文档内容
2024-2025 学年高一上学期 10 月检测
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为( )
A． B． C． D．
2．设命题 ，则 为（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
4．当一个非空数集 满足“如果 ，则 ， ， ，且 时， ”时，我们称 就是一个
数域，以下四个数域的命题：
①0是任何数域的元素：②若数域 有非零元素，则 ；
③集合 是一个数域
④有理数集是一个数域
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．定义运算： .若关于 的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．若正实数 ， 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．存在三个实数 ，使其分别满足下述两个等式：
（1） （2）
其中M表示三个实数 中的最小值，则（ ）
A．M的最大值是 B．M的最大值是
C．M的最小值是 D．M的最小值是
8．已知关于 的不等式 的解集为 ，则（ ）
A． B．不等式 的解集是C． D．不等式 的解集为 或
二．多选题（共3小题，每题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部
分选对得3分，有选错的得0分。）
9．下列说法中正确的有（）
A．命题 ， ”则命题 的否定是
B．“ ”是“ ”的必要不充分条件
C．命题“ ”是真命题
D．“ ”是“关于 的方程 有一正一负根”的充要条件
10．已知 表示不超过 的最大整数，例如： ，
，下列说法正确的是（ ）
A．集合
B．集合 的非空真子集的个数是30个
C．若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则
D．若 ，则
11．已知关于 的不等式 的解集是 ，则（ ）
A． B． C． D．
三．填空题（共3小题，每题5分，共15分。）12．若命题“ ”是假命题，则实数 的取值范围是 .
13．若集合 ，则实数 的取值范围是 .
14．若关于 的不等式 的解集为{x|−1≤x≤3}，则 的取值范围是 ．
四．解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（14分）15．已知命题：“ ，使得 ”为真命题.
(1)求实数 的取值的集合 ；
(2)若非空集合 且 ，求实数 的取值范围.
（15分）16．已知定义在 上的函数 满足： ； ，均有 ，函
① ②
数 ，若曲线 与 恰有一个交点且交点横坐标为1，令 .
(1)求实数 的值及 ；
(2)判断函数 在区间 上的单调性，不用说明理由；
(3)已知 ，且 ，证明： .
（14分）17．某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单位为y元，现有两种购买方案：
方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为 ;
方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为 ．
（其中 ）
(1)试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；
(2)若a，b，x，y同时满足关系 ，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值
花费较大值-花费较小值）．
（16分）18．已知命题 ， ，命题 ， ．
(1)当命题 为假命题时，求实数 的取值范围；
(2)若命题 和 中有且仅有一个是假命题，求实数 的取值范围．
（18分）19．已知函数 ．
(1)若不等式 的解集为 ，求 的取值范围；
(2)解关于 的不等式 ；
(3)若不等式 对一切 恒成立，求 的取值范围．数学答案
1．B【详解】由题意得： ，解得： ，
由 ，解得： ，
故函数的定义域是 ，
2．B【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为 .
3．D【详解】对于A，函数 的定义域为 ， 的定义域为 ，两个函数的定义域不同，
所以不是同一个函数，所以A不符合题意；对于B，函数 ， ，所以两个函数的对
应关系不同，所以不是同一个函数，所以B不符合题意；对于C，函数 的定义域为 ， 的定义
域为 ，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以C不符合题意；
对于D，由函数 与 的定义域与对应关系都相同，所以是同一个函数，所以D符合题意.
4．C【详解】①因数域G是非空数集，取其中任意元素 ，则由数域定义 ，故①正确；②因数域G有
非零元素，设为 ，则由数域定义 ，因 ，则 ， ，
类推可得任意正整数都在数域中，故②正确；
③ 表示全体被3整除的整数，则 ，但 ，故③错误；
④设 ，则 ， ， ，当 时， ，则有理数集是一个数域，故④正确.
5．B【详解】由题意 可变形为
，
即 ，
化简可得 恒成立，
所以 恒成立，
化简可得 ，
解得 ，
所以实数 的取值范围为 ，6．A【详解】∵正实数x，y满足 ， ，
∴ ，当且仅当 取等，
设 ，∴ ，
∴ ，即 ， ，∴ ，
故 的最小值为2.
7．B【详解】由已知得， 中必有 个正数，1个负数，
设 ， ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，由 得， ，即 ，
所以 ，
8．C【详解】对A，由不等式 的解集为 可知 ，A错误；
对B，又2和3是方程 的两根，由韦达定理可得 ，
即 ，所以 ，
解得 ，B错误；
对C， ，C正确；
对D， ，解得 ，D错误.
9．AD【详解】对于A，命题 的否定是 ，故A正确；
对于B，由 可知由两种情况，① 且 ；② ，
故 不能推出 ，由 也不能推出 ，
所以 是 的既不充分也不必要条件，故B错误；对于C，当x=0时， ，故 错误；
对于D，关于 的方程 有一正一负根，则 ，解得 .
所以" "是"关于 的方程 有一正一负根"的充要条件，故D正确.
10．CD【详解】 时， 时， ，
时， ， 时， ，
时， ， 时， ，
，集合 的非空真子集有 个，所以A，B错误．
又若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则 是 的真子集，所以 ，C正确．
若 ，则 时， ；
时， ，
综上 ， D正确．
11．ABC【详解】因为关于 的不等式 的解集是 ，
所以 ，且 、 是关于 的方程 即 的两根，
所以 ，故A、B正确，
又 ，
所以 ，故C正确；
又 与 轴有两个交点 ， ，
而 是将函数 向上平移一个单位得到，
所以 与 轴的交点横坐标 ， ，
所以 ，故D错误；
12．
【详解】根据题意可得“ ”是真命题，当 ，即 时，命题成立；
当 时，得 ，解得 ，
综上，符合题意的实数 的取值范围是 .
13．
【详解】由题意，集合 ，
若 时，集合 ，满足题意；
若 时，要使得集合 ，
则满足 ，解得 ，
综上可得，实数 的取值范围是 .
14．
【详解】因为不等式 的解集为{x|−1≤x≤3}，
所以二次函数 的对称轴为直线 ，
且需满足 ，即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
15．(1) ； (2) .
【详解】（1）因为命题：“ ，使得 ”为真命题，
所以 ，
即 ，解得 ，
所以集合 ；
（2）因为 ，所以 ，
因为 ，非空集合 ，所以 ，解得 ，
实数 的取值范围为 .
16．(1) ， (2) 在 上单调递增，在 上单调递减
(3)证明见解析
【详解】（1）解：由 ，均有 且 ，
令 ，可得 ，
令 ，可得 .
因为曲线 与ℎ(x)恰有一个交点且交点横坐标为 ，所以 ，
又因为曲线 与ℎ(x)恰有一个交点，所以 有两个相等的实数根，
则 ，
因为 ，可得 ，解得 ，
所以 ，则 .
（2）函数 在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减.
设 且 ，
则
，
其中
当 时， ，则 ，即 ，
此时函数 在(0,1)上单调递增；
当 时， ，则 ，即 ，
此时函数 在(1,+∞)上单调递减，
所以函数 在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减.（3）证明：因为 ，
由 ，可得 ，即 ，
所以 ，整理得 ，
又因为 ，由基本不等式，可得 .
17．(1)采用方案二；理由见解析 (2)24
【详解】（1）解：方案一的总费用为 （元）；
方案二的总费用为 （元），
由 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
即 ，所以 ，所以采用方案二，花费更少.
（2）解：由（1）可知 ，
令 ，则 ，
所以 ，当 时，即 时，等号成立，
又因为 ，可得 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以差 的最小值为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以两种方案花费的差值 最小为24元.
18．(1) (2)
【详解】（1）命题 为假命题，则 ： ， 为真命题.
得 或 ；
（2）由（1）若命题 为假命题，则 ，则若其为真命题，则 ；
若命题 为真命题，则 ，
则若命题 为假命题，则 .
又命题 和 中有且仅有一个是假命题，则命题 和 一真一假.
若 真 假，则 ；
若 假 真，则 .
综上， .
19．(1)
(2)当 时, 解集为 ;
当 时, 解集为 ;
当 时, 解集为 .
(3)
【详解】（1）由题意，
当 , 即 时, , 解集不为 , 不合题意;
当 , 即 时, 的解集为 ,
，即
故 时, .
综上， .
（2）由题意得,
在 , 即 ,当 , 即 时, 解集为 ;
当 , 即 时, ,
即 解集为 ；
当 , 即 时, ,
解集为 .
综上，当 时, 解集为 ;
当 时, 解集为 ;
当 时, 解集为 .
（3）由题意，
, 即 ,
恒成立,
∴ ,
设 , 则
,
, 当且仅当 时取等号,
, 当且仅当 时取等号,
当 时, ,
，
∴ 的取值范围为 .
