，若∠FGB=30∘，GB=AE=1，求AG的长．
4 如图1，在ΔABC中，AB=AC，∠BAC=90∘．点D为BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在
AD的右侧作正方形ADEF．
（1）线段CF、BD之间的位置关系为______________，数量关系为_________________；
（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图2，（1）中的结论是否依然成立，为什么？
5 已知：如图，D是△ABC 的边AB上一点，CN//AB ，DN交AC于点M，MA=MC．
①求证：CD=AN；
②若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．
127829053,… 25/73-
6 如图1，在△OAB中，∠OAB=90∘，∠AOB=30∘，OB=8．以OB为边，在△OAB外作等边
△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
能力强化 / 初三 / 春季
第 5 讲 圆
例题练习题答案
例1 如图，扇形OAB中，∠AOB=90∘．P为弧AB上一点，过点P作PC⊥OA，垂足为C，PC与AB交于
点D．若PD=2，CD=1，则该扇形的半径长为 ．
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A=∠ADE；
（2）若AD=16，DE=10，求BC的长．
例3 如图，P为半圆O直径BA延长线上一点，PC切半圆O于C，且PA:PC=2:3，则sin∠ACP的值为
（ ）
A： 2
3
B： 2√13
13
127829053,… 26/73-
C： 3√13
13
D：无法确定
例4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC
于点E，连接OE．
（1）求证：△DBE是等腰三角形；
（2）求证：△COE∽△CAB．
例5 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠BAC=60°，求线段EF的长．
例6 如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC//BD，弦AD、BC相交于点E．
(1) ⌢ ⌢
求证：AC=CD；
(2)若CE=1，EB=3，求⊙O的半径；
(3)在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ//CB交⊙O于F
，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长．
例7 如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线，作BM=AB并与AP交于点M，延
长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：AB=BE；
（2）若⊙O的半径R=5，AB=6，求AD的长．
例8 如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连EC，CD．
(1) 试猜想直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2) 求证：BC2=BD⋅BE；
127829053,… 27/73-
1
(3) 若tan∠CED= ，⊙O的半径为3，求△OAB的面积．
2
例9 如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA=∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，若OP//BC ，且OP=8，⊙O的半径为2√2，求BC的长．
例10 如图，⊙O的直径AB=6，C为圆周上一点，AC=3，过点C作⊙O的切线l，过点B作l的垂线BD，
垂足为D，BD与⊙O交于点E．
（1）求∠AEC的度数；
（2）求证：四边形OBEC是菱形．
例11 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC、BM于点
D、E．
（1）求证：MD=ME；
（2）填空：
①若AB=6，当AD=2DM时，DE=________；
②连接OD、OE，当∠A的度数为_______时，四边形ODME是菱形．
例12 如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点
E，连接BC交DO于点F．
(1)求证：CE=EF；
(2)连接AF并延长，交⊙O于点G．填空：
127829053,… 28/73-
①当∠D的度数为 时，四边形ECFG为菱形；
②当∠D的度数为 时，四边形ECOG为正方形．
能力强化 / 初三 / 春季
第 5 讲 圆
自我巩固答案
1 3
如图，直径为10的半圆O，tan∠DBC= ，∠BCD的平分线交⊙O于F，E为CF延长线上一点，且
4
∠EBF=∠GBF．
（1）求证：BE为⊙O切线；
（2）求证：BG2=FG⋅CE；
（3）求OG的值．
2 如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点
D作DF⊥AC于点F．
（1）试说明DF是⊙O的切线；
（2）若AC=3AE，求tanC．
3 如图，△ABC 内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P．OF//BC交AC于点E，
交PC于点F，连接AF．
（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）已知半径为20，AF=15，求AC的长．
4 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，过点C的切线交BA的延长线于点D，CD=CB，
CE//AB交半圆于点E．
（1）求∠D的度数；
（2）求证：以点C，O，B，E为顶点的四边形是菱形．
能力强化 / 初三 / 春季
第 5 讲 圆
127829053,… 29/73-
课堂落实答案
1 已知⊙O的半径为√6，OC垂直于弦AB，垂足为C，AB=2√2，点D在⊙O上．
（1）如图1，若点D在AO的延长线上，连结CD交半径OB于点E，连结BD，求BD，ED的长；
（2）若射线OD与AB的延长线相交于点F，且△OCD 是等腰三角形，请在图2画示意图并求出AF
的长．
能力强化 / 初三 / 春季
第 5 讲 圆
精选精练
1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AD:DC=1:2，且∠A+∠CDB=90∘，过点A，D作⊙O，使
圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．若AD:AE=12:13，且BC=15，则⊙O的直径为
____________．
2 如图，已知⊙O的直径AB=2，直线m与⊙O相切于点A，P为⊙O上一动点（与点A、点B不重
合），PO的延长线与⊙O相交于点C，过点C的切线与直线m相交于点D．
（1）求证：△APC∽△COD；
（2）设AP=x，OD=y，试用含x的代数式表示y；
（3）试探索x为何值时，△ACD 是一个等边三角形．
3 如图，已知：边长为1的圆内接正方形ABCD中，P为边CD的中点，直线AP交圆于E点．
（1）求弦DE的长．
（2）若Q是线段BC上一动点，当BQ长为何值时，△ADP与以Q，C，P为顶点的三角形相似？
4 如图，AB是⊙O的直径，弧AC=弧BC，AB=2，连接AC．
（1）求证：∠CAB=45∘；
127829053,… 30/73-
（2）若直线l为⊙O的切线，C是切点，在直线l上取一点D，使BD=AB，BD所在的直线与AC所在
的直线相交于点E，连接AD．
①试探究AE与AD之间的数量关系，并证明你的结论；
EB
② 是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
CD
5 如图，AB为半圆直径，D为AB上一点，分别在半圆上取点E、F，使EA=DA，FB=DB，过D作AB
的垂线，交半圆于C．
求证：CD平分EF．
6 如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过半圆上的点C作CD//AB交AF于点D
，连接BC．
(1)连接DO，若BC//OD，求证：CD是半圆的切线；
(2)如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证
明你的结论．
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第 6 讲 二次函数之三角形构造
例题练习题答案
例1 如图，抛物线y=ax2+bx−5与x轴交于A(−2,0)、B(5,0)两点，与y轴交于点C，点P(m,n)为x轴下
方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
127829053,… 31/73-
（2）过点P分别作x轴、y轴的垂线，D、E为垂足，用含有m的代数式表示四边形OEPD的周长l，
并求出周长l的最大值；
（3）作直线BC、OP，两直线交于点Q，试问是否存在点P，使得ΔQOC是等腰三角形？若存在，
请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
例2 如图，在平面直角坐标系中，直线y= −2x+10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是(8,4)
，连接AC，BC．
（1）求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断ΔABC的形状；
（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，
沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停
止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA？
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存
在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
例3 如图，抛物线y=ax2+bx−4a(a≠0)经过A(−1,0)、C(0,4)两点，与x轴交于另一点B，连接AC，
BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45∘
，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得由点M，A，C构成的ΔMAC是直角三角形？若存
在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
例4 如图，已知抛物线y= −x2+4x+5与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）直接写出点A、B、C的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；
（3）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合）过点D作DF⊥x轴于点F，交直线
BC于点E，连接BD，直线BC把ΔBDF的面积分成两部分，使SΔBDE:SΔBEF=2:3，请求出点D的坐
标；
（4）若M为抛物线对称轴上一动点，使得ΔMBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
例5 如图，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于点A(−1,0)、B(4,0)，与y轴正半轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）证明：∠ACB=90∘；
（3）P为抛物线上一点，过点P作PM⊥x 轴，垂足为M，连接OP，若△OPM∽△ABC ，求点P
的坐标．
127829053,… 32/73-
例6 如图，已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(4,4)、B(2, −2)两点，与x轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P在抛物线的对称轴上,若线段PC绕点P旋转90∘后,点C的对应点C'恰好也落在此抛物线上,求
点P的坐标;
(3)如图,若点N在抛物线上,且∠NAO=∠CAO,求出所有满足△POB~△NOA的点P坐标.(点P、
O、B分别与点N、O、A对应)
例7 如图1，已知二次函数y=ax2−a(a为常数，且a≠0)与x轴交于A、B，与y轴的交点为C．过点A的
直线l:y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)与抛物线另一交点为E，交y轴于D．
（1）用含k的式子表示直线l的解析式；
3
（2）若a=3，k= ，点P为抛物线上第四象限上的一动点，过P作y轴的平行线交AD于M，作
4
PN⊥AD于N，当ΔPMN面积有最大值时，求点P的坐标；
（3）如图2，若a=3，k=1，连接AC、BC，在坐标平面内，求使得ΔACD与ΔBCQ相似（其中点
Q与点A是对应顶点）的Q的坐标．
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第 6 讲 二次函数之三角形构造
自我巩固答案
1 抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(−1,0)，B(3,0)，交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①
2a+b=0；②2c<3b；③当m≠1时，a+b<am2+bm；④当ΔABD是等腰直角三角形时，则
1
a= ；⑤当ΔABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有( )个．
2
127829053,… 33/73-
A：5
B：4
C：3
D：2
2 已知:如图,抛物线y=ax2−2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、B,点A的坐标为(4,0).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE//AC,交BC于点E,连接CQ.当△CQE的面积最大时,求点Q的
坐标;
(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,0).问:是否存在
这样的直线l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
3 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线C1:y=ax2+bx(a<0)经过点A和x轴上的
点B，AO=OB=2，∠AOB=120∘．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）连接AM，求SΔAOM；
（3）设点F是x轴上一点，如果ΔMBF与ΔAOM相似，求所有符合条件的点F的坐标．
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第 6 讲 二次函数之三角形构造
课堂落实答案
1 在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2−2x+n与x轴的两个交点分别为A(−3,0)，B(1,0)，C为顶
点．
（1）求m、n的值．
（2）在y轴上是否存在点D，使得ΔACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；
若不存在，说明理由．
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第 6 讲 二次函数之三角形构造
精选精练
1 25
( )
已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P −4, − ，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其
2
中B点坐标为(1,0)．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）若抛物线的对称轴交x轴于点D，则在线段AC上是否存在这样的点Q使得△ADQ为等腰三角
形？若存在，请求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(−1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;
(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;
若不存在,请说明理由.
3 19
如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=kx+b与抛物线y=mx2− x+n同时经过
4
点A(0,3)、B(4,0)．
（1）求m，n的值．
（2）点M是二次函数图象上一点，(点M在AB下方)，过M作MN⊥x轴，与AB交于点N，与x轴交于
点Q．求MN的最大值．
（3）在（2）的条件下，是否存在点N，使△AOB和△NOQ相似？若存在，求出N点坐标，若不存
在，请说明理由．
127829053,… 35/73-
4 抛物线y=ax2−4ax+3a交x轴于点B、C两点，交y轴于点A，点D为抛物线的顶点，连接AB、AC，
已知ΔABC的面积为3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴右侧一点，点P的横坐标为m，过点P作PQ//AC交y轴于点Q，AQ的长度
为d，求d与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当d=4时，作DN⊥y轴于点N，点G为抛物线上一点，AG交线段PD于点
M，连接MN，若ΔAMN是以MN为底的等腰三角形，求点G的坐标．
5 如图，直线AB经过x轴上一点A(3,0)，且与抛物线y=ax2+1相交于B、C两点，点B的坐标为(1,2)
．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）若点D是抛物线上一点，且D在直线BC下方，若SΔBCD=3，求点D的坐标；
（3）设抛物线顶点为M，问在抛物线上是否存在点P使ΔPMC是以MC为直角边的直角三角形？若
存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6 如图，已知抛物线的顶点为A(0,2)，矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，点D、E在x轴上，CF交y
轴于点B(0,4)，且矩形其面积为32．
（1）此抛物线的解析式．
（2）点P是x轴上一点，若ΔPCF为等腰三角形，请直接写出P点坐标．
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第 7 讲 二次函数之四边形构造
例题练习题答案
例1 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90∘，A(1,0)，B(0,2)，
1
C(3,1)抛物线y= x2+bx−2的图象过C点，交y轴于点D．
2
（1）在后面的横线上直接写出点D的坐标及b的值：______，b=_____；
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（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l，设l与x轴交于点G(x,0)，当OG等于多少时，恰好将
△ABC 的面积分为相等的两部分？
（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，直接写出P
点坐标；若不存在，说明理由．
例2 √3
如图，抛物线y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴的另一交点为(− ，0)．
3
（1）求抛物线的解析式；
√3 4
（2）若直线y= x+ 与抛物线相交于点A和点B（点A在第二象限），设点A′是点A关于原点O
3 3
的对称点，连接A′B，试判断△AA′B的形状，并说明理由；
（3）在问题（2）的基础上，探究：平面内是否存在点P，使得以点A，B，A′，P为顶点的四边形
是菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
例3 在同一直角坐标系中，抛物线C1:y=ax2−2x−3与抛物线C2:y=x2+mx+n关于y轴对称，C2与x
轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．
（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、
P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理
由．
例4 1
如图，抛物线y= −x2+bx+c与直线y= x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为
2
7
( )
3, ．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
2
(1)求抛物线的解析式;
127829053,… 37/73-
(2)若点P的横坐标为m,当m为何值时,以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形?请说明理由.
(3)若存在点P,使∠PCF=45∘,请直接写出相应的点P的坐标.
例5 3
( )
已知抛物线y=ax2+bx−2经过点A(−2,0)、C ,0 ，与y轴交于点B，动点P从原点出发以1个单
2
位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q，设点P的运动时间
为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
1
（2）当BQ= AP时，求t的值；
2
（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使四边形BMPQ为平行四边形？若存在，请直
接写出t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．
例6 如图，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过点A(1,0)和点B(3,0)，与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线BC
于点D，设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PD的长．
②连接PB，PC，求ΔPBC的面积最大时点P的坐标．
（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点M是抛物线的对称轴上一点，N为y轴上一点，是否存在
这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点M的
坐标；如果不存在，请说明理由．
例7 如图，抛物线y=ax2+bx(a≠0)过点A(4,0)和点B(1, −3)，其顶点为点C，连接AB，点D在抛物线
上A、C两点之间，过点D作DF⊥x轴，垂足为点F，DF与AB交于点E．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求顶点C的坐标；
（3）连接AD、BD，设ΔABD的面积为S，点D的横坐标为m，则DE用含有m的代式表示为
________；S关于m的函数关系式为：________（不要求写出m的取值范围）；当m的值为________
时，S有最大值________；
（4）点M在坐标轴上，试探究平面内是否存在点N，使中点A、B、M、N为顶点的四边形是矩形．
若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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能力强化 / 初三 / 春季
第 7 讲 二次函数之四边形构造
自我巩固答案
1 如图,抛物线y=x2−2x−3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点
的横坐标为2.
(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;
(3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平
行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.
2 如图1，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴，y轴分别交于点A(−1,0)，点B(3,0)，点C三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点D(2,m)在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在
一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形
时，请直接写出点M的坐标．
3 4√3
如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点M(−2,√3)，顶点坐标为N(−1, )，且与x轴交
3
于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线y= −1上的动点，T是抛物线上的动点，若以A，C，P，T为顶点的四边形是平行
四边形，求点P的坐标；
（3）在直线AC上是否存在一点Q，使ΔQBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请
说明理由．
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能力强化 / 初三 / 春季
第 7 讲 二次函数之四边形构造
课堂落实答案
1 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A(1,0)，B(2,0)，C(0, −2)，直线
x=m(m>2)与x轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线x=m(m>2)上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、
O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存
在，请求出F点的坐标；若不存在，请说明理由．
能力强化 / 初三 / 春季
第 7 讲 二次函数之四边形构造
精选精练
1 如图，点A(2,6)和点B（点B在点A的右侧）都在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC//x轴，
tan∠ACB=2，二次函数的图象经过A、B、C三点．
（1）求反比例函数和二次函数的解析式；
（2）如果点D在x轴的正半轴上，点E在反比例函数的图象上，若以A，C，D，E为顶点的四边形
是平行四边形，求CD的长．
2 已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A(0,2)，B(1,0)分别在y轴和x轴
的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物
线y=ax2+bx+c(a≠0)过点D．
1
（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a= −
3
①求点D的坐标及该抛物线的解析式；
②连接CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条
件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；
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（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点E(1,1)，点Q在抛物线上，且满足∠QOB与
∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是3个，请直接写出a的值．
3 如图，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴
相交于点E，矩形OABC的边OC，OA的长是关于x的一元二次方程x2−12x+32=0的两个根，且
OA>OC．
（1）求线段OA，OC的长；
（2）求证：ΔADE≅ΔCOE ，并求出线段OE的长；
（3）直接写出点D的坐标；
（4）若F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点E，C，P，F为顶点的四边形
是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
4 如图，抛物线y= −x2+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，顶点为D．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标：A（_____，_____）；B（_____，_____）；C（_____，_____）
(2)连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF⊥x轴于点
M，交抛物线于点F．设点P的横坐标为m：
①用含m的代数式表示线段PF的长；
②当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
5 如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线y=a(x+3)(x−1)(a>0)与x轴交于A，B两
点（点A在点B的左侧）．
（1）求点A与点B的坐标；
1
（2）若a= ，点M是抛物线上一动点，若满足∠MAO不大于45∘，求点M的横坐标m的取值范
3
围．
（3）经过点B的直线l:y=kx+b与y轴正半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为点D，且
CD=4BC．若点P在抛物线对称轴上，点Q在抛物线上，以点B，D，P，Q为顶点的四边形能否成
为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
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6 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于
点C，直线y=x−3经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，点P是直线CD下方抛物线上的一个动点，且在
抛物线对称轴的右侧，过点P作PE⊥x轴于点E，PE交CD于点F，交BC于点M，连接AC，过点M作
MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t，线段MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出
自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接PC，过点B作BQ⊥PC于点Q（点Q在线段PC上），BQ交CD于点
T，连接OQ交CD于点S，当ST=TD时，求线段MN的长．
能力强化 / 初三 / 春季
第 8 讲 二次函数值动点存在性问题
例题练习题答案
例1 4 2
如图1，直线y= − x+n交x轴于点A，交y轴于点C(0,4)，抛物线y= x2+bx+c经过点A，交y轴
3 3
于点B(0, −2)．点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD 于点D，连接
PB，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD的长；
（3）如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′=∠OAC，当点P
的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．
例2 3 1
如图1，直线y= x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0, −1)，抛物线y= x2+bx+c经过点B，
4 2
点C的横坐标为4．
（1）请直接写出抛物线的解析式；
（2）如图2，点D在抛物线上，DE∥y轴交直线AB于点E，且四边形DFEG为矩形，设点D的横坐标
为x（0<x<4），矩形DFEG的周长为l，求l与x的函数关系式以及l的最大值；
（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的
对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐
标．
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例3 3
如图，抛物线y= −x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，B(5,0)两点，直线y= − x+3与y轴交于点
4
C，与x轴交于点D．点P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x 轴于点F，交直线CD于点
E．设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PE=5EF，求m的值；
（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出
相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
例4 如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(−2,5)，与x轴相交于B(−1,0)，C(3,0)两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC′D，若点C′
恰好落在抛物线的对称轴上，求点C′和点D的坐标；
（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形
时，求直线BP的函数表达式．
例5 2 4
如图，直线y= − x+c与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，抛物线y= − x2+bx+c经过点A，
3 3
B．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M(m,0)为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM 相似，求点M的坐标；
②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除
外），则称M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的
值．
127829053,… 43/73-
例6 特例感知
(1)如图1，对于抛物线y1= −x2−x+1，y2= −x2−2x+1，y3= −x2−3x+1，下列结论正确
的序号是 ；
①抛物线y1，y2，y3都经过点C(0,1)；
1
②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移 个单位得到；
2
③抛物线y1，y2，y3与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等．
形成概念
(2)把满足yn= −x2−nx+1(n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”．
知识应用
在（2）中，如图2．
①“系列平移抛物线”的顶点依次为P1，P2，P3，…，Pn，用含n的代数式表示顶点Pn的坐
标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；
②“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均为整数的点）”：C1，C2，C3，…
，Cn，其横坐标分别为−k−1，−k−2，−k−3，…，−k−n(k为正整数），判断相邻两点之
间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．
③在②中，直线y=1分别交“系列平移抛物线”于点A1，A2，A3，…，An，连接CnAn，
Cn−1An−1，判断CnAn，Cn−1An−1是否平行？并说明理由．
例7 如图，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于点A(1,0)和点B，与y轴交于点C，且其对称轴l为x= −1，
点P是抛物线上B，C之间的一个动点（点P不与点B，C重合）．
(1)直接写出抛物线的解析式;
(2)小唐探究点P的位置时发现:当动点N在对称轴l上时,存在PB⊥NB,且PB=NB的关系,请求出点
P的坐标;
(3)是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大?若存在,请求出四边形PBAC面积的最大值;若不存
在,请说明理由.
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例8 如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分
9
线交于点P，P在反比例函数y= 的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，
x
连接CD．
（1）求∠P的度数及点P的坐标；
（2）求△OCD的面积；
（3）△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
能力强化 / 初三 / 春季
第 8 讲 二次函数值动点存在性问题
自我巩固答案
1 如图：已知正方形OABC的边OC、OA分别在x轴和y轴的正半轴上，点B坐标为(4,4)．二次函数
1
y= − x2+bx+c的图象经过点A，B，且与x轴的交点为E、F．点P在线段EF上运动，过点O作
6
OH⊥AP于点H，直线OH交直线BC于点D，连接AD．
（1）求b、c的值及点E和点F的坐标；
（2）当点P在线段OC上时，求证：OP=CD；
（3）在点P运动到OC中点时，能否将△AOP 绕平面内某点旋转90∘后使得△AOP 的两个顶点
落在x轴上方的抛物线上？若能，请直接写出旋转中心M的坐标；若不能，请说明理由．
2 4
如图,二次函数y= x2+bx+c的图象与x轴交于A(3,0),B(−1,0),与y轴交于点C.若点P,Q同时从A点出
3
发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.
(1)求该二次函数的解析式及点C的坐标;
127829053,… 45/73-
(2)当点P运动到B点时,点Q停止运动,这时,在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为顶点的三角形为等
腰三角形?若存在,请求出E点坐标;若不存在,请说明理由.
(3)当P,Q运动到t秒时,△APQ沿PQ翻折,点A恰好落在抛物线上D点处,请判定此时四边形APDQ的
形状,并求出D点坐标.
3 新定义：若x0=ax0 2+bx0+c成立，则称点 ( x0,x0 ) 为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上的不动点．
设抛物线C的解析式为：y=ax2+(b+1)x+(b−1)，(a≠0)
1
（1）抛物线C过点(0, −3)；如果把抛物线C向左平移 个单位后其顶点恰好在y轴上，求抛物线C
2
的解析式及其上的不动点；
（2）对于任意实数b，实数a应在什么范围内，才能使抛物线C上总有两个不同的不动点？
能力强化 / 初三 / 春季
第 8 讲 二次函数值动点存在性问题
课堂落实答案
1 如图，以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过A(4,0)和B(0,4)两
点，其顶点为C．
（1）求该抛物线的解析式及其顶点C的坐标；
（2）若点M是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内．
①设△ABM的面积为S，试求S的最大值；
②若S为整数，则这样的M点有________个．
能力强化 / 初三 / 春季
第 8 讲 二次函数值动点存在性问题
精选精练
1 如图，平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OA，OC分别在坐标轴上，OA=2，OC=1，以点A为
顶点的抛物线经过点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)将矩形ABCO绕点A旋转，得到矩形AB′C′O′，使点C′落在x轴上，抛物线是否经过点C′？请
说明理由．
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2 在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L:y=ax2相交于A，B两点（点B在
第一象限），点D在AB的延长线上．
(1)已知a=1，点B的纵坐标为2．
①如图1，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长；
1
②如图2，若BD= AB，过点B，D的抛物线L2，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达
2
式．
(2)如图3，若BD=AB，过O，B，D三点的抛物线L3，顶点为P，对应函数的二次项系数为a3，
a3 AB
过点P作PE∥x轴，交抛物线L于E，F两点，求 的值，并直接写出 的值．
a EF
3 b
( )
平面直角坐标系xOy中，对于点P(a,b)，若点P′的坐标为 a+ ,ka+b （其中k为常数，且k≠0
k
），则称点P′为点P的“k关联点”．
（1）求点P(−2,3)的“2关联点”P′的坐标；
（2）若a、b为正整数，点P的“k关联点”P′的坐标为(3,6)，求出k及点P的坐标；
4√3
（3）如图，点Q的坐标为 (0,4√3) ，点A在函数y= − (x<0)的图象上运动，且点A是点B的“
x
−√3关联点”，当线段BQ最短时，求B点坐标．
4 如图，抛物线y= −x2−2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，
点D为抛物线的顶点．
（1）求A、B、C的坐标；
（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A，B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，
与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左
边，当矩形PQMN的周长最大时，求△AEM的面积．
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5 如图，抛物线y=mx2−16mx+48m(m>0)与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点
C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点
E．
（1）若△OAC为等腰直角三角形，求m的值；
（2）若对任意m>0，C、E两点总关于原点对称，求点D的坐标（用含m的式子表示）；
（3）当点D运动到某一位置时，恰好使得∠ODB=∠OAD，且点D为线段AE的中点，此时对于该
1
抛物线上任意一点P ( x0,y0 ) 总有n+ ≥ −4√3my0 2−12√3y0−50成立，求实数n的最小值．
6
6 已知二次函数y= −x2+bx+c+1，
①当b=1时，求这个二次函数的对称轴的方程；
1
②若c= − b2−2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切？
4
( ) ( )
③若二次函数的图象与x轴交于点A x1,0 ，B x2,0 ，且x1<x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB
为直径的半圆恰好过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别交于点D、E、F，且
DE 1
满足 = ，求二次函数的表达式．
EF 3
能力强化 / 初三 / 春季
第 9 讲 旋转变换
例题练习题答案
例1 在△ABC中，AB=AC，点D是线段BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作
△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90∘，则∠BCE=________度；
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（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．
①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；
②当点D在线段BC所在直线上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．
例2 问题情境：在课堂上，兴趣学习小组对一道数学问题进行了深入探究，在Rt△ABC中，
∠ACB=90∘，∠A=30∘，点D是AB的中点，连接CD．
探索发现：
（1）如图①，BC与BD的数量关系是___________；
猜想验证：
（2）如图②，若P是线段CB上一动点（点P不与点B，C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针
旋转60∘，得到线段DF，连接BF，请猜想BF，BP，BD三者之间的数量关系，并证明你的结论；
拓展延伸：
（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图③中补全图形，并直接写出
BF，BP，BD三者之间的数量关系．
例3 EC AC √5
如图，已知∠ECA=∠DCB， = = ，若AE=√5，则BD的长度为（ ）
CD BC 2
A：√5
B：2
C：4
D：5
例4 如图，AB=3，AC=2，BC=4，AE=3，AD=4.5，DE=6，∠BAD=20∘，则∠CAE的度数为
（ ）
A：10∘
B：20∘
C：40∘
D：无法确定
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例5 在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段
AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．
（1）观察猜想
BD
如图1，当α＝60°时， 的值是 ，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是 ．
CP
（2）类比探究
BD
如图2，当α＝90°时，请写出 的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形
CP
说明理由．
例6 （1）问题发现
如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40∘，连接AC，BD交于
点M．
填空：
AC
① 的值为____；
BD
②∠AMB的度数为____．
（2）类比探究
如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90∘，∠OAB=∠OCD=30∘，连接AC交BD的
AC
延长线于点M．请判断 的值及∠AMB的度数，并说明理由．
BD
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，
OB=√7，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
例7 如图1，在Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，
点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想
图1中，线段PM与PN的数量关系是_________，位置关系是__________；
（2）探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理
由；
（3）拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．
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例8 两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90∘，F是DE的中点，H是
AE的中点，G是BD的中点．
（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想：FH和FG的数量关系
为_________，位置关系为________；
（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至点A，C，E在一条直线上时，其余条件均不
变，则（1）中的猜想是否还成立？若成立，请证明，不成立请说明理由；
（3）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？
直接写出结论，不用证明．
例9 如图①，△ABC 与△CDE 是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M，N分别
是斜边AB，DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD、MN．
（1）求证：△PMN 为等腰直角三角形；
（2）现将图①中的△CDE 绕着点C顺时针旋转α
（0∘<α<90∘），得到图②，AE与MP，BD分别交于点G、H，请判断（1）中的结论是否成
立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
能力强化 / 初三 / 春季
第 9 讲 旋转变换
自我巩固答案
1 （1）探究发现：
下面是一道例题及其解答过程，请补充完整：
如图1在等边△ABC内部，有一点P，若∠APB=150∘．求证：AP2+BP2=CP2
证明：将△APC绕A点逆时针旋转60∘，得到△AP ′B ，连接PP ，′则△APP 为′等边三角形
∴∠APP′=60∘，PA=PP′，PC=__________∵∠APB=150∘∴∠BPP′=90∘
∴P′P2+BP2=___________即PA2+PB2=PC2
（2）类比延伸：
如图2在等腰三角形ABC中，∠BAC=90∘，内部有一点P，若∠APB=135∘，试判断线
段PA、PB、PC之间的数量关系，并证明．
（3）联想拓展：
如图3在△ABC中，∠BAC=120∘，AB=AC，点P在直线AB上方，且∠APB=60∘，满
足(kPA)2+PB2=PC2，请直接写出k的值．
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2 如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠B=60∘，D为AB的中点，∠EDF=90∘，DE交AC于
点G，DF经过点C．
（1）求∠ADE的度数；
（2）如图2，将图1中的∠EDF绕点D顺时针方向旋转角α ( 0∘<α<60∘) ，旋转过程中的任意两
个位置分别记为∠E1DF1，∠E2DF2，DE1交直线AC于点P，DF1交直线BC于点Q，DE2交直线AC
PM
于点M，DF2交直线BC于点N，求 的值；
QN
PM
（3）若图1中∠B=β ( 60∘<β<90∘) ，（2）中的其余条件不变，判断 的值是否为定值？如
QN
果是，请直接写出这个值（用含β 的式子表示）；如果不是，请说明理由．
3 如图所示，将两个正方形ABCD和正方形CGEF如图所示放置，连接DE、BG．
（1）图中∠DCE+∠BCG=_________；
（2）设△DCE 的面积为s1，△BCG 的面积为s2，则s1与s2的数量关系为_________；
猜想论证：
如图2所示，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG，连接DE、BG，设△DCE
的面积为s1，△BCG 的面积为s2，猜想s1和s2的数量关系，并加以证明？
如图3所示，在△ABC 中，AB=AC=10cm，∠B=30∘，把△ABC 沿AC翻折得到△AEC ，
过点A作AD平行CE交BC于点D，在线段CE上存在点P，使△ABP 的面积等于△ACD 的面积，
请写出CP的长？
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能力强化 / 初三 / 春季
第 9 讲 旋转变换
课堂落实答案
1 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正
方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G．
（1）若点D在线段BC上，如图：
①依题意补全图形；
②判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；
（2）若点D在线段BC的延长线上，且G为CF中点，连接GE，AB=√2，则GE的长为_________，
并简述求GE长的思路．
能力强化 / 初三 / 春季
第 9 讲 旋转变换
精选精练
1 已知四边形ABCD，AD∥BC，AD=√3AB，∠A=90∘，∠C=60∘，DH⊥BC于H点，作
∠EBF=60∘，此角的两边分别交AD于E，交CD于F，求证：2AE+CF=2CH．
2 在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点(不与点B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作
△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE，设∠BAC=α，∠DCE=β．
（1）如图1，当点D在线段CB上，且α=60∘时，那么β=________；
（2）若α≠60∘，
①如图2，当点D在线段CB上时，求α与β间的数量关系；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上时，请将图3补充完整，并求出α与β之间的数量关系．
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3 （1）如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．填空：当点A位于_____________时，线
段AC的长取得最大值，且最大值为__________（用含a，b的式子表示）
（2）点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角
形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．
①求证BE=CD；
②直接写出线段BE长的最大值．
（3）如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为(5,0)，点P为线段AB外一动
点，且PA=2，以PB为边作等边△PBM ，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
4 （1）如图①，正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD:GC:EB的结果（不
必写计算过程）；
（2）将图①中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图②，求HD:GC:EB；
（3）把图②中的正方形都换成矩形，如图③，且已知DA:AB=HA:AE=m:n，此时HD:GC:EB
的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过
程）．
5 （1）当∠BAC=60∘时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP=120∘，则∠ACD
______∠ABD（填“>”、“=”、“<”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是_________；
（2）当∠BAC=120∘时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=60∘，求证：
BD−CD=√3AD；
（3）将图3中的BP继续旋转，当30∘<α<180∘时，点D是直线BP上一点（点P不在线段BD
上），若∠CDP=120∘，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）．
6 数学活动课上，某学习小组对有一内角为120∘的平行四边形ABCD (∠BAD=120∘) 进行探究：将
一块含60∘的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60∘角的顶点始终与点C
重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）．
（1）初步尝试
如图1，若AD=AB，求证：①△BCE≌△ACF ，②AE+AF=AC；
（2）类比发现
如图2，若AD=2AB，过点C作CH⊥AD 于点H，求证：AE=2FH；
（3）深入探究
AE+3AF
如图3，若AD=3AB，探究得： 的值为常数t，则t=_______
AC
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能力强化 / 初三 / 春季
第 10 讲 几何中的动点问题
例题练习题答案
例1 1
在图1﹣图4中，菱形ABCD的边长为3，∠A=60∘，点M是AD边上一点，且DM= AD，点N是
3
折线AB﹣BC上的一个动点．
（1）如图1，当N在BC边上，且MN过对角线AC与BD的交点时，则线段AN的长度为__________；
（2）当点N在AB边上时，将△AMN沿MN翻折得到△A′MN，如图2，
①若点A′落在AB边上，则线段AN的长度为_______；
②当点A′落在对角线AC上时，如图3，求证：四边形AMA′N是菱形；
A′B
③当点A′落在对角线BD上时，如图4，求 的值．
A′N
例2 如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿AM所在直线对折，得到
△ANM．
（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；
（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；
（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．
例3 如图，半圆O的直径AB=4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在弧AQ上且
不与A点重合，但Q点可与B点重合．
发现：弧AP的长与弧QB的长之和为定值l，求l：
思考：点M与AB的最大距离为________，此时点P，A间的距离为________；
点M与AB的最小距离为_________，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形面积为___________；
探究：当半圆M与AB相切时，求弧AP的长．
√6 √3
（注：结果保留π ，cos35∘= ，cos55∘= ）
3 3
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例4 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=45∘，BC=12cm，半圆O的直径DE=12cm，点E与
点C重合，半圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在BC所在的直线
上．设运动时间为x（s），半圆O在△ABC的重叠部分的面积为S（cm2）．
（1）当x=_______（s）时，点O与线段BC的中点重合；
（2）在（1）的条件下，求半圆O与△ABC的重叠部分的面积S；
（3）当x为何值时，半圆O所在的圆与△ABC的边所在的直线相切？
例5 平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且
∠DOQ=60∘，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段
OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0∘≤α≤60∘）．
发现：
（1）当α=0∘，即初始位置时，点P______直线AB上（填“在”或“不在”）．求当α是多少时，
OQ经过点B．
（2）在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并写出这个最小值；
（3）如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a及S阴影．
拓展：
如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设
BM=x（x>0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．
探究：
当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．
例6 如图所示，点A为半圆O直径MN所在直线上一点，射线AB垂直于MN，垂足为A，半圆绕M点顺
时针转动，转过的角度记作a；设半圆O的半径为R，AM的长度为m，回答下列问题：
探究：（1）若R=2，m=1，如图1，当旋转30∘时，圆心O′到射线AB的距离是________；如图
2，当a=______∘时，半圆O与射线AB相切；
（2）如图3，在（1）的条件下，为了使得半圆O转动30∘即能与射线AB相切，在保持线段AM长
度不变的条件下，调整半径R的大小，请你求出满足要求的R，并说明理由；
发现：（3）如图4，在0∘<α<90∘时，为了对任意旋转角都保证半圆O与射线AB能够相切，小
明探究了cosα与R、m两个量的关系，请你帮助他直接写出这个关系；cosα=________（用含有R、
m的代数式表示）；
拓展：（4）如图5，若R=m，当半圆弧线与射线AB有两个交点时，α 的取值范围是
__________________，并求出在这个变化过程中阴影部分（弓形）面积的最大值（用m表示）．
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能力强化 / 初三 / 春季
第 10 讲 几何中的动点问题
自我巩固答案
1 1．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，点D、E分别在AC、BC边上，DC=EC，连
接DE、AE、BD，点M、N、P分别是AE、BD、AB的中点，连接PM、PN、MN．
（1）BE与MN的数量关系是_________；
（2）将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，如果成
立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．
2 已知：在△ABC中，∠BAC=60∘．
（1）如图1，若AB=AC，点P在△ABC内，且∠APC=150∘，PA=3，PC=4，把△APC绕着点A
顺时针旋转，使点C旋转到点B，得到△ADB，连结DP．
①依题意补全图1；
②直接写出PB的长；
（2）如图2，若AB=AC，点P在△ABC外，且PA=3，PB=5，PC=4，求∠APC的度数；
（3）如图3，若AB=2AC，点P在△ABC内，且PA=√3，PB=5，∠APC=120∘，直接写出PC的
长．
3 已知在等边△ABC中，AB=2√3，D，E分别是AB，BC的中点（如图1）．
若将△BDE绕点B逆时针旋转，得到△BD1E1，设旋转角为α
( 0∘<α<180∘)
，记射线CE1与AD1的
交点为P．
（1）判断△BDE的形状；
（2）在图2中补全图形，
①猜想在旋转过程中，线段CE1与AD1的数量关系并证明；
127829053,… 57/73-
②求∠APC的度数；
（3）点P到BC所在直线的距离的最大值为________（直接写结果）．
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第 10 讲 几何中的动点问题
课堂落实答案
1 正方形ABCD中，AB=4，P是BC边上一动点（不含B，C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落
在点E处，在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线
PE交CD于点N，连接MA，NA．
发现：△CMP和△BPA是否相似？若相似给出证明，若不相似说明理由；
思考：线段AM的长度是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由；
探究：当△ABP≌△ADN时，求BP的长度．
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第 10 讲 几何中的动点问题
精选精练
1 1．在平面直角坐标系xOy中，对于半径为r(r>0)的⊙O和点P，给出如下定义：
3
若r≤PO≤ r，则称P为⊙O的“近外点”．
2
5
( )
（1）当⊙O的半径为2时，点A(4,0)，B − ,0 ，C(0,3)，D(1, −1)中，
2
⊙O的“近外点”是________；
（2）若点E(3,4)是⊙O的“近外点”，求⊙O的半径r的取值范围；
√3
（3）当⊙O的半径为2时，直线y= x+b(b≠0)与x轴交于点M，与y轴交于
3
点N，若线段MN上存在⊙O的“近外点”，直接写出b的取值范围．
2 如图，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，已知A(−2,0)，D(0,2√3) ．
（1）点C的坐标为________；
（2）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的
边上匀速运动一周，设运动时间为t秒．求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与菱形
ABCD的对角线AC相切？（直接写出t的值，不用写出求解过程）
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3 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）连接AE，若AB=6cm，BC=√5cm．
①求sin∠EAD的值；
②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的
速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A
后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完
全程所需的时间．
4 如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩
形．
（1）若△PCD是等腰三角形，求AP的长；
（2）若AP=√2，求CF的长．
5 已知矩形OABC在如图①所示的平面直角坐标系中，点B的坐标为(4,3)，连接AC．动点P从点B出
发，以2cm/s的速度，沿直线BC方向运动，运动到C为止（不包含B、C两点），过点P作PQ∥AC
交线段BA于点Q，以PQ为边向下作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ABC重叠部分的图形面积
为S
( cm2)
，设点P的运动时间为t(s)．
（1）请用含t的代数式表示N点的坐标；
（2）求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）如图②，点G在边OC上，且OG=1cm，在点P从点B出发的同时，另有一动点E从点O出发，
以2cm/s的速度，沿x轴正方向运动，以OG、OE为一组邻边作矩形OEFG．请直接
写出当点F落在正方形PQMN的内部（不含边界）时t的取值范围．
6 正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和
MN垂直．
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置
时，四边形ABCN的面积最大？并求出最大面积；
（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN？求此时BM的长．
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能力强化 / 初三 / 春季
第 11 讲 规律题探究
例题练习题答案
例1 已知y是x的函数，自变量x的取值范围x>0，下表是y与x的几组对应值：
x … 1 2 3 5 7 9 …
y … 1.98 3.95 2.63 1.58 1.13 0.88 …
小腾根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y与x之间的变化规律，对该函数的图象与性
质进行了探究．
下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的
点，画出该函数的图象；
（2）根据画出的函数图象，写出：
①x=4对应的函数值y约为________；
②该函数的一条性质：___________________________．
例2 x2
有这样一个问题：探究函数y= 的图象与性质．
2x−2
下面是小文的探究过程，请补充完整：
x2
（1）函数y= 的自变量x的取值范围是________；
2x−2
（2）如表是y与x的几组对应值．
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 …
9 2 1 9 8 25
y … − − − 0 2 …
8 3 4 4 3 8
如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．
①观察图中各点的位置发现：点A1和B1，A2和B2，A3和B3，A4和B4均关于某点中心对称，则该点
的坐标为___________；
x2
②小文分析函数y= 的表达式发现：当x<1时，该函数的最大值为0，则该函数图象在直线
2x−2
x=1左侧的最高点的坐标为__________；
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1 1 3 9
( ) ( )
（3）小文补充了该函数图象上两个点 , − ， , ，
2 4 2 4
①在上图中描出这两个点，并画出该函数的图象；
②写出该函数的一条性质：_____________________________________．
例3 有这样一个问题：探究函数y=(x−1)(x−2)(x−3)的图象与性质．小东对函数
y=(x−1)(x−2)(x−3)的图象与性质进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完成：
（1）函数y=(x−1)(x−2)(x−3)的自变量x的取值范围是全体实数；
（2）下表是y与x的几组对应值．
x … ﹣2 -1 0 1 2 3 4 5 6 …
y … m -24 -6 0 0 0 6 24 60 …
①m=______；
②若M(−7, −720)，N(n,720)为该函数图象上的两点，则n=________；
( ) ( )
（3）在平面直角坐标系xOy中，A xA,yA ，B xB, −yA 为该函数图象上的两点，且A为2≤x≤3
范围内的最低点，A点的位置如图所示．
①标出点B的位置；
②画出函数y=(x−1)(x−2)(x−3)（0≤x≤4）的图象．
例4 阅读下面的材料：
如果函数y=f(x)满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，
（1）若x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)是增函数；
（2）若x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)是减函数．
6
例题：证明函数f(x)= (x>0)是减函数．
x
证明：设0<x1<x2，
6 6 6x2−6x1 6(x2−x1)
f(x1)−f(x2)= − = = ．
x1 x2 x1x2 x1x2
∵0<x1<x2，
∴x2−x1>0，x1x2>0．
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6(x2−x1)
∴ >0．即f(x1)−f(x2)>0．
x1x2
∴f(x1)>f(x2)．
6
∴函数f(x)= (x>0)是减函数．
x
根据以上材料，解答下面的问题：
1
已知函数f(x)= +x(x<0)，
x2
1 1 7
f(−1)= +(−1)=0，f(−2)= +(−2)= −
(−1)2 (−2)2 4
（1）计算：f(−3)=_____，f(−4)=_____；
1
（2）猜想：函数f(x)= +x(x<0)是_____函数（填“增”或“减”）；
x2
（3）请仿照例题证明你的猜想．
例5 阅读下面材料：
小昊遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB=90∘，BE是AC边上的中线，点D在BC边
AP
上，CD:BD=1:2，AD与BE相交于点P，求 的值．
PD
小昊发现，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，通过构造△AEF，经过推理和计算能够使问题
得到解决（如图2）．
AP
请回答： 的值为______．
PD
参考小昊思考问题的方法，解决问题：
如图3，在△ABC中，∠ACB=90∘，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于
点P，DC:BC:AC=1:2:3．
AP
（1）求 的值；
PD
（2）若CD=2，则BP=_______．
例6 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a>2）的正方形ABCD各边上分别截取
AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45∘时，求正方形MNPQ的面
积．
小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得
△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形．（如图2）
请回答：
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（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边
长为_______；
（2）求正方形MNPQ的面积．
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂
√3
线，得到等边△RPQ．若SΔRPQ= ，则AD的长为_______．
3
例7 阅读材料，回答问题：
（1）如图1，中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅
五．”．这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．”上述记载
表明了：在Rt△ABC中，如果∠C=90∘，BC=a，AC=b，AB=c，那么a，b，c三者之间的
数量关系是：____________．
（2）对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等直角
三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充
完整：
1
证明：∵SΔABC= ab，S正方形ABCD=c2，
2
S正方形MNPQ=_______________．
又∵____________________________________________，
1
∴(a+b)2=4× ab+c2，
2
整理得a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴________________．
（3）如图3，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB=4，BC=8，求BE的
长．
例8 ⌢ ⌢
如图，P是AB所对弦AB上一动点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于
点N．已知AB=6cm，设A、P两点间的距离为xcm，P、N两点间的距离为ycm．（当点P与点A
或点B重合时，y的值为0）
小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小东的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm 0 1 2 3 4 5 6
y/cm 0 2.0 2.3 2.1 ______ 0.9 0
（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出已补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当△PAN为等腰三角形时，AP的长度约为________cm．
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例9 1
（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y= x+3与抛物线y=x2相交于点A、B，与x轴交
2
1 1 1
于点C，A点横坐标为x1，B点横坐标为x2（x1<x2），C点横坐标为x3．请你计算 + 与 的
x1 x2 x3
值，并判断它们的数量关系．
（2）在数学的世界里，有很多结论的形式是统一的，这也体现了数学的美．请你在下列两组条件
1 1 1
中选择一组，证明 + 与 仍具有（1）中的数量关系．
x1 x2 x3
①如图2，∠APC=120∘，PB平分∠APC，直线l与PA、PB、PC分别交于点A、B、C，PA=x1，
PC=x2，PB=x3．
( ) ( )
②如图3，在平面直角坐标系xOy中，过点A x1,0 、B 0,x2 作直线l，与直线y=x交于点C，点C
横坐标为x3．
能力强化 / 初三 / 春季
第 11 讲 规律题探究
课堂落实答案
1 有这样一个问题：探究函数y= −√x+2+|x|的图象与性质．
小军根据学习函数的经验，对函数y= −√x+2+|x|的图象与性质进行了探究．
下面是小军的探究过程，请补充完整：
（1）函数y= −√x+2+|x|的自变量x的取值范围是_________；
（2）表是y与x的几组对应值
x −2 −1.9 −1.5 −1 −0.5 0 1 2 3 4 …
y 2 1.60 0.80 0 −0.72 −1.41 −0.37 0 0.76 1.55 …
在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的
图象；
（3）观察图象，函数的最小值是_______________；
（4）进一步探究，结合函数的图象，写出该函数的一条性质（函数最小值除外）：
_______________．
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能力强化 / 初三 / 春季
第 11 讲 规律题探究
自我巩固答案
1 （1）定义：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边
形叫做凹四边形．如图1，四边形ABCD为凹四边形．
（2）性质探究：请完成凹四边形一个性质的证明．
已知：如图2，四边形ABCD是凹四边形．
求证：∠BCD=∠B+∠A+∠D．
（3）性质应用：
如图3，在凹四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与∠BCD的角平分线交于点E，若
∠ADC=140°，∠AEC=102°，则∠B=_______°．
（4）类比学习：
如图4，在凹四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD的中点，顺次连接各边
中点得到四边形EFGH．若AB=AD，CB=CD，则四边形EFGH是_______．（填写序号即可）
A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
2 在一节数学实践课上，老师出示了这样一道题，如图1，在锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对
边分别是a、b、c，请用a、c、∠B表示b2．
经过同学们的思考后，
甲同学说：要将锐角三角形转化为直角三角形来解决，并且不能破坏∠B，因此可以经过点A，作
AD⊥BC于点D，如图2，大家认同；
乙同学说要想得到b2要在Rt△ABD或Rt△ACD中解决；
丙同学说那就要先求出AD=___________，BD=____________；（用含c，∠B的三角函数表示）
丁同学顺着他们的思路，求出b2=AD2+DC2=_________（其中sin2α+cos2α=1）；请利用丁同
学的结论解决如下问题：
如图3，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90∘，∠BAD=60∘，AB=4，AD=5．求AC的长（补
全图形，直接写出结果即可）．
3 b
有这样一个问题：探究函数y= 的图象与性质．
(x−2)2
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b
小华根据学习函数的经验，对函数y= 的图象与性质进行了探究．
(x−2)2
下面是小华的探究过程，请补充完整：
b
（1）函数y= 的自变量x的取值范围是________；
(x−2)2
（2）下表是y与x的几组对应值．
1 7
x … −2 −1 0 1 3 4 5 6 7 …
2 2
6 3 2 3 8 8 3 2 3
y … 6 6 m …
25 8 3 2 3 3 2 3 8
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，
画出该函数的图象；
（4）结合函数的图象，写出该函数的一条性质：_______________．
4 x 2
有这样一个问题：探究函数y= + 的图象和性质．
2 x
x 2
小奥根据学习函数的经验，对函数y= + 的图象和性质进行了探究．
2 x
下面是小奥的探究过程，请补充完整：
x 2
（1）函数y= + 的自变量x的取值范围是_________；
2 x
（2）下表是y与x的几组对应值：
1 1
x … −5 −4 −3 −2 −1 − 1 2 3 4 5 …
2 2
29 5 13 5 17 17 5 5 29
y … − − − −2 − − 2 m …
10 2 6 2 4 4 2 2 10
求m的值；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，
画出该函数的图象；
（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，2）．结合函数图象，写
出该函数的其他性质（一条即可）：__________________．
5 【问题情境】
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已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多
少？
【数学模型】
a
设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数表达式为y=2(x+ )(x>0)．
x
【探索研究】
1
小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y=x+ 的图象性质．
x
1
（1）结合问题情境，函数y=x+ 的自变量x的取值范围是x>0，如表是y与x的几组对应值．
x
1 1 1
x … 1 2 3 m …
4 3 2
1 1 1 1 1 1
y … 4 3 2 2 2 3 4 …
4 3 2 2 3 4
①写出m的值；
②画出该函数图象，结合图象，得出当x=_________时，y有最小值，y最小=________；
【解决问题】
（2）直接写出“问题情境”中问题的结论．
能力强化 / 初三 / 春季
第 11 讲 规律题探究
精选精练
1 1
某学习小组在研究函数y= x3−2x的图象与性质时，已列表、描点并画出了图象的一部分．
6
x … −4 −3.5 −3 −2 −1 0 1 2 3 3.5 4 …
8 7 3 8 11 11 8 3 7 8
y … − − 0 − − − …
3 48 2 3 6 6 3 2 48 3
（1）请补全函数图象；
1
（2）方程 x3−2x= −2实数根的个数为_________；
6
（3）观察图象，写出该函数的两条性质．
127829053,… 67/73-
2 如图，在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=OB=a，以线段AB为
边在第一象限作正方形ABCD，CD的延长线交x轴于点E，再以CE为边作第二个正方形ECGF，…，
依此方法作下去，则第n个正方形的边长是___________．
3 在日常生活中如取款、上网等都需要密码,有一种用"因式分解"法产生的密码记忆方便.原理是:如对
于多项式x4−y4,因式分解的结果是(x−y)(x+y)(x2+y2),若取x=9,y=9时,则各个因式的值是:
(x−y)=0,(x+y)=18,(x2+y2)=162,于是就可以把"018162"作为一个六位数的密码.对于多项式
x3−xy2,取x=20,y=10,用上述方法产生的密码不可能是（ ）
A：201010
B：203010
C：301020
D：201030
4 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的
π
曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 个单位长度，则第2015秒时，点P
2
的坐标是（ ）
A：(2014,0)
B：(2015, −1)
C：(2015,1)
D：(2016,0)
5 【探索发现】
如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90∘，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩
形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证
明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为____________．
【拓展应用】
127829053,… 68/73-
如图②，在△ABC 中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC
上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为__________．（用含a，h的代数式表
示）
【灵活应用】
如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了
一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
【实际应用】
如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且
4
tanB=tanC= ，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形
3
PQMN，求该矩形的面积．
能力强化 / 初三 / 春季
第 12 讲 阶段自检
期末试卷答案
1 1
− 的绝对值为（ ）
3
A： 1
−
3
B： 1
±
3
C： 1
3
D：3
2 下面四个立体图形中，俯视图是三角形的是（ ）
A：
B：
C：
D：
3 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
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A：
B：
C：
D：
4 已知数据：2，1，4，6，9，8，6，1，则这组数据的中位数是（ ）
A：4
B：6
C：5
D：4或6
5 下列计算正确的是（ ）
A：x⋅x2=x2
B：x2⋅x2=2x2
C：x2+x3=x5
D：x2⋅x=x3
6 1 1
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2经过平移得到抛物线y= x2−2x，其对称轴与两段抛
2 2
物线所围成的阴影部分的面积为（ ）
A：2
B：4
C：8
D：16
7 写出一个3到4之间的无理数_________．
8 因式分解：9a3b−ab=____________________．
9 某市常住人口约为5245000 人，数字5245000 用科学记数法表示为______________．
10 若使√x+1有意义，则x的取值范围是____________．
11 在一个不透明的布袋中装有红球6个，白球3个，黑球1个，这些球除颜色外没有任何区别，从中任
意取出一球为红球的概率是___________．
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12 将一副三角尺按如图所示的方式叠放（两条直角边重合），则∠α 的度数是__________．
13 二次函数y=x2−2x+m的图象与x轴的一个交点的坐标是(−1,0)，则图象与x轴的另一个交点的坐
标是__________．
14 如图，在⊙O中，∠D=70∘， ∠ACB=50∘，则∠BAC=____．
15 如图，Rt△ABC的斜边AB=16，Rt△ABC 绕点O顺时针旋转后得到Rt△A′B′C′，则
Rt△A′B′C′的斜边A′B′上的中线C′D的长度为_________．
\
16 2
如图，已知反比例函数y= （x>0）的图象绕原点O逆时针旋转45∘，所得的图象与原图象相交
x
2
于点A，连接OA，以O为圆心，OA为半径作圆，交函数y= （x>0）的图象于点B，则扇形
x
AOB的面积为___________．
17 1
计算：
( )−2
+(√3+√5)0−√27÷√3．
2
18 { 2−x≤0
解不等式组：
3(5x+1)>4x−8
19 ( x2 4 ) x+2
先化简，再求值： + ÷ ，其中x=2．
x−1 1−x x−1
20 有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌
放回，洗匀后乙再抽取一张．
（1）列表或画树状图表示所有取牌的可能性；
（2）甲、乙两人做游戏，现有两种方案：A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜；B方
案：若两次抽得数字和为奇数则甲胜，否则乙胜．请问甲选择哪种方案获胜概率更高？
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21 如图，点A、F、C、D在同一直线上，AB//DE，AC=DF，AB=DE．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；
（2）若∠ABC=90∘，AB=8，BC=6，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．
22 随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也
大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一
台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器
的台数相同．
（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？
（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型
空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化
器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果
每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为
多少元？
23 如图，△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=4cm，BC=3cm，点D为AB中点，点O为AC上一点，以
O为圆心，半径为1cm的圆与AB相切，点E为切点．
（1）求线段AO的长；
（2）若将⊙O以1cm/s的速度移动，移动中的圆心记为P，点P沿O⇒C⇒B⇒A 的路径运动，
设移动的时间为t(s)，则当t为何值时，⊙P与直线CD相切？
24 如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为 (2√3,0)
，解答下列各题：
（1）求线段AB的长；
（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标；
（3）在⊙C上是否存在一点P，使得△POB 是等腰三角形？若存在，请求出∠BOP的度数；若不
存在，请说明理由．
25 如图1，ABCD为正方形，直线MN分别过AD边与BC边的中点，点P为直线MN上任意一点，连接
PB、PC分别与AD边交于E、F两点，PC与BD交于点K，连接AK与PB交于点G．
●探索发现 当点P落在AD边上时，如图2，试探究PB与AK的位置关系以及PB、PK、AK三者的数
量关系（直接写出无需证明）；
●延伸拓展 当点P落在正方形外，如图1，以上两个结论是否仍然成立？如果成立请给出证明，如
果不成立请说明你的理由；
●应用推广 如图3，在等腰Rt△ABD 中，其中∠BAD=90∘，腰长为3，M、N分别为AD边与BD
边的中点，K为线段DN中点，F为AD边上靠近于D的三等分点．连接KF并延长与直线MN交于点
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P，连接PB分别与AD、AK交于点E、G．试求四边形EFKG的周长及面积．
26 已知：二次函数y=ax2−2x+c的图象与x轴交于A、B，（A在点B的左侧），与y轴交于点C，对
称轴是直线x=1，平移一个单位后经过坐标原点O
（1）求这个二次函数的解析式；
1
（2）直线y= − x+1交y轴于D点，E为抛物线顶点．若∠DBC=α，∠CBE=β，求α−β的值；
3
（3）在（2）问的前提下，P为抛物线对称轴上一点，且满足PA=PC，在y轴右侧的抛物线上是
否存在点M，使得△BDM 的面积等于PA2？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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