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3.3 幂函数
一、选择题
1．（2017·全国高一课时练习）如图是幂函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则( )
A.－1<n<0,0<m<1 B.n<－1,0<m<1
C.－1<n<0，m>1 D.n<－1，m>1
【答案】B
【解析】由题图知， 在 上是增函数，
在 上为减函数，
，
又当 时， 的图象在 的下方，
的图象在 的下方，
，
从而 ，故选B.
2．（2018·全国高一课时练习）若幂函数的图象过点 ，则它的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
【答案】D
【解析】
本题主要考查的是幂函数的图像与性质。设幂函数为 ，因为图像过 ，所以。由幂函数的性质：当 时， 在 上是减函数。又 为偶函数，
所以 在 上是增函数。应选D。
3．（2018·浙江高三课时练习）已知 ，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
因为a＝2 ＝16 ，b＝4 ＝16 ，c＝25 ，且幂函数y＝x 在R上单调递增，指数函数y＝16x在R上单
调递增，所以b<a<c.
故选A.
4．（2017·全国高一课时练习） 下列结论中，正确的是( )
A.幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)
B.幂函数的图象可以出现在第四象限
C.当幂指数α取1,3， 时，幂函数y＝xα是增函数
D.当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数
【答案】C
【解析】
当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；
因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在
第四象限，故选B不正确；
当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在它的定义域上不是减函数，故选项
D不正确．
故选C.
5．（2017·全国高一课时练习） 在下列四个图形中，y＝x 的图像大致是( )A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
函数 的定义域为(0，＋∞)，是减函数．故选D.
6．（2017·全国高一课时练习）若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm－2的图像不过原点，则m的取值范围为( )
A.1≤m≤2 B.m＝1或m＝2
C.m＝2 D.m＝1
【答案】D
【解析】
由幂函数 的图像不过原点，可得 ，解得 ， ，
故选D.
二、填空题
7．（2017·全国高一课时练习）已知幂函数f（x）的部分对应值如下表：
x 1
f（x） 1
则不等式f（|x|）≤2的解集是___________．
【答案】[–4，4]
【解析】
由表中数据知 ＝ ，∴α＝ ，∴f(x)＝ ，∴|x| ≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4,故填{x|－
4≤x≤4}.8．（2017·全国高一课时练习） 已知幂函数f(x)＝x (m∈Z)的图像与x轴，y轴都无交点，且关
于原点对称，则函数f(x)的解析式是________．
【答案】f(x)＝x－1
【解析】
∵函数的图像与x轴，y轴都无交点，
∴m2－1<0，解得－1<m<1；
∵图像关于原点对称，且m∈Z，
∴m＝0，∴f(x)＝x－1.
9．（2017·全国高一课时练习）若幂函数y＝xα的图像经过点(8，4)，则函数y＝xα的值域是________.
【答案】[0，＋∞)
【解析】
幂函数 图象经过点 ，解得 函数 的值域为 .
10．（2016·全国高一课时练习）已知幂函数f(x)＝ ，若f(a+1)<f(10−2a)，则实数a的取值范围是
________．
【答案】(3，5)
【解析】f(x)＝ ＝(x>0)，易知f(x)在(0，+∞)上为减函数，又f(a+1)<f(10−2a)，
∴ 解得 ∴3<a<5.
三、解答题
11．（2017·全国高一课时练习） 已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)：
(1)是幂函数；
(2)是正比例函数；
(3)是反比例函数；
(4)是二次函数．
【答案】(1)m＝2或m＝－1.(2)m＝－ .(3)m＝－ .(4) m＝－1.
【解析】(1)∵f(x)是幂函数，故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
(2)若f(x)是正比例函数，
则－5m－3＝1，解得m＝－ .
此时m2－m－1≠0，故m＝－ .
(3)若f(x)是反比例函数，
则－5m－3＝－1，
则m＝－ ，此时m2－m－1≠0，
故m＝－ .
(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，
即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.
12．（2017·全国高一课时练习） 比较下列各题中两个幂的值的大小：
(1)2.3 ，2.4 ；
(2) ， ；
(3)(－0.31) ，0.35 .
【答案】(1)2.3 <2.4 .(2) > ；(3)(－0.31) <0.35 .
【解析】(1)∵y＝ 为R上的增函数，
又2.3<2.4，
∴2.3 <2.4 .
(2)∵y＝ 为(0，＋∞)上的减函数，又 < ，
∴( ) >( ) .
(3)∵y＝ 为R上的偶函数，∴ ＝ .
又函数y＝ 为[0，＋∞)上的增函数，
且0.31<0.35，
∴0.31 <0.35 ，即(－0.31) <0.35 .
