第4章指数函数与对数函数练习（2）（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_必修1_02.同步练习_2.同步练习（第二套）_同步练习配套人教A版数学_第4章指数函数与对数函数_单元综合

第四章 指数函数与对数函数
总分：120分时间：120分钟
一、单选题（总分48分，每题4分)
1．若 有意义，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ，所以 即 ，故应选D.
2．函数 是指数函数，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数 是指数函数，∴ ，解得 ，
∴ ，∴ ．故选D．
m ∈ Z
3．若 ，则 的值为（ ）
∴m=1,f(x)=x 2 (2,3) y= logu
a
0<a<1
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】因为 ，所以
所以 ， 故选A。
4．下列运算正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对 ， ，故 错误；
对 ， ，故 错误；
对 ，由分数指数幂的定义得 ，故 正确；
对 ， ， ，故 错误，故选： ．
5．若 则下列结论正确的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当 .
6．已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 ， ，故 ，选D.
a  21 b  2t21(tR) a与b
7．设 ，则 的大小关系是（ ）
a b a b a b a b
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
【答案】B
【解析】 ， ， 函数 在 上是单调递增的， ，即，所以答案为： 。
8．若点 在函数 的图象上，则 的零点为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】根据题意，点 在函数 的图象上，
则 ，变形可得： ，则
若 ，则 ，即 的零点为 ，
故选：D．
9．某企业为节能减排，用 万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用 万元，从第二年
起，每年运营费用均比上一年增加 万元，该设备每年生产的收入均为 万元．设该设备使用了
年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设该设备第n年的营运费为 万元，
则数列 是以2为首项，2为公差的等差数列，则 ，
则该设备使用n年的营运费用总和为 ，
设第n年的盈利总额为 ，则 ，
年平均盈利额 ，
当 时，年平均盈利额取得最大值4.故选：D.10．已知函数 ，则 的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 即 所以 的零点所在区间为
，故选B.
11．若 ，则 ( )
A. B.1 C. D.
【答案】C
【解析】依题意， .故选：C.
12．函数 ，图象恒过定点A，若点A在一次函数 的图象
上，其中 ， 则 的最小值是
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】C
【解析】对于函数 ，令 ，求得 ， ，可得函数的
图象恒过定点 ，
若点A在一次函数 的图象上，其中 ， 则有 ，
则 ，当且仅当 时，取等号，
故 的最小值是8，
故选：C．
二、填空题（总分16分，每题4分)
13．设 ， ，则 _____（用含 的式子表示）．
【答案】
【解析】
，故答案为 .
14．已知函数 ，则 的值是_______
【答案】
【解析】由 >0,得f( )=ln =-1，∵-1<0,∴f[f（ ）]=f（-1）=3-1= ．
15．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，
侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元。
【答案】160
4 80
【解析】假设底面长方形的长宽分别为x, . 则该容器的最低总造价是y=80+20x+ ≥160.当且
x x
仅当x=2的时区到最小值.
x-5
16．已知函数f(x)= 的图像关于直线y=x对称，则m=
2x+m
【答案】
【解析】这类问题可用特殊值法求解，从函数解析式可知(5,0)点在函数图象上，因此点(0,5)也在-5
函数图象上，故5= ，m=-1.
m
三、解答题（总分56分，17、18、19每题8分，20、21题10分，22每题12分.)
1 x
17．已知指数函数y=( ) ，当x∈(0, +∞)时，有y>1，解关于x的不等式
a
log (x-1)≤log (x2+x-6)
a a
【答案】不等式的解集为{x|2<x≤√5}
1 x 1
【解析】∵y=( ) 在x∈(0, +∞)时，有y>1， ∴ >1,即 0<a<1。
a a
于是由 ，得 ，
log (x-1)≤log (x2+x-6) ¿
a a
解得2<x≤√5， ∴ 不等式的解集为{x|2<x≤√5}。
18．关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0有两个根，其中一个根在区间（—1,0）内，另一个根
在区间（1,2）内，求m的取值范围。
5 1
【答案】- <m<- .
6 2
【解析】设 ，其图像与x轴的交点分别在区间（—1,0）和（1,2）内，
f(x)=x2+2mx+2m+1
由题意得
整理得¿
5 1
所以- <m<- .
6 2
19．计算
（1）
（2）【答案】（1） （2）1
【解析】（1）由 .
（2）由 .
20．某种储蓄按复利（把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期的利息）计算利息，
若本金为 元，每期利率为 ，设存期为 ，本利和（本金加上利息）为 元
（I）写出本利和 随存期 变化的函数解析式；
（II）如果存入本金 元，每期利率为 ，试计算 期后的本利和
（参考数据： ）
【答案】（I） ， ；（II） 元
【解析】（I）由等比数列通项公式可知，本利和 随存期 变化的函数解析式为：
，
（II）将 ， ， 代入函数解析式可得：
即 期后的本利和为： 元.
21．函数 是奇函数．
（1）求 的值；
（2）判断 在区间 上单调性并加以证明；
【答案】（1）
m=−1
；（2）详见解析．
【解析】（1）由① 时， ，舍去
② 时， 解得 或
（2）
任意设
1
时， 为 增函数
时， 为 减函数
22．设 ，且 .
（Ⅰ）求 的值及 的定义域；
（Ⅱ）求 在区间 上的最小值.
【答案】（Ⅰ） ， 的定义域为 ；（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ）由 得 ，解得 ，
由 得 ，因此，函数 的定义域为 ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ，令 ，由 得 ，
则原函数为 ， ，由于该函数 在 上单调递减，
所以 ，因此，函数 在区间 上的最小值是 .