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《指数函数与对数函数函数》综合测试卷
一、单选题
1．（2020·全国高一课时练习）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由对数函数的定义域只需 ，解得 ，所以函数的定义域为 .
故选：C
2．（2020·云南高三一模（文））设 ，则f[f(11)]的值是（ ）
A．1 B．e C． D．
【答案】B
【解析】
由分段函数解析式可得： ，
则 ，
故选：B.
3．（2020·浙江高一课时练习）当 时， 在同一坐标系中，函数 与 的图像是（
）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】
由于 ，所以 为 上的递减函数，且过 ； 为 上的单调递减函
数，且过 ，故只有D选项符合.
故选：D.
4．（2020·全国高三课时练习（理））若a>b，则
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】
取 ，满足 ， ，知A错，排除A；因为 ，知B错，排除B；取
，满足 ， ，知D错，排除D，因为幂函数 是增函数， ，所以
，故选C．
5．（2020·湖北高一期末）设 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以选B.
6．（2020·荆州市北门中学高一期末）已知a=21.3，b=40.7，c=log 8，则a，b，c的大小关系为（ ）
3
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，
．
故选：C．
7．（2020·云南高三一模（文））函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(bx)与
f(cx)的大小关系是
A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx)
C．f(bx)>f(cx) D．与x有关，不确定
【答案】A
【解析】
∵f（1+x）＝f（1﹣x），
∴f（x）图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2．
又f（0）＝3，
∴c＝3．
∴f（x）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
若x≥0，则3x≥2x≥1，
∴f（3x）≥f（2x）．
若x＜0，则3x＜2x＜1，
∴f（3x）＞f（2x）．∴f（3x）≥f（2x）．
故选A．
8．（2019·北京高考真题（理））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与
亮度满足 ，其中星等为m 的星的亮度为E（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星
k k
的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.1
【答案】A
【解析】
两颗星的星等与亮度满足 ,令 ,
.
故选A.
9．（2020·湖南雨花�雅礼中学高三月考（理））已知函数 是定义在R上的偶函数，在区间 上
单调递增，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
因为函数 是定义在R上的偶函数，所以 ，又 ，
所以不等式 等价于 ，又函数 在区间 上单调递增，所以 ，
所以 或 ，
所以 或 .
故选：D.
10．（2020·安徽金安�六安一中高二期中（文））定义在 上的函数 满足： ，
当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
当 时， 的解为 或 ，解得 ，
因为 ，故 的图象关于直线 对称，
故当 时， 的解为 ，
所以 的解集为： .
故选：C.
二、多选题
11．（2020·枣庄市第三中学高二月考）以下说法正确的是（ ）
A．
B．若定义在R上的函数 是奇函数，则 也是奇函数C．
D．已知 是幂函数，则m的值为4
【答案】BD
【解析】
对A项，当 时， ，则A错误；
对B项，设 ， ，则函数
是奇函数，则B正确；
对C项，设 ，
，则C错误；
对D项， ，则D正确；
故选：BD
12．（2019·山东五莲�高三月考）已知函数 ，若 ，则 的所有
可能值为（ ）
A．1 B． C．10 D．
【答案】AD
【解析】当 时，由
可得
当 ，
可得
解得
的所有可能值为： 或
故选：AD.
13．（2020·浙江高一单元测试）设 是定义在 上的偶函数，且它在 上单调递增，若
， ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
解：因为 ，
，所以 ．
因为 在 上单调递增，
所以 ．
因为 是偶函数，所以 ，
，
．
所以 ．
故选：AC
14．（2020·山东东营市第一中学高二期中）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享
有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：
设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数，例如： ， ．
已知函数 ，则关于函数 的叙述中正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 在 上是增函数 D． 的值域是
【答案】BC
【解析】
根据题意知， ．
， ，
， ， 函数 既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
， 是奇函数，B正确；由复合函数的单调性知 在 上是增函数，C正确；
， ， ，
，D错误．
故选BC．
三、填空题
15．（2019·浙江南湖�嘉兴一中高一月考）函数 的定义域是_____．
【答案】
【解析】
要使函数有意义，必须 ，
即 ，由指数函数的单调性可得 ，解得 ．
所以函数的定义域为： ．
故答案为： ．
16．（2020·浙江高一课时练习）若函数 在 上是单调增函数，则 的取值范
围是____________．
【答案】
【解析】
由题意得，设 ，根据对数函数及复合函数单调性可知： 在 上是单调增函数，且 ，所以 ，所以 ．
17.（2019·河北辛集中学高三月考（理））已知当 时，不等式 恒成立，则实数
的取值范围为________.
【答案】
【解析】
如下图所示：
由上图所示，当 时，不等式 恒成立，则函数 为增函数，且有
，所以 ，解得 ，因此，实数 的取值范围是 ，
故答案为 .
四、双空题
18．（2020·浙江高二期中）已知函数 ，则 ______________，方程
的解为______________.
【答案】-1 -3或8
【解析】
(1) .(2)当 时, 有 ,满足 ；
当 时, 有 ,因为 故 .
故方程 的解为 或 .
故答案为：(1). -1 (2). -3或8
19．（2020·浙江温州�高三三模）若实数a，b满足 则a=__________，
__________．
【答案】2 2
【解析】
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ．
故答案为：2；2．
20．（2020·迁西县第一中学高二期中）函数 的单调增区间是________； 的
值域是________．
【答案】
【解析】
函数 的定义域满足 ，得
所以函数 的定义域为 .
设 ，由 是单调递减函数.
由复合函数单调性的性质，即求 的减区间.
由二次函数的性质可得 在 上单调递减.又当 时，
由 是单调递减，所以
所以 的值域是
故答案为： ；
21．（2019·浙江高三月考）若 ，则 的值为__________；若 （ 且
），则实数 的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
∵ ，∴ ，
∴ ；
∵ ，即 ，
∴ ，解得 ，
故答案为： ； ．
五、解答题22．（2019·黄梅国际育才高级中学高一月考）求值：（1）
（2）
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）原式= =
（2）原式
23．（2020·全国高一课时练习）已知函数 且 ，解关于 的不等式
.
【答案】
【解析】
因为 且 ，所以
不等式 化为 ；
当 时，函数 在定义域上单调递增， 在定义域上单调递减，
所以 ，
解得 ，即 ；
当 时， 无意义，
综上，不等式 的解集为 ．24．（2020·浙江高一单元测试）已知函数 .
（1）求函数 的定义域;
（2）求函数 的零点;
（3）若函数 的最小值为 ,求 的值．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】
（1）由已知得 , 解得 所以函数 的定义域为
（2） ,令 ,得
,即 ,解得 ,∵ ,∴函数 的零点是
（3）由2知, ,
∵ ,∴ .
∵ ,∴ ,
∴ ,
∴ .
25．（2020·浙江高一课时练习）已知函数f(x)=x2−x＋k，且log f(a)=2，f(log a)=k，a＞0，且a≠1.
2 2
（1）求a，k的值；
（2）当x为何值时，f(logx)有最小值？求出该最小值．
a
【答案】（1） ；（2） 时，f(logx)有最小值 .
a【解析】
（1）因为 ，
所以 ，
又a＞0，且a≠1，
所以 .
（2）f(logx)=f(log x)=(log x)2−log x＋2=(log x− )2＋ .
a 2 2 2 2
所以当log x= ，即 时，f(logx)有最小值 .
2 a
26．（2020·浙江高一课时练习）设 ， ， 均为正数，且 .
（1）试求 ， ， 之间的关系.
（2）求使 成立，且与 最近的正整数（即求与 的差的绝对值最小的整数）.
（3）比较 ， ， 的大小.
【答案】（1） ；（2）3；（3） .
【解析】
设 ，由 ， ， 均为正数知 .
故取以 为底的对数，可得 .
∴ ， ， .（1） ，
∴ ， ， 之间的关系为 .
（2） .
由 ，得 ，从而 .
而 ， .
由 知 ，
∴ .
从而所求正整数为3.
（3）∵
.
而 ， ， ， ，∴ .
又∵ ，
而 ， ， ， ，∴ .
故有 .
27．（2020·陕西新城�西安中学高二期末（文））（1）已知函数 的图像恒过定点A，且点A又在函数 的图像上，求不等式 的解集；
（2）已知 ，求函数 的最大值和最小值.
【答案】（1） ；（2） ， .
【解析】
（1）由题意知定点A的坐标为 ，
∴ 解得 .
∴ .
∴由 得， .
∴ .
∴ .
∴ .
∴不等式 的解集为 .
（2）由 得 令 ，则 ，
.
∴当 ，即 ， 时， ，
当 ，即 ， 时， .
