文档内容
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能力强化 / 初一 / 春季
第 1 讲 整式的乘除进阶
例题练习题答案
例1 计算：
(1)(
2
)(
2 3
)
−2a 3ab −5ab ；
(2)(2x−y)(x−2y)−4(x−y)(x+2y)；
(3) 5 3 4
12x y z÷3x y；
(4)(
3 2
)
8x −12x −4x ÷(−4x)．
练1.1 计算：
[ ]
(1)( ) ( )2
2 2 3 2
a b ab +(2ab) +3a ；
(2) 2
(x−2y)(x+2y−1)+4y ．
(3)(
3 2 3 2
) (
2
)
−4x +12x y−7x y ÷ −4x ；
(4)(
5 3
)
6x −15x +9x ÷3x．
例2 若 ( x 2 −mx+1 ) (x−2018)的积中，x的二次项系数为零，则m的值是____________．
练2.1 ( 2 )
若多项式(x+1)与 x +ax+1 相乘，乘积中不含一次项以及二次项，那么a的值是（ ）
A： 1
B： −1
C： 2
1/159-
D： −2
例3 欢欢计算一道整式乘法题：(2x+a)(3x−2)，由于抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为
2
6x −13x+6，请求出这个问题的正确结果．
练3.1 已知A是一个多项式，单项式B等于2x，某同学计算A÷B时，把A÷B误写成A+B，结果得出
4 3 2
5x −4x +3x ，求A÷B.
例4
(1)计算：
①(−3x+y)(−3x−y) ②(a−b−3)(a−b+3)
2 2
③(−3a+b) ④(a−2b+c)
(2) 2 2 2
我们可以用几何图形来解释一些代数恒等式，如图可以用来解释(a+b) = a +2ab+b
2 2 2 2 2 2 2
请构图解释：①(a−b) = a −2ab+b ；②(a+b+c) = a +b +c +2ab+2bc+2ac．
练4.1
(1)计算：
1 1
2 2
①(3a+ b )( b −3a)
4 4
②(2a−3b−1)(2a+3b+1)
2
③(−3m−4n)
2
④(3a+b+2c)
(2)小明同学用四张长为x、宽为y的长方形卡片，拼出如图所示的包含两个正方形的图（任意两
张相邻的卡片之间没有重叠，没有空隙）．
求：①图中小正方形的边长．
2/159-
②通过计算小正方形面积，可推出(x+y) 2 ，xy，(x−y) 2 三者之间的等量关系式为
______________．
例5 ( 2 )( 4 )( 8 ) ( 1024 )
计算：(2+1) 2 +1 2 +1 2 +1 ⋯ 2 +1 ．
练5.1 计算：
(1) ( 2 )( 4 )( 8 )
(3+1) 3 +1 3 +1 3 +1 ；
(2) 2 4 16
3 2 +1 2 +1 2 +1
× × ×⋯× = __________．
2 2 4 16
2 2 2
例6
(1) 2
多项式x −8x+k是一个完全平方式，则k = __________．
(2) 如果x 2 −(m+1)x+1是完全平方式，则m的值为（ ）
A： −1
B： 1
C： 1或−1
D： 1或−3
练6.1
(1) 2
多项式x −6x+m是一个完全平方式，则m = __________．
(2) 如果x 2 +mx+36是完全平方式，则m的值为（ ）
3/159-
A： 12
B： 18
C： −12
D： 12或−12
例7
(1) 2
已知(x+y) −2x−2y+1 = 0，求x+y．
(2) 2 2 y
已知x +y +4x−6y+13 = 0，求x 的值．
(3) 2 2 2
已知a +b +c −ab−3b−2c+4 = 0，求a+b+c的值．
练7.1
(1) 已知等腰三角形两边a，b满足a 2 +b 2 −4a−10b+29 = 0，则此等腰三角形的
周长为（ ）
A： 9
B： 10
C： 12
D： 9或12
(2) 已知k，n均为非负实数，且2k+n = 2，则代数式2k 2 −4n的最小值为（ ）
A： −40
B： −16
C： −8
D： 0
能力强化 / 初一 / 春季
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第 1 讲 整式的乘除进阶
自我巩固答案
1 计算：
(1) ( 2 )
(x+1) x −x+1 = _______；
(2) ( 2 2 )
(2x+y) 4x −2xy+y = _______．
2 计算：
(1)(
2 3 4
) (
2
)
9m +6m n−12m ÷ −3m ；
(2)(
3 2 2 2
)
10m n−m n +5mn −5mn ÷5mn．
3 9 4
( )( )
2 2
计算： − xy z+4yz 3x− yz ．
4 3
4 如果(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A： −3
B： 3
C： 0
D： 1
5 计算：(2a−b+3)(2a+b−3)．
6 2 2
计算(x+3y) −(3x+y) 的结果是（ ）
A： 2 2
8x −8y
B： 2 2
8y −8x
C： 2
8(x+y)
D： 2
8(x−y)
5/159-
7 如果x 2 +6x+k 2 恰好是一个整式的平方，那么常数k的值为（ ）
A： 3
B： −3
C： ±3
D： 9
8 ( 2 )( 4 )( 8 ) ( 32 )
(2+1) 2 +1 2 +1 2 +1 … 2 +1 +1的个位数字为（ ）
A： 2
B： 4
C： 6
D： 8
9 2
二次三项式4x −(k−3)x+9是完全平方式，则k的值是多少？
10 1 1
( )2
如果ax 2 +3x+ = 3x+ +m，则a，m的值分别是（ ）
2 2
A： 6，0
B： 9，0
C： 1
6，
4
D： 1
9，
4
能力强化 / 初一 / 春季
第 1 讲 整式的乘除进阶
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课堂落实答案
1 计算：
(1)−(x+3y)(2x−y)；
(2) ( 2 )
(x+1) x +3x+2 ．
2 若关于x的二次三项式x 2 −2ax+16是一个完全平方式，那么a的值是（ ）
A： 16
B： ±8
C： 4
D： ±4
3 2
化简：(x+2) +(1−x)(2+x)−3．
4 ( 2 )( 4 )( 8 )
计算(2+1) 2 +1 2 +1 2 +1 +1的值是（ ）
A： 1024
B： 8
2 +1
C： 16
2 +1
D： 16
2
5 若x 2 +mx+121是完全平方式，则m的值是________．
能力强化 / 初一 / 春季
第 1 讲 整式的乘除进阶
精选精练
1 化简：(x−1)(2x+1)−2(x−5)(x+2)．
7/159-
2 1 3
( )( )
已知 x 2 +mx+n x 2 −3x+2 中不含x 3 项和x项，求 m n n m ÷ m 2 n的值．
2 5
3
(1)阅读下文，寻找规律：
2
已知x ≠ 1时，(1−x)(1+x) = 1−x ，
( )
2 3
(1−x) 1+x+x = 1−x ，
( )
2 3 4
(1−x) 1+x+x +x = 1−x ，
⋯
观察上式，并猜想：
( )
2 3 4
(1−x) 1+x+x +x +x = ________．
( )
2 n
(1−x) 1+x+x +⋯+x = ________．
(2)通过以上规律，请你进行下面的探索：
①(a−b)(a+b) = _______．
( )
2 2
②(a−b) a +ab+b = _______．
( )
3 2 2 3
③(a−b) a +a b+ab +b = _______．
(3) 2 2015 2016 2017
根据你的猜想，计算：1+2+2 +⋯+2 +2 +2 ．
4 ( 1 )( 1 )( 1 ) ( 1 )( 1 )
计算： 1− 1− 1− ⋯ 1− 1− ．
2 2 2 2 2
2 3 4 9 10
5 观察下列各式，用简便方法计算：
(1) 2 2
56.78 −46.78×56.78×2+46.78 ；
(2) 2
(40.25) ．
6 2
阅读材料：把形如ax +bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，
2 2 2
配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即：a ±2ab+b = (a±b) ．
8/159-
根据阅读材料解决下面问题：
(1) 2 2
m +4m+4 = (__________) ；
(2) 无论n取何值，9n 2 −6n+1__________0（填“ < ” “ > ” “ ≤ ” “ ≥ ”或“=”）；
(3) 已知m，n是△ABC的两条边，且满足10m 2 +4n 2 +4 = 12mn+4m，若该三角形的第三边k的
长是奇数，求k的长．
能力强化 / 初一 / 春季
第 2 讲 整式的乘除高阶
例题练习题答案
例1 已知x+y = −6，xy = 8 ，求下列各式的值（直接写出答案）
2 2
（1）x +y = ；
_
2
（2）(x−y) = ；
_
2 2
（3）x −xy+y = ；
_
4 4
（4）x +y = ．
_
练1.1 2 2 2
已知a +b = 13，(a−b) = 1，求下列各式的值．
（1）ab； （2）a+b．
练1.2
(1) 2 2
已知a+2b = 5，ab = 6，求a +4b 的值．
(2) 2 2 4 4
已知a+b = 3，ab = −12，求a +b 与a +b 的值．
9/159-
例2 回答下列问题：
1 1 1
( )2 ( )2
2
（1）填空：x + = x+ −______ = x− +______；
2 x x
x
1 1
2
（2）若a+ = 5，则a + = ______；
a 2
a
1
2 2
（3）若a −3a+1 = 0，求a + 的值．
2
a
练2.1
(1) 1 1
2
已知 −a = 3，求 +a 的值．
a 2
a
(2) 1 1
已知x+ = 2，求x− 的值．
x x
例3 1261年，我国宋代数学家杨辉写了一本书《详解九章算术》．书中记载了一个用数字排成的三角
形，我们叫作杨辉三角形．
(1)请写出第六行的数字_______________；
(2) n 5
第(n+1)行杨辉三角形数字与(a+b) 的展开结果关系如上图所示，请写出(a+b) 的展开结
果；
(3)已知：
1
(a−b) = a−b；
2 2 2
(a−b) = a −2ab+b ；
3 3 2 2 3
(a−b) = a −3a b+3ab −b ；
10/159-
4 4 3 2 2 3 4
(a−b) = a −4a b+6a b −4ab +b ．
5
请写出(a−b) 的展开结果．
练3.1
(1)观察下列已有的规律，在括号内填上恰当的数；
(2)请根据上题中的“杨辉三角系数集”，观察下列各式中系数的规律，并填空：
1 1
①(a+b) = a+b 各项系数之和：1+1 = 2 = 2 ；
2 2 2 2
②(a+b) = a +2ab+b 各项系数之和：1+2+1 = 4 = 2 ；
3 3 2 2 3 3
③(a+b) = a +3a b+3ab +b 各项系数之和：1+3+3+1 = 8 = 2 ；
4 4 4
④(a+b) = a +_______________+b 各项系数之和：_______________．
(3) 9 9 8
设(x+1) = a x +a x +…+a x+a ，求a +a +a +…+a 的值；
9 8 1 0 0 1 2 9
(4)你能在（3）的基础上求出a +a +a +a +a 的值吗？若能，请写出过程．
0 2 4 6 8
例4 2
先化简，再求值：(2x+3)(2x−3)−4x(x−1)+(x−2) ，其中x = −2．
练4.1 1
( )
2 2 3 2
先化简，再求值： a b−2ab −b ÷b−(a−b) ，其中a = −4，b = − ．
3
例5 先 化 简 ， 再 求 值 ： [ (x+3y) 2 −(x−3y) 2 −(3y+x)(x−3y)−9y 2 ] ÷(2x) ， 其 中 x ， y 满 足
2 2
x −4x+y +2y+5 = 0．
练5.1 2 4 b
先化简，再求值：(2a+b) −2(a−b)(2a+b)，其中a = 4 = 16，且ab < 0．
例6
(1) 2 2
已知a −5 = 2a，则代数式(a−2) +2(a+1)的值为（ ）
11/159-
A： −11
B： −1
C： 1
D： 11
(2) 2 2 2
已知y −2xy−1 = 0，求代数式(x−2y) −(x−y)(x+y)−3y 的值．
练6.1 2 2
先化简，再求值：(x−3) +2(x−2)(x+7)−(x+2)(x−2)，其中x +2x−3 = 0．
练6.2 2 2
已知a+b = 2，则a −b +4b的值为______．
能力强化 / 初一 / 春季
第 2 讲 整式的乘除高阶
自我巩固答案
1 若a+b = 3，ab = 2，则a−b的值为（ ）
A： 1
B： −1
C： 1或−1
D： 1或−2
2 2 2 2 2
已知：(x+y) = 8，(x−y) = 5，则x +y −xy的值等于（ ）
A： 23
4
B： 3
4
12/159-
C： 23
−
4
D： 3
−
4
3 2 2
若a+b = 3，a +b = 7−3ab，则ab等于（ ）
A： 2
B： 1
C： −2
D： −1
4 1 1
4
若a− = 2，则a + 的值是（ ）
a 4
a
A： 30
B： 32
C： 34
D： 38
5 2 2 4 4
已知x+y = 4，xy = 2，试求：①x +y 的值；②x +y 的值．
6 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算术》中揭示了(a+b) n （n为非负整数）展开式的项数及各项
系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．
0
(a+b) = 1；
1
(a+b) = a+b；
2 2 2
(a+b) = a +2ab+b ；
3 3 2 2 3
(a+b) = a +3a b+3ab +b ；
4 4 3 2 2 3 4
(a+b) = a +4a b+6a b +4ab +b ；
5 5 4 3 2 2 3 4 5
(a+b) = a +5a b+10a b +10a b +5ab +b ；
……
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8
则(a+b) 展开式中所有项的系数和是（ ）
A： 128
B： 256
C： 512
D： 1024
7 1
3 3
先化简，再求值：(n+m)(m−n)−(4m n−2mn )÷2mn，其中m = −2，n = − ．
2
8 3 5
( )
2
先 化 简 ， 再 求 值 ： (x−3y) −(3y+2x)(3y−2x)+4x − x+ y ， 其 中 x 、 y 满 足
4 2
2
|x−2y| +(x+2) = 0．
9 2
若3x −5x+1 = 0，则5x(3x−2)−(3x+1)(3x−1) = （ ）
A： −1
B： 0
C： 1
D： −2
10 2 2
已知x +x−5 = 0，求代数式(x−1) −x(x−3)+(x+2)(x−2)的值．
能力强化 / 初一 / 春季
第 2 讲 整式的乘除高阶
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课堂落实答案
1 2 2
已知a+b = 5，ab = 4，则a +b 的值为（ ）
A： 1
B： 17
C： 23
D： 9
2 1 1
2
若a+ = 7，则a + = ______．
a 2
a
3 1
当a = 时，代数式(a−4)(a−3)−a(a+2)的值为（ ）
3
A： 9
B： −9
C： 3
D： 1
3
4 2 2
已知x −4x−1 = 0，则代数式2x(x−3)−(x−1) +3的值为（ ）
A： 3
B： 2
C： 1
D： −1
5 ( 2 2 2 ) 2
先化简，再求值：(x+2y)(x−2y)− 2x y−4x y ÷2xy，其中x、y满足x −2x+1+ |y+2| = 0．
能力强化 / 初一 / 春季
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第 2 讲 整式的乘除高阶
精选精练
1 2 2
已知(2015−a)(2013−a) = 2014，求(2015−a) +(2013−a) 的值．
2 1 1 1 1
2 4 2014
已知a+ = 2，求a + 、a + 及a + 的值．
a 2 4 2014
a a a
3 2
先 化 简 ， 再 求 值 ： [(x−2y) +(x−y)(x+y)−2(x−3y)(x−y)]÷y ， 其 中 x ， y 满 足
2
|x−3| +y +4y+4 = 0．
4 1
2 2
阅读下列解答过程：已知：x ≠ 0，且满足x −3x = 1．求：x + 的值．
2
x
解： ∵ x 2 −3x = 1， ∴ x 2 −3x−1 = 0．
1 1
∴ x−3− = 0，即x− = 3．
x x
1 1
2
∴ x 2 + = (x− ) +2 = 3 2 +2 = 11．
2 x
x
请通过阅读以上内容，解答下列问题：
2 2
已知a ≠ 0，且满足(2a+1)(1−2a)−(3−2a) +9a = 14a−7，
2
1 a
2
求：（1）a + 的值；（2） 的值．
2 4 2
a 5a +a +5
5 2015
2 2
已知x −2015x+1 = 0，求x −2014x+ 的值．
2
x +1
6 2 3 2
已知x −1 = 3x，那么多项式x −x −7x+5的值是_______．
能力强化 / 初一 / 春季
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第 3 讲 相交线平行线高阶
例题练习题答案
例1 2条直线最多有1个交点,3条直线最多有3个交点,4条直线最多有6个交点,…由此猜想,8条直线最多有
（ ）个交点.
A： 32
B： 16
C： 28
D： 40
练1.1 平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线，若在平面内的不同的n个点最多
可确定15条直线，则n的值为（ ）
A： 4
B： 5
C： 6
D： 7
例2
(1)两条直线相交可以形成2对对顶角，那么同一平面内4条直线最多可以形成对顶角（ ）
A： 8对
B： 10对
C： 12对
D： 16对
17/159-
(2)如图，直线AB、CD相交于点O，作射线OE，则图中邻补角有（ ）
A： 4对
B： 6对
C： 7对
D： 8对
练2.1 三条直线AB、CD、EF相交于同一点O，则图中对顶角有（ ）
A： 6对
B： 5对
C： 4对
D： 3对
例3 图中，与∠1是同位角的角的个数是（ ）
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
18/159-
练3.1 如图所示，与∠C构成同旁内角的有_______个．
例4 如图所示，同位角的对数是______，内错角的对数是______，同旁内角的对数是________．
练4.1 如图，标有角号的7个角中共有______对内错角，______对同位角，______对同旁内角．
例5 如图，∠ABE+∠DEB = 180∘，∠1 = ∠2．求证：∠F = ∠G．
证明：∵∠ABE+∠DEB = 180∘（ ）
∴AC//DE（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠CBE = ∠DEB（ ）
又∵∠1 = ∠2（ ）
∴∠CBE−∠1 = ∠DEB−∠2（ ）
即∠FBE = ________（ ）
∴________//GE（ ）
19/159-
∴∠F = ∠G（ ）
练5.1 如图，∠ABC = ∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，DE//FB．求证：AB//DC．
请根据条件进行推理,得出结论，并在括号内注明理由．
证明：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC
1 1
∴ ∠1 = ∠ABC，∠2 = ∠ADC(___________________)
2 2
∵∠ABC = ∠ADC
∴ ___________
∵DE//FB
∴ ∠1 = ∠3(_____________________)
∴ ∠2 = ___________(等量代换)
∴ AB//CD(_____________________)
例6 如图，∠1 = ∠ACB，∠2 = ∠3，FH ⊥ AB于H．问CD与AB有什么关系？并说明理由．
20/159-
练6.1 如图所示，已知∠1+∠2 = 180∘，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并说明理由．
能力强化 / 初一 / 春季
第 3 讲 相交线平行线高阶
自我巩固答案
1 如图，能与α构成同位角的有（ ）
A： 4个
B： 3个
C： 2个
D： 1个
2 同一平面内互不重合的三条直线的交点的个数（ ）
A： 可能是0个，1个，2个
B： 可能是0个，2个，3个
C： 可能是0个，1个，2个或3个
D： 可能是1个或3个
21/159-
3 如图所示，图中能与∠C构成同旁内角的角有（ ）
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
4 如图，与∠1互为同旁内角的角共有（ ）个．
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
5 下列各图中直线两两相交，且没有三条直线经过同一个点．
（1）请写出图1，图2，图3中交点的个数，对顶角的对数；
（2）n条直线两两相交，且没有三条直线经过同一个点，一共有______个交点，有______对对顶
角．
6 如图，2条直线相交所组成的角中，互为对顶角的角有2对：∠AOD和∠COB，∠AOC和∠BOD．
（1）3条直线相交于一点所组成的角中，互为对顶角的角有_________对；
（2）4条直线相交于一点所组成的角中，互为对顶角的角有_________对；
（3）n条直线相交于一点所组成的角中，互为对顶角的角有_________对．
22/159-
7 如图，若∠1 = ∠2，DE∥BC，则：①FG∥DC；②∠AED = ∠ACB；③CD平分∠ACB；④
∠1+∠B = 90∘；⑤∠BFG = ∠BDC，其中正确的结论是（ ）
A： ①②③
B： ①②⑤
C： ①③④
D： ③④
8 阅读理解，补全证明过程及推理依据．
已知：如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4．
求证：∠A = ∠F．
证明：∵∠1 = ∠2（已知）
∠2 = ∠DGF(____________________）
∴∠1 = ∠DGF（等量代换）
∴_____∥_____（____________________）
∴∠3+∠_____ = 180∘(____________________）
又∵∠3 = ∠4（已知）
∴∠4+∠C = 180∘（等量代换）
∴_____∥_____（____________________）
∴∠A = ∠F(____________________）
23/159-
9 如图，点A在射线BG上，∠1 = ∠2，∠1+∠3 = 180∘，∠EAB = ∠BCD．求证：EF//CD．
10 如图，∠1=∠2，∠D=∠3，那么BD∥CE吗？如果平行，请说明理由，如果不平行，举例说明．
能力强化 / 初一 / 春季
第 3 讲 相交线平行线高阶
课堂落实答案
1 如图所示：
（1）指出与∠A是同位角的有哪些角？
（2）指出与∠4是内错角的有哪些角？
（3）指出与∠B是同旁内角的有哪些角？
24/159-
2 如图所示，直线AB、CD交于点O，OE、OF为过点O的射线，则对顶角有（ ）
A： 1对
B： 2对
C： 3对
D： 4对
3 若两条平行的直线EF、MN与相交直线AB、CD相交成如图所示的图形，则共有同旁内角
__________对．
4 如图，已知EF∥AD，∠1 = ∠2，∠AGD = 108∘．求∠BAC的度数．
5 如图，已知∠A = ∠C，BE平分∠ABD，DF平分∠BDC．说明∠1 = ∠2的理由．
因为∠A = ∠C（已知），
25/159-
所以AB∥DC（____________________）．
所以∠ABD = ∠CDB(____________________）．
因为BE平分∠ABD（已知），
1
所以∠1 = ∠ABD(____________________）．
2
1
同理∠2 = ∠BDC．
2
所以∠1 = ∠2(____________________）．
能力强化 / 初一 / 春季
第 3 讲 相交线平行线高阶
精选精练
1 一条直线可以把一个平面分成两部分，两条直线可以把一个平面分成四部分，那么三条直线最多
可以把一个平面分成几部分？四条直线呢？你能发现什么规律？
2 如图，直线AB、CD、EF相交于点O，则图中邻补角的对数为（ ）
A： 6对
B： 8对
C： 10对
D： 12对
3 阅读理解题．
（1）两条直线a、b相交于一点O，如图①，有两对不同的对顶角；
26/159-
（2）三条直线a、b、c相交于点O，如图②，则把直线平移成如图③所示的图形，可数出6对不同
的对顶角；
（3）四条直线a、b、c、d相交于一点O，如图④，用（2）的方法把直线c平移，可数出____对不
同的对顶角；
（4）2013条直线相交于一点O，用同样的方法把直线平移后，有______对不同的对顶角；
（5）n条直线相交于一点O，用同样的方法把直线平移后，有______对不同的对顶角．
4 如图，图中已标出的8个角中，同位角、内错角、同旁内角各有几对？
5 完成下面的证明：如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD，求证：∠EGF = 90∘．
证明：∵AB∥GH（已知）
∴∠1 = ∠3(________________________）
又∵CD∥GH（已知）
∴__________（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD（已知）
∴∠BEF+__________ = 180∘（两直线平行，同旁内角互补）
∵EG平分∠BEF（已知）
1
∴∠1 = __________（角平分线定义）
2
又∵FG平分∠EFD（已知）
27/159-
1
∴∠2 = ∠EFD(________________________）
2
1
∴∠1+∠2 = (__________+∠EFD)
2
∴∠1+∠2 = 90∘
∴∠3+∠4 = 90∘（等量代换）
即∠EGF = 90∘
6 已知，射线CB平行于射线OA，∠C = ∠BAO = 100∘，试回答下列问题：
(1) 如图①，求证：OC∥AB；
(2) 若点E、F在线段BC上，且满足∠EOB = ∠AOB，并且OF平分∠BOC，
Ⅰ）如图②，若∠AOB = 30∘，则∠EOF的度数等于多少（直接写出答案即可）；
Ⅱ）若平行移动AB，当∠BOC = 6∠EOF时，求∠ABO的度数．
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第 4 讲 平行线模型
例题练习题答案
例1 直角三角板和直尺如图放置，若∠1 = 20∘，则∠2的度数为（ ）
A： 60∘
28/159-
B： 50∘
C： 40∘
D： 30∘
练1.1 如图，直线a∥b，将一个直角三角板按如图所示的位置摆放，若∠1 = 58∘，则∠2的度数为
（ ）
A： 30°
B： 32°
C： 42°
D： 58°
例2 如图，把一副三角板放在桌面上，若两直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1与∠2的差是( )
A： 45∘
B： 30∘
C： 25∘
D： 20∘
练2.1 如图所示AB∥CD，AD与BC相交于点E，EF是∠BED的平分线，若∠1 = 30∘，∠2 = 40∘，则
∠BEF = （ ）
29/159-
A： 70∘
B： 40∘
C： 35∘
D： 30∘
例3 （1）如图甲，AB∥CD，∠2与∠1+∠3的数量关系是什么？并写出推理过程；
（2）如图乙，AB∥CD，直接写出∠2+∠4与∠1+∠3+∠5的数量关系；
（3）如图丙，AB∥CD，试问∠2+∠4+∠6与∠1+∠3+∠5+∠7还有类似的数量关系吗？若
有，请直接写出，并将它们推广到一般情况，用一句话写出你的结论．
练3.1 如图，AB∥CD，则下列等式成立的是（ ）
A： ∠B+∠F+∠D = ∠E+∠G
B： ∠E+∠F+∠G = ∠B+∠D
C： ∠F+∠G+∠D = ∠B+∠E
D： ∠B+∠E+∠F = ∠G+∠D
例4 如图，直线AE//BF ，∠1 = 110∘，∠2 = 130∘，则∠3的度数为__________．
30/159-
练4.1 如图，已知a∥b，∠2 = 90∘，∠1 = 140∘，则∠3 = （ ）
A： 110∘
B： 120∘
C： 130∘
D： 140∘
例5 （1）如图1，MA //NA ，则∠A +∠A = ________度．
1 2 1 2
如图2，MA //NA ，则∠A +∠A +∠A = ________度．
1 3 1 2 3
如图3，MA //NA ，则∠A +∠A +∠A +∠A = ________度．
1 4 1 2 3 4
如图4，MA //NA ，则∠A +∠A +∠A +∠A +∠A = ________度．从上述结论中你发现了
1 5 1 2 3 4 5
什么规律？请在图2，图3，图4中选一个证明你的结论．
（2）如图5，MA //NA ，则∠A +∠A +∠A +⋯+∠A = ________度．
1 n 1 2 3 n
练5.1 如图，AB∥CD．
（1）在图（1）中，∠A+∠C = _________∘；
31/159-
（2）在图（2）中，过点P作PE∥AB，试求∠A+∠APC+∠C的度数；
（3）如图（3），过点E作EG∥AB，过点F作FH∥AB，求∠A+∠AEF+∠EFC+∠C的度数．
例6 已知AB∥DE，∠ABC = 80∘，∠CDE = 140∘．请你探索出一种（只需一种）添加辅助线求出
∠BCD度数的方法，并求出∠BCD的度数．
练6.1 如图，已知AB//CD ，∠B = 30∘，∠D = 120∘．
（1）若∠E = 60∘，则∠F = ______；
（2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系，说明理由．
能力强化 / 初一 / 春季
第 4 讲 平行线模型
自我巩固答案
1 如图，AB∥CD，∠B = 23∘，∠D = 42∘，则∠E = （ ）
A： 23∘
B： 42∘
C： 65∘
32/159-
D： 19∘
2 ∘
如图，等腰直角三角板的顶点A，C分别在直线a，b上.若a//b，∠1 = 35 ，则∠2的度数为
（ ）
A： ∘
35
B： ∘
15
C： ∘
10
D： ∘
5
3 如图，l∥m，等边△ABC（每个角都是60°）的顶点A、B分别在直线l、m上，∠1 = 25∘，则∠2 =
（ ）
A： 35∘
B： 45∘
C： 55∘
D： 75∘
4 如图1，直线a∥b，∠P = 100∘，∠1 = 55∘，求∠2的度数．现提供下面的解法，请填空，并在括
号里标注理由．
33/159-
解：如图2，过点P作直线c平行于直线a，
∵ a∥c（已知）
∴ ∠1 = ________
又 ∵ a∥b（已知）
∴ c∥b（__________________）
∴ ∠2 =
∴ ∠1+∠2 = ∠3+∠4（__________________）
而∠3+∠4 = ∠APB = 100∘（已知）
∴ ∠1+∠2 = 100∘（等量代换）
∵ ∠1 = 55∘
∴ ∠2 = ______∘ −______∘ = ______∘
5 如图所示，l ∥l ，AB⊥l ，∠ABC = 130∘，那么∠α的度数为（ ）
1 2 1
A： ∘
60
B： ∘
50
C： ∘
40
D： ∘
30
6 如图，已知a∥b，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 = （ ）
A： 630∘
B： 720∘
34/159-
C： 800∘
D： 900∘
7 ∘ ∘
若AD//BE，且∠ACB = 90 ，∠CBE = 30 ，则∠CAD的度数为（ ）
A： ∘
30
B： ∘
40
C： ∘
50
D： ∘
60
8 如图，BC//DE ，若∠A = 35∘ ，∠C = 24∘ ，则∠E等于（ ）
A： 24∘
B： 59∘
C： 60∘
D： 69∘
9 已知直线a∥b，将一副三角板按如图所示放置在两条平行线之间，则∠1的度数是（ ）
A： ∘
45
B： ∘
60
C： ∘
75
35/159-
D： ∘
80
10 如图①，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE，CE．
（1）证明：∠A+∠C = ∠E；
（2）当点E在如图②的位置时，AB∥CD，证明：∠A+∠E+∠C = 360∘；
（3）如图③，点E，F，G在直线AB与CD之间，AB∥CD，连接AE，EF，FG，CG，若
∠EFG = 28∘，则∠A+∠E+∠G+∠C = _________∘．
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第 4 讲 平行线模型
课堂落实答案
1 如图，已知直线a∥b，∠1=34°，∠2=66°，则∠3等于（ ）
A： 112°
B： 100°
C： 130°
D： 120°
2 如图，已知AB∥CD，∠A=120°，∠C=100°，那么∠APC的度数为（ ）
36/159-
A： 100°
B： 120°
C： 140°
D： 150°
3 已知：如图1，AB∥CD，点E、F分别为AB、CD上一点．
（1）在AB、CD之间有一点M（点M不在线段EF上），连接ME、MF，试探究∠AEM、∠EMF、
∠MFC之间有怎样的数量关系．请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个
进行证明．
（2）如图2，在AB、CD之间有两点M、N，连接ME、MN、NF，请选择一个图形写出∠AEM、
∠EMN、∠MNF、∠NFC 存在的数量关系（不需证明）．
4 如图，已知AB//CO，那么∠1,∠2,∠3之间的关系是（ ）
A： ∠1+∠2 = ∠3
B： ∠1+∠3 = ∠2
C： ∠1+∠2+∠3 = 180∘
D： ∠1+∠2−∠3 = 180∘
5 如图所示，AB//CD，∠ABE = 66∘，∠D = 54∘，则∠E的度数为_________．
37/159-
能力强化 / 初一 / 春季
第 4 讲 平行线模型
精选精练
1 已知：如图，AB∥CD，∠1 = ∠2．求证：∠E = ∠F．
2 阅读材料（1）,并利用（1）的结论解决问题（2）和问题（3）.
（1）如图1，AB∥CD，E为图形内一点，连接BE、DE得到∠BED,求证：∠E = ∠B+∠D.
悦悦是这样做的：
过点E作EF∥AB．则有∠BEF = ∠B.
∵AB∥CD
∴ EF∥CD
∴ ∠FED = ∠D
∴ ∠BEF+∠FED = ∠B+∠D
38/159-
即∠BED = ∠B+∠D
（2）如图2,画出∠BEF和∠EFD的平分线，两线交于点G,猜想∠G的度数，并证明你的猜想.
（3）如图3,EG 和EG 为∠BEF内满足∠1 = ∠2的两条线，分别与∠EFD的平分线交于点G 和G
1 2 1 2
，求证：∠FG E+∠G = 180 ∘ .
1 2
3 如图（a），木杆EB与FC平行，两木杆的一端B、C用一橡皮筋连接．
（1）在图（a）中，∠B与∠C有何关系？
（2）若将橡皮筋拉成图（b）的形状，则∠A，∠B，∠C之间有何关系？
（3）若将橡皮筋拉成图（c）的形状，则∠A，∠B，∠C之间有何关系？
（4）若将橡皮筋拉成图（d）的形状，则∠A，∠B，∠C之间有何关系？
（5）若将橡皮筋拉成图（e）的形状，则∠A，∠B，∠C之间有何关系？
4 如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点，
∠DAB+∠ABC+∠BCE = 360∘．
（1）求证：AD//CE．
（2）如图2，作∠BCF = ∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F．若2∠B−∠F = 90∘，求∠BAH
的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，若点P是AB上一点，Q是GE上任一点，QR平分∠PQG，
PM//QR，PN平分∠APQ，下列结论：
①∠APQ+∠NPM的值不变，②∠NPM的度数不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出正确
的结论并求其值．
5 如图，若AB∥CD，∠α = 150∘，∠β = 80∘，则∠γ = （ ）
39/159-
A： ∘
40
B： ∘
50
C： ∘
60
D： ∘
30
6 如图，已知AB∥CD∥EF，则x、y、z三者之间的关系是（ ）
A： ∘
x+y+z = 180
B： ∘
x+y−z = 180
C： ∘
y−x−z = 0
D： ∘
y−x−2z = 0
能力强化 / 初一 / 春季
第 5 讲 变量之间的关系
例题练习题答案
例1
(1)小邢到单位附近的加油站加油，右图所示是他所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变
量是_________，常量是_________．
40/159-
(2) 2
圆面积S与半径r之间的关系式S =π r 中，自变量是_____，因变量是_____，常量是_____．
练1.1
(1) ( 2 )
如果用总长为60m的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为S m ，周长为p(m)，一边
长为a(m)，那么S，p，a中是变量的是（ ）
A： S和p
B： S和a
C： p和a
D： S，p，a
(2)某水果店卖出的香蕉数量（千克）与销售额（元）之间的关系如表：
数量（千克） 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 …
销售额（元） 1.5 3 4.5 6 7.5 9 10.5 …
上表反映了_____个变量之间的关系，其中，自变量是_____；因变量是_____
例2 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：
温度/℃ −20 −10 0 10 20 30
声速/m/s 318 324 330 336 342 348
下列说法错误的是（ ）
A： 在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B： 温度越高，声速越快
C： 当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740m
D： 当温度每升高10℃，声速增加6m/s
41/159-
练2.1 为了解某种车的耗油量，专业技术人员对这种车在高速公路上做了耗油试验，测得的数据如下
表：
汽车行驶时间t（时） 0 1 2 3 …
油箱剩余油量Q（升） 100 94 88 82 …
（1）在这个变化过程中，________是自变量，________是因变量；
（2）根据上表的数据，写出Q与t的关系式________；
（3）汽车行驶5小时后，油箱中的剩余油量是________；
（4）若汽车油箱中剩余油量为52升，则汽车行驶了________小时；
（5）贮满100升汽油的汽车，理论上最多能行驶________小时．
例3 2
已知矩形的周长为16cm，其中一边长为xcm，面积为ycm ，则这个矩形的面积y与边长x之间的关系
可表示为（ ）
A： 2
y = x
B： 2
y = (8−x)
C： y = x(8−x)
D： y = 2(8−x)
练3.1 如图，在 △ ABC中，∠C = 90∘，AC = 9cm，BC = 6cm，点D在AC上运动，设AD长为xcm，
△ BCD的面积为ycm 2 ．当x从小到大变化时，y也随之变化．
(1)求出y与x之间的关系式．
(2)完成下面的表格
x(cm) 4 5 6 7
2 _____ _____ _____ 6
y(cm )
42/159-
(3)由表格看出当x每增加1cm时，y如何变化？
练3.2 观察图，先填空，然后回答问题．
（1）由上而下第8行，白球有___个，黑球有___个．
（2）若第n行白球与黑球的总数记作y，则y与n的关系式为___．
（3）请你求出第2016行白球和黑球的总数．
例4 大家知道乌鸦喝水的故事，如图，它看到一个水位较低的瓶子，喝不着水，沉思一会后聪明的乌
鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计
时，设时间变量为x，水位高度变量为y，下列图象中最符合故事情景的大致图象是（ ）
A：
B：
C：
D：
43/159-
练4.1 中国国际大数据产业博览会于2019年5月26日在贵阳开幕，小咏从家出发前往会展中心参观，先
匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，小咏搭乘轻轨至会展中心参观，参观结束后，小咏搭乘邻居
刘叔叔的车顺利到家，下面的哪个图更好地刻画了小咏离家距离与时间的关系（ ）
A：
B：
C：
D：
例5 一天之中，海水的水深是不同的，如图是某港口从0时到12时的水深情况，结合图象回答下列问
题：
(1)大约在______时港口的水最深，深度约是______米；
(2)图中A点表示的是____________________________；
(3)在什么时间范围内，水深在增加？
44/159-
练5.1 小李骑摩托车在一条笔直的公路上行驶，摩托车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（时）之间
关系的图象如图所示．根据图象回答下列问题：
(1)在上述变化过程中，自变量是什么？因变量是什么？
(2)摩托车共行驶了多少千米？
(3)摩托车在行驶过程中休息了多久？
(4)摩托车在整个行驶过程中的平均速度是多少？
(5)用自己的语言描述摩托车的行驶情况．
练5.2 已知动点P以2cm/s的速度沿图1所示的边框从B−C−D−E−F−A的路径运动，记 △ ABP的面积
为S（cm 2 ），S（cm 2 ）与运动时间t（s）的关系如图2所示，若AB = 6cm，请回答下列问题：
(1)图1中BC = cm，CD = cm，DE = cm；
(2)求出图1中边框所围成图形的面积；
(3)求图2中m、n的值；
(4)分别求出当点P在线段BC和DE上运动时S与t的关系式，并写出t的取值范围．
45/159-
例6 周末，小明乘坐家门口的公交车到和平公园游玩，他先乘坐公交车0.8 h后到达书城，逗留一段时
间后继续坐公交车到和平公园，小明出发一段时间后，小明的妈妈不放心，于是驾车沿相同的路
线前往和平公园，如图是他们离家的距离y(km)与离家时间x(h)的关系图，请根据图象回答下列问
题：
(1)小明家到和平公园的距离为________km，他在书城逗留的时间为________h；
(2)图中A点表示的意义是 ；
(3) 距离
求小明的妈妈驾车的平均速度（平均速度 = ）．
时间
练6.1 小凡与小光从学校出发到距学校5千米的图书馆看书，途中小凡从路边超市买了一些学习用品，如
图反应了他们俩人离开学校的路程S（千米）与时间t（分钟）的关系，请根据图象提供的信息回答
问题：
(1)l 和l 中， 描述小凡的运动过程；
1 2
(2) 先出发，先出发了 分钟；
(3) 先到达图书馆，先到了 分钟；
(4)当t = 分钟时，小凡与小光在去学校的路上相遇；
(5)小凡与小光从学校到图书馆的平均速度各是多少千米/小时？（不包括中间停留的时间）
46/159-
能力强化 / 初一 / 春季
第 5 讲 变量之间的关系
自我巩固答案
1 将一个底面直径是10厘米，高为36厘米的圆柱体锻压成底面直径为20厘米的圆柱体，在这个过程
中不改变的是（ ）
A： 圆柱的高
B： 圆柱的侧面积
C： 圆柱的体积
D： 圆柱的底面积
2 如图，圆锥的底面半径是2cm，当圆锥的高由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化．在这
个变化过程中，请找出自变量与因变量．
3 我们知道：“距离地面越高，气温越低．”下表表示的是某地某时气温t/(℃)随高度h/(km)变化而
变化的情况．
距离地面高度h/(km) 0 1 2 3 4 5
气温t/(℃) 20 14 8 2 −4 −10
(1)请你用关系式表示出T与h的关系；
(2)距离地面6 km的高空气温是多少？
(3) 当地某山顶当时的气温为15.5∘C，求此山顶与地面的高度．
4 6
秀水村的耕地面积是10 平方米，这个村的人均占地面积y（单位：平方米）随这个村人数n的变化
而变化，求y与n的关系式．
47/159-
5 已知汽车油箱内有油50 L，每行驶100km耗油10 L，那么汽车行驶过程中油箱内剩余的油量Q(L)与
行驶路程s(km)之间的关系式是（ ）
A： s
Q = 50−
100
B： s
Q = 50+
100
C： s
Q = 50−
10
D： s
Q = 50+
10
6 2019年1月，我国国内生产总值(GDP)为a万亿元，2月份GDP比1月份增长8.5%，3月份的GDP比2
月份增长7%．若我国3月份的GDP为b万亿元人民币，则a，b之间的关系是（ ）
A： b = (1+8.5%+7%)a
B： b = (1−8.5%)(1−7%)a
C： a = (1+8.5%)(1+7%)b
D： b = (1+8.5%)(1+7%)a
7 某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用-支出
费用）y（元）的变化关系如下表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）：
x（人） 500 1000 1500 2000 2500 3000 …
y（元） −3000 −2000 −1000 0 1000 2000 …
（1）在这个变化过程中，__________是自变量，_______是因变量；
（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到______人以上时，该公交车才不会亏损；
（3）请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为多少元？
（4）若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达______人．
48/159-
8 电话每台月租费28元，市区内打电话（三分钟以内）每次0.20元，若某台电话每次通话均不超过3
分钟，则每月应缴费y（元）与市内电话通话次数x之间的关系式是（ ）
A： y = 28x+0.20
B： y = 0.20x+28x
C： y = 0.20x+28
D： y = 28−0.20x
9 一支蜡烛长20cm．若点燃后每小时燃烧5cm．则燃烧剩余的长度y(cm)与燃烧时间x（小时）之间的
关系的图象大致为（ ）
A：
B：
C：
D：
10 今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山项的过程中，中途休息了一段时间，设他从山
脚出发后所用的时间为t（分），所走的路程为s（米），s与t之间的关系如图所示．
49/159-
(1)小明中途休息用了_____分钟；
(2)小明在上述过程中所走的路程为_____米；
(3)小明休息前爬山的平均速度和休息后爬山的平均速度各是多少？
能力强化 / 初一 / 春季
第 5 讲 变量之间的关系
课堂落实答案
1 某电影放映厅周六放映一部电影，当天的场次、售票量、售票收入的变化情况如表所示．在该变
化过程中，常量是（ ）
场次 售票量（张） 售票收入（元）
1 50 2000
2 100 4000
3 150 6000
4 150 6000
5 150 6000
6 150 6000
A： 场次
50/159-
B： 售票量
C： 票价
D： 售票收入
2 地表以下岩层的温度随着所处深度的变化而变化，在这一问题中因变量是（ ）
A： 地表
B： 岩层的温度
C： 所处深度
D： 时间
3 大家知道，冰层越厚，所能承受的压力越大，这其中自变量是________，因变量是________．
4 下面的表格列出了一个实验室的部分统计数据，表示皮球从高处落下时，弹跳高度x与下降高度y的
关系，能表示这种关系的式子是________．
y 50 80 100 150
x 25 40 50 75
5 某同学放学回家，在路上遇到一个同学，一块去同学家玩了会儿，然后独自回家．下列图象能表
示这位同学所剩路程与时间变化关系的是（ ）
A：
B：
51/159-
C：
D：
能力强化 / 初一 / 春季
第 5 讲 变量之间的关系
精选精练
1 某种树木的分枝生长规律如图所示，则预计到第6年时，树木的分枝数为______，其中自变量是
______，因变量是______．
年份 分枝数
第1年 1
第2年 1
第3年 2
第4年 3
第5年 5
52/159-
2 某物体运动的路程s(厘米)与运动的时间t(秒)之间的关系如图所示．则该物体运动20秒所经过的路
程是___________厘米．
3 一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10秒内的速度经测量如下表：
时间（秒） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
速度（米/秒） 0 0.3 1.3 2.8 4.9 7.6 11.0 14.1 18.4 24.2 28.9
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)如果用T表示时间，V表示速度，那么随着T的变化，V的变化趋势是什么？
(3)当T每增加1秒，V的变化情况相同吗？在哪1秒钟，V的增加最大？
(4)若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/小时，试估计大约还需几秒这辆小汽车的速
度就将达到这个上限．
4 为了解某品牌轿车的耗油情况，将油箱加满后进行了耗油试验，得到如表数据：
轿车行驶的路程s(km) 0 100 200 300 400 …
油箱剩余油量Q(L) 50 42 34 26 18 …
(1)该轿车油箱的容量为______L，行驶150km时，油箱剩余油量为______L；
(2)根据上表的数据，写出油箱剩余油量Q(L)与轿车行驶的路程s(km)之间的表达式；
(3)某人将油箱加满后，驾驶该轿车从A地前往B地，到达B地时油箱剩余油量为26L，求A，B两地
之间的距离．
5 甲、乙两车都从A地出发，沿相同的道路，以各自的速度匀速驶向B地．甲车先出发，乙车出发一
段时间后追上甲并反超，乙车到达B地后，立即按原路返回，在途中再次与甲车相遇．若两车之间
53/159-
的路程s（千米）与甲车行驶时间t（小时）之间的关系如图所示，乙车从A地出发到返回A地需
_____小时．
6 周六上午，小亮去图书馆查资料，图书馆离家不远，他步行去图书馆，查完资料后他又边走边转
去书店买书，在书店停留了几分钟后骑共享单车回家，已知小亮离家的距离s（米）与离开家的时
间t（分）之间的关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
(1)小亮出发几分钟后到达图书馆？
(2)小亮查完资料后步行的速度是多少？
(3)小亮10:00离开图书馆，几点回到家？
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第 6 讲 三角形的角与边
例题练习题答案
54/159-
例1 3
在△ABC中，∠C = ∠ABC = ∠A，BD是边AC上的高，求∠DBC的度数．
2
练1.1 在△ABC中，∠B−∠A = 15∘，∠C−∠B = 60∘，则∠C = _______．
例2 如图，∠A = 27∘，∠B = 45∘，∠C = 38∘，求：
（1）∠BEF的度数；
（2）∠DFE的度数．
练2.1
(1)如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的不同的三个外角，则∠1+∠2+∠3 = ______．
(2)如果三角形的一个外角不大于与它相邻的内角，那么这个三角形是（ ）
A： 锐角三角形或直角三角形
B： 钝角三角形或锐角三角形
C： 直角三角形
D： 钝角三角形或直角三角形
55/159-
例3 如图，D是△ABC的边BC上的一点，且∠1 = ∠2，∠3 = ∠4，∠BAC = 66∘，求∠DAC的度数．
练3.1 如图，在△ABC中，D在AC上，连结BD，且∠ABC = ∠C = ∠BDC，∠A = ∠ABD，则∠A的度数
为_______．
例4
(1)如图，求证：∠A = ∠C，∠AOD = ∠B．
(2) 如图，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，已知∠A = 35∘，则∠E = _______．
练4.1
56/159-
(1)已知：如图，CE⊥AB于E，AD⊥BC于D，∠A＝30°，求∠C的度数．
(2) 如图，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，若∠DCE = 30∘，则∠BAC = （ ）
A： 30∘
B： 35∘
C： 40∘
D： 45∘
例5
(1)以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（ ）
A： 3cm、4cm、8cm
B： 5cm、5cm、11cm
C： 12cm、5cm、6cm
D： 8cm、6cm、4cm
(2)已知某三角形的两边长是6和4，则此三角形的第三边长的取值可以是（ ）
A： 2
B： 9
57/159-
C： 10
D： 11
(3)已知等腰三角形的两边长分别为4和7，则此三角形的周长为____________．
练5.1
(1)下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）
A： 1，2，6
B： 2，2，4
C： 1，2，3
D： 2，3，4
(2)如果三角形的两边长分别为3和5，则周长l的取值范围是（ ）
A： 6 < l < 15
B： 6 < l < 16
C： 11 < l < 13
D： 10 < l < 16
(3)已知等腰三角形的两边长分别为6cm和8cm，则它的第三边长度为____________．
例6 设a，b，c是△ABC的三边长，化简|a−b−c|+|b−c−a|−|c+a−b|的结果为_________．
练6.1 设a，b，c是△ABC的三边长，化简|a+b+c|−|a−b−c|−|a−b+c|−|a+b−c|的结果是（ ）
A： 0
B： 2a+2b+2c
C： 4a
D： 2b−2c
能力强化 / 初一 / 春季
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第 6 讲 三角形的角与边
自我巩固答案
1 1 1
在△ABC中，∠A = ∠B = ∠C，则△ABC是（ ）
3 4
A： 锐角三角形
B： 直角三角形
C： 钝角三角形
D： 以上都有可能
2 下列说法中，正确的是（ ）
A： 三角形的三个外角中至少有2个锐角
B： 三角形的三个外角中至少有2个钝角
C： 三角形的三个内角中至少有1个是大于60∘的角
D： 三角形的外角大于三角形的任何一个内角
3 下图由含有30∘和45∘角的两个直角三角板拼成，其中∠C = 90∘，∠B = 45∘，∠E = 30∘，则
∠BFD的度数是（ ）
A： 10∘
B： 15∘
C： 25∘
D： 30∘
59/159-
4 如图，∠1、∠2、∠3的大小关系为（ ）
A： ∠2＞∠1＞∠3
B： ∠1＞∠3＞∠2
C： ∠3＞∠2＞∠1
D： ∠1＞∠2＞∠3
5 在△ABC中，∠A−2∠B = 70∘，∠C = 20∘，求∠A与∠B的度数．
6 如图所示，∠A = 28∘，∠BFC = 92∘，∠B = ∠C，求：
（1）∠B的度数；
（2）∠BDC的度数．
7 下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）
A： 3，2，6
B： 4，5，6
C： 2，4，6
D： 5，3，9
8 若一个三角形的两边长是1和8，则第三边长可能为（ ）
A： 6
B： 7
C： 8
D： 9
60/159-
9 如果一个等腰三角形的两边长分别为5cm和9cm，则此等腰三角形的周长为（ ）cm．
A： 19
B： 23
C： 19或23
D： 14
10 已知a，b，c为△ABC的三边长，化简|a−b−c|−2|b−c−a|+|a+b−c|．
能力强化 / 初一 / 春季
第 6 讲 三角形的角与边
课堂落实答案
1 已知△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于（ ）
A： 40°
B： 60°
C： 80°
D： 90°
2 如图，直线a∥b，∠1 = 85∘，∠2 = 35∘，则∠3 = ( ）
A： ∘
85
B： ∘
60
C： ∘
50
61/159-
D： ∘
35
3 如图，已知∠ACF = 115∘，∠ADE = 50∘，∠B = 35∘，求∠F与∠CED的度数．
4 已知三角形两边的长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能是（ ）
A： 5
B： 6
C： 11
D： 16
5 若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a−b+c|+|c−a−b|−|a+b+c|．
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第 6 讲 三角形的角与边
精选精练
1 如图，∠ACD是 △ ABC的一个外角，CE平分∠ACD，F为CA延长线上的一点，FG//CE交AB于点
G，若∠1 = 70∘，∠2 = 30∘，则∠3 = （ ）
A： 30∘
B： 40∘
C： 45∘
62/159-
D： 70∘
2 如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于点F，∠A = 90∘，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列结论：
1
①∠CEG = 2∠DCB；②CA平分∠BCG；③∠ADC = ∠GCD；④∠DFB = ∠CGE，其中正确的
2
结论有_____________．
3 如图，在△ABC中，∠1 = ∠2 = ∠3，
（1）试说明∠BAC = ∠DEF；
（2）若∠BAC = 70∘，∠DFE = 50∘，求∠ABC的度数．
4 有四条线段，它们的长分别为1cm，2cm，3cm，4cm，从中选三条构成三角形，其中正确的选
法有（ ）
A： 1种
B： 2种
C： 3种
D： 4种
5 已知三角形的两边长分别为2cm和7cm，周长是偶数，则这个三角形是（ ）
A： 不等边三角形
B： 等腰三角形
C： 等边三角形
63/159-
D： 直角三角形
6
(1)一个等腰三角形的周长为18，若腰长的3倍比底边的2倍多6，求各边长；
(2)已知a、b、c是△ABC的三边长，化简|a−b+c|−2|c−a−b|+3|a+b+c|．
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第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 下列计算正确的是（ ）
A： (
3
)2
6
x =x
B： 2 3 6
x ⋅x =x
C： 2 3
x+x =x
D： 6 3 2
x ÷x =x
2 已知三角形的两边长分别是4和7，则这个三角形的第三条边的长可能是（ ）
A： 12
B： 11
C： 8
D： 3
3 如果(x+1)(5x+a)的乘积中不含x 一次项，则a 为( )
A： 5
B： −5
64/159-
C： 1
5
D： 1
−
5
4 如图，AB//CD，∠B=75°，∠E=27°，则∠D的度数为（ ）
A： 45°
B： 48°
C： 50°
D： 58°
5 2
已知a+b=5，ab=1，则(a−b) =( )
A： 23
B： 21
C： 19
D： 17
6 如图,AB//CD,用含∠1,∠2,∠3的式子表示∠4,则∠4的值为（ ）
A： ∠1+∠2−∠3
B： ∠1+∠3−∠2
65/159-
C： 180 ∘ +∠3−∠1−∠2
D： ∠2+∠3−∠1−180 ∘
7 如图，直线AB，CD被两条直线所截，若∠1 = 64∘，∠2 = 64∘，∠3 = 110∘，则∠4的度数为
（ ）
A： 110∘
B： 70∘
C： 64∘
D： 46∘
8 如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运
动的路程为x， △ MNR 的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x = 9时，点R应运动
到（ ）
A： N处
B： P处
C： Q处
D： M处
9 将一个底面直径是10厘米，高为36厘米的圆柱体锻压成底面直径为20厘米的圆柱体，在这个过程
中不改变的是（ ）
66/159-
A： 圆柱的高
B： 圆柱的侧面积
C： 圆柱的体积
D： 圆柱的底面积
10 如图所示，为估计池塘两岸A，B间的距离，一位同学在池塘一侧选取了一点P，测得PA = 16m，
PB = 12m，那么A，B间的距离不可能是（ ）
A： 15m
B： 18m
C： 26m
D： 30m
11 y 2−2y
若10 =5，则10 =_____．
12 在 △ ABC 中，a=4，b=2，若第三边c的长是偶数，则c的长是_____．
13 如图，把长方形纸片ABCD沿EF对折，若∠1 = 40∘，则∠AEF = __________
14 已知9x 2 −kx+1是完全平方式，则k=_____．
15 如图，将一张长方形纸片和一张直角三角形纸片叠放在一起，∠1+∠2的度数是_____．
67/159-
16 如图,AB//CD,∠E = 60 ∘ ,则∠B+∠F+∠C = ___ ∘ .
17 一个等腰三角形有两边分别为5 cm和6 cm,则周长是___ cm.
18 如图，图1，图2，图3，…是用围棋棋子摆成的一列具有一定规律的“山”字．则第n个“山”字
中的棋子个数是__________．
19 3 ( 2 )2
（1）2x y⋅(−2xy)+ −2x y
( ) ( )
3 3 4 2
（2）3b b−2a − 9ab +12a b ÷(3ab)
2
（3）(2x−3y) −(y+3x)(x−3y)
2
（4）运用乘法公式简化计算：2017×2019−2018
（5）(5m+6n+p)(5m−6n+p)
20 ( 2 )
若(x−2) x +ax+b 的积中不含x的二次项和一次项，
求(2a+b+1)(2a−b−1)−(a+2b)(−2b+a)+2b的值．
21 如图，∠AGF = ∠ABC，∠1+∠2 = 180°．
68/159-
(1)试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
(2) 若BF⊥AC，∠2 = 150∘，求∠AFG的度数．
22 某剧院观众席的座位按下列方法设置：
排数(x) 1 2 3 4 …
座位数(y) 25 28 31 34 …
（1）写出座位数y与排数x（x ≥ 1的正整数）之间的关系式_________；
（2）第11排的座位数达到_______个；
（3）按照上表所示的规律，某一排可能有75个座位吗？_______．（填可能或不可能）
23
(1)如图，∠BFE = ∠FEC，∠ABF = ∠DCE，求证：AB//CD．
(2)如图，CD//EF，∠1+∠2 = ∠ABC，求证：AB//GF．
24 如图，在△ABC中，∠ABC = ∠C，∠A = 36∘，线段BD和BE分别为△ABC的角平分线和高线．求
∠ADB、∠DBE的大小．
69/159-
25 已知：如图，△ABC中，D，E，F三点分别在AB，AC，BC三边上，过点D的直线与线段EF的交点
为点H，∠1+∠2 = 180∘，∠3 = ∠C．
(1)求证DH//EC ；
(2) 若∠4 = 32∘，求∠EFC．
26 平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系，下面我们就来研究其中的几种位置关系中角所存
在的几种数量关系．
（1）问题探究1:如图①，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠D=∠BOD，又因为∠BOD是
△POB的外角，故∠BOD=∠BPD+∠B，得∠BPD=∠D-∠B．将点P移到AB、CD内部，如图②，以
上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明
你的结论；
（2）问题探究2:在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD延长线于点Q，如
图③，则∠BPD﹑∠B﹑∠PDQ﹑∠BQD之间有何数量关系？请证明你的结论；
（3）根据(2)的结论直接写出图④中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
能力强化 / 初一 / 春季
第 8 讲 角度计算模型1
例题练习题答案
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例1 已知如图，∠A = 32∘，∠B = 45∘，∠C = 38∘，则∠DFE等于（ ）
A： 120∘
B： 115∘
C： 110∘
D： 105∘
练1.1
(1) 如图所示，BP、CP分别平分∠FBC、∠ECB，若∠A=50∘，则∠P=________°；
(2)如图，在△ABC中，∠A = 50∘，外角∠DBC和∠BCE的角平分线交于点A ，则∠A =
1 1
________°；
∠A BC、∠A CB的角平分线交于点A ……依次下去，
1 1 2
则∠A = ________°．（结果用含n的式子表示）
n
71/159-
例2
(1) 如图，∠A = 70∘，∠D = 40∘，∠C = 60∘，则∠B = （ ）
A： 10∘
B： 20∘
C： 40∘
D： 30∘
(2)如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的大小为____________°．
练2.1
(1) 如图，∠3 = 20∘，∠4 = 30∘，则∠1−∠2 = ________．
(2)如图，∠A = 60∘，∠B = 67∘，∠C = 91∘，∠D = 58∘，∠E = 22∘，则∠F = （ ）
A： 60∘
B： 59∘
C： 65∘
72/159-
D： 62∘
例3
(1)如图，求证：∠BOC = ∠A+∠B+∠C．
(2)如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E = （ ）
A： 240°
B： 360°
C： 540°
D： 180°
练3.1 如图，计算∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G = _______°．
例4 如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A = 50 ∘ ，∠BDC = 75 ∘ .求∠BED的度
数.
73/159-
练4.1 如图，直线a//b，AC⊥AB，∠2 = 30∘，则∠1的度数是（ ）
A： 60∘
B： 45∘
C： 35∘
D： 30∘
例5 如图所示，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．
(1) 若∠B = 30∘，∠C = 70∘，求∠DAE的度数；
(2) △ ABC中，若∠B = α，∠C = β（α＜β），请你根据（1）问的结果大胆猜想∠DAE与α，β
间的等量关系，并说明理由．
练5.1 如图①，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC．
(1)求∠EAD的度数．
(2)将“∠B=40°，∠C=80°”改为“∠B=x°，∠C=y°，∠C＞∠B”，
74/159-
①其他条件不变，你能用含x，y的代数式表示∠EAD吗？请写出，并说明理由；
②如图②，AE平分∠BAC，F为AE上一点，FM⊥BC于点M，用含x，y的代数式表示∠EFM，
并说明理由．
能力强化 / 初一 / 春季
第 8 讲 角度计算模型1
自我巩固答案
1 如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（ ）
A： 180∘
B： 270∘
C： 360∘
D： 540∘
2 如图，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足的关系式是（ ）
A： ∠1+∠2 = ∠3+∠4
B： ∠1+∠2 = ∠4−∠3
C： ∠1+∠4 = ∠2+∠3
D： ∠1+∠4 = ∠2−∠3
75/159-
3 如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，∠1+∠2 = 225∘，则∠A = （ ）
A： 30°
B： 45°
C： 55°
D： 60°
4 如图，△ABC中，OA、OB、OC为角平分线，若∠BOC = 130∘，则∠BAO的度数是（ ）
A： 30∘
B： 35∘
C： 40∘
D： 50∘
5 如图,在 △ ABC中,∠B = 46 ∘ ,∠C = 54 ∘ ,AD平分∠BAC,交BC于D,DE//AB,交AC于E,则∠ADE的大
小是（ ）
A： ∘
45
B： ∘
54
C： ∘
40
76/159-
D： ∘
50
6 如图，求证：∠A = ∠C，∠AOD = ∠B．
7 如图，∠BAC = 30∘，D为角平分线上一点，DE⊥AC于E，DF∥AC交AB于F．
（1）求证：△AFD为等腰三角形；
（2）若DF = 10，求DE的长．
8 如图，在△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知∠BAC=2∠B，∠B=2∠DAE，那么∠ACB为
（ ）
A： 80°
B： 72°
C： 48°
D： 36°
9 如图，已知△ABC中，∠B = 65 ∘ ，∠C = 45 ∘ ，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求
∠DAE的度数．
77/159-
10 已知将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE、DF恰好分别经过点
B、C．
（1）∠DBC+∠DCB = ______∘；
（2）过点A作直线MN//DE，若∠ACD = 20∘，试求∠CAM的大小．
能力强化 / 初一 / 春季
第 8 讲 角度计算模型1
课堂落实答案
1 如图，∠A = 50∘，∠B = 85∘，∠D = 90∘，∠C = （ ）
A： 40∘
B： 45∘
C： 55∘
78/159-
D： 60∘
2 已知如图，∠A = 32∘，∠B = 45∘，∠C = 38∘，则∠DFE等于（ ）
A： ∘
120
B： ∘
115
C： ∘
110
D： ∘
105
3 如图，在△ABC中，∠C = 50 ∘ ，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于（ ）
A： ∘
230
B： ∘
210
C： ∘
130
D： ∘
310
4 如图，则∠1 = __________，∠2 = __________，∠3 = __________．
79/159-
5 如图，AB∥CD，∠A = 35∘，∠C = 75∘，则∠E的度数为（ ）
A： 140∘
B： 40∘
C： 100∘
D： 75∘
能力强化 / 初一 / 春季
第 8 讲 角度计算模型1
精选精练
1
(1) 如图，小明有一次练习走“直线”，从A点出发，前进10米后发现自己向右转了20 ∘ ，再前进
10米，又向右转20 ∘ ，…，依次下去，则当他第一次回到出发点A时，一共走了（ ）．
A： 30米
B： 140米
C： 160米
D： 180米
80/159-
(2) 如图，一个多边形纸片沿图中AB减去一个内角后，得到一个内角和为2340∘的新多边形，则
原多边形的边数为（ ）
A： 13
B： 14
C： 15
D： 16
(3) 如图，在△ABC中，∠A = 50∘，点D、E分别在AB、AC上，则∠1+∠2 = ________．
2 如图，已知△ABC中，∠C = 90∘，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于( )
A： 135∘
B： 270∘
C： 300∘
D： 315∘
81/159-
3 如图，若∠BAC = 50∘，∠ABE = 25∘，∠BHC = 97∘，则∠ACF度数为（ ）
A： 15°
B： 25°
C： 22°
D： 23°
4 洋洋在学习三角形的知识时，她机智地发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A = 90∘，BD
平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，E为垂足，∠AME的平分线交直线AB于点F．
（1）如图①，M为边AC上一点，则BD、MF的位置关系是___________________；
（2）如图②，M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是_________；
（3）如图③，M为边AC延长线上一点，则BD、MF的位置关系是_____________．
请你完成（1）、（2）、（3）三个命题，并从中任选一个进行证明．
5 如图，AD是△ABC的角平分线，且∠B = ∠ADB，过点C作AD的延长线的垂线，垂足为M．
（1）若∠DCM = α，试用α表示∠BAD；
（2）求证：AB+AC = 2AM．
82/159-
6 如图，在△ABC中，AD是高，AE和BF是角平分线，它们相交于点O，∠ABC = 60∘，∠C = 70∘，
求∠CAD和∠AOF的度数．
能力强化 / 初一 / 春季
第 9 讲 角度计算模型2
例题练习题答案
例1
(1) 如图，△ABC的角平分线CD，BE相交于点O，∠A = 60∘，则∠DOE = （ ）
A： 80∘
83/159-
B： 100∘
C： 120∘
D： 140∘
(2)已知△ABC中，∠ABC的n等分线与∠ACB的n等分线相交于点G ，G ，G ，…，G ，试猜
1 2 3 n
−1
想∠BG C与∠A的关系（其中n ≥ 2且n为整数）．
n
−1
①如图1，当n = 2时，∠BG C = ________________；
1
②如图2，当n = 3时，∠BG C = ________________；
2
③如图3，猜想∠BG C = ________________．
n
−1
练1.1
(1) 如图1，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A = 70∘，则
∠BOC = ______∘．
(2) 1 1
如图2，∠CBO = ∠ABC，∠BCO = ∠ACB，∠A = α，求∠BOC的度数（用α表示）．
3 3
例2
84/159-
(1) 如图1，∠A BC、∠A CM的角平分线BA 、CA 相交于点A ．如果∠A = 68∘，那么∠A 的
1 1 2 2 2 1 2
度数是多少，试说明理由；
(2)如图2，∠A = 68∘ ，如果∠A BC、∠A CM的角平分线BA 、CA 相交于点A ，请直接写出
1 2 2 3 3 3
∠A 的度数；
3
(3)如图2，重复上述过程，∠A BC、∠A CM的角平分线BA 、 CA 相交于点 A 得到∠A
n﹣1 n﹣1 n n n n
，设∠A = θ，请用θ表示∠A （直接写出答案）．
1 n
练2.1 如图，在△AOC中，∠OAC=45°．
(1如) 图1，若点P为△AOC外部一点，OP平分∠AOC，CP平分△AOC的外角∠ACE，求∠P的大
小；
85/159-
(2) 1 1
如图2，若OP、CP满足∠POC = ∠AOC，∠PCE = ∠ACE，猜想∠P的大小，并证明你的
n n
结论（用含n的式子表示）．
例3 1 1 1
如 图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠MBC = ∠DBC ， ∠MCB = ∠ECB ， ∠NBC = ∠ABC ，
2 2 2
1
∠NCB = ∠ACB，则∠M+∠N = __________∘．
2
练3.1
(1) 1 1
如图，在△ABC中，∠A = 60∘，∠FBC = ∠DBC，∠FCB = ∠ECB，∠F的度数为（ ）
3 3
A： 100°
86/159-
B： 110°
C： 120°
D： 130°
(2) 1 1
如 图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠A = 60∘ ， ∠MBC = ∠DBC ， ∠MCB = ∠ECB ，
2 2
1 1
∠NBC = ∠ABC，∠NCB = ∠ACB，则∠N = __________°，∠M = __________°．
2 2
例4 已知如图①，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线，BQ、CQ分别是∠PBC、
∠PCB的角平分线，BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线，∠BAC = α．
(1) 当α = 40∘ 时，∠BPC = _____∘，∠BQC = _____∘；
(2)当α = _____∘时，BM∥CN；
(3) 如图②，当α = 120∘时，BM、CN所在直线交于点O，求∠BOC的度数．
87/159-
练4.1
(1) 1
如图所示，BP、CP分别平分∠FBC、∠ECB，求证：∠P = 90∘ − ∠A．
2
(2) 如图，在△ABC中，∠A = 60∘，外角∠DBC和∠BCE的角平分线交于点A ，则∠A =
1 1
________°；∠A BC、∠A CB的角平分线交于点A ……依次下去，则∠A = ________°．（结果
1 1 2 n
用含n的式子表示）
例5 【探究发现】
如图1，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，试猜想∠P与∠A之间的数
量关系，并证明你的猜想．
88/159-
【迁移拓展】
1
如图2，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角∠ACD的n等分线的交点，即∠PBC = ∠ABC，
n
1
∠PCD = ∠ACD，试猜想∠P与∠A之间的数量关系，并证明你的猜想．
n
【应用创新】
已知，如图3，AD、BE相交于点C，∠ABC、∠CDE、∠ACE的角平分线交于点P，∠A＝35∘，
∠E＝25∘，则∠BPD＝_____．
练5.1 如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，∠BAO与∠DCO的角平分线相交于点P ，∠BAP 与∠DCP
1 1 1
的角平分线交于点P ，∠BAP 与∠DCP 的角平分线交于点P ，如此继续下去，则∠P 与∠B、
2 2 2 3 n
∠D之间的数量关系为（ ）
A： 1
∠P = (∠B+∠D)
n
n
B： 1
∠P = (∠B+∠D)
n
2
C： 1
∠P = (∠B+∠D)
n
n
2
D： 没有等量关系
能力强化 / 初一 / 春季
89/159-
第 9 讲 角度计算模型2
自我巩固答案
1 如图，点O是△ABC内一点，∠A = 80 ∘ ，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，则∠BOC等
于（ ）
A： 140∘
B： 120∘
C： 130∘
D： 无法确定
2 在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作PQ∥BC，交AB于点P，交AC于点Q，
若∠A = 60∘，则∠PEB+∠QEC = （ ）
A： 50∘
B： 60∘
C： 70∘
D： 80∘
3 如图，△ABC中，∠ABD = ∠DBE = ∠EBC，∠ACD = ∠DCE = ∠ECB，若∠BEC = 145∘，则
∠BDC的度数为（ ）
90/159-
A： 80∘
B： 90∘
C： 100∘
D： 110∘
4 如图，BP、CP分别为∠ABC和∠ACE的角平分线，若∠A = 45∘，则∠P的度数是（ ）
A： 20∘
B： 22.5∘
C： 25∘
D： 30∘
5 如图，在△ABC中，点P是△ABC的外角∠DBC、∠BCE的平分线的交点，若∠BPC = 70∘，则
∠BAC的度数为（ ）
A： 40∘
B： 45∘
C： 55∘
91/159-
D： 60∘
6 1 1
如图，在△ABC中，∠A = 60∘，∠FBC = ∠DBC，∠FCB = ∠ECB，则∠F的度数为（ ）
4 4
A： 110°
B： 100°
C： 120°
D： 130°
7 如图，AD、BC相交于点F，AE、CE分别平分∠BAD，∠DCB，若∠B = 25∘，∠D = 35∘，则∠E
的度数为（ ）
A： 10∘
B： 20∘
C： 30∘
D： 40∘
8 如图，∠ABC = ∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，
以下结论：①AD//BC；②∠ACB = 2∠ADB；③∠ADC = 90∘ −∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤
1
∠BDC = ∠BAC，其中正确的结论有（ ）
2
92/159-
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
9 如图，已知△ABO中，∠AOB = 70∘，∠OAB的角平分线与△ABO的外角∠ABN的平分线所在的直
线交于点D，求∠ADB的大小．
10 我们知道，任何一个三角形三个内角的和是180∘，如图，△ABC中，
∠BAC+∠ABC+∠ACB = 180∘．
（1）请画出∠ABC和∠ACB的角平分线，交点是D；
（2）若∠BAC = x∘，请用含x的代数式表示出∠BDC的度数，并简单说明理由；
（3）若∠BAC和∠BDC互补，求x的值．
能力强化 / 初一 / 春季
第 9 讲 角度计算模型2
93/159-
课堂落实答案
1 如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A = 40∘，则∠BOC = _____．
2 如图，△ABC中，∠A = 100∘，若BM、CM分别是△ABC的外角平分线，则∠M = ___________
3 如图，∠MAN = 100∘，点B、C是射线AM、AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC的平分线所在
直线相交于点D，则∠BDC的大小是（ ）
A： 40∘
B： 50∘
C： 80∘
D： 随点B、C的移动而变化
4 在 △ ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是外角与内角平分线交点，E是外角平分线交
点，若∠BOC = 120∘，则∠D = （ ）
94/159-
A： 15∘
B： 20∘
C： 25∘
D： 30∘
5 如图，E、D分别在△ABC的边BA和CA的延长线上，CF、EF分别平分∠ACB和∠AED，若∠F = 65∘
，∠D = 70∘，则∠B的大小是____________°．
能力强化 / 初一 / 春季
第 9 讲 角度计算模型2
精选精练
1 如图，△ABC的两条角平分线BD、CE交于O，且∠A = 60∘，则下列结论中正确的是（ ）
A： ∠BOC = 120 ∘
B： BC = BE+CD
C： OD = OE
D： OB = OC
95/159-
2 已知△ABC中，∠BAC = 100∘．
(1)若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，试求∠BOC的大小；
(2)若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O，O ，如图2所
1
示，试求∠BOC的大小；
(3)如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于O，O ，O …，如图3所示，试
1 2
探求∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC = 170∘时，是几等分线的交线所成的角．
3 如图，在△ABC中，∠A = 80∘，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A ，得∠A ，∠A BC的
1 1 1
平分线与∠A CD的平分线交于点A ，得∠A ，...，∠A BC的平分线与∠A CD的平分线交于
1 2 2 2015 2015
点A ，得∠A CD，则∠A = （ ）
2016 2016 2016
A： 80∘ ⋅2 −2014
B： 80∘ ⋅2 −2015
C： 80∘ ⋅2 −2016
D： 80∘ ⋅2 −2017
4 如图（甲），D是△ABC的边BC的延长线上一点，∠ABC、∠ACD的平分线相交于P ．
1
96/159-
(1) 若∠ABC = 80∘，∠ACB = 40∘，则∠P 的度数为___；
1
(2)若∠A = α，则∠P 的度数为______；（用含α的代数式表示）
1
(3)如图（乙），∠A = α，∠ABC、∠ACD的平分线相交于P ，∠P BC、∠P CD的平分线相交
1 1 1
于P ，∠P BC、∠P CD的平分线相交于P ……以此类推，则∠P 的度数为______（用n与α的
2 2 2 3 n
代数式表示）
5 【问题背景】（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B＝∠C+∠D；
【简单应用】（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，若∠ABC＝36∘，∠ADC＝16∘，
求∠P的度数；
【问题探究】（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若
∠ABC＝36∘，∠ADC＝16∘，请猜想∠P的度数，并说明理由．
1 1
【拓展延伸】（4）在图4中，若设∠C＝α，∠B＝β，∠CAP = ∠CAB，∠CDP = ∠CDB，试
3 3
问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为：_______________（用α、β表示∠P，不必证明）．
6 已知BM、CN分别是△A BC的两个外角的角平分线，BA 、CA 分别是∠A BC和∠A CB的角平分
1 2 2 1 1
1
线，如图①；BA 、CA 分别是∠A BC和∠A CB的三等分线（即∠A BC = ∠A BC ，
3 3 1 1 3 1
3
1
∠A CB = ∠A CB），如图②；依此画图，BA 、CA 分别是∠A BC和∠A CB的n等分线（即
3 1 n n 1 1
3
1 1
∠A BC = ∠A BC，∠A CB = ∠A CB），n ≥ 2，且n为整数．
n 1 n 1
n n
97/159-
（1）若∠A ＝70∘，求∠A 的度数；
1 2
（2）设∠A ＝α，请用α和n的代数式表示∠A 的大小，并写出表示的过程；
1 n
（3）当n ≥ 3时，请直接写出∠MBA +∠NCA 与∠A 的数量关系．
n n n
能力强化 / 初一 / 春季
第 10 讲 全等三角形（一）
例题练习题答案
例1 下列各组图形中，全等的是（ ）
A：
B：
C：
D：
练1.1 下列说法正确的是（ ）
A： 两个面积相等的图形一定是全等图形
B： 两个长方形是全等图形
C： 两个全等图形形状一定相同
98/159-
D： 两个正方形一定是全等图形
例2
(1)若△ABC≌△DEF，且∠A:∠B:∠C = 2:3:4，则∠D:∠E为（ ）
A： 2：4
B： 2：3
C： 3：4
D： 3：2
(2)已知△ABC≌△DEF，若AC = 3，DE = 2，BC = 4，则△DEF的周长为（ ）
A： 6
B： 7
C： 8
D： 9
练2.1
(1)已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A： 72∘
B： 60∘
C： 58∘
D： 50∘
(2) 如图，△ABC≌△AED，∠C = 40∘，∠EAC = 30∘，∠B = 30∘，则
99/159-
∠D = ________°，∠EAD = ________°，∠EAB = ________°，∠BAD = ________°．
例3 如图所示，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，求证：BD = CE+DE．
练3.1 如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，AD＝
DC＝2.5，BC＝4．
（1）求∠CBE的度数．
（2）求△CDP与△BEP的周长和．
例4 如图，在△ABC中，AB = AC，AD是BC边上的中线，求证：△ABD≌△ACD．
补全下列过程：
证明：∵AD是BC边上的中线
∴BD = ____
在___________和____________中，
AB = AC( )
{
∵ __________( )
BD = CD ( )
∴_________________________（ ）
100/159-
练4.1 如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB = DE，AC = DF，BE = CF．
求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）AB∥DE．
例5 如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且
AB = DE,∠A = ∠D,AF = DC．求证：△ABC≌△DEF．
练5.1 如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB = ED，BC = DB．求证：△ABC≌△EDB．
例6 如图，已知AB∥CD，∠AEB=∠DFC，BF = CE，求证： △ ABE≌ △ DCF．
练6.1 如图，DC⊥CA，EA⊥CA，CD = AB，∠D = ∠EBA．求证：△BCD≌△EAB．
例7 如图，D在AB上，E在AC上，且∠B = ∠C，AD = AE，求证：△ABE≌△ACD．
101/159-
练7.1 如图，D是AC上一点，AB = AD，DE//AB，∠C = ∠E．求证：△ABC≌△DAE．（请写清楚证明过
程）
能力强化 / 初一 / 春季
第 10 讲 全等三角形（一）
自我巩固答案
1 下列命题不正确的是（ ）
A： 全等三角形是指能完全重合的两个三角形
B： 全等三角形对应边上的中线相等
C： 全等三角形是指面积相等的两个三角形
D： 两个全等三角形的周长、面积都相等
2 如图，已知 △ ABC≌ △ AEF，则对于结论①AC = AF，②∠FAB = ∠EAB，③EF = BC，
④∠EAB = ∠FAC，其中正确结论的个数是（ ）
102/159-
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
3 如图，OA = OB，OC = OD，∠O = 50∘，∠D = 35∘，则∠AEC等于（ ）
A： 60°
B： 50°
C： 45°
D： 30°
4 如图所示，△ABD≌△ACE，AB = 18，BD = 17，AD = 16，则BE的长是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
5 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别
取OM = ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由
103/159-
此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（ ）
A： SSS
B： SAS
C： ASA
D： AAS
6 如图所示，已知AC = DB，AO = DO，CD = 100m，则A，B两点间的距离（ ）
A： 大于100m
B： 等于100m
C： 小于100m
D： 无法确定
7 如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，根据“AAS”需要添加的条件是（ ）
A： AB = AC
B： ∠ADB = ∠ADC
C： ∠B = ∠C
104/159-
D： BD = CD
8 如图，DA⊥AB，EA⊥AC，AB = AD，AC = AE，BE、CD相交于O，求证： △ ADC ≌△ ABE
．（需要写清楚证明过程）
9 如图，BC = DE，∠B = ∠D，∠E = ∠C．求证：△ABC≌△ADE．
10 如图，A在DE上，且AC = CE，∠ACB = ∠ECD，∠B = ∠D．求证：△ACB≌△ECD．
能力强化 / 初一 / 春季
第 10 讲 全等三角形（一）
课堂落实答案
1
下列图形中与已知图形全等的是（ ）
A：
105/159-
B：
C：
D：
2 如图，△ABC≌△ADE，若∠DAE＝80∘，∠C＝30∘，∠DAC＝35∘，AC、DE交于点F，则∠CFE的
度数为________．
3 如图，在△ABC和△FED中，AC = FD，BC = ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下
面的4个条件中：①AE = FB；②AB = FE；③AE = BE；④BF = BE，可利用的是（ ）
A： ①或②
B： ②或③
C： ①或③
D： ①或④
4 如图所示，AB∥CD，点C是BE的中点，直接应用“ASA”定理证明△ABC≌△DCE还需要的条件是
（ ）
106/159-
A： AB = CD
B： ∠ACB = ∠E
C： ∠A = ∠D
D： AC = DE
5
(1)如图 ，AB = DC，若想利用“SAS”证明△ABD≌△DCA，可以补充的一个条件是
_______________．
(2)如图，在△ABC中，已知：AD = AE，AB = AC，∠BAD = ∠CAE．
求证：△AEB≌△ADC．（需要写清楚证明过程）
能力强化 / 初一 / 春季
第 10 讲 全等三角形（一）
精选精练
1 下列说法正确的是（ ） ①用一张相纸冲洗出来的10张1寸相片是全等形;②我国国旗上的4颗小五角
星是全等形;③所有的正方形是全等形;④全等形的面积一定相等.
A： 1个
B： 2个
C： 3个
107/159-
D： 4个
2 如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F是直线AD上方的点，连接AE、CE、BF、DF，若
△ACE≌△FDB，FD = 3，AD = 8．
（1）判断直线CE与DF是否平行？并说明理由；
（2）求CD的长；
（3）若∠E = 26∘，∠F = 53∘，求∠ACE的度数．
3 如图所示，AB = AC，BD = CE，AD = AE，求证：△ABE≌△ACD．
4 如图，在△ABC中，∠C=90∘，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DE=CB，过点M作ME∥BC交
AB于点E．求证：△ABC≌△MED．
5 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F．求证：
△ADE≌△BFE．
108/159-
6 （1）如图（1），若AB = CD，A、E、F、C在同一条直线上，AE = CF，过E、F分别作
DE⊥AC，BF⊥AC．求证：EF平分BD．
（2）若将△DEC沿AC方向移动到图（2）的位置时，其他条件不变，上述结论是否成立？请说明
理由．
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第 11 讲 全等三角形（二）
例题练习题答案
例1
(1)下列条件中，不能判定三角形全等的是（ ）
A： 三条边对应相等
B： 两边和一角对应相等
C： 两角和其中一角的对边对应相等
D： 两角和它们的夹边对应相等
(2)如图，已知∠1 = ∠2，AC = AD，增加下列条件：①AB = AE；
109/159-
②BC = DE；③∠C = ∠D；④∠B = ∠E，其中能使△ABC≌△AED的条件
是________．（填写序号）
练1.1
(1)如图，在△ABC中，AB = AC，BE、CF是中线，则由（ ）可得
△AFC≌△AEB．
A： SSS
B： SAS
C： AAS
D： ASA
(2)如图，AB∥DC，请你添加一个条件使得△ABD≌△CDB，可添条件是__________，判定为
________；可添条件是__________，判定为________；可添条件是__________，判定为________．
例2 如图，AB = CD，AD = CB，那么下列结论中错误的是（ ）
A： ∠A = ∠C
B： AB = AD
10/159-
C： AD∥BC
D： AB∥CD
练2.1 已知，如图，∠B = ∠D，∠1 = ∠2，AB = AD．求证：AC = AE．
例3 如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN=PM．
• • • • •
练3.1 如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD = AC，在CF的延长线上截
取CG = AB，连接AD、AG．则AD与AG的数量关系如何？请说明理由．
例4 如图，△ABC中，AB = AC，D、E分别在边AB、AC上，且满足AD = AE，下列结论中：
①△ABE≌△ACD；②OB = OC；③AO平分∠BAC，正确的有___________．
11/159-
练4.1 如图，AB = AC，AD = AE，AB、DC相交于点M，AC、BE相交于点N．∠DAB = ∠EAC．求证：
（1）△ACD≌△ABE；
（2）AM = AN．
例5 图中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点
处，∠A = 30∘，∠E = 45∘，∠EDF = ∠ACB = 90∘，DE交AC于点G，GM⊥AB于M，当DF∥AC
时，DF交BC于H，作HN⊥AB于N．求证：AM = DN．
练5.1 （1）如图（1），若AB = CD，A、E、F、C在同一条直线上，AE = CF，过E、F分别作
DE⊥AC，BF⊥AC．求证：EF平分BD．
（2）若将△DEC沿AC方向移动到图（2）的位置时，其他条件不变，上述结论是否成立？请说明
理由．
12/159-
例6 已知，如图△ABC中，AB = 3，AC = 5，则中线AD长度的取值范围是__________．
练6.1 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，且AB = 6，AC = 4，下列长度可能是AD的长度的是
（ ）
A： 4
B： 5
C： 6
D： 7
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第 11 讲 全等三角形（二）
自我巩固答案
1 小明给小红出了这样一道题：如下图，由AB = AC，∠B = ∠C，便可知道△ABD≌△ACE．这是根
据什么理由得到的？小红想了想，马上得出了正确的答案．你认为小红说的理由是（ ）
13/159-
A： SSS
B： SSA
C： ASA
D： SAS
2 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E为AB延长线上一点，连接DE交BC于点F，BF = CF，则
可使得△BEF≌△CDF的依据可能是（ ）
A： SAS
B： SSA
C： SSS
D： AAS
3 小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪
一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第_____块去，这利用了三角形全等
中的_____原理（ ）
A： 2;SAS
B： 4;ASA
14/159-
C： 2;AAS
D： 4;SAS
4 已知AB = A ′ B ′ ，∠A = ∠A ′ ，∠B = ∠B ′ ，则△ABC≌△A ′ B ′ C ′ 的根据是（ ）
A： SAS
B： SSA
C： ASA
D： 都行
5 如图，AD = AE，AB = AC，证明：DC = EB．下列思路正确的是（ ）
A： 先用“AAS”证明△DBF≌△ECF，再证明DC = EB
B： 先用“SAS”证明△ABE≌△ACD，再证明DC = EB
C： 先用“SAS”证明△DBF≌△ECF，再证明DC = EB
D： 先用“AAS”证明△ABE≌△ACD，再证明DC = EB
6 如图，在△ABC中，AB = AC，取点D与点E，使得AD = AE，∠BAE = ∠CAD，连接BD与CE交于
点O．求证：△ABD≌△ACE．
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7 如图，AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE，∠1 = 25∘，∠2 = 30∘，求∠3的大小．
8 如图，在△ABC中，DE∥AB，FG∥AC，BE = GC．求证：DE = FB．
9 如图，在△ABC中，AB = 7，BC边上的中线AD的长为5，则AC的长可能是（ ）
A： 3
B： 10
C： 17
D： 20
10 已知：如图，AB = CD，BE = DF，AE = CF．求证：EO = FO．
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第 11 讲 全等三角形（二）
16/159-
课堂落实答案
1 如图，AB与CD相交于点O，O是AB的中点，请你添加一个合适的条件，使△AOC≌△BOD，你添加
的条件是____________．
2 如图所示，小明书上的三角形被墨水污染了，他根据所学知识画出了完全一样的一个三角形，他
根据的定理是（ ）
A： ASA
B： SAS
C： AAS
D： SSS
3 如图所示，在△ABC中，∠A = ∠B = 50∘，AK = BN，AM = BK，则∠MKN的度数是（ ）
A： 50∘
B： 60∘
C： 70∘
D： 100∘
4 如图，已知线段AB、CD相交于点O，AD、CB的延长线交于点E，AD = BC，EA = EC，求证：
∠A = ∠C．
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5 如图所示，E，F在BD上，且AB = CD，BF=DE，AE=CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）求证：AC与BD互相平分．
能力强化 / 初一 / 春季
第 11 讲 全等三角形（二）
精选精练
1 如图，AB = CD，AD = BC，过O点的直线交AD于E，交BC于F，则图中全等三角形有（ ）
A： 4对
B： 5对
C： 6对
D： 7对
2 如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE = ∠BCE = ∠ACD = 90∘，且AC = CD，求证：
△ABC≌△DEC．
18/159-
3 如图，在△ABC中，∠ACB = 90∘，AC = BC，AE是BC边的中线，过点C作CF⊥AE，垂足为点F，
过点B作BD⊥BC交CF的延长线于点D．
（1）试证明：AE = CD；
（2）若AC = 12cm，求线段BD的长度．
4 如图，有一个直角三角形ABC，∠C = 90∘，AC = 10，BC = 5，一条线段AP = 5，点Q在过点A且
垂直于AC的射线AX上运动，当AQ = __________时，才能使△ABC与△QPA全等．
5 如 图 ， △ABE和 △ADC是 △ABC 分 别 沿 着 AB ， AC 翻 折 到 同 一 平 面 内 形 成 的 ． 若
∠1:∠2:∠3 = 15:2:1，则∠4 = __________．
6 如图①，A、E、F、C在一条直线上，AE = CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若BF = DE．
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（1）图①中有______对全等三角形，把它们写出来：___________________________________；
（2）求证：BD与EF互相平分于G；
（3）若将 △ ABF的边AF沿GA方向移动变为图②时，其余条件不变，第（2）题中的结论是否成
立，如果成立，请予证明．
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第 12 讲 轴对称初步（北师7强春）
例题练习题答案
例1 如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，则下列结论中不正确的是（ ）
A： △ABC和△ADE周长相等
B： △ABC和△ADE面积相等
C： ∠DAC = ∠BAE
D： 直线MN平分DE
例2 如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE = 4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为
________cm．
120/159-
练2.1 在△ABC中，BC = 12，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N．求△AEN的
周长为_____________．
例3 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，EF垂直平分BC交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若
∠A=60°，∠ABD=25°，则∠ACF的度数为（ ）
A： 25°
B： 45°
C： 50°
D： 70°
练3.1 如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
若∠MCN = 60∘，则∠F = （ ）
121/159-
A： 60∘
B： 70∘
C： 80∘
D： 90∘
例4 如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一
个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（ ）
A： ∠A、∠B两内角平分线的交点处
B： AC、BC两边中线的交点处
C： AC、BC两边高线的交点处
D： AC、BC两边垂直平分线的交点处
练4.1 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=2，BC=9，则△BDC的面积
是 ．
例5 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是
（ ）
A： PA=PB
B： PO平分∠APB
122/159-
C： OA=OB
D： AB垂直平分OP
例6 如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE = DG，△ADG和△AED的面积分别为50和
38，则△EDF的面积为（ ）
A： 8
B： 12
C： 4
D： 6
练6.1 如图，∠AOB=90°，将三角尺的直角顶点落在∠AOB的平分线OC的任意一点P上，使三角尺的两
条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F．
证明：PE=PF．
例7 已知，如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线．请用尺规在CD上作点P，使PA = PC．（保留作
图痕迹，不写作法）．
123/159-
例8 利用尺规作图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．
（保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法．）
能力强化 / 初一 / 春季
第 12 讲 轴对称初步（北师7强春）
自我巩固答案
1 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列四个汉字中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A：
B：
C：
D：
2 下列说法中，正确的是（ ）
A： 关于某条直线对称的两个三角形一定全等
B： 两个全等三角形一定关于某条直线对称
C： 面积相等的两个三角形一定关于某条直线对称
D： 周长相等的两个三角形一定关于某条直线对称
124/159-
3 如图，△AMN与△BMN关于MN所在的直线对称，∠AMN = 35∘，∠A = 80∘，则∠BNM的度数为
（ ）
A： 55∘
B： 65∘
C： 75∘
D： 85∘
4 如图，把一张长方形纸片ABCD折叠后，ED ′ 交BC于点G，点D、C分别落在D ′ 、C ′ 位置上，若
∠EFG = 55∘，那么∠AEG = （ ）
A： 80∘
B： 90∘
C： 100∘
D： 70∘
5 如图，△ABC中，AB+AC = 6，BC的垂直平分线l 与AC相交于点D，则△ABD的周长为（ ）
125/159-
A： 12
B： 10
C： 8
D： 6
6 如图，在 △ ABC中，∠C = 90∘，∠CAE = 50∘，D是AB的中点，DE⊥AB于点D，交BC于点E，
则∠B的度数是（ ）
A： 15∘
B： 20∘
C： 25∘
D： 30∘
7 如图，E，F是直线AB上两点，EF平分∠CED，∠ECF = ∠EDF，下列说法错误的是（ ）
A： EC = ED
B： EF平分∠CFD
C： EF垂直平分CD
D： ∠CFD = ∠CFB
8 如图，AD为∠BAC的平分线，DF⊥AC于F，∠B = 90∘，AE+AC = 2AF，那么下列选项不正确的
是（ ）
126/159-
A： BD = DF
B： ED = DC
C： ∠C = ∠BED
D： ∠ADE = ∠BED
9 1
如图，在△ABC中，∠B = 75∘，∠C = 30∘，分别以点A和点C为圆心，大于 AC的长为半径画
2
弧，两弧交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（ ）
A： 65∘
B： 60∘
C： 55∘
D： 45∘
10 如图，直线m表示一条公路，A、B表示两所大学．要在公路旁修建一个车站P使到两所大学的距离
相等，请在图上找出这点P．
能力强化 / 初一 / 春季
127/159-
第 12 讲 轴对称初步（北师7强春）
课堂落实答案
1 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列四个汉字中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A： 魅
B： 力
C： 中
D： 国
2 如图，四边形ANBM是轴对称图形，直线MN是对称轴．若∠AMN+∠ANM = 90∘ ， 则
∠AMB+∠ANB = （ ）
A： 90∘
B： 120∘
C： 150∘
D： 180∘
3 如图，在△ABC中，BC = 12，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，则
△ADE的周长等于（ ）
A： 12
128/159-
B： 13
C： 14
D： 15
4 如图:△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE = 3 cm,△ABD的周长为13 cm,则△ABC的周长为___.
5 近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点
医疗站P，张、李两村坐落在两相交公路内（如图所示）．医疗站必须满足下列条件：①使其到两
公路距离相等；②到张、李两村的距离也相等．请你通过作图确定P点的位置．
能力强化 / 初一 / 春季
第 12 讲 轴对称初步（北师7强春）
精选精练
1 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）
A：
B：
129/159-
C：
D：
2 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则
∠A′DB=（ ）
A： 15°
B： 30°
C： 10°
D： 20°
3 如图，AD//BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若
PE = 2，则两平行线AD与BC间的距离为（ ）
A： 4
B： 5
C： 6
D： 7
4 如图，BD⊥OA于D，AC⊥BO于C，且AC，BD交于点E，OE平分∠AOB，则图中关于直线OE成
轴对称的三角形共有__________对．
130/159-
5 某市政府计划修建一处公共服务设施，使它到三所公寓A、B、C的距离相等．
(1)若三所公寓A、B、C的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P表示）的位
置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若∠BAC = 56∘，则∠BPC= °．
6 ′ ′
如图,将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠,使点B落到点B 的位置,AB 与CD交于点E,若AB = 8,
AD = 3,则图中阴影部分的周长为（ ）
A： 11
B： 16
C： 19
D： 22
能力强化 / 初一 / 春季
第 13 讲 轴对称经典模型（北师7强春）
131/159-
例题练习题答案
例1
(1)若等腰三角形的两条边长分别是7和5，则第三条边的长是（ ）
A： 5
B： 7
C： 7或5
D： 无法确定
(2)若实数m，n满足等式|m−2|+√n−4 = 0，且m，n恰好是等腰ABC的两条边的边长，则ABC
的周长是（ ）
A： 12
B： 10
C： 8
D： 10或8
(3)若等腰三角形一个角为120∘，则它的另外两个角为_____________；
(4) 若等腰三角形一个角为50∘，则它的另外两个角为______________；
练1.1
(1)若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为_________．
(2)等腰三角形的周长为18cm，一腰的中线将周长分成2：1的两部分，则三角形的底边长为
_____________．
例2 已知：如图，在等腰ΔABC中，AB = AC，O是底边BC上的中点，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求
证：AD = AE．
132/159-
练2.1 如图，在△ABE中，BA = BE，F为AE中点．若∠ABC = 34∘，∠C = 50∘，则∠ADB的度数为( )
A： 60∘
B： 63∘
C： 67∘
D： 70∘
例3
(1) ∘
等腰三角形的一个内角是50 ，它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）
A： ∘ ∘
25 或40
B： ∘
40
C： ∘
25
D： ∘
65
(2)如图，在ΔABC中，AB = AC，且D在BC上，DE⊥AB于E，DF⊥BC交AC于点F，若
∠EDF = 70∘，则∠AFD的度数是（ ）
133/159-
A： ∘
160
B： ∘
150
C： ∘
140
D： ∘
120
练3.1 如图，AB = AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD = 145∘，则∠EDF = __________．
例4 如图，已知△ABC是等边三角形，AD是中线，E在AC上，AE = AD，则∠EDC = _______．
练4.1 如图，D是等边△ABC中AC边上的中点，点E在BC的延长线上，DE = DB，△ABC的周长是9，则
∠E = _______°，CE = _______．
例5 如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG = CD，DF = DE，则
∠E = _______°．
134/159-
练5.1 △ABC是等边三角形，M是AC上一点，N是BC上的一点，且AM = BN，∠MBC = 25∘，AN与BM交
于点O，则∠MON = （ ）
A： 130°
B： 120°
C： 110°
D： 85°
例6 如图，在△ABC中，D在AB上，且△CAD和△CBE都是等边三角形．
求证：（1）∠EDB = 60∘；
（2）DE = CD+DB．
练6.1 如图所示，AB = AC，AD = AE，∠BAC = ∠DAE，∠1 = 25∘，∠2 = 30∘，则∠3 = _____．
能力强化 / 初一 / 春季
第 13 讲 轴对称经典模型（北师7强春）
135/159-
自我巩固答案
1 若等腰三角形一个角为42∘，则它的另外两个角的度数为（ ）
A： 42°，96°
B： 69°，69°
C： 42°，96°或69°，69°
D： 无法确定
2 已知，如图在等腰三角形ABC中，PE = 3，BC = 8，P为BC的中点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点
E，则PD = （ ）
A： 3
B： 4
C： 8
D： 7
3 如图，△ABC中，点D为AB上一点，点E为BC上一点，且AC = CD = BD = BE，∠A = 60∘，则
∠CDE的度数为（ ）
A： 45∘
B： 50∘
C： 51∘
D： 52∘
136/159-
4 若等腰三角形的两条边长分别是12和8，则第三条边的长是（ ）
A： 12
B： 8
C： 12或8
D： 无法确定
5 如图，等边△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD = CE，BE、CD交于点P，若
∠ABE:∠CBE = 1:2 ，则∠BDP = ___度．
6 如图，若△ABC是等边三角形，AB = 6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE = CD，则
BE = （ ）
A： 7
B： 8
C： 9
D： 10
7 如图，等边△ABC中，BD = CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数为（ ）
A： 45°
137/159-
B： 60°
C： 55°
D： 75°
8 ∘
一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3 = 50 ，则∠1+∠2 = （ ）
A： 90∘
B： 100∘
C： 130∘
D： 180∘
9 如图，设△ABC和△CDE都是等边三角形，且∠EBD = 65∘，则∠AEB的度数是（ ）
A： 125∘
B： 122∘
C： 120∘
D： 118∘
10 如图：△ABC和△ADE是等边三角形，AD是BC边上的中线．求证：BE = BD．
138/159-
能力强化 / 初一 / 春季
第 13 讲 轴对称经典模型（北师7强春）
课堂落实答案
1 若等腰三角形的一边长为7cm，另一边长为11cm，则它的周长为__________．
2 已知△ABC为等边三角形，BD为△ABC的高，延长BC至E，使CE = CD = 1，连接DE，则BE =
__________，∠BDE = __________．
3 若等腰三角形的一个内角度数为62°，则它的另外两个内角的度数为______________．
4 如图，在等腰△ABC中，AB = AC，P为BC的中点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E．
求证：PD = PE．
5 如图，已知ΔABC和ΔBDE都是等边三角形．∠CBE = 60 ∘ ，则下列结论：
①AE = CD；②BF = BG；③HB平分∠AHD；④∠AHC = 60 ∘ ；⑤ΔBFG是等边三角形；⑥
FG//AD．其中正确的有 个．
139/159-
能力强化 / 初一 / 春季
第 13 讲 轴对称经典模型（北师7强春）
精选精练
1 已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为40∘，则此等腰三角形的顶角度数为
_____．
2 一个等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为12和30两部分，则这个等腰三角形的腰长
为_____．
3 如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP = PQ = QC = AP = AQ，求∠ABC的度数．
4 如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,则∠BED的度数是___.
5 如图，△ABC是等边三角形，CB⊥BD，CB=BD，则∠BAD=___．
140/159-
6 如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是
（ ）
A： △ACE≌△BCD
B： △BGC≌△AFC
C： △DCG≌△ECF
D： △ADB≌△CEA
能力强化 / 初一 / 春季
第 14 讲 几何模型
例题练习题答案
例1 如图，在△ABC中，AB+BD = AC，∠BAC的平分线AD交BC于D．
求证：∠B = 2∠C（用两种方法）．
练1.1 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD = AC，∠BAC = 75∘，则∠C的度数为________．
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例2 如图，在四边形ABCD中，AB = AD，∠ABC+∠ADC = 180∘．E、F分别是边BC、边CD上的两
1
点，且BE+DF = EF，求证：∠EAF = ∠BAD．
2
练2.1 五边形ABCDE中，AB = AE，BC+DE = CD，∠ABC+∠AED = 180∘．
求证：AD平分∠CDE．
例3 已知△ABC中，∠A = 60∘，BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD、CE交于点O，试判断BE、
CD、BC的数量关系，并加以说明．
练3.1 如图，在△ABC中，∠A = 100∘，∠ABC = 40∘，BD是∠ABC的平分线．延长BD到E，使DE = AD
．求证：BC = AB+CE．
例4 如图，在△ABC中，AB = 3，AC = 4，BC = 5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则△ABP
周长的最小值是________．
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练4.1 如图，△ABC中，AB = AC，BC = 5，S = 15，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于F，
△ABC
在EF上确定一点P使PB+PD最小，则这个最小值为（ ）
A： 3
B： 4
C： 5
D： 6
例5 如图，已知牧马营地在P点处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到
营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线．
练5.1 如图，P、Q是两个定点，M、N是两个动点，若使得四边形MPQN的周长最小，应如何作图才能
确定M、N的位置，请保留作图痕迹并写出作图原理．
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例6 如图，两个村庄A、B分别在河的两岸，要在河上修一座垂直于河岸的桥，问桥的位置应该修在
哪，才能使从A到B的路程最短？
练6.1 如图，A、B是两个定点，PQ的长度为定值m，PQ可以在直线l上移动，若使得AP+PQ+QB的值
最小，作图确定P、Q的位置，请保留作图痕迹并写出作图原理．
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第 14 讲 几何模型
课堂落实答案
1 如图，△ABC中，∠BAC = 60∘，AD是∠BAC的平分线，且AC = AB+BD，则∠ABC = （ ）
A： 40∘
B： 60∘
C： 80∘
D： 120∘
2 如图，在△ABC中，∠B = 2∠C，点D在BC上，连接AD，若AD⊥BC，
144/159-
求证：CD = AB+BD．
3 如图，在等边△ABC中，AH⊥BC，垂足为H，且AH = 6cm，点D是AB的中点，点P是AH上一动
点，则DP与BP和的最小值是（ ）cm．
A： 6
B： 5
C： 4
D： 3
4 如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC = BD，若点A到
河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（ ）
A： 750米
B： 1000米
C： 1500米
D： 2000米
5 下图均是4×4的正方形网格，格点A，格点B和直线l的位置如图所示．
（1）请分别在图1和图2中作出直线l上的点P，使PA+PB最短；
145/159-
（2）请在图3中作出l 上的点P与l 上的点Q，使AP+PQ+BQ最短．
1 2
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第 14 讲 几何模型
自我巩固答案
1 AD为△ABC的角平分线，AB+BD = AC，则∠B:∠C的值为（ ）
A： 2:1
B： 3:1
C： 4:1
D： 5:1
2 如图，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE = ∠CDE，∠DCE = ∠ECB，AD = 8，BC = 4，则
CD = （ ）
A： 4
B： 6
C： 8
D： 12
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3 如图，在△ABC中，∠B = 2∠C，∠BAC的平分线AD交BC于点D，求证：AB+BD = AC．
4 如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：
AD+BC = AB．
5 如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D = 180∘，求证：AE = AD+BE．
6 CO是△ACE的高，点B在OE上，OB = OA，AC = BE．
（1）如图1，求证：∠A = 2∠E；
（2）如图2，CF是△ACE的角平分线，求证：AC+AF = CE．
7 如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若
AE = 2，当EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（ ）
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A： 15∘
B： 22.5∘
C： 30∘
D： 45∘
8 如图，等腰△ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于E、F点．
若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A： 6
B： 8
C： 10
D： 12
9 如图，在△ABC中，AB = AC，AD、CE是△ABC的两条高线，P是AD上一个动点，则下列线段的
长度等于BP+EP最小值的是（ ）
A： AB
B： BC
C： CE
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D： AD
10 如图，四边形ABCD中，∠C = 50∘，∠B = ∠D = 90∘，E、F分别是BC、DC上的点，则当△AEF
的周长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A： 50°
B： 60°
C： 70°
D： 80°
能力强化 / 初一 / 春季
第 14 讲 几何模型
精选精练
1 如图，已知△ABC中，AH⊥BC于H，∠C = 35∘，且AB+BH = HC，则∠B = ___________．
2 如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC = 120∘，以D为顶点作一
个60∘角，使其两边分别交AB于点M、交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为（ ）
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A： 3
B： 4.5
C： 6
D： 无法确定
3 （1）如图1，在四边形ABCD中，AB = AD，∠BAD = 120∘，∠B = ∠ADC = 90∘，E、F分别是
BC、CD上的点，且∠EAF = 60∘．探究图中线段BE、FE、FD之间的数量关系，请在横线上
直接写出结论_______________________．
（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB = AD，∠B+∠ADC = 180∘．E、F分别是BC、CD上的
1
点，且∠EAF = ∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由．
2
4 如图，在△ABC中，∠ACB = 90∘，BC = 12，AC = 5，AB = 13，BD平分∠ABC，M、N分别为
BD、BC上的点，则CM+MN的最小值是________．
150/159-
5 如图，已知点P在锐角∠AOB内部，∠AOB = α，在OB边上存在一点D，在OA边上存在一点C，能
使PD+DC最小，此时∠PDC = _____．
6 如图，∠AOB = 30∘，M、N分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记
∠AMP = ∠1，∠ONQ = ∠2，当MP+PQ+QN最小时，则关于∠1、∠2的数量关系正确的是
（ ）
A： ∠1+∠2 = 90∘
B： 2∠2−∠1 = 30∘
C： 2∠1+∠2 = 180∘
D： ∠1−∠2 = 90∘
能力强化 / 初一 / 春季
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 已知m+n=2，mn=−2，则(1−m)(1−n)的值为（ ）
A： −1
B： 1
C： −3
151/159-
D： 5
2 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A： 4，5，9
B： 8，8，15
C： 5，5，10
D： 6，7，14
3 如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点P处，已知∠1+∠2 = 124∘，则∠A = （ ）
A： 60∘
B： 62∘
C： 64∘
D： 66∘
4 若等腰三角形的腰上的高与另一腰上的夹角为56∘，则该等腰三角形的顶角的度数为（ ）
A： 56∘
B： 34∘
C： 34∘或146∘
D： 56∘或34∘
5 如图，在 △ ABC中，∠B = 32∘，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，则∠C的度
数为（ ）
152/159-
A： 90∘
B： 84∘
C： 64∘
D： 58∘
6 如图，△ABC中，∠B，∠C的平分线相交于点O，过O作DE∥BC，若BD+EC=5，则DE等于
（ ）
A： 7
B： 6
C： 5
D： 4
7 如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（ ）
A： 330∘
B： 315∘
C： 310∘
D： 320∘
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8 如图，下图是汽车行驶速度（千米/时）和时间（分）的关系图，下列说法其中正确的个数为
（ ）
（1）汽车行驶时间为40分钟；
（2）AB表示汽车匀速行驶；
（3）在第30分钟时，汽车的速度是90千米/时；
（4）第40分钟时，汽车停下来了．
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
9 如图，直线l ∥l ，∠1 = 30∘，则∠2+∠3 = ( )
1 2
A： 150∘
B： 180∘
C： 210∘
D： 240∘
154/159-
10 1 1
如图，∠A = 60∘，∠ABO = ∠ABC，∠ACO = ∠ACB，则∠BOC = （ ）
3 3
A： 120∘
B： 110∘
C： 100∘
D： 90∘
11 2 2
已知a−b=5，ab = −4，则a +b =____．
12 观察下图中各组图形，其中成轴对称的为__________（只写序号）
13 如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1 = 56∘，则∠EGF应为__________．
14 如图，在 △ ABC 中，DE是AC的垂直平分线，AE = 3cm， △ ABD 的周长为13cm，则 △ ABC
的周长是__________cm．
15 如图，在Rt △ ABC 中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、
1
N，再分别以点M、N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点
2
155/159-
D，若CD = 4，AB = 15，则 △ ABD 的面积是___．
16 如图， △ ABC 的边BC长12cm，乐乐观察到当顶点A沿着BC边上的高AD所在直线运动时，三角
形的面积发生变化．在这个变化过程中，如果三角形的高为xcm，那么 △ ABC 的面积ycm 2 与xcm
的关系式是______．
17 如图， △ ABC 中，AC=10，AB=12， △ ABC 的面积为48，AD平分∠BAC，F，E分别为AC，
AD上两动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为______．
18 如图，在△ABC中，∠A = α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A ，得∠A ，∠A BC的平
1 1 1
分线与∠A CD的平分线交于点A ，得∠A ……∠A BC的平分线与∠A CD的平分线交于点
1 2 2 2016 2016
A ，得∠A ，则∠A = ________________．
2017 2017 2017
19 如图表示一辆汽车在行驶途中的速度v（千米/时）随时间t（分）的变化示意图．
156/159-
(1)从点A到点B、点E到点F、点G到点H分别表明汽车在什么状态？
(2)汽车在点A的速度是多少？在点C呢？
(3)司机在第28分钟开始匀速先行驶了4分钟，之后立即以减速行驶2分钟停止，请你在本图中补
上从28分钟以后汽车速度与行驶时间的关系图．
20 如图，∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF=∠F．试说明：EC∥DF．
21 已知：如图，∠DCE=90∘，CD=CE，AD⊥AC于A，BE⊥AC 于B．求证：AB+AD=BE．
22 如图所示，在等边 △ ABC 中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE//AB ，过点E作EF⊥DE，交
BC的延长线于点F．
（1）求∠F的大小；
（2）若CD=3，求DF的长．
23 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D、F分别为AB、AC的中点，且DE⊥AB，
FG⊥AC，点E、G在BC上，BC=18cm，求线段EG的长．（提示：需要添加辅助线）
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24 如图，试求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．
25 已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同
一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．
26 如图1，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE相交于点M，连接CM．
（1）求证：BE=AD；
（2）求∠AMB的度数（用含α的式子表示）；
（3）如图2，当α=90∘时，点P、Q分别为AD、BE的中点，分别连接CP、CQ、PQ，判断
△ CPQ 的形状，并加以证明．
27 如图，△ABC中，AB=BC=AC=12，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运
动，已知点M的速度为每秒1个单位长度，点N的速度为每秒2个单位长度．当点M第一次到达B点
时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
158/159-
（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN？如存在，请求出此时
M、N运动的时间．
159/159
