3.2 函数的基本性质
1.判断函数的单调性；2.求函数的单调区间；3.用定义证明函数的单调性；4. 函数单调性的应用；5. 抽
象函数单调性的判断与证明；6. 求函数的最值；7. 实际应用中的函数最值问题；8. 函数奇偶性的判断；
9. 奇、偶函数图象的应用；10. 利用函数的奇偶性求解析式；11.函数的奇偶性与单调性综合问题
一、单选题
1．（2021·黄梅国际育才高级中学高一月考）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
对于A， 为非奇非偶函数，不符合题意；对于B， 为幂函数，其定义域为 ，是
奇函数且在 上为减函数，不符合题意；对于C， 为反比例函数，为奇函数且在其定义域上不
具备单调性，不符合题意；对于D， ，其定义域为 ，有
，为奇函数，且，在 上为增函数，符合题意；故选D.
2．（2021·全国高一课时练习）函数 的减区间是（ ）
A． B．
C． ， D．【答案】C
【解析】
由图象知单调减区间为 ，
点睛：
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分开写，不能用并集符号“
”连接，也不能用“或”连接．
3．（2021·全国高一课时练习）函数 在区间 上的图象如图所示，则此函数的增区间是（
）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】
由图可知，自左向右看图象是上升的是增函数，则函数的增区间是
故选：C
4．（2021·全国高一课时练习）高为 、满缸水量为 的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，
满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为 时水的体积为 ，则函数 的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
根据题意知，函数的自变量为水深 ，函数值为鱼缸中水的体积，所以当 时，体积 ，所以函数
图像过原点，故排除A、C；
再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快
再慢的，故选B.
5．（2021·全国高一课时练习）函数f(x)＝x(－1<x≤1)的奇偶性是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
【答案】C【解析】
由题可知，函数的定义域不关于原点对称，所以该函数为非奇非偶函数.
故选：C
6．（2021·全国高一课时练习）下列图像表示的函数中具有奇偶性的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
选项A中的图象关于原点或 轴均不对称，故排除；
选项C、D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；
选项B中的图象关于 轴对称，其表示的函数是偶函数.
故选B.
7．（2021·上海高一课时练习）已知函数 （其中p，q为常数）满足 ，
则 的值为（ ）
A．10 B． C． D．
【答案】C
【解析】
令 ，则 为奇函数.
，即 ， ，
.
故选：C
8．（2021·伊宁市第八中学高一期中）若偶函数 在区间 上是增函数，则( )
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】
函数 为偶函数,则 .
又函数 在区间 上是增函数.
则 ，即
故选：D.
9．（2021·湖南汨罗）函数 是定义在 上的奇函数，对任意两个正数 都有
，记 则 之间的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
函数f（x）是定义在R上的奇函数，
且对任意两个正数x，x（x＜x），都有xf（x）＞xf（x），
1 2 1 2 2 1 1 2
即 ，
设g（x）= ，g（x）在（0，+∞）上是单调减函数；
又a= f（2）= ，
b=f（1）= ，c=﹣ f（﹣3）= f（3）= ，
∴g（1）＞g（2）＞g（3），
即b＞a＞c．
故选：B．
10．（2021·浙江南湖 嘉兴一中高一月考）设 是定义在 上的奇函数,且当 时, ,
若对任意的 ,不等式 恒成立,则实数 的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
是定义在 上的奇函数,且当 时,
当 ,有 ,
即
在 上是单调递增函数,且满足
不等式 在 恒成立,
, 恒成立
对 恒成立解得:
则实数 的取值范围是: .
故选:A.
二、多选题
11．（2021·浙江高一单元测试）函数 是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若 在 上有最小值 ，则 在 上有最大值1
C．若 在 上为增函数，则 在 上为减函数
D．若 时， ，则 时，
【答案】ABD
【解析】
由 得 ，A正确；
当 时， ，则 时， ， ，最大值为1，B正确；
若 在 上为增函数，则 在 上为增函数，C错；
若 时， ，则 时， ， ，
D正确．
故选：ABD．
12．（2021·山东文登 高一期末）已知 是定义在 上的奇函数，且 为偶函数，若 ，
则( )
A． B．
C． D．【答案】AD
【解析】
因为 是定义在 上的奇函数，且 为偶函数，
故可得 ，
则 ，故 选项正确；
由上述推导可知 ，故 错误；
又因为 ，故 选项正确.
又因为 ，故 错误.
故选：AD.
13．（2021·山东滨州·）如图所示是函数 的图象,图中 正半轴曲线与虚线无限接近但是永不
相交,则以下描述正确的是( )
A．函数 的定义域为
B．函数 的值域为
C．此函数在定义域内是增函数
D．对于任意的 ,都有唯一的自变量 与之对应
【答案】BD
【解析】
对于A,由函数的图象可知,函数的定义域为 ,故A不正确;对于B,由函数的图象可知,函数的值域为: ,故B正确;
对于C,函数在 是增函数,结合图象可知,此函数在定义域内不是增函数,故C错误;
对于D,由函数的图象可知,对于任意的 ,都有唯一的自变量 与之对应,故D正确.
故选:BD.
14．（2021·安徽定远英华中学高一期末）符号 表示不超过 的最大整数，如 ，
，定义函数: ，则下列命题正确的是（ ）
A． B．当 时，
C．函数 的定义域为 ，值域为 D．函数 是增函数､奇函数
【答案】ABC
【解析】
对于A项， ，则A正确；
对于B项，当 时， ，得出 ，则B正确；
对于C项，函数 的定义域为 ，因为 表示不超过 的最大整数，所以 ，则C正确；
对于D项， ，
，
函数 既不是增函数也不是奇函数，则D错误；
故选：ABC
三、填空题
(x+1)(x+a)
15．（2021·浙江南湖 嘉兴一中高一月考） 设函数f(x)＝ 为奇函数，则a＝________.
x【答案】-1
【解析】
(x+1)(x+a)
因为函数f(x)＝ 为奇函数，
x
(1+1)(1+a) (-1+1)(-1+a)
∴f(1)= =-f(-1)= ,∴a=-1.经检验符合题意.
1 1
故答案为-1.
16．（2021·全国高一课时练习）已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.
则f(x)在R上的表达式为________．
【答案】
【解析】
因为 是奇函数，且定义域为 ，
故当 时， ；
则当 时， .
故答案为： .
17．（2021·全国高一课时练习）已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a＋b＝
________.
【答案】
【解析】
由题可知：a－1+2a=0，所以
又f(x)= f(-x)，所以 ，所以 ，则
故答案为：
四、双空题
18．（2021·上海高一课时练习）已知 是奇函数， 是偶函数，且
，则 _________； ________．
【答案】
【解析】
∵ 是奇函数， 是偶函数，∴ ， .
则 ，即 .
两式相减，解得 ；两式相加，解得 ，
故答案为： ； .
19．（2021·北京市第十三中学高一期中）函数y = f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，函数f(x)
的图象是由一段抛物线和一条射线组成（如图所示）．①当 时，y的取值范围是______；
②如果对任意 (b <0)，都有 ，那么b的最大值是______．
【答案】
【解析】
由图象可知，当 时，函数在 上的最小值 ，
当 时，函数在 上的最小值 ，
所以当 ，函数 的值域为 ；
当 时，函数 ，当 时，函数 ，
当 时， 或 ，
又因为函数为偶函数，图象关于 轴对称，
所以对于任意 ，要使得 ，则 ， 或 ，
则实数 的最大值是 ．
故答案为
20．（2021·金华市曙光学校高一月考）已知函数 是定义在 上的偶函数，且对任意
，当 时， ，则 ______；不等式 的解
集为______.
【答案】1
【解析】
依题意, ,解得: ,故函数 在 上单调递增,故 等价于 ,解得: ,不等式的解集为:
故答案为:1,
21．（2021·安达市第七中学高一月考）设函数 ， ，则函数的最小值为______；
若 ，使得 成立，则实数 的取值范围是_________.
【答案】2
【解析】
因为函数 ， ，
易得函数在 为减函数，在 为增函数，所以 ，
即函数的最小值为 ,
又 ，使得 成立，则 ，即 ，
解得： 或 ，即实数 的取值范围是 或 ，
故答案为(1). 2 (2).
五、解答题
22．（2021·全国高一课时练习）函数y＝|x2－2x－3|的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单
调性.【答案】单调增区间为： ， ；单调减区间为： ，
【解析】
由图可知：该函数在区间 单调递减，
在区间 单调递增，在区间 单调递减，
在区间 单调递增.
故该函数的单调增区间为： ， ；
该函数的单调减区间为： ， .
23．（2021·全国高一课时练习）求证：函数f(x)＝x＋ 在[1，＋∞)上是增函数.
【答案】证明见详解.
【解析】
证明：在区间 上任取 ，
则因为 ，故可得 ；
又因为 ，故可得 .
故 ，即 .
故 在区间 上单调递增.
24．（2021·全国高一课时练习）设定义在 上的奇函数 在区间 上单调递减，若
，求实数 的取值范围．
【答案】
【解析】
由 是奇函数，且 ，得 ．
因为 在 上单调递减，且在 上为奇函数，
所以 在 上单调递减，
则 ，解得 ，所以 ，故实数 的取值范围为 ．
点睛：根据函数增减性和奇偶性求解不等式，可简记为去“ ”法，当奇函数在对应区间 单调递增时，若 ，则 ；当奇函数在对应区间 单调递减时，若 ，则
25．（2021·浙江湖州 高一期中）函数 是定义在 上的奇函数，当 时， .
（1）设 ， ，求函数 的值域；
（2）当 时，若 ，求实数 的值.
【答案】（1） ；（2） 或 或
【解析】
（1）设 时，则 ， 为奇函数，且 时， ，
，即 . ，
，
当 时，得 关于 对称，在 上递增，在
递减，
， ，得 ；当 时，由奇函数关于原点对称，得
.
的值域为 ；
（2）由（1）知， ， 时， ，
i）当 时，令 ，解得 ；ii）当 时，令 =3，解得
综上： 或 或
26．（2021·云南弥勒市一中高一期末）已知函数 是奇函数，且当 时， ，
（1）求函数 的表达式
（2）求不等式 的解集
【答案】（1） （2） 或
【解析】
（1）根据题意，函数 是奇函数，则 ，
当 时， ，则 ，
又由函数 为奇函数，则 ，
则 ，
（2）根据题意， ，
当 时， ，此时 即 ，解可得 ，此时不等式的解集为
，当 时， ， 成立；此时不等式的解集为 ，
当 时， ，此时 即 ，解可得 ，此时不等式的解集为
，
综合可得：不等式 的解集 或 ．
27．（2021·浙江高一课时练习）已知定义在 上的函数 满足：
①对任意 ， ， ；②当 时， ，且 ．
（1）试判断函数 的奇偶性．
（2）判断函数 在 上的单调性．
（3）求函数 在区间 上的最大值．
（4）求不等式 的解集．
【答案】（1）偶函数；（2）增函数；（3）2；（4） 或 .
【解析】
（1）令 ，则 ，得 ；再令 ，
则 ，得 ．
对于条件 ，令 ，则 ，
∴ ．又函数 的定义域关于原点对称，∴函数 为偶函数．
（2）任取 ， ，且 ，则有 ．
又∵当 时， ，∴ ．
而 ， 即 ，
∴函数 在 上是增函数．
（3）∵ ，且 ，∴ ．
又由（1）（2）知函数 在区间 上是偶函数且在 上是增函数，
∴函数 在区间 上的最大值为 ．
（4）∵ ， ，
∴原不等式等价于 ，
又函数 为偶函数，且函数 在 上是增函数，
∴原不等式又等价于 ，即 或 ，
得 或 ，
得 或 ，
∴不等式 的解集为 或 ．
